Динаміка супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації

Актуальність роботи. Вирішення завдань, що стоять перед сучасними космічними апаратами, часто вимагає їхньої орієнтації на Землю протягом тривалого часу. Одним із засобів досягнення цього є використання систем гравітаційної стабілізації кутового руху. В основу створення таких систем покладено відому властивість руху твердого тіла в центральному полі сил тяжіння за круговою орбітою -- існування стійкого положення відносної рівноваги, у якому найбільшу вісь еліпсоїда інерції спрямовано за радіус-вектором до орбіти, середню вісь -- за дотичною до орбіти, і найменшу вісь -- за бінормаллю до орбіти.

Ідея використання відновлювального моменту гравітаційних сил для стабілізації кутового руху супутників виникла ще на зорі космонавтики. У 1956 році Д.Є. Охоцимський запропонував схему системи стабілізації, в якій до супутника приєднано друге тіло -- стабілізатор. Як правило, гравітаційні стабілізатори виконуються у вигляді жорстких штанг.

Дослідженню динаміки супутника з такою системою стабілізації присвячено велику кількість робіт, серед авторів яких треба, в першу чергу, назвати В.А. Саричева, а також його колег по Інституту прикладної математики ім. М.В. Келдиша -- В.В. Сазонова, С.О. Мірера.

Протягом останнього десятиліття з'явився новий клас систем гравітаційної стабілізації, в яких замість жорстких штанг у якості стабілізаторів використовуються гнучкі зв'язки (нитки, троси, стрічки). Їхнє використання дозволяє знизити вартість системи стабілізації й зменшити її масу, що є особливо важливим для малих космічних апаратів. Такі системи розробляються для ряду перспективних мікро- і наносупутників.

З іншого боку, супутник, з'єднаний гнучким зв'язком зі стабілізуючим вантажем, по суті, являє собою космічну тросову систему -- систему штучних космічних об'єктів (супутників, кораблів, вантажів), з'єднаних протяжними гнучкими елементами, яка здійснює орбітальний політ. Ідеї створення таких систем сягають до робіт К.Е. Ціолковського. Початок інтенсивних робіт в цій галузі пов'язаний з іменами Дж. Коломбо (Італія) і М. Гроссі (США). Великий внесок у дослідження динаміки космічних тросових систем внесли В.В. Белецький і його учні. Серед вітчизняних учених варто назвати А.П. Алпатова, О.Є. Закржевського, О.В. Пироженко.

Після вирішення проблем, пов'язаних з розгортанням тросового з'єднання, та істотного просування в питанні забезпечення його надійності однією з основних проблем створення космічних тросових систем є стабілізація руху, яка забезпечуватиме необхідну точність орієнтації кінцевих тіл системи. Таким чином, дослідження динаміки супутників із тросовими системами гравітаційної стабілізації є актуальною задачею, яка перебуває на стику двох перспективних напрямків сучасної космонавтики -- створення мікросупутників і космічних тросових систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є узагальненням результатів досліджень, проведених в Інституті технічної механіки НАН України і НКА України за фундаментальними науково-дослідними темами: 1.3.2.213 “Розробка методів та дослідження динаміки просторово розвинених багатоелементних механічних систем, що функціонують в екстремальних умовах” (номер держреєстрації 0196U009390, затверджена постановою Бюро Відділення механіки НАН України на 1996-2000 роки, протокол № 6 від 07.12.95); 1.3.2.271 “Дослідження вільних і керованих режимів функціонування трансформовних просторово розвинених механічних систем космічного і наземного базування в умовах широкого спектру впливів” (номер держреєстрації 0101U001599, затверджена постановою Бюро Відділення механіки НАН України на 2001-2005 роки, протокол № 5 від 22.12.2000); 1.3.2.292 “Розробка методичних основ рішення задач аналізу динаміки та створення алгоритмів систем керування та орієнтації перспективних космічних апаратів” (номер держреєстрації 0102U001657, затверджена постановою Бюро Відділення механіки НАН України на 2002-2006 роки, протокол № 2 від 12.03.2002), а також у рамках державного контракту “Розробка та впровадження нормативно-технічної документації щодо створення, виготовлення та експлуатації ракетно-космічної техніки. Системні дослідження перспектив розвитку космічних ракетних комплексів та космічних апаратів” (контракт з НКА України № 06-01/03 від 15.01.2003, “Супровід-Р”).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у визначенні закономірностей динаміки супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації поблизу радіального положення рівноваги й оцінюванні на цій основі можливостей застосування системи.

