Физика колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность темы исследования.

Колебания - один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения - колебания почвы, приливы и отливы - изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета.

Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Специальный раздел физики - теория колебаний - занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судо- и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

По окончании школы многие выпускники часто выбирают физику на сдачу единого государственного экзамена, и как показывает практика в банке экзаменационных заданий часто можно встретиться с задачами на гармонические колебания. Поэтому знания о гармонических колебаниях важны как для простого обывателя, так и для выпускника средней школы.

Объект исследования работы - механические колебания.

Предмет исследования - Параметры и характеристики механических колебаний.

Цель работы: Осмыслить физические основы гармонических колебаний, на практике исследовать основные характеристики механические колебания, изучить процессы, происходящих при колебаниях. Найти взаимосвязь характеристик и параметров механических колебаний в реальных колебательных системах.

Для решения цели работы ставим следующие задачи:

1. Проанализировать материал по данной теме.

2. Изучить теорию гармонических колебаний.

3. Рассмотреть взаимосвязь характеристик и параметров колебаний.

4. Проверить на практике взаимосвязь характеристик и параметров колебательных систем.

5. Составить методическое пособие для подготовки школьников к решению задач части С на гармонические колебания.

Гипотеза: Для получения основных характеристик реальных колебательных систем можно воспользоваться формулой для периода колебаний, которые происходят под действием квазиупругих сил.

Методы исследования:

1. Теоретические (описательный, наблюдение, сравнение, анализ, систематизация).

2. Эмпирический (практические опыт по измерению характеристик и параметров колебательной системы).

3. Математический (расчёт основных параметров колебаний с помощью формул, вывод расчётных формул).

Исследования проводились на базе гимназии №8.

Практическая значимость: Данную работу можно использовать на уроках физики в профильном уровне при изучении темы гармонических колебаний. Работа расширяет познания учащихся по теме, даёт возможность, используя данный метод, достаточно просто решать задачи повышенного уровня (часть С в ЕГЭ, олимпиадные задачи) на тему гармонических колебаний.



1. Теоретическая часть.

1.1 Колебательное движение и его характеристики

Механические колебания - это повторяющееся движение, при котором тело многократно проходит одно и то же положение в пространстве. Различают периодические и непериодические колебания. Периодическими называют колебания, при которых координата и другие характеристики тела описываются периодическими функциями времени.

Примерами механических колебаний могут служить движение шара на пружине, на нити, движение ножек звучащего камертона или молекул воздуха вблизи него.

В физике рассматривают и другие колебания - процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени (например, электромагнитные колебания.)

Колебания можно классифицировать по условиям возникновения (свободные, вынужденные, автоколебания) и по характеру изменения во времени кинематических характеристик (пилообразные, гармонические, затухающие).

колебание свободный вынужденный трубка

Тип колебаний	Каковы условия возникновения колебаний	Чем определяется период колебаний	Чем определяется амплитуда колебаний
Свободные	Колебательная система (КС) при наличии первоначального запаса энергии	Собственными параметрами КС.	Начальными условиями
Вынужденные	Любая система при наличии внешнего, периодически изменяющегося воздействия	Частотой внешнего, периодически изменяющегося воздействия	Амплитудой внешнего воздействия, соотношением частот, диссипативными потерями энергии
Автоколебания	Автоколебательная система (АКС) при наличии внешнего источника энергии	Собственными параметрами КС	Параметрами АКС (её нелинейностью)
Параметрические	Колебательная система (КС) при периодически изменяющихся параметрах КС	Собственными параметрами КС	Соотношением частоты изменения параметров КС с её собственной частотой

Для описания кинематических характеристик используют аналитическую зависимость характеристики, например координаты или скорости отвремени и графическое представление этой функции (рис. 2): а) сложной формы, б) прямоугольная, в) пилообразные, г) гармонические, е) нарастающее.

Наиболее общими характеристиками колебаний являются следующие физические величины:

А - амплитуда колебаний наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия (отклонение величины от ее среднего значения);

Т - период колебаний

Время, через которое движение тела полностью повторяется (повторяются все кинематические характеристики колебаний), т.е. совершается одно полное колебание;

v - частота колебаний, величина, показывающая число колебаний, совершаемых за 1 с.

