Хвилі в твердих нелінійно пружних п’єзоактивних сумішах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

УДК 534.1

Хвилі в твердих нелінійно пружних п'єзоактивних сумішах

01.04.06 - акустика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Хотенко Ірина Миколаївна

Київ 1999

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка Національної академії наук України

Захист відбудеться 30 вересня 1999 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 252057 , Київ, вул.Желябова 8/4. Тел. 044-446-4313, факс 044-446-4229.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України.

Автореферат розіслано 17 серпня 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор технічних наук, професор КРИЛЬ С.І.

п'єзоелектричний плоский хвиля

АНОТАЦІЯ

Хотенко І.М. Хвилі в твердих нелінійно пружних п'єзоактивних сумішах. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.06 - акустика. - Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 1999.

Застосована теорія двофазної твердої суміші до опису деформування п'єзопорошків і побудована базова система диференціальних рівнянь теорії двофазних п'єзопружних сумішей. Досліджені задачі про прямий (задача Лекса-Нелсона) і обернений п'єзоелек-тричні ефекти. Описані особливості поширення плоских п'єзопружних хвиль і теоретично передбачено додатковий механізм суттєвої зміни хвильового поля п'єзопорошку в порівнянні зі звичайною п'єзокерамікою. Побудована квадратично нелінійна теорія двофазної п'єзоелектричної суміші і отримані базові нелінійні рівняння поширення і взаємодії плоских п'єзопружних хвиль.

Ключові слова: П'єзоактивні порошки, двофазні тверді суміші, плоскі хвилі, прямий і обернений п'єзоелектричні ефекти, нелінійні п'єзопружні хвилі, взаємодія хвиль.

ABSTRACT

Khotenko I.M. Waves in solid nonlinear elastic piezoactive mixtures. - Manuscript.

Thesis for a Scientific Degree of the Candidate of Physical and Mathematical Sciences by a speciality 01.04.06 - acoustics. - Institute of Hydromechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1999.

The theory of a two-phase solid mixture is used for the describing of the piezopowders deformation. The basic system of differential equations of the theory of two-phase piezoelastic mixtures is constructed. Problems of the direct (Lax-Nelson problem) and inverse piezoelectric effects are investigated. Features of the propagation of plane piezoelastic waves are described and the complementary mechanism of an essential change of the wave field of piezopowders in comparison with usual piezoceramics is theoretically predicted. The quad-ratic nonlinear theory of two-phase piezoelectric mixtures is developed and basic nonlinear equations of the propagation and interaction of plane piezoelastic waves are obtained.

Key words: Piezoactive powders, two-phase solid mixtures, plane waves, direct and inverse piezoelectric effects, nonlinear piezoelastic waves, interaction of waves.

АННОТАЦИЯ

Хотенко И.Н. Волны в твердых нелинейно упругих пьезоактивных смесях.- Рукопись. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.06 - акустика.-Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 1999.

Применена теория двухфазной твердой смеси для описания деформировання пьезо-порошков и построена базовая система диференциальных уравнений теории двухфазных пьезоупругих смесей. Исследованы задачи о прямом (задача Лэкса-Нэлсона) и обратном пьезоэлектрических эффектах. Описаны особенности распространення плоских пьезоупругих волн и теоретически предвиден дополнительный механизм существенного изменения волнового поля пьезопорошка в сравнении с обычной пьезокерамикой.

Этот механизм вызван существованием микроструктуры и состоит в появлении новых мод и перераспределении энергии волн между удвоенным количеством волн. Этим самым снижается интенсивность каждой отдельной волны. При помощи компьютерного моделировання изучены зависимости основных параметров волнового поля от количества наполнителя - свинца и подтверджена главная особенность пьезопорошка - существенно изменять волновое поле в сторону уменьшения фазовой скорости сигнала. Для нескольких конкретных составов п'єзопорошка вычислены полные комплекты упругих пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных двухфазной теории смеси. Построена квадратично нелинейная теория двухфазной пьезоэлектрической смеси и получены базовые нелинейные уравнения распространения и взаимодействия плоских пьезоупругих волн. Рассмотрены три стандартные в нелинейной акустике задачи о возбуждении и взаимодействии продольных и поперечных плоских волн.

