Гидравлические машины

(5.8)

Любые пьезометры, и в частности А и В , по существу являются сообщающимися сосудами, и поэтому поверхности жидкости в них будут находиться в одной горизонтальной плоскости, которая называется плоскостью пьезометрического напора или пьезометрической напорной плоскостью.

Пьезометрический напор характеризует удельную потенциальную энергию жидкости, т.е. энергию отнесенную к весу. Следовательно, удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости определяется гидростатическим (пьезометрическим) напором и, на основании уравнения (5.8), во всех ее точках относительно выбранной плоскости сравнения одинакова.

3) Эпюра давления, сила давления жидкости на дно и стенки сосудов.

Гидростатическое давление распределяется на стенках сосуда с покоящейся жидкостью, подчиняясь основному закону гидростатики, и направлено всегда по внутренней нормали к площадке, на которую это давление действует. Таким образом, для решения задачи о распределении давления на стенке сосуда необходимо определить давление в каждой ее точке с помощью уравнения (5.6) и выбрать направление перпендикулярное к поверхности сосуда в данной точке. В инженерной практике иногда интересно графическое представление распределение давления на стенках сосуда - эпюра гидростатического давления. Для построения эпюры необходимо на контурах сосуда в масштабе отложить величину давления в нужном направлении.

Рис. 5.8

Сила гидростатического давления, действующего на плоскую фигуру любой формы, равна площади этой фигуры, умноженной на соответствующее, гидростатическое давление в центре тяжести этой фигуры. В данном примере все стенки плоские и имеют прямоугольную форму. Центры тяжести потолка и днища находятся соответственно на глубине и , а центры тяжести прямоугольных боковых (левой и правой) стенок на глубине . Зная внешнее давление и плотность жидкости , а также площади отмеченных поверхностей, можем определить величины сил, действующих на них.

(5.9)

4) Закон Архимеда.

Предположим, что вертикальный цилиндр, имеющий высоту , площадь основания и объем , погружен в жидкость со свободной поверхностью (Рис. 5.9). при этом верхнее основание цилиндра погружено на глубину , а нижнее - на глубину . Рассматриваемый цилиндр будет находиться под действием следующих сил гидростатического давления:

- силы , действующей на верхнее основание цилиндра;

- силы , действующей на нижнее основание цилиндра;

- сил гидростатического давления, действующих на вертикальную боковую поверхность цилиндра и направленную нормально к его оси. Последние будут между собой уравновешиваться, так как они равны по величине, и направлены в противоположные стороны.

Сила , нормальная к верхнему основанию цилиндра и равная , будет направлена сверху вниз. Сила , нормальная к нижнему основанию цилиндра и равная , будет действовать снизу вверх. Очевидно, что сила будет стремиться погрузить тело в жидкость, а сила , наоборот, - вытолкнуть тело из жидкости.

Рис. 5.9

Так как >, то > и , следовательно, сила гидростатического давления, действующая на тело, погруженное в жидкость, будет стремиться вытолкнуть его из жидкости. Разность сил и называется выталкивающей силой:

(5.10)

Отмеченное явление сформулировано в законе Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесняемой жидкости.

Следует помнить, что закон Архимеда справедлив в отношении тела любой формы и только для покоящейся жидкости.

5.4 Примеры решения задач гидростатики

Пример 1

Найти абсолютное давление в озере на глубине =4,5 м и выразить его во внесистемных единицах.

Р е ш е н и е. Давление на глубине равно , где на открытой поверхности озера равно атмосферному давлению. Так как:

Па ; кг/м³ ; =9,81 м/с² ; =4,5 м ,

получим

Па (Н/м²) = 1,454 бар = 1,426 кгс/см².

Пример 2

Определить манометрическое давление воды в котле К (рис. 5.10), который расположен в подвальном помещении, если ртутный манометр, находящийся на первом этаже, показывает =500 мм рт. ст., Н=4 м.

Рис. 5.10

Р е ш е н и е. Абсолютное давление в плоскости 0-0 по показаниям ртутного манометра

 Па.

Манометрическое (избыточное) давление в этой плоскости

= Па.

