Динамика поступательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика поступательного движения

2.1.1. С каким ускорением a должен ехать грузовик, чтобы бревно и трос, которым оно привязана к грузовику, составляли прямую линию (см. рис.)? Длина бревна L, а каната b. Трос привязан к грузовику на высоте h от поверхности земли.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для угла между бревном и землей ц > 0; ? :

a ~ g·ctgц = g·[(L+b)2/h2-1]1/2

2) второй закон Ньютона в проекциях на вертикальное и горизонтальное направление:

2Y) g·m = N+T·sinц ¦=> g/a =N/(T·cosц) + tgц

2X) a·m = T·cosц ¦

3) закон сохранения момента импульса относительно «точки подвеса» бревна:

N·cosц·L = g·m·cosц·L/2 => N = g·m/2

4) условие постоянства силы натяжения троса:

N·sinц+T = gm·sinц => T = (gm - N)·sinц => 2Y) => N(1-sinц)=0

Ответ: a = g·ctgц <= N=0

a = 0 <= ц=р/2

2.1.2. С вершины холма высотой h = 5 м начинает двигаться без начальной скорости чье-то тело. Какую скорость будет иметь тело у основания и сколько времени продлится движение вдоль прямого наклонного склона, длина которого L = 10 м, если коэффициент трения между телом и поверхностью составляет м = 0,2?

1) второй закон Ньютона в проекциях на направления вдоль склона и на перпендикулярное к нему направление:

m·a = m·g·sinц - Fтр; Fтр=м·N ¦=> a = g·(sinц - м·cosц)

0 = m·g·cosц - N ¦

2) частный случай основного уравнения кинематики:

L = a·t2/2 ¦=> v = (2·a·L)1/2

v = a·t ¦ t = (2·L/a)1/2

Ответ: v = (2·a·L)1/2; t = (2·L/a)1/2

2.1.3. По тросу, составляющему с горизонтом угол ц, с третьего этажа спускается без трения блок, к которому подвешено цилиндрическое ведро с водой. Глубина воды в ведре равна h. Каково давление на дно ведра во время движения?

0 = g·M·cosц - N => N = g·с·h·S·cosц; S - площадь дна ведра; с - плотность воды;

P = N/S = с·g·h·cosц

Ответ: P = с·g·h·cosц

2.1.4. Некоторое тело начинает движение с начальной скоростью хо вверх по наклонному участку дороги. Наклонный участок составляет с горизонтом угол ц. Коэффициент трения между телом в таком состоянии и дорогой равен м. Через какой промежуток времени тело вернется в точку, из которой оно начало свой тяжелый подъем?

1) закон сохранения энергии для «подъема» и «спуска»:

m·хo2/2 = m·g·h + м·g·m·cosц·L => хo2/2 = L·g ·(sinц + м·cosц)

m·х12/2 = m·g·h - м·g·m·cosц·L => х12/2 = L·g ·(sinц - м·cosц) =>

х1 = хo·[(sinц - м·cosц)/(sinц + м·cosц)]1/2

2) времена подъема и спуска из кинематических соотношений:

t^ = хo/[g·(sinц + м·cosц)]

tv = х1/[g·(sinц - м·cosц)]

t = t^ + tv = хo/{g·(sinц + м·cosц)} + хo/{g·[(sinц - м·cosц)·(sinц + м·cosц)]1/2}

Ответ: х1 = хo·[(sinц - м·cosц)/(sinц + м·cosц)]1/2

t = хo/{g·(sinц + м·cosц)} + хo/{g·[(sinц - м·cosц)·(sinц + м·cosц)]1/2}

2.1.5. На наклонном участке дороги, образующем угол ц с горизонтом, находится бак со спиртом массой М. С какой силой F, параллельной наклонной плоскости, нужно двигать бак, для того чтобы поверхность спирта в баке была параллельна наклонной плоскости? Коэффициент трения между дном бака и дорогой равен м.

Сила F должна скомпенсировать ускорение, вызванное равнодействующей сил тяжести и трения. Второй закон Ньютона в проекции на ось, параллельную наклонной плоскости:

0 = M·a = M·g(sinц-м·cosц)+F => F = - M·g(sinц-м·cosц)

Ответ: F = - M·g(sinц-м·cosц)

2.1.6. По склону горы на веревке длиной L = 50 м спускают сани массой m = 60 кг. Высота горы h = 10 м. Определить силу натяжения веревки T, считая ее постоянной, если сани у основания горы имеют скорость х = 5 м/сек, а сила трения f составляет 10% от силы тяжести, действующей на сани. Начальная скорость саней равна нулю.