Ключевые слова: Пьезоактивные порошки, двухфазные твердые смеси, плоские волны, прямой и обратный пьезоэлектрические эффекты, нелинейные пьезоупругие волны, взаимодействие волн.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Загальну наукову проблему, фрагмент якої досліджено в дисертації, можна сформулювати таким чином:

поширення та взаємодія хвиль в твердих матеріалах з мікроструктурою.

Загальновідомо, що: 1. взаємодія може вивчатися лише в рамках нелінійних теоретич-них схем, однак досліджуються ці схеми на основі знання лінійних теоретичних схем;

2. мікроструктура матеріалу суттєво впливає на хвильову картину, тому нелінійні тео-ретичні схеми повинні бути мікроструктурними. Звичайно в механіці матеріалів та акустиці вважається, що хвилі повинні бути пружними і додатково можуть враховуватися ще якісь властивості (тобто, хвилі можуть бути в'язкопружними, термопружними чи електропружними). Ця наукова проблема пов'язує між собою нелінійну акустику та нелінійні мікроструктурні теорії механіки матеріалів. Стан проблеми на 1998 рік описаний в оглядових статтях в міжнародних наукових журналах „Прикладная механика - International Applied Mechanics” , 1997, №1(Україна) та „ Applied Mechanics Reviews”, 1999, №2 (USA).

Дисертаційна робота являє собою фрагмент проблеми у тому розумінні, що: 1. застосована конкретна мікроструктурна теорія - теорія двофазної суміші; 2. суміш вважається п'єзопружною (п'зоактивною); 3. нелінійність є квадратичною. 4. хвилі вважаються плоскими.

Актуальність проведеного в дисертації дослідження підтверджується двома фактами, які, взагалі кажучи, завжди взаємно доповнюють один одного. Перший полягає у тому, що згадана вище загальна проблема нелінійної взаємодії хвиль в матеріалах має свою внутрішню логіку розвитку і після вивчення чисто лінійних хвиль (а такі хвилі досліджені вже досить повно) повинні вивчатися як нелінійні хвилі, так і додатковий вплив на хвильову картину в матеріалі температурного, електричного, магнітного та інших полів. Другий пов'язаний з тим, що для адекватного опису третього покоління п'єзоактивних матеріалів - п'єзопорошків - виникла необхідність в побудові нелінійних мікроструктурних теорій п'єзопружного деформування матеріалів. Отже, виникла як би потреба в теоретичному описі існуючих і активно застосовуваних в техніці матеріалів.

Зв'язок роботи з науковими темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках загальної проблеми вивчення композитних матеріалів в Інституті механіки НАНУ ім. С.П. Тимошенка. Відділ динаміки поліагрегатних середовищ, в якому працюють як дисертант, так і науковий керівник, виконує науково-дослідну роботу 1.3.1.306 „ Побудова некласичних моделей і методів розв'язування задач динаміки для систем тіл, багатофазних рідких та твердих середовищ “ ( № держ.р. 0198 v 002171 ). До цієї роботи включені дослідження, що проводяться в рамках даної дисертації.

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертаційної роботи було застосування теорії твердих двофазних сумішей для опису поширення плоских гармонічних хвиль в п'єзопорошках. П'єзопорошки застосовуються для генерації та приймання ультразвукових та гіперзвукових сигналів. Головною їх особливістю в порівнянні зі звичайними п'єзокерамічними матеріалами є здатність суттєво змінювати параметри хвилі і, перш за все, затримувати сигнал. Тому після побудови основних елементів теорії і запису основних формул, які описують поширення плоских п'єзоелектричних хвиль, стояла мета пересвідчитися, що тверді суміші п'єзокераміки зі свинцем суттєво змінюють основні параметри плоскої хвилі. Проведене числове моделювання на комп'ютері підтвердило велику відмінність між плоскими хвилями в чистій п'єзокераміці і п'єзопорошком. Відмінність полягає в зниженні величин фазових швидкостей хвильових мод і зниженні рівнів енергії, яку ці моди переносять. Отже, і друга мета була досягнута. Третьою метою була побудова основних рівнянь квадратично нелінійної теорії поширення хвиль в п'єзопорошках. Робилося це з тих міркувань, що лише в рамках нелінійного підходу можна розглянути взаємодію хвиль. Так що третю мету можна ще сформулювати як створення передумов для дослідження взаємодії п'єзоелектричних плоских хвиль в п'єзопорошках.