Вместо частоты v чаще пользуются понятием циклической частоты w.

Циклическая частота w - это число колебаний, совершаемых за 2 секунд. Частота обратно пропорциональнапериоду:

В СИ (интернациональная система) период Т выражается секундах (c), частота v в герцах (Гц), циклическаячастота w - в обратных секундах (с-¹).

Единица амплитуды колебаний зависит от того, какая колеблющаяся физическая величина рассматривается.

Для сравнения колебаний, происходящих с одной частотой, но различающихся потому, какую стадию полного колебания проходит тело, вводят понятие фазы колебаний.

Если два шарика на нитях одинаковой длины отвести от положения равновесия вправо и отпустить, то они будут колебаться в фазе (синфазно, синхронно), если их развести в разные стороны, то колебания будут происходить в противофазе.

1.2 Уравнение гармонических колебаний

Гармонические колебания - колебания, при которых физическая величина, характеризующая эти колебания, изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону

x = A sin (wt + ₀),

где x - значение колеблющейся величины в момент времени t, A - амплитуда колебаний, w - циклическая (или круговая) частота, (wt + ₀) - фаза гармонических колебаний, ₀ - начальная фаза.

Графиком гармонических колебаний является синусоида (рис. 3).

Выбор начальной фазы позволяет при описании гармонических колебаний перейти от функции синуса к функции косинуса.

Уравнение, описывающее гармонические колебания, имеет вид

a + w²x = 0, или х^''+wІx=0

где a - ускорение, - циклическая частота, а - координата колеблющегося тела.



1.3 Модели свободных колебаний

Если колебания совершаются в системе за счет первоначально сообщенной энергии, то они называются свободными. Примером таких систем являются модели колеблющихся тел: математический маятник и пружинный.

Математический маятник - колеблющаяся материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. К этой модели ближе всего массивное тело (шар), размер (диаметр) которого много меньше длины нити. Если его отклонить от положения равновесия, увеличив при этом потенциальную энергию системы «шар-нить», то будут наблюдаться колебательные движения этой системы. Колебательное движение системы «шар-нить» будет наблюдаться и в том случае, если шару сообщить кинетическую энергию, т.е. заставить его двигаться.

Рассмотрев малые колебания математического маятника (рис. 4), при которых отклонение его от положения равновесия х можно получить выражение для периода его колебаний.

В любой момент времени для этой системы выполняется закон сохранения механической энергии: (t) << L,

Выразив высоту h через координату x по оси OХ (рис. 4, а) и учитывая, что при малых значениях х угол между нитью и вертикалью тоже мал, используем что для такого угла отклонения соотношение sin a a tg a.



Следовательно,

Из закона сохранения энергии получим

Поэтому можно утверждать, что малые колебания математического маятника происходят по гармоническому закону

x = A sin (wt + j₀), где

т.е. с периодом

Точно так же, как материальная точка математического маятника, будет двигаться материальная точка, скользящая по гладкой сфере или цилиндру, радиус которого совпадает с длиной нити математического маятника (рис. 4, б).

Пружинный маятник

По гармоническому закону y колеблется и пружинный маятник, состоящий из грузамассой m и пружины жесткостью k (рис. 5). X = A sin (wt + ₀)

При этом период его колебания равен

Если горизонтальный пружинный маятник колеблется относительно положения равновесия, где пружина не растянута, то вертикальный пружинный маятник колеблется относительно положения равновесия, где ky₀ = mg.

Период и частота свободных гармонических колебаний в обоих случаях определяются только собственными параметрами системы: длиной нити математического маятника или жесткостью пружины и массой груза пружинного маятника, поэтому свободные колебания часто называют собственными колебаниями, а частоту, с которой они происходят, собственной частотой колебаний системы.

1.4 Преобразование энергии при свободных колебаниях

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы, а с ней и амплитуда колебаний (рис. 6, кривая 1) не меняются.

В каждый момент времени сумма потенциальной и кинетической энергий груза, т.е. его полная механическая энергия, остается постоянной:

E_к + E_п = E_мех = const.

Кинетическая и потенциальная энергия при движении тела переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю.

При прохождении положения равновесия, наоборот, потенциальная энергия достигает минимума (обычно ее в этой точке считают равной нулю), а кинетическая энергия (а с ней и скорость, импульс тела) максимальна.