Досягнення мети передбачає вирішення наступних задач:

а) побудова математичної моделі динаміки системи;

б) побудова аналітичних залежностей частот коливань системи від її конструктивних параметрів;

в) автоматизація досліджень динаміки механічних систем даного класу на основі сучасних обчислювальних засобів;

г) розробка методики вибору параметрів системи, що забезпечують мінімальну тривалість перехідних процесів;

д) визначення впливу змін параметрів системи на перехідні процеси;

е) аналіз впливу збурень на точність стабілізації кутового руху даного класу систем.

Об'єктом досліджень є тросова система гравітаційної стабілізації кутового руху супутника.

Предметом досліджень є динаміка супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації поблизу положення рівноваги.

Методи дослідження. Для вирішення поставлених задач було використано методи теоретичної механіки, зокрема методи механіки систем твердих тіл, чисельного інтегрування диференціальних рівнянь, оптимізації, аеродинаміки, фізики іоносфери, а також методи чисельного і символьного комп'ютерного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів пов'язана з дослідженням динаміки нового класу систем (супутників із тросовою системою гравітаційної стабілізації), розвиненням методів аналізу динаміки механічних систем із шарнірними і тросовими з'єднаннями і полягає в наступному:

- побудовано математичну модель динаміки нового класу систем -- супутників із тросовою системою гравітаційної стабілізації;

- вперше для розглянутого класу систем побудовано аналітичні оцінки частот коливань системи поблизу радіального положення рівноваги;

- розроблено нову методику вибору конструктивних параметрів системи, що забезпечують мінімальну тривалість перехідних процесів;

- визначено вплив змін параметрів системи на перехідні процеси.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що вони дозволяють вирішити важливу науково-технічну задачу визначення закономірностей динаміки супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації поблизу положення рівноваги. Це має істотне значення для практичного використання цього нового класу систем стабілізації.

Результати дисертаційних досліджень увійшли як складова частина до науково-технічного звіту “Розробка методів стабілізації кінцевих тіл космічних тросових систем”, який підготовлено в ІТМ НАНУ і НКАУ в рамках Протоколу про наміри від 15.06.2004 між інститутом і ДКБ “Південне”. Результати передано в ДКБ “Південне” для використання при розробці перспективних систем керування орієнтацією космічних апаратів. Отримано акт впровадження у КБ_3 ДКБ “Південне” результатів дисертаційної роботи.

Особистий внесок здобувача в опублікованих у співавторстві наукових працях полягає в: розробці математичної моделі динаміки супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації, проведенні розрахунків [1, 7, 8]; здійсненні інформаційного пошуку [12]; лінеаризації рівнянь руху розглянутої системи, побудові оцінок частот коливань системи, проведенні розрахунків [2, 9, 10]; здійсненні інформаційного пошуку, розробці методики оптимізації параметрів системи, проведенні розрахунків [4, 11, 13].

Автор вдячний А.П. Алпатову і О.В. Пироженку за постановку задач, допомогу в роботі та цінне обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на міжнародних науково-практичних конференціях:

- 3-я Всеукраїнська молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”, м. Дніпропетровськ, 2001 [8];

- 8-а Міжнародна конференція “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”, м. Донецьк, 2002 [7];

- 6-а Всеукраїнська молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”, м. Дніпропетровськ, 2004 [10];

- Ювілейна конференція “Классические задачи динамики твердого тела”, присвячена 80-річчю від дня народження П.В. Харламова, м. Донецьк, 2004 [9];

- 7-а Всеукраїнська молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”, м. Дніпропетровськ, 2005 [11];

- 9-а Міжнародна конференція “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”, м. Донецьк, 2005 [12, 13].