Наукова новизна отриманих результатів. Полягає в тому, що вперше: застосована теорія двофазної твердої суміші до опису деформування п'єзопорошків і побудована базова система диференціальних рівнянь теорії двофазних п'єзопружних сумішей; досліджені задачі про прямий (задача Лекса-Нелсона) і обернений п'єзоелектричні ефекти; описані особливості поширення плоских п'єзопружних хвиль і теоретично передбачено додатковий механізм суттєвої зміни хвильового поля п'єзопорошку в порівнянні зі звичайною п'єзокерамікою; за допомогою комп'ютерного моделювання вивчені залежності основних параметрів хвильового поля від кількості наповнювача - свинцю і підтверджено головну особливість п'єзопорошку - суттєво змінювати хвильове поле в сторону зменшення фазової швидкості сигналу; для декількох конкретних складів п'єзопорошку вирахувані повні комплекти пружних, п'єзоелектричних і діелектричних сталих двофазної теорії суміші; побудована квадратично нелінійна теорія двофазної п'єзоелектричної суміші і отримані базові нелінійні рівняння поширення і взаємодії плоских п'єзопружних хвиль.

Практичне значення отриманих результатів. Не можна стверджувати, що в дисертації побудована теорія. Однак можна стверджувати, що елементи теорії двофазної п'єзопружної суміші побудовані. Крім того, результати, отримані при виконанні ди-сертаційної роботи, дозволяють передбачити ряд хвильових ефектів, які до цього в п'єзоматеріалах не спостерігалися. Тому в абстрактному розумінні результати дисертації є практичними. Наприклад, отримані повні комплекти фізичних сталих теорії суміші для конкретних п'єзопорошків дають практичну можливість будь-кому проводити комп'ютерне моделювання ряду інших хвильових задач для п'єзопорошків. Але конкретного споживача теоретичних результатів дисертації вказати не можна. На Україні потенціальні споживачі відсутні, лідером в вивченні п'єзопорошків є Франція. Найбільш відомим вченим в цій області є проф. Жерар Можен (лабораторія університету П'єра і Марії Кюрі і Комісії з атомної енергії). Деякі результати дисертації доповідалися на міжнародних симпозіумах і конгресах, на яких був присутній проф. Можен. Однак, при об'єднанні зусиль колективів, які досліджують п'єзоматеріали в Київському університеті ім. Тараса Шевченка, Інститутах механіки та гідромеханіки НАНУ, Національному технічному університеті України “ Київський політехнічний університет ” та кількох організацій колишнього військово-промислового комплексу, п'єзопорошки можливо будуть мати на Україні практичне застосування.

Особистий внесок здобувача. Полягає в перш за все в теоретичному, але також і в комп'ютерному аналізі плоских хвиль в п'єзопружних порошках, утворених із суміші п'єзокераміки та свинцю. Для цього аналізу запропонована нова теоретична схема двофазної п'єзопружної суміші, яка є зручною як для аналітичних, так і чисельних дослі-джень хвиль в п'єзопорошках.

Апробація результатів дисертації. В повному об'ємі дисертаційна робота допо-відалася і обговорювалася на семінарах відділу динаміки поліагрегатних середовищ Інс-титуту механіки НАН України (1998-1999); науковому семінарі за напрямком „ Теорія коливань“ при Інституті механіки НАН України (1999); Науковому семінарі з теорії нелінійних хвиль при Інституті гідромеханіки НАН України (1999); науковому семінарі з механіки механіко-математичного факультету університету імені Тараса Шевченка. Важливі результати з дисертації доповідалися на 6-й та 7-й Міжнародних наукових конференцій з математики пам'яті академіка М. Кравчука ( Київ, 1997, 1998); 5-й між-народній конференції “ Моделювання і дослідження стійкості систем “ ( Київ, 1997); 18 Міжнародному симпозіумі “Vibrations in Physics” (Познань, Польща, 1998).

