Расчет импульса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет импульса

Снаряд летит по параболе и в верхней точки траектории разрывается на две равные части. Одна половина снаряда упала вертикально вниз, другая - на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Определить скорость снаряда перед разрывом, если взрыв произошел на высоте H и упавшая по вертикали вниз половина снаряда падала время . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

закон сохранения импульса для системы тел снаряд-осколки:

МV_x = - mv_0y + (mv_0y + mv_x) => V_x = (m/M) v_x

равноускоренное падение вертикально падающего осколка:

H = v_0y - g²/2 => v_0y = (H + g²/2)/

полет другого осколка до максимума его траектории:

0 = v_0y - gt_up => t_up = v_0y/g

h = v_0yt_up - gt_up²/2 => h = v_0y² / (2g)

падение этого осколка на землю:

H+ h = gt_down²/2 => t_down = [(2H+ v_0y² / g)/g]^1/2

путь вдоль горизонтальной оси, пройденный этим осколком:

S = v_x(t_up + t_down) => v_x = S/(t_up + t_down)

V_x = (m/M)S/((H + g²/2)/(g) + [{2H + (H + g²/2)²/(g²)}/g]^1/2)

Снаряд вылетает из орудия под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. В верхней точке траектории снаряд разрывается на две равные части, причем скорости частей непосредственно после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна половина упала на расстоянии s от орудия по направлению выстрела. Определить место падения второй, если известно, что она упала дальше первой. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

дальность полета неразорвавшегося снаряда:

L = v_0xt_fly = v₀cost_fly

полное время полета неразорвавшегося снаряда:

v_0y = gt_fly/2 => t_fly = 2v_0y/g

центр масс системы двух осколков и центр массы неразорвавшегося снаряда совпадают:

ML=m (L-s)+m(L+s`) => L+s` = [ML-m (L-s)]/m=L+s

L+s` = s + v₀²sin2/g

Поезд массой М шел равномерно по горизонтальному пути. От поезда отцепился последний вагон массой m. В момент, когда вагон остановился, расстояние между ним и поездом равнялось s. Какой путь l прошел вагон до остановки? Сопротивление движению пропорционально весу и не зависит от скорости движения.

Ответ

II закон Ньютона для поезда до момента отделения вагона:

MA₀ = F_тяги-F_трения(gM) = 0; F_тягиУ = const=вgM

II закон Ньютона для вагона и поезда после разделения:

ma = - F_трения(gm) = -вgm => a=вg

(M-m)A=F_тяги - F_трения(gM-gm) = вgM - вg(M-m)= вgm => A=вgm/(M-m)

равнозамедленное и равноускоренное движение для вагона и поезда после разделения:

l=v₀t-at²/2; L= v₀t+At²/2; s=L-l=(A+a) t²/2

=> t² = 2s/(A+a) => (v₀/a)² = 2s/(A+a)

0=v₀-at => l=v₀²/(2a); t=v₀/a => t² =(v₀/a)²

l = v₀²/(2a) = sa/(A+a)=s(1-m/M)

Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние s переместится лодка длиной L, если масса человека m, а масса лодки М. Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ

из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для m и M => 0 и ?:

s ~ Lm/(M+m)

закон сохранения импульса:

mv = (M+m)V

кинематические связи:

v = L/t; V = s/t

s = Lm/(M+m)

Три лодки одинаковой массы M движутся по инерции друг за другом с одинаковой скоростью v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой m со скоростью u относительно лодок. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ

из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев

для u, v, m, M => 0 и ?:

v`<sub>2</sub> ~ v; v`_1;3 ~ vM/(M + m) ± um/(M + m)

закон сохранения импульса:

(M + 2m)v = + mu - mu + Mv`<sub>2;</sub> Mv ± mu = (M+m) v`_1;3

v`₂ = v

v`_1;3 = vM/(M + m) ± um/(M + m)

Две лодки движутся по инерции параллельными курсами навстречу друг другу. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую переложили груз массой m. После этого лодка, в которую переложили груз, остановилась, а другая продолжала двигаться со скоростью V. С какими скоростями двигались лодки до встречи, если масса лодки, в которую переложили груз, составляет М₂.