Избыточное давление в плоскости котла К

Па.

Пример 3

Высота воды в сосуде =5 м. Стенка сосуда имеет ширину =1,5 м и наклонена под углом =60⁰ к вертикали. Найти силу давления воды на стенку.

Рис. 5.11

Р е ш е н и е. Давление на уровне воды в сосуде . Давление на уровне дна сосуда . Так как давление изменяется с высотой по линейному закону, то среднее давление

Площадь стенки . По закону Паскаля сила давления

1887375 Н1887 кН

Пример 4

Пробка плавает в баке с керосином. Какая часть объема пробки погружена в керосин? Плотность пробки =кг/м³, керосина кг/м³.

Рис.5.12

Р е ш е н и е. Так как пробка плавает (находится в равновесии), то выталкивающая сила , действующая на пробку, равна силе тяжести , где - объем, погруженный в керосин, - полный объем пробки:

= .

Отсюда

=0,25.

Пример 5

Определить силу Р_В, действующую на поршень В, если к поршню А приложена сила Р_А =50 Н. Диаметр мм, а =0,1 м.

Рис. 5.13

Р е ш е н и е. Давление под поршнями А и В одинаково согласно закону о сообщающихся сосудах . Из приведенной пропорции следует: , где и площади соответствующих поршней, которые относятся как квадраты диаметров.

Таким образом Н или 127,4 кгс.

Пример 6

К закрытому резервуару на одном уровне подсоединены U-образный ртутный манометр, нуль шкалы которого относительно места измерения расположен на высоте Н и трубка показания уровня (водомерное стекло). По показаниям U-образного манометра , и трубки уровня определить избыточное давление над поверхностью воды, т.е. определить показание механического манометра под крышкой резервуара (Рис. 5.14).

Р е ш е н и е.

Уравнение равновесия жидкости в U-образном манометре начнем составлять с той точки, где давление известно. Такой точкой можем считать точку 1 в открытой трубке манометра на уровне поверхности ртути. Избыточное давление в этой точке равно нулю т.к. . Вторую точку выбираем на уровне раздела сред соседней ветви. Применяем основное уравнение гидростатики:

.

Третью точку берем в левой ветви нанометра на линии раздела сред. Из закона о сообщающихся сосудах следует, что .

Рис. 5 14

Давление в точке 4 в левой ветви манометра на уровне нуля шкалы будет меньше, чем в точке 3 на величину обусловленную высотой столба воды

.

Из закона о сообщающихся сосудах находим .

Давление в точке 6, где выполняется измерение, будет больше, чем в точке 5 на величину обусловленную высотой столба воды Н, т.е.

.

Т.к. в точке присоединения водомерного стекла давление известно и равно давлению в токе 6, находим давление в точке 7, расположенной на уровне воды в закрытом резервуаре.

.

Избыточное давление можно приравнять , так как давление столба воздуха над водой пренебрежимо мало по сравнению со столбами капельных жидкостей.

.

Окончательно:

Пример 7

Pм, ат	, м	,	, кг/м3	,мм.рт.ст	, Па	, Па
0,2	2	4	1000	?	?	?

Найти силу , действующую на прямоугольную стенку 1-2, если размер бака по нормали к чертежу м.

Р е ш е н и е.

=0,2 кг/см²

Па

= Па

Па

м.

Среднее давление (давление в центре тяжести стенки) равно

Па,

м²,

Н или кН (-39484 кгс)

Т.к. давление в центре тяжести отрицательное - сила направлена во внутрь бака

6. Основные понятия кинематики жидкости

6.1 Классификация движения жидкости

Отмеченные в подзаголовке вопросы рассматривает раздел гидравлики - кинематика жидкости. Этот раздел описывает и изучает движение жидкости без исследования причин, вызывающих это движение.

Нестационарное (неустановившееся) движение - движение, при котором скорость давление и заглубление в рассматриваемой точке потока изменяются во времени.

; ; .

Нестационарное движение жидкости наиболее распространенное и наиболее сложное движение в природе и технике. Например, истечение жидкости из бака через отверстие при переменном ее уровня в баке.