Публікації. По результатах дисертації опубліковано 9 наукових робіт. Основний зміст роботи відображено в 4 публікаціях в провідних фахових наукових журналах Ук-раїни [ 1-9]. Інші 5 публікації поміщені в збірниках аннотацій міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 137 найменувань. Загальний обсяг роботи 181 сторінка, у тому числі 19 таблиць та 27 рисунків на 38 сторінках, а також література на 12 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі висвітлено місце дисертаційної роботи в загальній проблемі акустичних хвиль в сучасних п'єзоелектричних матеріалах, обгрунтовано актуальність теми дисертації, викладено мету роботи, сформульовано основні наукові положення, які виносяться на захист, їх практичне значення та новизну.

Перший розділ містить необхідний в подальшому огляд літератури. Вперше прямий п'єзоелектричний ефект був експериментально спостережений французькими вченими братами П'єром та Жаком Кюрі в 1880 році. Ними були описані досліди, в яких при ме-ханічному стиску в певному напрямку у кристалів кварцу (а в подальших дослідах і у кристалів сегнетової солі та турмаліну) на поверхні цих кристалів появлялися електричні заряди і величини зарядів були пропорційними прикладеному тиску. Зняття механічного навантаження супроводжувалося зникненням електричних зарядів. Це явище назвали прямим п'єзоелектричним ефектом. В 1881 році Ліппман на основі термодинамічних міркувань передбачив теоретичну можливість існування оберненого п'єзоелектричного ефекту: попадаючи в електичне поле, п'єзоелектричні кристали повинні деформуватися. В цьому ж році брати Кюрі підтвердили експериментально існування оберненого п'єзоелектричного ефекту. Після цього десятки років п'єзоелектричний ефект трактувавася як науковий курйоз, він навіть не згадувався в підручниках з фізики і рідко був предметом наукового дослідження. Хоча в 1894 році Поккельс дуже докладно проаналізував п'єзоефект в ряді кристалів. А значно пізніше (1928 рік) Фойгт записав рівняння, які потрібні для кількісного опису деформування п'єзокристалів довільного типу.

Науковий інтерес до явища п'єзоелектрики появився в часи першої світової війни завдяки роботам Ланжевена, в яких це явище було покладене в основу приладу для визначення місцезнаходження підводних човнів. З сучасної точки зору, це був найпростіший випромінювач і одночасно приймач акустичних хвиль для активної системи фіксації від-биття сигналу від корпусу човна. Основу приладу складали п'єзоелектричні пластинки, принцип роботи приладу назвали локацією, сам прилад - радаром. Згодом було знайдене ще одне важливе застосування для п'єзоелектричних кристалів. Були створені так звані резонансні елементи. Вони стабілізують і контролюють частоту в радіотехнічних пристроях. На їх основі були створені еталони часу високого рівня стабільності, які тепер називають кварцевими годинниками. Ці ж самі п'єзорезонатори використовуються як електричні фільтри в радіозв'язку та телефонному зв'язку. Таким чином, застосовуються дві різні властивості п'єзокристалів: здатність перетворювати енергію пружних деформацій в електричні сигнали і стабільна резонансна здатність.

Як стверджується в класичній монографії Балакірєва і Гілінского, до шістдесятих років при вивченні п'єзокристалів головна увага приділялася пошуку нових матеріалів і дослідженню їх властивостей, вдосконаленню п'єзоелектричних перетворювачів та резонаторів. В області акустики п'єзокристали застосовувалися для збудження об'ємних ультразвукових хвиль і для створення ультразвукових ліній затримки радіочастотного діапазону хвиль. Дослідженнями хвильових процесів на той час ще цікавилися мало.

Існує одностайна серед спеціалістів точка зору, що монографії Кеді та Мезона енцик-лопедично відображають досягнення фізики п'єзоматеріалів на час свого опублікування. А це були 50-і роки. Наступним енциклопедичним виданням в цій області було семитомне видання під редакцією Мезона і Терстона, опубліковане в семидесятих роках. Окремо слід згадати опубліковані приблизно в цей же час фундаментальні монографії Глозмана, Кікучі і Яффе, ука, Яффе. Значний вплив на розвиток наукових проблем, пов'язаних з п'єзоелектричними матеріалами, зробили монографії 80-90-их років Балакірєва і Гілінского, Дьєлесана і Руайє, Грінченка, Улітка і Шульги та Можена.