Публікації. Результати досліджень за темою дисертації опубліковано у 13 друкованих роботах, у тому числі:

- 5 статтях у журналах, що входять до переліку фахових видань [1-5], з них 2 без співавторів [3, 5];

- 1 препринті [6];

- 7 тезах доповідей на науково-практичних конференціях [7-13].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел і трьох додатків. Загальний обсяг роботи становить 162 сторінки тексту, 58 малюнків, 16 таблиць. Список використаних джерел включає 120 найменувань і займає 11 сторінок. Додатки займають 25 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність, сформульовано мету і задачі досліджень. Наведено відомості про наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, їх апробацію і впровадження.

У першому розділі розглянуто схеми, варіанти реалізації і проблеми створення систем гравітаційної стабілізації (СГС) із гнучкими зв'язками, а також тісно пов'язані з розвитком таких систем питання гравітаційної стабілізації космічних тросових систем (КТС). Проаналізовано тенденції та перспективи розвитку даного класу систем.

Показано, що СГС із використанням гнучких зв'язків являють собою новий напрямок, що активно розвивається та перебуває на стику традиційних задач стабілізації супутників і задач дослідження динаміки і стабілізації руху КТС.

Використання гнучких зв'язків у СГС дає цілий ряд переваг, зокрема, дозволяє зменшити масу і знизити вартість системи, що є особливо важливим для малих супутників, а також істотно збільшити відновлювальний гравітаційний момент.

Основною проблемою створення СГС із гнучкими зв'язками є мала згинальна жорсткість нитки і пов'язана з цим неможливість передачі через нитку моментів сил, зокрема демпфірувальних. Проведений аналіз указує на необхідність розробки СГС із використанням спеціальних пристроїв кріплення троса до супутника.

Розглянуто один з варіантів пристроїв, призначених для гравітаційної стабілізації супутників, а також стабілізації кінцевих тіл КТС. Проблема гасіння власних коливань у ньому вирішується тим, що трос кріпиться не безпосередньо до супутника, а до додаткового тіла (приставки), шарнірно зв'язаного з супутником. Показано перспективність використання подібних пристроїв як для пасивної, так і для активної стабілізації кутового руху супутників і кінцевих тіл КТС.

Розглянуто основні задачі, які розв'язуються в ході практичної реалізації СГС. Показано, що в цей час основними задачами є демпфірування власних коливань системи і зниження впливу збурень на точність стабілізації. Для реалізації тросових СГС особливе значення має рішення задачі демпфірування власних коливань супутника відносно положення рівноваги. Позитивне вирішення цієї задачі стало б основним доказом можливості використання розглядуваної схеми системи стабілізації.

У другому розділі побудовано математичну модель динаміки супутника із тросовою СГС як системи твердих тіл із шарнірними та пружними з'єднаннями. Модель записується на основі загальних теорем механіки, що дозволяє простежувати зв'язок між силовими впливами і змінними, які описують рух.

Рівняння руху розглянутої системи мають вигляд

(1)

де -- кінетичні моменти руху тіл відносно власних центрів мас (значення індексу i вказує на те, що дана характеристика відноситься до супутника (a), приставці (p) і стабілізуючого вантажу (t) відповідно);

-- маси тіл;

-- радіус-вектори центрів мас тіл відносно центра Землі;

-- гравітаційні моменти;

-- моменти, створювані силою тертя ;

-- сила реакції в шарнірі;

-- сила натягу троса;

і -- інші зовнішні сили та моменти, що діють на тіла системи;

, -- радіус-вектори шарнірної точки O_M відносно центрів мас супутника і приставки відповідно;

-- радіус-вектор точки кріплення троса B до приставки відносно центра мас приставки;

-- радіус-вектор точки кріплення троса C до стабілізуючого вантажу відносно центра мас вантажу;

-- гравітаційна постійна Землі.

Сила реакції в шарнірі визначається в такий спосіб:

,

де ,

, ;

, -- абсолютні кутові швидкості супутника і приставки відповідно;

.

Тоді моменти сили реакції і запишуться у вигляді:

,

,

де , .

Тертя між супутником і приставкою описується силою в'язкого тертя :

,

де -- швидкість супутника відносно приставки в точці F прикладення сили тертя , -- абсолютні швидкості точки F;

-- коефіцієнт опору.