Стационарное (установившееся) движение - движение, при котором все гидравлические характеристики постоянные во времени. Стационарное движение является частным случаем нестационарного движения.

; ; .

Такое движение часто встречается в инженерной практике. Например, истечение жидкости из бака через отверстие при постоянном ее уровня в баке.

Стационарное движение, в свою очередь, можно разделить на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение - движение, при котором скорости и давления, а также их распределение поперек потока не изменяются вдоль потока. Примером может быть движение жидкости вдоль трубопровода или канала постоянного поперечного сечения при постоянной глубине.

Неравномерное движение - движение, при котором скорость и давление, а также их распределение в поперечном сечении вдоль потока не постоянны, хотя во времени не изменяются. Примером может служить движение жидкости вдоль канала переменного сечения.

В зависимости от сил, обусловливающих движение жидкости и наличия поверхностей, ограничивающих поток, различают напорное и безнапорное движение.

Отличительной особенностью напорного движения является отсутствие свободной поверхности. При напорном движении жидкость со всех сторон ограничена стенками трубопровода.

При безнапорном движении существует свободная поверхность, как, например, в реках, каналах, или частично заполненных поперечных сечениях трубопроводов.

Различают также свободное движение жидкости, не ограниченное со всех сторон, происходящее под действием только массовых сил. Примером такого движения служит истечение жидкости в атмосферу (пожарные струи, фонтаны, водопады и др.).

В зависимости от числа переменных, определяющих положение относительно выбранной системы координат, различают:

одномерное движение жидкости - движение вдоль трубы, шланга и др., где для описания движения достаточно одной независимой переменной - расстояния от принятой системы отсчета;

двухмерное (плоское) движение жидкости - движение, для исследования которого достаточно контролировать две независимые переменные, например в направлениях и скорости и для каждой точки потока.

трехмерное (пространственное) движение жидкости - движение, для исследования которого необходимо контролировать три независимые переменные и соответственно три составляющие скорости , и в каждой точке потока.

Различают два принципиально разных аналитических метода исследования движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает движение фиксированных частиц жидкости в течение времени , за которое эти частицы, двигаясь по своим траекториям, проходят всю рассматриваемую область.

Метод Эйлера изучает движение жидкости в фиксированных (неподвижных) точках области течения. Согласно Эйлеру, поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства.

6.2 Понятие струйного движения. Живое сечение, расход жидкости и средняя скорость. Уравнение неразрывности

гидравлика жидкость гидростатика

След движения отдельной частицы жидкости в пространстве называют траекторией движения жидкой частицы. Таким образом при изучении движения жидкости по методу Лагранжа рассматривается траектория движения отдельной частицы жидкости. Если в поле скоростей через ряд точек провести кривую (Рис. 6.1) таким образом, чтобы к ней были касательные векторы скоростей частиц жидкости в каждой точке, то получим линию, характеризующую направление движения ряда последовательно расположенных частиц в данный момент времени, называемую линией тока.

Рис. 6.1

При установившемся движении линии тока и траектории движения жидких частиц совпадают. При неустановившемся движении линии тока не совпадают с траекториями, так как с течением времени будут изменяться направление и величина скорости движения отдельных частиц. Отличие траектории от линии тока в том, что траектория - это путь (геометрическое место точек) одной частицы за некоторое время, а линия тока связывает ряд частиц в данный момент времени.

Если через все точки бесконечно малого замкнутого контура (Рис. 6.2) провести линии тока, то они образуют трубчатую непроницаемую поверхность, которую называют трубкой тока.

Рис. 6.2

Жидкость, протекающую по трубке тока, называют элементарной струйкой.

При решении многих задач практической гидродинамики делается предположение о том, что поток движущейся жидкости состоит из отдельных элементарных струек, не меняющих своей формы. Таким образом, поток мысленно разбивается на ряд элементарных струек, как схематично показано на рис. 6.3, и будет рассматриваться нами как их совокупность.