П'єзопружні хвилі практично з самого початку були предметом уваги при вивченні явища п'єзоелектрики. Однак найбільш цілеспрямовано, глибоко і докладно проблеми поширення п'єзопружних хвиль описані в згаданих в попередньому абзаці чотирьох монографіях. По крайній мірі, проведені в дисертації дослідження повністю перебувають під впливом підходів і результатів, викладених в цих книгах.

Єдина повністю присвячена п'єзопружним хвилям книга Балакірєва і Гілінского стверджує, що в 60-80-і роки активно розвивалися три напрямки в дослідженні п'єзохвиль:

1. поширення об'ємних ультразвукових хвиль в рамках акустики та акустоелектроніки п'єзокристалів; 2. взаємодія світлових хвиль з об'ємними ультразвуковими (акустичними) в рамках акустооптики; 3.поширення поверхневих пружних хвиль в п'єзокристалах.

Окремо ще слід відзначити, що в 80-их роках сформувався ще один науковий напрямок в дослідженні п'єзопружних хвиль. Він об'єднав вже відомі результати у вивченні так званого ехо-сигналу з новим поколінням - третім - п'єзоматеріалів. Ці матеріали назвали п'єзопорошками і саме вони є предметом дослідження цієї дисертації.

Далі в розділі звернено увагу на градацію п'єзоматеріалів - три покоління: п'єзокристали, п'єзокераміка, п'єзоелектричні порошки. В кінці прокоментовано стан досліджень в області мікроструктурної теорії сумішей .

Другий розділ присвячений викладу необхідних елементів континуальної механіки ма-теріалів. Розділ складається з трьох параграфів. В першому параграфі описана термоди-намічна процедура побудови та оснащення матеріального континууму. Тут коментується означення матеріалу як твердої речовини, розглядається схема вивчення реальних тіл за допомогою матеріального континуума. Далі розглядаються необхідні елементи загальної термодинамічної теорії матеріальних континуумів, спосіб введення основних термодинамічних параметрів в класичних моделях, і нарешті описуються одноконтинуальні та багатоконтинуальні моделі.

Другий параграф присвячений матеріалам. Перш за все, розглядаються п'єзоелектричні матеріали. Вводиться класифікація твердих матеріалів за ознакою їх взаємодії з електро-магнітним полем. Тоді описується явище поляризації речовини і коментується означення діелектрика за допомогою поняття поляризації. Після цього розглядаються явище п'єзоелектрики і клас п'єзоелектричних матеріалів. Далі приводиться класифікація і поділ матеріалів на монокристалічні, полікристалічні, аморфно-кристалічні та аморфні матеріали. Зважаючи на специфіку п'єзоелектричних матеріалів, виписуються необхідні для побудови теорії п'єзоелектричних сумішей елементи кристалографії.

У третьому параграфі викладена нелінійна класична теорія деформування п'єзоелект-ричних матеріалів. При оснащенні матеріального середовища, яке б виявляло властивості п'єзопружності, потрібно взяти два термодинамічні параметри класичного пружного середовища - тензор напружень Кірхгоффа і тензор деформацій Гріна .

Однак в п'єзоактивному середовищі крім механічних тензорних полів напружень і деформацій (і спорідненого з полем деформацій векторного поля механічних зміщень ) іс-

нують поля електромагнітної природи. Тому вводять ще декілька термодинамічних па-раметрів, два з яких вирізняються і утворюють теж впорядковану пару - вектор на-пруженості електричного поля і вектор електричної індукції . Додатково ще потрібно ввести вектор повної електричної поляризації . Таким чином введені 4 термодинамічні параметри складають основу для певного узагальнення класичної теорії пружності. Далі формулюються балансові рівняння, нелінійні та лінійні визначаючі рівняння. Тоді формулюється лінійна теорія Фойхта і розглядається наближення електростатики, означаються прямий та обернений п'єзоелектричний ефекти. Окремо обговорюється відображення симетрії кристалічного матеріалу в тензорному записі визначаючих рівнянь.