Пружні властивості троса описуються законом Гука, а розсіювання енергії в матеріалі троса -- за допомогою формул еквівалентного в'язкого тертя

,

де d -- номінальна довжина троса;

c -- коефіцієнт жорсткості;

-- коефіцієнт опору троса.

Моменти гравітаційних сил, що діють на тіла системи, з точністю до величин першого порядку малості за , де -- лінійний розмір i-го тіла, можна описати формулами

,

У загальному випадку розглядувана механічна система має 15 степенів вільності. Математична модель її динаміки представляє собою систему 30 диференціальних рівнянь 1-го порядку з істотно нелінійними взаємозв'язками між змінними.

Систему рівнянь руху (1) приведено до матричного виду, придатного для чисельного інтегрування. Побудовано математичні моделі динаміки системи для випадку руху в площині орбіти і різних окремих випадків механічної моделі системи. Побудовано також модель кутового руху системи, що складається з твердого тіла і матеріальної точки, з'єднаних невагомим тросом.

Показано, що відносний рух системи в першому наближенні не впливає на рух її центра мас і при проведенні досліджень динаміки системи з метою вибору її параметрів траєкторію центра мас можна розглядати як незбурену кеплерову орбіту.

У третьому розділі проведено аналіз впливу конструктивних параметрів системи на тривалість перехідних процесів. Проведено аналіз коливань системи поблизу положення рівноваги, який включає аналіз коливальних ланок, їх взаємодій, побудову оцінок частот і амплітуд коливань. Побудовано аналітичні залежності частот коливань системи від її параметрів. Розроблено методику вибору параметрів, при яких забезпечується мінімальна тривалість перехідних процесів. Показано, що оптимальні за швидкодією перехідні процеси стабілізації відповідають резонансній настройці коливальних ланок системи. Визначено вплив змін параметрів системи на перехідні процеси.

Для аналізу розглядуваної системи використовувалися рівняння, лінеаризовані в околі радіального положення рівноваги. Лінеаризація рівнянь руху в даному випадку вимагає громіздких математичних перетворень, невиправдано трудомістких, якщо виконувати їх вручну. Істотними труднощами виявляються помилки, що неминуче виникають під час виводу рівнянь і при переведенні отриманих формул у програмний код. Використання можливостей сучасних засобів автоматизації досліджень (розд. 5) дозволило лінеаризувати рівняння руху й одержувати розрахункові програми динаміки системи автоматично та протягом прийнятного часу, а також виключити помилки, пов'язані з програмуванням формул.

Проведено аналіз малих коливань системи, який включає аналіз коливальних ланок, їх взаємодій, побудову оцінок частот і амплітуд коливань. Такий аналіз не тільки полегшує вирішення задачі вибору оптимальних параметрів СГС, але й дозволяє протягом усього дослідження користуватися своєрідним “путівником” -- фізичним змістом задачі. У випадку супутника з СГС, заснованою на новій схемі, проведення такого аналізу є особливо важливим, оскільки дозволяє за потреби цілеспрямовано змінювати цю схему.

Керуючись фізичними міркуваннями, із системи “вирізалося” частину, що відповідала, як передбачалося, за одне із власних коливань системи. На підставі принципу звільнення від зв'язків дія відкинутої частини системи замінялося динамічно еквівалентними силами. Для отриманої підсистеми складалося математичну модель динаміки, обчислювалося власну частоту коливань та будувалося аналітичну залежність цієї частоти від конструктивних параметрів системи. Отримана залежність служила оцінкою для однієї із власних частот повної системи. Якщо оцінка досить точно відображувала розрахункове значення власної частоти повної системи, а також закономірності її змінювання при зміні параметрів, то робився висновок, що ця власна частота фізично відповідає частоті коливань даної підсистеми. У протилежному випадку видозмінювалося підсистему та складалося нову математичну модель.

На основі аналізу динаміки супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації поблизу положення рівноваги показано, що власні частоти системи можна співвіднести з частотами коливань супутника і приставки відносно шарнірної точки, маятникових коливань системи в цілому як твердого тіла, поздовжніх коливань системи, обумовлених пружністю зв'язку, а також коливань стабілізуючого вантажу відносно точки кріплення. Побудовано залежності частот коливань системи від її параметрів (рис. 2).