В реальных системах (груз на нити или груз на пружине) работа непотенциальных сил не равна нулю. Энергия системы убывает за счет работы силы трения воздуха, опоры, внутренних сил в подвесе или пружине. Соответственно, убывает и амплитуда колебаний тела (рис. 6, кривая 2). Такие колебания называются затухающими. При большой силе трения запас энергии, полученной системой расходуется уже за время одного колебания, и движение перестает быть периодическим (рис. 6, кривая 3).

1.5 Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Вынужденные колебания - колебания, происходящие под действием меняющейся во времени внешней силы, которая совершает работу. За счет этого энергия колебательной системы увеличивается. Такой процесс можно описывать как процесс притока энергии в систему извне в ходе самих колебаний. Примером систем, в которых происходят вынужденные колебания, являются качели, раскачиваемыечеловеком, груз, висящий на пружине, точку подвеса которой периодическиподнимают и опускают.

Если внешняя сила, действующая на систему, изменяется с течением времени по закону косинуса или синуса, то возникающие в системе вынужденные колебания будут гармоническими. При этом частота вынужденных колебаний будет совпадать

с частотой изменения внешней силы.

Если при вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, то колебания оказываются незатухающими.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется амплитудой колебаний внешней силы, а также соотношением между частотой изменения этой силы и собственной частотой колебательной системы.

При вынужденных колебаниях может наблюдаться явление резкого возрастания амплитуды A вынужденных колебаний системы - резонанс. Это явление возникает тогда, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний этой системы. При этом энергия, поступающая в колебательную систему, также равна потерям энергии за счет работы силы трения, однако баланс энергий наступает при другой амплитуде колебаний.

Резонанс может возникать и тогда, когда частота колебаний вынуждающей силы кратна собственной частоте колебаний системы. Зависимость амплитуды колебаний системы от частоты вынуждающей силы (рис. 7) называется резонансной кривой.

В технике используются устройства, в которых незатухающие колебания поддерживаются за счет энергии источника, автоматически включаемого и выключаемого самой колебательной системой. Момент, когда требуется подать энергию в колеблющуюся систему, отслеживает система обратной связи, которая открывает и закрывает клапан поступления энергии. Такие системы с регулированием поступления энергии за счет обратной связи называются автоколебательными, а сами колебания в таких системах - автоколебаниями.

Примером такой системы могут служить маятниковые часы, где источником энергии является гиря на цепочке, роль обратной связи и «клапана» выполняет анкерный механизм, а автоколебания совершает маятник, который имеет собственную частоту колебаний, равную 1 с.

2. Практическая часть.

В теоретической части мы подробно рассмотрели теорию гармонических колебаний, изучили основные характеристики и параметры колебательных систем.

Задачи практической части работы:

· Рассчитать и измерить период колебаний тел, плавающих в воде.

· Вывести формулу возвращающей силы для реальной колебательной системы, получить формулу периода.

· Измерить параметры колебательной системы, рассчитать период колебаний.

· Сравнить теоретические значения и практические параметры и характеристики колебательной системы.

· Составить методическое пособие для подготовки школьников к решению задач части С по гармоническим колебаниям.

Вывод основной рабочей формулы:

Формула Гюйгенса для периода колебаний математического маятника:

Где - длина подвеса, ? 9,8 м/с²

Формула для периода колебаний, происходящих под действием квазиупругих сил:

Где - масса колеблющегося тела, - коэффициент квазиупругой силы.

Сила называется квазиупругой, если она пропорциональна смещению в первой степени: , при этом коэффициент - .

Система, совершающая малые колебания около положения равновесия, называется гармоническим осциллятором, а сами колебания - собственными. Часто необходимо определить частоту собственных колебаний осциллятора. Это можно сделать по следующей схеме. Рассмотрим шарик на пружине (рис. 10). Он совершает собственные колебания. В положении шарика x в отсутствие сил трения имеем , или, поделив на m, получаем

, .

Это уравнение справедливо для любого гармонического осциллятора, причём коэффициент, стоящий перед x, всегда равен квадрату собственной частоты.

Эти методические подходы позволяют достаточно просто решать задачи на гармонические колебания динамическим способом. Рассмотрим это на следующих примерах.

Пример 1.