Третій розділ присвячений лінійній мікроструктурній теорії деформування п'єзоелект-ричних порошків, плоским п'єзопружним хвилям, аналізу прямого та оберненого п'єзо-електричних ефектів. Розділ складений з двох параграфів. В першому параграфі викладена лінійна мікроструктурна теорія деформування п'єзоелектричних порошків, основана на моделі суміші. Тут спочатку розглядаються п'єзоелектричні порошки, їх склад та будова їх початкових компонентів, на які звернена особлива увага з огляду на точність технологічних прийомів утворення сумішей. Технології обговорюються докладно: виготовлення шихти, змішування, способи гранулювання, методи формування - холодне пресування, гаряче лиття, гаряче пресування. Приводяться фотографії шліфів деяких керамічних матеріалів, зроблені за допомогою електронного мікроскопа. Фотографії засвідчують існування гранульованої мікроструктури. Далі описується вибір термодинамічних параметрів, формулюються основні припущення та співвідношення.

Припущення 1. Представницький об'єм містить частинки-гранули двох фаз - двох п'є-зоелектриків з відмінними механічними та п'єзоелектричними властивостями.

Припущення 2. Окрема фаза характеризується своїм комплектом фізичних (термодинамічних) параметрів - вектором зміщень , тензорами механічних деформацій і механічних напружень , векторами електричної індукції і напруженості електричного поля .

Припущення 3. Кожній фазі відповідають дві впорядковані пари термодинамічних пара-метрів , для яких пізніше встановлюються залежності у вигляді лінійних визначаючих рівнянь.

Припущення 4. Взаємодія між фазами є лінійною. З усіх видів силової взаємодіїї врахо-вується найбільш суттєва - так званий зсувний механізм , згідно з яким сила взаємодії між присутніми в заданій точці фазами прямо пропорційна відносному зміщенню фаз в точці. Взаємодія між механічним та електричним полями обох фаз враховується за допомогою визначаючих рівнянь. Однак спочатку слід ввести поняття поляризаціі і задати зв'язок поляризації з напруженістю електричного поля - цей зв'язок вважається лінійним і перехресним. Поляризація окремої фази .

Припущення 5. Внутрішня енергія записується для суміші у цілому і приймається квадратичною функцією своїх змінних.

Далі записується базова система рівнянь у вигляді рівнянь змушеної електростатики:

1. Рівняння руху де через позначена парціальна густина -фази і через - коефіцієнти зсувної взаємодії.

2. Рівняння змушеної електростатики в діелектриках ( тобто, чисто електромагнітні хвилі відсутні, а парціальні вектори електричної індукції та напруженості електричного поля , як також стандартно введені електричні потенціали можуть залежати від часу, але тільки в акустичному діапазоні частот ).

3. К ласичні лінійні співвідношення Коші.

4. Лінійні визначаючі рівняння.

В отриманих визначаючих рівняннях є три групи фізичних сталих: - коефіцієнти пружності при постійних електричних полях, які утворюють три тензори четвертого рангу; - п'єзоелектричні коефіцієнти при обох постійних полях, які утворюють три тензори третього рангу; - коефіцієнти діелектричної проникності при постійних (нульових) деформаціях, які утворюють три тензори другого рангу. Далі треба використати певні властивості симетрії тензорів і вияснити кількість незалежних компонентів в записаних вище трьох типах тензорів. В найпростішому випадку суміші з кубічною симетрією буде три комплекти, які разом включатимуть 9 пружних сталих, 3 п'єзоелектричні сталі і 3 діелектричні проникності. В досить поширеному випадку суміші з гексагональною симетрією ( трансверсально ізотропна симетрія ) три комплекти разом включатимуть 15 пружних сталих, 9 п'єзоелектричних сталих та 6 діелектричних проникностей.

Спостережено, що п'єзокераміки поводять себе як трансверсально-ізотропні середовища. При цьому вісь симетрії середовища співпадає з напрямком поля попередньої поляризації. Суміш з властивостями ромбічної симетрії (ортотропна симетрія) описуватиметься 27 пружними сталими, 9 п'єзоелектричними сталими та 9 діелектричними проникностями.