У табл. 1 представлено оцінки частот коливань системи і їх відносних погрішностей у порівнянні з розрахунковими значеннями відповідних власних частот системи. Значення параметрів системи, при яких проведено розрахунки, представлено в табл. 2.

Таблиця 1 Оцінки власних частот системи

Таблиця 2 Значення параметрів системи

Тут, -- безрозмірні параметри, що характеризують відношення мас супутника і приставки до маси стабілізуючого вантажу;, -- головні центральні моменти інерції супутника і приставки; і, -- відповідно проекції векторів і, на вісі пов'язаних з супутником і приставкою систем координат;, де c -- коефіцієнт жорсткості троса; d -- номінальна довжина троса,, -- коефіцієнт в'язкого тертя матеріалу троса;, -- коефіцієнт опору в шарнірі; -- відношення плеча дії сили тертя на приставку до.

Отримані аналітичні оцінки власних частот (рис. 2) перебувають у добрій кількісній і якісній відповідності з результатами розрахунків. Це є одним із доказів правильності роботи розрахункової програми, заснованої на лінеаризованої моделі динаміки системи, а також додатково свідчить про правильність роботи програми, заснованої на повній моделі.

Слід зазначити, що задача дослідження полягає не тільки в тому, щоб знайти максимум степені стійкості. Необхідно також визначити, які фізичні закономірності його обумовлюють, дослідити, як параметри системи впливають на її динаміку в околі максимуму. Велике значення при створенні систем стабілізації має можливість зміни конструктивних параметрів системи без істотного погіршення її динамічних характеристик. Тому необхідно дослідити, наскільки чутливими є максимуми степені стійкості системи до змін її конструктивних параметрів.

Степінь стійкості системи є функцією багатьох змінних (більш ніж 20 конструктивних параметрів) і має багато локальних екстремумів. Існує також ряд фізичних і технічних обмежень на параметри системи. Ці особливості цільової функції, а також необхідність визначити фізичні умови виникнення екстремумів привели до розробки методики оптимізації, що спирається на фізичні міркування.

Оптимізація параметрів системи здійснювалася на основі результатів аналізу її малих коливань. Як показали попередні розрахунки (табл. 1), повільніше за всі загасають маятникові коливання системи. Для розсіювання енергії цих коливань необхідно передавати її в ланки з дисипацією. Найкращі умови для цього створюються, коли маятникові коливання перебувають у резонансі з коливаннями супутника, приставки або поздовжніх коливань (тому що саме при резонансі існує сильний зв'язок між утворюючими систему коливальними ланками і забезпечуються найкращі умови для перекачування енергії). Тому можна припустити, що саме при таких резонансах коливання в системі будуть загасати швидше за всі. Виходячи від отриманих раніше аналітичних залежностей, було виділено конструктивні параметри системи, які найбільш істотно впливають на частоти її коливань. Оптимізація системи за частиною параметрів дозволила істотно скоротити обсяг обчислень. Результати аналізу малих коливань дозволили також визначати початкові наближення для чисельної оптимізації: значення параметрів підбиралися так, щоб опинитись в “околі” резонансів.

Таким чином, аналіз динаміки системи поблизу положення рівноваги дозволив розробити методику оптимізації за швидкодією конструктивних параметрів системи.

Розрахунки підтвердили, що оптимальні за швидкодією перехідні процеси стабілізації системи відповідають резонансам між частотами її коливань: між коливаннями супутника і маятниковими коливаннями системи, між поздовжніми і маятниковими коливаннями системи, а також “потрійному” резонансу -- між коливаннями супутника, поздовжніми і маятниковими коливаннями системи.

Резонанс між коливаннями супутника й маятниковими коливаннями системи (резонанс “супутник-маятник”) відрізняється від інших резонансів даної системи простотою своєї технічної реалізації. При будь-яких масово-інерційних характеристиках супутника та інших тіл системи, довжині і механічних властивостях зв'язку резонанс “супутник-маятник” завжди досягається тільки відповідним вибором відстаней: від центра мас супутника до шарнірної точки, від центра мас приставки до шарнірної точки, від центра мас приставки до точки кріплення троса до приставки (рис. 1).