Рис. 6.3

Площадь поперечного сечения струйки жидкости, перпендикулярного ее внутренним линиям тока, обозначаемая на рис. 6.4 через , называется площадью живого сечения струйки. Так как площадь поперечного сечения струйки бесконечно мала, можно считать, что все частицы жидкости в этом сечении имеют одинаковую скорость .

Рис. 6.4

Если через какую-нибудь точку потока нормально линиям тока провести поверхность , то получим сечение , заключенное в пределах потока. Это сечение также называется живым сечением, но уже живым сечением потока.

Если в струйке площадью скорости движения по отдельным линиям тока одинаковы, то в единицу времени по струйке протекает определенное количество жидкости, измеряемое произведением площади ее живого сечения на скорость движения. Это количество жидкости называют элементарным расходом.

Расход потока равен сумме элементарных расходов струй, пересекающих живое сечение потока:

 (6.1)

Закон распределения скорости по живому сечению на известен, поэтому проинтегрировать уравнение расхода (6.1) не представляется возможным. Для решения задачи используем понятие о средней скорости потока в рассматриваемом живом сечении. В соответствии с этим понятием примем, что все частицы движутся с одинаковой средней скоростью . Тогда в уравнении (6.1) можно заменить переменную скорость постоянной средней скоростью :

. (6.2)

Из зависимости (6.2) может быть получено выражение для средней скорости в таком виде:

(6.3)

Следовательно, средняя скорость потока в рассматриваемом живом сечении есть частное от деления расхода потока на площадь его живого сечения.

Используя свойства элементарной струйки (непроницаемость поверхности и сохранение формы во времени) выведем для нее уравнение неразрывности.



Рис. 6.5

Сечениями 1-1 и 2-2 выделен некоторый объем жидкости (Рис. 6.5). за время указанные сечения переместятся в положение 1¹ 1¹ и 2¹-2¹. учитывая, что приток жидкости через поверхность струйки невозможен и что жидкость несжимаема и движется сплошной массой (без пустот),можно утверждать, что объемы жидкости 1-1¹ и 2-2¹ (заштрихованные участки) равны. Каждый из указанных объемов вычисляем как объем цилиндров.

(6.4)

После сокращения на получим:

(6.5)

Подобные соотношения можно составить для любых двух сечений струйки, поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки справедливо:

(6.6)

Уравнение (6.6) называется уравнением неразрывности для элементарной струйки. Переходя к потоку в целом и используя понятие средней скорости, получим уравнение неразрывности для потока:

(6.7)

Из уравнения (6.7) следует, что:

, (6.8)

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площадям этих сечений.

7. Основные понятия гидродинамики

7.1 Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из дифференциальных уравнений равновесия покоящейся жидкости (5.1), приведенных в разделе 5.2 (Основное уравнение гидростатики). Эти уравнения отнесены к единице массы. Поэтому, для описания равновесия движущейся жидкости, к уравнениям (5.1) надо добавить силы инерции, также отнесенные к единице массы.

Силы инерции следует определять в виде произведения массы элемента жидкости на ускорения по координатным осям:; ; , где знак «минус» показывает, что силы инерции направлены в сторону, противоположную движению.

Разделив силы инерции на и добавив в уравнения (5.1) получим уравнения движения идеальной жидкости в форме, предложенной Л.Эйлером (1755 г.):

;

; (7,1)

7.2 Уравнение Бернулли, его энергетический и геометрический смысл

Если массовой силой является только сила тяжести, интеграл уравнения Эйлера можно представить в виде

, (7,2)

что является уравнением Бернулли для идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли характеризует удельную энергию жидкости. Оно имеет энергетический и геометрический смысл. Первый член уравнения - характеризует удельную потенциальную энергию положения, второй - - удельную потенциальную энергию давления, третий - - удельную кинетическую энергию. Так как удельная энергия жидкости имеет размерность напора, члены уравнения Бернулли, можно представить как: -геометрический напор, - пьезометрический напор, - скоростной напор.

Уравнение Бернулли можно записать для любых сечений струйки идеальной жидкости

(7,3)

7.3 Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. Потери напора

Так как при движении реальной (вязкой) жидкости неизбежны потери энергии то к уравнению (7.3) необходимо, для восстановления баланса энергии, добавить член, учитывающий эти потери. Тогда для элементарной трубки реальной жидкости можно записать:

, (7.4)

где -потеря напора, обусловленная наличием сил вязкого трения.