Найти частоту собственных вертикальных колебаний льдинки толщиной h. Сопротивление воды считать пренебрежительно малым.

Решение.

Сделаем рисунок, выберем ось координат и начало координат на поверхности воды. Запишем второй закон Ньютона:

.

В проекции на ось ОX:

.

Сила Архимеда равна

,

Где V₀ - объём льдинки, погруженной в жидкость в равновесии, а V_x = xS.

В равновесии . Поэтому проекция на ось OXдаёт

.

Поделив на m получим:

.

Отсюда

.

Пример 2.

Найти частоту собственных колебаний груза массой m, висящего на двух последовательно соединённых пружинах жёсткостью k₁и k₂.

Решение.

Рассмотрим точку M соединения двух пружин. Поскольку она не обладает массой, то сумма сил , то есть , где x₁ и x₂-удлинения соответствующих пружин. Для груза m имеем

.



Так как масса пружины тоже равна нулю, то F₃=F₂. Координата груза x равна . Следовательно, и , а также и . Считая, что , получим следующее уравнение для груза m.

.

Отсюда

, ,

Где .

Пример 3.

Два одинаковых проводящих шарика массами m нанизаны на вертикальный диэлектрический стержень. При этом нижний шарик с зарядом q₁ жёстко закреплён, а верхний с зарядом q₂ может скользить по стержню без трения. Найти частоту малых колебаний верхнего шарика.

Решение

При условии верхний шарик может находиться в устойчивом равновесии, а, следовательно, возможны его колебания около этого положения равновесия:

. (1)

Условие применимости закона Кулона (приближения точечных зарядов) теперь таково , R - радиус шариков. Выберем начало координат в положении равновесия подвижного (верхнего) шарика. Пусть теперь верхний шарик сместился от положения равновесия на x. Тогда, согласно второму закону Ньютона имеем:

. (2)

Условием малости колебаний является условие , поэтому далее сделаем следующие преобразования:

. (3)

Подставляя последнее выражение (3) в (2) и учитывая равенство (1), получим:

. (4)

Обозначив коэффициент при x буквой K, получим уравнение гармонических колебаний

, , (5)

С частотой



Пример 4

, где l₀ - даётся выражением (1).

Сделаем расчёт периода колебаний для трубки с водой.

Вывод рабочей формулы:

Если колебания гармонические, то период

.

Возвращающая сила F квазиупругая, где p - гидростатическое давление столба жидкости высотой , где - смещение от положения равновесия, S - сечение трубки, - плотность воды.

Запишем возвращающую силу в виде . Это квазиупругая сила, она обеспечивает гармонические колебания. Коэффициент , а период

.

Масса m колеблющейся воды выражается через её плотность и объём: , но , где S - сечение U-образной трубки, - длина трубки, наполненной водой. Тогда:

.



Пример 5.

Исследование параметров колебаний тела, подвешенного на нити.

В точке С, находящейся на расстоянии l/2, закреплена преграда - металлическая ось. Система совершает колебания, период которых можно рассчитать, рассматривая систему как комбинацию двух математических маятников с длинами l/2 и l.

Период колебаний этой системы

, где , , то есть

.

Задачи (ЕГЭ С6). 2008 г.

1. Исследование параметров ареометра, погруженного в жидкость.

Ареометр, погруженный в жидкость, совершает гармонические колебания с малой амплитудой (см. рисунок). Найдите период этих колебаний. Масса ареометра равно 40 г., радиус его трубки 2 мм, плотность жидкости 0,8 г/см³. Сопротивлением жидкости пренебречь.

Решение:

Период гармонических колебаний равен:

. (1)

На ареометр, смещённый от положения равновесия на расстояние x, действует возвращающая сила:

F_x=-, (2)



Где - коэффициент возвращающей силы.

Из уравнений (1) и (2) получаем:

Ответ: 4 с.

2. Исследование параметров колебаний цилиндра, погружённого в воду.

Однородный цилиндр площадью поперечного сечения 10^-2 м² плавает на границе несмешивающихся жидкостей плотностью 800 кг/м³ и 1000 кг/м³ (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний с.

Решение

При выведении цилиндра из положения равновесия возникает возвращающая сила

F_x=

Поскольку эта сила пропорциональна смещению x, период малых собственных колебаний можно найти по формуле:

, где .