Значення параметрів системи, для яких досягається локальний максимум, наведено в табл. 3. Графік перехідного процесу коливань за кутом тангажа супутника наведено на рис. 3.

Таблиця 3 Значення оптимальних параметрів системи в резонансі “супутник-маятник”

З табл. 3 видно, що максимальне значення степені стійкості в даному резонансі досягається при технічно прийнятних значеннях масово-інерційних характеристик. Так, маса стабілізуючого вантажу становить близько 0,1 %, а маса приставки -- 1 % від маси супутника. Значення відстаней, і також представляються цілком реалізовними. Зміна параметра в досить широкому діапазоні не впливає на степінь стійкості системи. Представляється, що відповідні значення параметрів, і неважко забезпечити при створенні демпфірувальних пристроїв.

Побудовано оцінки залежності степені стійкості від моментів інерції тіл системи та від довжини троса. Показано, що супутник із тросовою СГС має великий запас стійкості до зміни моментів інерції супутника, і зі збільшенням довжини троса стійкість системи в цьому сенсі росте.

Показано, що використання резонансу між коливаннями супутника і маятниковими коливаннями дозволяє ефективно стабілізувати кутовий рух супутників, витягнутих уздовж трансверсалі до орбіти і тим самим дозволяє істотно збільшити площу поверхні, спрямованої на Землю, у порівнянні з гравітаційно-стійкими супутниками. Це може виявитись важливим для реалізації проектів дистанційного зондування Землі, супутників зв'язку і проведення наукових експериментів.

Розрахунки показали, що розглянутий резонанс характеризується порівняно низькою чутливістю до зміни параметрів системи. Так, навіть погрішність завдання відстані в 1 см ( м) не приводить до скільки-небудь істотного з практичної точки зору зміни степені стійкості системи.

Резонанс між поздовжніми і маятниковими коливаннями системи, а також “потрійний” резонанс -- між коливаннями супутника, поздовжніми і маятниковими коливаннями є можливими при досить низькій жорсткості зв'язку -- порядку сотих частин ньютона. Розгортання системи з ниткою, виконаною з такого матеріалу, було б досить проблематичним. Однак необхідну жорсткість можна реалізувати за допомогою спеціального пристрою кріплення нитки.

Побудовано оцінки залежності степені стійкості від параметрів системи. Зокрема, проаналізовано питання про роль приставки в гасінні коливань. Справа в тому, що резонанс між поздовжніми і маятниковими коливаннями системи є давно відомим і дозволяє ефективно гасити найбільш критичні за часом загасання маятникові коливання. Однак, як показали розрахунки, кутові коливання супутника при цьому демпфіруються погано. Таким чином, саме наявність приставки дозволяє у випадку розглянутого резонансу ефективно гасити коливання супутника.

З іншого боку, мінімальна тривалість перехідних процесів у системі без приставки досягається в резонансі “супутник-маятник”. Степінь стійкості в цьому випадку незначно поступається тій, яку було отримано для “повної” тросової СГС у такому ж резонансі. Однак тросова система стабілізації, що включає приставку, має в цьому випадку істотну перевагу: резонанс “супутник-маятник” досягається в ній зміною тільки геометричних параметрів (відстаней , і ) і не вимагає зміни жорсткості зв'язку. У системі ж без приставки створення такого резонансу вимагає використання троса з дуже низькою жорсткістю.

Резонанс між коливаннями приставки і маятниковими коливаннями у розглянутій системі не спостерігається. Для його досягнення потрібно було б істотно збільшити масу або моменти інерції приставки, зробивши їх сумірними з відповідними характеристиками супутника. В обох випадках ми виходимо за межі розглядуваного класу апаратів -- супутників із системою гравітаційної стабілізації. Однак можна уявити собі ситуацію, коли приставка і стабілізуючий вантаж у свою чергу будуть супутниками. У такій системі виявиться можливим повний резонанс -- збіг всіх власних частот.

Проведено порівняльний аналіз характеристик загасання коливань для різних схем систем стабілізації. Характеристики загасання для знайдених у системі резонансів наведено в табл. 4 (-- час загасання коливань, під яким розуміється час, за який амплітуда коливань зменшиться до рівня в 1% від початкової величини).

