Динамика вращательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Момент силы и момент импульса

Моментом силы относительно какой-либо оси называется произведение величины силы (F) на плечо, т.е. на длину перпендикуляра (d), опущенного из точки О, через которую проходит ось, на направление силы (рис.4.1):

M=Fd.

За направление момента силы берется направление, в котором будет двигаться направленный вдоль оси буравчик, если его рукоятка поворачивается по направлению силы.

Из рис.4.1 видно, что d=r sin, где r - радиус-вектор. Тогда

M=Fr sin.

Поскольку Fr sin есть мо-дуль векторного произведения , то для момента силы будет справедливо выражение

или

.

Таким образом, момент силы есть вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат и . Направлен вектор по правилу буравчика.

Аналогично моменту силы определяется и момент импульса (). Пусть ось моментов выбрана таким образом, что вектор импульса лежит в плоскости, перпендикулярной оси. Моментом импульса относительно некоторой оси называют вектор , направленный вдоль этой оси по правилу буравчика и равный по величине произведению импульса m на длину перпендикуляра d, опущенного на этот вектор из заданной оси (рис.4.2):

N=md.

Следовательно, момент импульса есть векторное произведение радиуса век-тора на вектор импульса :

.

2. Уравнение моментов

Установим связь между моментом внешних сил и моментом импульса материальной точки. Рассмотрим случай, когда внешние силы, лежат в плоскости, перпендикулярной оси моментов. Если на материальную точку массы m действует сила F, то уравнение движения согласно второму закону Ньютона имеет вид

.

Выберем какую-либо неподвижную ось, перпендикулярную плоскости движения. Пусть след этой оси есть точка О (рис.4.3). Проведем из точки О к точке массой m радиус-вектор .

При движении точки радиус-вектор изменяется, т.е. есть функция времени. Умножим векторно обе части уравнения движения на :

.

Правая часть этого уравнения есть момент сил относительно выбранной оси:

. (4.1)

Левая часть есть производная по времени от момента импульса материальной точки относительно выбранной оси:

. (4.2)

Производная векторного произведения выражается аналогично производной произведения векторных величин, т.е.

.

Так как , то , т.е. векторное произведение двух колинеарных векторов и равно 0. Окончательно можно записать

или

. (4.3)

Учитывая выражения (4.1) и (4.2), из (4.3) получим уравнение моментов:

.

Производная от момента импульса материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту , действующих на материальную точку сил относительно этой оси.

3. Движение центра тяжести твердого тела

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого во время движения остается неизменным. Разобьем мысленно такое тело на бесконечно малые элементы, которые малы по сравнению с расстоянием до оси вращения. Каждый такой элемент тела мы можем рассматривать как материальную точку. Таким образом, мы сведем задачу о движении твердого тела к задаче о движении большого числа отдельных материальных точек. твердое тело вращение инерция

Обозначим массу i-элемента через m_i, его скорость через _i. Запишем уравнение второго закона Ньютона для каждого из элементов:

,

где - сумма внутренних сил, - внешняя сила, действующая на элемент массы.

Складывая для всех элементов тела, получим

, (4.4)

так как по третьему закону Ньютона сумма всех внутренних сил, действующих на отдельные элементы тела .

Согласно (4.4) так же, как и для всякой системы материальных точек, производная по времени от общего импульса тела равна сумме всех внешних сил, действующих на тело. Координаты центра масс твердого тела определяются следующим образом:

; ; ,

где - координаты элемента массы m_i (рис.4.4).

Продифференцируем по времени эти выражения:

Справа стоят компоненты общего импульса системы по трем осям координат. Слева - масса тела, умноженная на соответствую-щие компоненты скорости центра масс . Складывая почленно, получим

, (4.5)

где - вектор скорости центра масс, m - масса всего тела.

Из выражения (4.5) следует, что твердое тело обладает таким же импульсом, каким обладала бы материальная точка массы, равной массе тела и движущаяся, как движется центр масс тела.

Подставляя (4.5) в уравнение (4.1), получим

. (4.6)

Поскольку масса тела есть величина постоянная, её можно вынести за знак дифференциала и уравнение движения центра масс твердого тела (4.6) примет следующий вид:

. (4.7)

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, которые действуют на данное тело.

Умножим векторно обе части уравнения (4.7) на :

.

Правая часть этого уравнения есть момент сил, действующих на абсолютно твердое тело:

.

Левая часть есть производная от момента импульса абсолютно твердого тела относительно выбранной оси

.

Следовательно, и для абсолютно твердого тела уравнение моментов имеет следующий вид:

. (4.8)

4. Момент инерции тела относительно оси вращения

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения:

.

Для тела с неравномерно распределенной массой элементарная масса m_i

,

где _i - плотность в данной точке,

V_i - элементарный объем.

Поэтому момент инерции тела будет равен

.

Если =сonst, то

.

Переходя к пределу получим, что

.

Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.4.5). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr.

Объем такого слоя равен V=b2rdr, где b - толщина диска, r - радиус кольцевого слоя.

Поскольку диск однороден, то =сonst и

;

,

где R - радиус диска.

Произведение , поэтому момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через его центр будет равен

.

Для нахождения момента инерции диска относительно оси, не проходящей через его центр, воспользуемся теоремой Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис.4.6):

В соответствии с этой теоремой, момент инерции диска относительно оси ОО равен

.

Приведем моменты инерции тел различной геометрической формы.

1. Длинный стержень, толщина которого значительно меньше длины . Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящий через его середину (рис.4.7,а). Относительно оси ОО (рис.4.7,б), согласно теореме Штейнера

,

т.е. .

2. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр (рис.4.8,а) . Относительно оси ОО (рис.4.8,б)

.

3. Момент инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр .

4. Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ относительно оси цилиндра для тонкостенного полого цилиндра R₁R₂=R и I=mR².

5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим движение однородного твердого тела, закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться. Примем, что тело симметрично относительно движения. Точка О - след оси, f - внешняя сила, приложенная в точке А (рис.4.9).

Момент инерции относительно оси вращения дает только внешняя сила f, поскольку момент реакции опоры в точке О равен нулю.

Разобьем тело на отдельные малые элементы, и будем рассматривать тело как систему материальных точек с массой, равной m_i.

Элементы массы m_i обладают элементарным моментом импульса

.

Подставим в данное выражение _i=r_i - линейную скорость некоторого элемента, получим уравнение для момента импульса элемента массы в виде , так как и

Поскольку моменты импульса всех элементов направлены по оси вращения, и для всех элементов одно и тоже, то полный момент импульса тела

;

.

В этом выражении - момент инерции тела относи-тельно выбранной оси, поэтому N=I, т.е. момент импульса однородного симметричного тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения тела. Если тело неоднородное и несимметричное относительно оси вращения, то

,

где N_z - проекция момента импульса на ось z, _z - проекция угловой скорости вращения на эту ось.

Так как все r_i=сonst, то производная от момента импульса

,т.е.

. (4.9)

Из уравнений (4.8) и (4.9) вытекает, что

или

, (4.10)

т.е. импульс вращающего момента равен изменению момента импульса тела, к которому приложен этот вращающий момент.

Учитывая, что - угловое ускорение, получим основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в виде:

, (4.11)

т.е. момент сил, действующих на вращающееся тело прямо пропорционально моменту инерции тела относительно неподвижной оси вращения и угловому ускорению.

Для несимметричного неоднородного тела

,

где M_z - проекция момента сил на ось z, _z - проекция углового ускорения на ось z.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси можно записать, исходя из (4.8):

, (4.12)

где - момент силы, - момент импульса.

Если система замкнута, то момент внешних сил , так как . Из уравнения (4.12) следует, что , а . Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса.

Момент импульса твердого тела относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.

6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то линейная скорость элементарной массы m_i

_i=r_i,

где r_i - радиус-вектор, - угловая скорость.

Следовательно, кинетическая энергия i-элементарной массы

.

Кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии его частей, т.е.

.

Поскольку - момент инерции тела, то выражение для кинетической энергии тела примет следующий вид:

. (4.13)

Таким образом, кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси выражается формулой, совершенно аналогичной формуле, дающей кинетическую энергию материальной точки.

Только роль массы играет момент инерции I, а роль линейной скорости - угловая скорость .

Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Обозначим f_i внешнюю силу, действующую на элемент массой m_i, ds_i=r_id - путь элемента массы за время t, где d - угол, на который повернется тело за время dt (рис.4.10).

Работа силы f_i:

dA_i=f_sids_i, (4.14)

где f_si - проекция силы f_i на направление перемещения.

Учитывая выражение для пути элемента массы ds_i перепишем уравнение для работы силы

dA_i=f_sir_id_i.

Поскольку f_sir_i=M_i - проекция момента силы f_i на направление оси вращения, то

dA_i=M_id.

Работа всех сил, приложенных к телу, равна

.

Так как - результирующий момент всех внешних сил, приложенных к телу, то

dA=Md. (4.15)

Работа внешних сил при повороте на произвольный конечный угол

.

Покажем, что в соответствии с законом сохранения энергии, работа равна приращению кинетической энергии.

Согласно (4.15) работа внешних сил при повороте тела на угол d

dA=Md, а момент силы

.

Угол поворота тела за время dt при =сonst

d=dt . (4.16)

Подставляя (4.16) и (4.10) в (4.15), получим

.

Величина

, поэтому

dA=dE_к.

7. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела

Рассмотрим частный случай движения твердого тела, когда его ось вращения проходит через центр масс и перемещается, оставаясь параллельной самой себе (рис.4.11).



Пусть _i - линейная скорость элемента объема тела с массой m_i и _c - линейная скорость центра масс тела относительно той же координатной системы.

Введем, кроме того, скорость элемента объема тела относительно центра масс, тогда

(4.17)

Кинетическая энергия элемента объема равна

или (по 4.17)

.

Кинетическую энергию всего тела E_к получим, взяв сумму кинетических энергий всех его элементов:

(4.18)

Первый из членов правой части этого равенства представляет собой кинетическую энергию массы m, равной массе всего тела, движущейся вместе с центром масс: .

Для второго члена учтем, что и перепишем его в виде

.

Получим, что он равен кинетической энергии твердого тела относительно оси вращения, проходящей через центр его масс.

Третий член равен нулю. Для доказательства этого положения рассмотрим произведение и, учитывая, что , перепишем его в следующем виде:

. (4.19)

Обозначим координаты центра масс x_c,y_c,z_c и координаты i-го элемента тела через x_i,y_i,z_i. Тогда .

Воспользовавшись этими равенствами, перепишем выражение (4.19):

.

Суммируя по всем элементам тела, получим

. (4.20)

Согласно материала, изложенного в п. 4.3 о движении центра тяжести твердого тела:

. (4.21)

Подставляя (4.21) в (4.20), находим

.

Такое же равенство найдем и для других составляющих скоростей по осям, откуда следует, что

.

После этого выражение (4.18) примет вид

,

т.е. полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии массы, равной массе всего тела, движущейся вместе с центром масс и кинетической энергии его вращения относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Размещено на Allbest.ru

...