Тогда кг.

Ответ: m=0,2 кг.

Эксперимент.

После проведенных исследований был поставлен эксперимент по исследованию параметров колебаний тела, плавающего в воде.

Цель: Выяснить, действительно ли формула периода, полученного данным методом верна, и как это согласуется с опытными данными.

Приборы и материалы: секундомер, штангенциркуль, ёмкость с водой, стеклянный пузырёк с пробкой.

Вывод рабочей формулы:

_{Aдоп -} возвращающая сила пропорциональная смещению, то есть сила квазиупругая:

F = ?k x.

Зная _сеч, получаем выражения: _{А доп}, , то есть колебания системы гармонические с периодом , то есть .

Измерив массу mна весах и диаметр dцилиндрической части бутылки, производят расчёт, а затем экспериментально определяют период , где N - число колебаний за время t.

Таблица результатов для 1 тела:

с массой m= (16,0 ±0,03)*10^-3кг.

И диаметром d=(2,0±0,1) см.



По выведенной формуле:

Получим, что период T=(0,408±0,070) с.

Из данных таблицы следует, что период экспериментальный T_эксп=(0,404 ±0,02) с.

Вывод: формула, полученная теоретически, справедлива.

Для 2 тела:

Масса m=(1,350±0,01) г.

Диаметр основания d=(5±0,01) мм.

По выведенной формуле:

Получим, что период T=0,52 с.

Из данных таблицы следует, что период экспериментальный T=0,37 с.

Вывод: формула, полученная теоретически, справедлива.



Заключение

Работая над данной темой, я узнал много нового и интересного о колебаниях.

Проведённые исследования дали возможность опытным путём убедится в справедливости теоретических сведений. Позволили мне основательно подготовиться к решению задач повышенной сложности на гармонический осциллятор. Работа, выполненная мною, позволила составить методическое пособие для подготовки к ЕГЭ.

Следовательно, выдвинутая гипотеза - для получения основных характеристик реальных колебательных систем можно воспользоваться формулой для периода колебаний, которые происходят под действием квазиупругих сил - доказана. Цель достигнута, задачи выполнены.



Литература

1. Г.Я. Мякишев, А.З. Синяков. Физика: Колебания и волны. 11 кл.: Учебник для углублённого изучения физики. М.: Дрофа, 2002 год. Стр. 5-54.

2. Ю.В. Гофман. Законы, формулы, задачи физики. Справочник К.: «Наук. Думка», 1997. Стр. 392 - 394.

3. Саранин В.А., В.П. Докучаев. Сборник задач повышенной сложности по механике с решениями. - Глазов: ГГПИ, 2003. Стр. 51 - 54.

4. Н.В. Турчина, Л.И. Рудакова, О.И. Суров и др. Физика: 3800 задач для школьников и поступающих в вузы. М.: Дрофа, 2000 г. Стр. 146 - 148.

5. Енохович А.С. Краткий справочник по физике. Изд. 2-е. перераб. И доп. М., «Высш. Школа», 1976.

6. Воробьёв И.И., Зубков П.И., Кутузова Г.А., Савченко О.Я., Трубачёв А.М., Харитонов В.Г. Задачи по физике: Учебное пособие. Под редакцией О.Я. Савченко. 4-е изд., исправленное. - СПб.: Издательство «Лань», 2001. Стр. 74 - 84.

7. И.М. Гельфгат, Л.М. Гендельштейн, Л.А. Кирик 1001 задача по физике с ответами, указаниями, решениями. Изд. 5-е., «Илекса», Москва, 2004 г. Стр. 39., 202 - 203.

8. Баканина Л.П., Белончукин В.Е., Козел С.М. Сборник задач по физике 10-11 классы. - М.: Просвещение, 1995.

9. Саранин В.А. Олимпиадные задачи по механике. Некоторые приёмы и методы решения. - Глазов, 1996.

10. Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (2002 г.). - М.: Изд-во МФТИ, 1999 г.

11. Марон В.Е., Городецкий Д.Н., Марон А.Е., Марон Е.А. Физика (законы, формулы, алгоритмы, решения задач): Справочное пособие - СПб: «Специальная Литература» 1997. Стр. 193.

Размещено на Allbest.ru

...