Таблиця 4 Характеристики загасання для знайдених екстремумів

Як видно з табл. 4, максимальне значення степені стійкості для резонансу “супутник-маятник” є істотно меншим у порівнянні з її значеннями для інших резонансів розглянутої системи. Для загасання коливань у випадку цього резонансу буде потрібно близько 19 обертів навколо Землі за круговою орбітою висотою близько 600 км, у той час як у випадку двох інших резонансів коливання загаснуть приблизно за 2/3 оберту. Однак, з огляду на простоту його технічної реалізації, стійкість до малих змін параметрів, а також те, що термін активного існування сучасних супутників становить роки, саме цей резонанс представляється найбільш перспективним для використання в тросових системах гравітаційної стабілізації.

У четвертому розділі проаналізовано вплив збурень на точність стабілізації кутового руху супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації. Побудовано моделі і проведено оцінки впливу на точність стабілізації різних факторів, у тому числі аеродинамічних, електромагнітних, сонячного тиску, відхилення орбіти від кругової.

На низьких навколоземних орбітах опір атмосфери є одним з основних збурень, що діють на супутники з СГС. Це пов'язано з конструктивною особливістю СГС, коли стабілізуючий вантаж виноситься на велику відстань від супутника. При цьому через взаємодію стабілізатора з атмосферою, як правило, центр тиску зміщається убік стабілізуючого вантажу значно більше, ніж зміщається центр мас супутника. Тому супутники з СГС важко виконати аеродинамічно нейтральними (тобто такими, що опір атмосфери впливає лише на їхній поступальний рух, а на кутовий не впливає).

Побудовано оцінки впливу довжини та діаметра тросового з'єднання на величину аеродинамічного моменту. Показано, що вже для висот понад 200 км вигідно збільшувати довжину тросового з'єднання, тому що це приводить до більш швидкого росту стабілізуючого гравітаційного моменту в порівнянні з аеродинамічним. У досить значних межах можна збільшувати і діаметр троса.

На основі порівняльного аналізу впливу аеродинамічних моментів на рух супутника із тросовою СГС і супутника із гравітаційною штангою показано, що використання тросової системи дозволяє значно послабити вплив аеродинамічних моментів на відхилення системи від положення рівноваги.

Проведено аналіз і побудовано оцінки впливу ряду збурюючих факторів, пов'язаних з наявністю в системі тросового з'єднання. Зокрема, проаналізовано вплив іоносферної плазми, нагрівання троса, залишкових напруг і деформацій троса. Показано, що в багатьох випадках при оцінюванні точності стабілізації впливом цих факторів можна знехтувати. Однак у ряді випадків їх вплив вимагає більш детального дослідження з урахуванням конкретної реалізації системи стабілізації.

Таким чином, для розглядуваних висот орбіт використання тросової системи гравітаційної стабілізації дозволяє підвищити точність орієнтації супутника на Землю в порівнянні з використанням традиційних СГС на основі жорстких штанг.

У п'ятому розділі розроблено комплекс програм для дослідження динаміки супутника із тросовою системою гравітаційної стабілізації, який забезпечує:

- проведення аналітичних викладок (зокрема, лінеаризацію рівнянь руху поблизу радіального положення рівноваги);

- чисельне інтегрування рівнянь руху;

- обчислення оцінок власних частот;

- чисельну оптимізацію параметрів системи;

- візуалізацію та документування отриманих результатів.

Комплекс створено на основі систем інженерних і наукових розрахунків MATLAB 7 і Maple 10. Основною відмінною рисою комплексу є сполучення в ньому програм для аналітичних і чисельних розрахунків.

Робота комплексу будується наступним чином. Користувач записує рівняння руху системи в матричній формі відповідно до синтаксису Maple. Maple-програма автоматично перетворює задані рівняння в скалярну форму запису, лінеаризує їх і записує у вигляді команд мовою системи MATLAB. За допомогою MATLAB-програм проводяться необхідні чисельні розрахунки (інтегрування рівнянь руху, оптимізація параметрів системи й т.п.) і виводяться результати роботи. Отримані результати передаються в систему Maple, яка має розвинені можливості щодо підготовки наукових документів.