Базову систему можна записати більш компактно у вигляді трьох груп рівнянь:

1. рівняння в об'ємі п'єзоелектричного тіла

2. рівняння на поверхні тіла

( > є компонентами головного вектора парціальних сил, заданих на поверхні тіла, та парціальні поверхневі струми ).

3. рівняння для парціальних електричних потенціалів зовні тіла

Записані 8 рівнянь відносно 8 невідомих функцій ( два вектори парціальних зміщень та два парціальні електричні скалярні потенціали ) є лінійними рівняннями хвильового руху в двофазному п'єзоелектричному матеріалі.

Далі вивчалися плоскі хвилі в п'єзопружних сумішах. Тут отримано систему рівнянь, яка є аналогом класичного рівняння Крістоффеля

Кожне з цих рівнянь являє собою взаємозв'язані системи з шести рівнянь, а разом вони утворюють теж взаємозв'язану систему з дванадцяти рівнянь. Але структура другої системи є такою, що всю сукупну систему з дванадцяти рівнянь можна звести до системи з шести рівнянь щодо теж шести невідомих амплітуд (амплітуд парціальних векторів зміщень). Ця система більш придатна для коментування і побудови аналогій і вона є такою

Коефіцієнти є постійними. Їх вигляд (присутність в них п'єзоелектричних коефіцієнтів та коефіцієнтів діелектричної проникності) свідчить про те, що в загальному випадку всі хвилі в двофазних діелектриках будуть п'єзоелектрично зв'язаними. Окремі випадки незв'язаності хвиль будуть. Також наявність коефіцієнтів і входження до них коефіцієнтів міжфазової силової зв'язаності свідчить про дисперсійність всіх типів хвиль.

У другому параграфі досліджено прямий і обернений п'єзоелектричні ефекти. Спочатку розглядається допоміжна (одночасно вона є базовою) задача електромагнітної оптики для анізотропної твердої п'єзоактивної суміші. Йдеться про задачу знаходження власних значень і власних векторів оптичного двофазного середовища (задачу Штурма-Ліувілля щодо оптичних властивостей анізотропної суміші)

Присутня в рівнянні матриця завжди є симетричною і додатньо означеною. Для такої матриці завжди існують ортогональні напрямки поширення і швидкості хвиль, які визначаються через власні значення і власні вектори.

Власне, в цих останніх формулюваннях і полягає результат задачі електромагнітної оптики. Існування дійсних швидкостей плоских хвиль в класичній теорії пружності забезпечується спеціальними умовами (наприклад, умовами еліптичності базового рівняння).

Прямий п'єзоелектричний ефект в п'єзоактивній суміші вивчається строго і послідовно у відповідності до класичної процедури Лекса-Нелсона. Першим і основним припущенням в цій процедурі є припущення, що існує обернений оператор ( це припущення має таке фізичне обгрунтування: деформації матеріалу дійсно спричиняють появу електричного поля), за допомогою якого розв'язок записується у вигляді.

Всі наступні кроки мають метою знайти явне представлення операторної матриці .

Спочатку досліджується однорідна система, яка якраз описує задачу електромагнітної оптики. Для такої задачі існують шість власних значень , які утворюють матриці та три власні вектори. Особливістю процедури є введення так званої метрики. Нетривіальна процедура дає врешті вираз для оберненого оператора.

Для електромагнітних хвиль буде виконуватися умова відсутності поздовжних хвиль, тобто формально в напрямку одного з власних векторів коефіцієнт заломлення безмежно великий. Ці і інші міркування дозволяють спростити кінцевий вираз.

Отримана формула дозволяє оцінити прямий п'єзоелектричний ефект як якісно, так і кількісно.

Також окремо вивчався обернений п'єзоелектричний ефект в п'єзоактивній суміші. Го-ловний висновок полягає в тому, що суміш зберігає властивість оберненого ефекту. В ізотропних чи близьких до них сумішах зберігається класична властивість - явище проя-вляється лише на поперечних горизонтально поляризованих хвилях (суміш має дві моди таких хвиль). Фазові швидкості для обох мод цих хвиль вираховуються за формулами

Далі обчислювалися фізичні сталі для реальних п'єзопорошків, тобто таких сумішей :

1-а фаза - п'єзопружний кристал; 2-а фаза - свинець. Для цього були дві причини.