скорость полет снаряд импульс

Ответ

законы сохранения импульса и энергии для системы тел «груз-первая лодка»:

(m + M₁)V₁ = M₁V + mu ¦=> V₁= V

(m+M₁) V₁² = M₁V² + mu² ¦=> u=V

закон сохранения импульса для системы тел «груз-вторая лодка»:

mV = M₂V₂

|V₁|=V; |V₂|=Vm/M₂

Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью v, разорвалось на две части. Массы осколков равны m₁ и m₂. Скорость меньшего осколка равна v₂. Определить скорость и направление движения большего осколка.

Ответ

Закон сохранения импульса для системы тел «осколки - ядро»

m₁v₁ + m₂ v₂ = (m₁ + m₂)v

v₁ = ((m₁ + m₂)v - m₂ v₂)/m₁

По горизонтальным рельсам со скоростью v движется платформа массой М. На нее вертикально падает камень массой m и движется в дальнейшем вместе с платформой. Через некоторое время в платформе открывается люк, и камень проваливается вниз. С какой скоростью движется после этого платформа? Трением между платформой и рельсами пренебречь.

Ответ

из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для v, m, M => 0 и ?:

v` ~ v(1 - m/(M + m)) v``~ v`(1 + m/M) - v`m/M = v`

закон сохранения импульса для системы «платформа + груз»:

v`(M + m) = vM => v`= vM/(M + m)

законы сохранения импульса и энергии для системы «платформа - груз»:

v``M + u`m = v`(M+m) ¦=> v`` = v`

(v``)²M + (u`)<sup>2</sup>m = (v`)²(M+m) ¦=> u` = v`

v``= vM/(M + m)

С бронированной железнодорожной платформы общей массы М, движущейся со скоростью u, производится выстрел из пушки. Снаряд массой m вылетает из орудия со скоростью v. Какова будет скорость платформы после выстрела?

Ответ

из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для u, v, m, M => 0 и ?:

u` ~ u(1 + m/(M - m)) ± vm/(M - m)

закон сохранения импульса для системы «платформа - снаряд»:

(M-m)u` ± mv = Mu

u`= (Mu ± mv)/(M - m)

Ракета, масса которой вместе с зарядом М, взлетает вертикально вверх и достигает высоты Н. Определить скорость истечения газов из ракеты, если сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда m.

Ответ

закон сохранения импульса для системы «ракета - газ»:

mu = (M-m)V

закон сохранения энергии для ракеты:

(M-m)V²/2 = g(M-m)H

u =V(M - m)/m

Навстречу платформе массой М, груженной песком и движущейся со скоростью v, по гладкому наклонному желобу соскальзывает без начальной скорости чье-то тело массой m. Длина желоба l, угол наклона к горизонту . Определить скорость платформы после падения на нее тела.

Ответ

из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для u_x, v, m, M => 0 и ?:

V ~ v(1 - m/(M + m)) - u_xm/(M + m)

закон сохранения импульса для системы «платформа - груз»:

(M + m)V=Mv - mu_x => V= (Mv - mu_x)/(M + m)

закон сохранения энергии для груза:

u²/2 = gH = gLsin; u_x = ucos

V = (Mv - mcos(2gLsin)^1/2)/(M + m)

Тело, масса которого М, стояло на горизонтальной поверхности. В него попала пуля, массой m и застряла в нем. Скорость пули направлена горизонтально и равна v. Какой путь s пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью .

Ответ

1) кинематические соотношения:

s = Vt - at²/2

0 = V - at ¦=> s = V²/(2g)

a = F_тр/m = g ¦

2) закон сохранения импульса для системы тел «мишень + пуля»

(M + m)V = mv => V = vm/(M + m)

s = [v²/(2g)]m/(M + m)

Размещено на Allbest.ru