Закон сохранения энергии:

m·g·h = m·х2/2 + f·L + T·L

Ответ: T = m·g·h/L - m·х2/(2·L) - f

2.1.7. На тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, установлен стержень с подвешенным на нити шариком. Найти натяжение нити Т, если шарик имеет массу m = 2 г. Плоскость составляет с горизонтом угол ц = 600.

Второй закон Ньютона в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:

m·a = g·m·sinц

0 = g·m·cosц - T

Ответ: T = g·m·cosц

2.1.8. На наклонном участке дороги упало тело массой m = 50 кг, на которое действует горизонтально направленная сила F = 294 Н. Определить ускорение тела и силу, с которой оно давит на дорогу. Дорога составляет с горизонтом угол ц = 300. Трение не учитывать.

Второй закон Ньютона в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:

m·a = g·m·sinц - F·cosц

0 = g·m·cosц + F·sinц - N

Ответ: a = g·sinц - (F/m)·cosц

2.1.9. Доска, имеющая массу М, может двигаться без трения по наклонной плоскости, образующей угол ц с горизонтом. В каком направлении и с каким ускорением а должен бежать по доске человек массой m, чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?

0 = g·(M + m)·sinц - F

m·a = F

Ответ: a = g·[(M+m)/m]·sinц

2.1.10. Два тела связаны легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, установленный на наклонной плоскости (см. рис.). Найти ускорение, с которым будут двигаться эти тела. Трением можно пренебречь. Массы тел равны m = 10 г и М = 15 г. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол ц = 300.

ньютон масса тело

m·a = g·m - T

- M·a = - T + g·M·sinц

Ответ: a = g·(m - M·sinц)/(M + m)

2.1.11. На наклонной плоскости, образующей угол ц с горизонтом, стоит кубик массой m. Наклонная плоскость находится в лифте, движущемся с ускорением а, направленным вверх. Определить силу нормального давления кубика на плоскость. При каких значениях коэффициента трения м между кубиком и плоскостью кубик не будет соскальзывать вниз?

m·A = m·(g + a)·(sinц - м·cosц)

0 = N - (g + a)·m·cosц

Ответ: N = (g + a)·m·cosц

м = tgц

2.1.12. Шар массы М лежит в ящике, который соскальзывает без трения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол ц. Определить силы, с которыми шар давит на переднюю стенку и на дно ящика.

Закон сохранения энергии в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:

M·a = g·M·sinц - Nстенки => Nстенки = 0,

т.к. ящик движется с тем же ускорением, что и шар;

0 = Nдна - g·M·cosц => Nдна = g·M·cosц

Ответ: Nстенки = 0

Nдна = g·M·cosц

Контр.:

Груз массы m связан легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массы m1. Груз m1 связан легкой нерастяжимой нитью с грузом m2. Грузы m1 и m2 установлены на наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту равен ц. Грузы имеют массы m1, m2 и m. Их начальные скорости равны нулю. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен м. Чему равны натяжения нитей Т и Т12, связывающих грузы между собой.

Второй закон Ньютона:

a·m1 = g·m1·(sinц - м·cosц) - T12

a·m2 = g·m2·(sinц - м·cosц) + T12 - T

a·m = - g·m + T

Расчетная часть:

a·m1 + T12 = g·m1·(sinц - м·cosц) = A

a·m2 + T - T12 = g·m2·(sinц - м·cosц) = B

a·m - T = - g·m = C

Д = ¦ m1 0 1 ¦ = - m2 -m - m1

¦ m2 1 -1 ¦

¦ m -1 0 ¦

ДT = ¦ m1 A 1 ¦ = C·m2 - A·m - B·m + C·m1 = C·(m1 + m2) - m·(A + B)

¦ m2 B -1 ¦

¦ m C 0 ¦

ДT12 = ¦ m1 0 A ¦ = C·m1 - A·m2 - A·m + B·m1 = - A·(m + m2) + m1·(C + B)

¦ m2 1 B ¦

¦ m -1 C ¦

Ответ: T = g·m·(m1 + m2)·(1 + sinц - м·cosц)/(m + m1 + m2)

T12 = g·(sinц - м·cosц + 1)·m·m1/(m + m1 + m2)

Размещено на Allbest.ru