Потери напора могут быть определены как

(7.5)

Для потока реальной жидкости необходимо учитывать неравномерность распределения скорости в живом сечении, вводя среднюю по сечению скорость и неравномерность распределения по этому сечению кинетической энергии:

, (7.6)

где коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения кинетической энергии. При решении инженерных задач движения жидкости в трубопроводах обычно принимают . Потери напора в потоке представлены в виде , где учитываются потери, обусловленные различными причинами (расширением, сужением, поворотом потока и др.).

Различают линейные потери напора по длине трубопровода, обусловленные силами трения, вычисляемые по формуле Дарси-Вейсбаха

, (7.7)

и местные потери напора, обусловленные внезапным расширением, сужением, поворотом потока и др., вычисляемые по формуле Вейсбаха

(7.8)

В этих формулах: -коэффициент жидкостного трения Дарси; , -соответственно длина и диаметр исследуемого участка трубопровода; - коэффициент местного сопротивления

7.4 Примеры решения задач о движении жидкости без учета потерь напора

Уравнение Бернулли устанавливает связь между давлением и скоростью в движущемся потоке жидкости. Написанное для двух поперечных сечений без учета гидравлических потерь напора, оно имеет вид:

- геометрический напор, определяющий высоту положения частицы над какой-либо плоскостью сравнения 0 - 0, м; - пьезометрический напор, м; динамический (скоростной) напор, м.

Пример 1.

Вдоль горизонтальной трубы переменного сечения движется установившийся поток воды. Зная , что в сечении, где скорость =1,5 м/с, давление равно 700 мм рт. ст., найти давление в сечении, где площадь живого сечения удваивается. Потерями напора пренебречь, и считать, что . Для ртути и воды соответственно 13600 кг/м³ и 1000 кг/м³.

	Дано: =1,5 м/с; 700 мм рт. ст. Найти:

Решение:

Для рассматриваемых сечений составим уравнение Бернулли в общем виде:

.

Так как труба горизонтальна, плоскость сравнения проводим через ось трубы и - уравнение упростится:

,

откуда давление

.

Неизвестную скорость найдем, используя уравнение неразрывности

или .

По условию задачи , следовательно

м/с

Переведем величину давления в системную

Н/м².

Давление во втором сечении

Н/м²кПа.

Пример 2.

Для определения расхода воды установили расходомер Вентури следующих геометрических размеров: мм., мм. Определить расход воды, если разность уровней ртути в -образном манометре равна 40 мм. Гидравлическими потерями пренебречь.

	мм. мм. -------------------------------------- Найти

Решение:

Уравнение Бернулли написанное для сечений 1 - 1 и 2 - 2 при плоскости сравнения 0 - 0:

Учитывая, что , перепишем уравнение в следующем виде:

.

Считая распределение скоростей равномерным, запишем уравнение расхода:

Откуда

.

Решая совместно уравнение Бернулли и уравнение равенства расходов относительно скорости , получим:

.

По показанию дифференциального ртутного манометра

Па

Теоретический расход жидкости через расходомер

м³/с.

Пример 3.

Из бака через трубопровод переменного сечения выливается вода. Уровень воды в баке =2 м., на свободной поверхности разрежение составляет 73,5 мм.рт.ст. Диаметры трубы соответственно равны = 75 мм. = 125 мм. Определить средние скорости на разных участках трубопровода и расход воды.

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для сечения 1-1 на поверхности воды, где известны скорость = 0 и давление = и 2-2 в конце трубопровода, где известно давление = 0. Плоскость сравнения выбираем по оси трубопровода.

.

Из анализа рисунка следует: , .

Подставим в уравнение известные величины;

, откуда .

Выразим в системных единицах

= =9806,076 Па.

Тогда

=м/с.

Из уравнения неразрывности имеем;

,

откуда== 12,3 м/с.

Размещено на Allbest.ru

...