Першою слід вважати більш загальну - найбільш вразливим місцем всіх мікроструктурних теорій є комплекти фізичних сталих. Здебільшого їх просто немає. Тому для розвиненої тут теорії треба мати такі комплекти взагалі.Другою причиною був намір обчислити фазові швидкості для різних складів сумішей (від дуже малого вмісту свинцю до гранично можливого). Це дало б змогу промоделювати на комп'ютері вплив наповнення свинцем на хвильове поле в п'єзопорошку. Були отримані комплекти сталих теорії двофазної суміші для трьох типів п'єзопорошку, коли п'єзокерамічна фаза утворювалася з арсеніду галію, германату вісмуту та кераміки ЦТС-4. Сталі обчислювалися за доступними автору формулами та комп'ютерними програмами з теорії композитних матеріалів.Спочатку були побудовані комп'ютерні графіки залежності всіх фізичних сталих, які входять в формулу для фазових швидкостей, від об'ємного вмісту наповнювача в діапазоні від 0.01 до 0.5. Ці графіки зображені на дванадцяти рисунках. Для більшості сталих залежність є лінійною, однак для основних пружних сталих вона нелінійна. Ці залежності ще записані у вигляді таблиць. Таблиці далі використовувалися для отримання комп'ютерних графіків залежності фазових швидкостей від частоти - дисперсійних кривих. Побудовані графіки якісно не відрізняються від дисперсійних кривих, які будувалися для пружних двофазних сумішей: 1. Плоска хвиля розпадається на дві моди, які обидві суттєво дисперсійні. 2. Друга мода є завжди більш швидкою і на низьких частотах запирається, перетворюючись для частот, менших частоти запирання, з біжучої синусоідальної хвилі в експоненціально затухаючу хвилю. 3. Сильна дисперсія спостерігається лише у другій моді в області, що прилягає до частоти запирання справа. 4. Перша мода має суттєво дисперсійний характер в області зліва і справа від частоти запирання; цей частотний діапазон дещо більший від вказаного вище діапазону другої моди і його границі співрозмірні з частотою запирання.

Далі отримані таблиці залежності фазових швидкостей від частоти використовувалися для побудови просторових комп'ютерних графіків залежності амплітуди першої та другої мод від часу та просторової координати. Тобто, далі будувалися графіки, які показують профіль хвилі в залежності від основних фазових змінних хвилі. Такі графіки повинні мати вигляд „гофра“, тому що хвиля синусоїдальна. Однак, відмінність графіків для різних об'ємних вмістів наповнювача досить велика - при переході від дуже малого вмісту до майже гранично великого графік повертається щодо осей координат на великий кут. Нижче послідовно зображені графіки для цього ж матеріалу з об'ємним вмістом наповнювача 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. Для них цей кут дорівнює приблизно тридцять градусів.

Четвертий розділ містить побудовані елементи нелінійної мікроструктурної теорії де-формування п'єзоелектричних порошків. Метою було вивчення взаємодії плоских п'є- зопружних хвиль. Перший параграф описує побудову базової нелінійної системи рівнянь, основаної на моделі суміші. Базу складає побудована в попередніх розділах лінійна теорія. Формулюються основні припущення та базові параметри і будується квадратично нелінійна теорія.

Зафіксуємо головні відмінності лінійної та нелінійної теорій. Перш за все, в нелінійній теорії парціальні тензори деформацій Гріна є нелінійними. Друга важлива відмінність

стосується внутрішньої енергії U. Ця енергія, як і в лінійній теорії, вважається функцією 5 термодинамічних змінних: двох парціальних тензорів деформацій Гріна ,

вектора відносного зміщення фаз та двох векторів електричної індукції . Однак, при представленні внутрішньої енергії через ряд Тейлора вже враховуватимуться треті похідні, тобто будуватиметься квадратично нелінійна теорія. Третя відмінність полягає в тому , що з двох парціальних впорядкованих термодинамічних пар (тензор напружень Кірхгоффа-Піоли , тензор деформацій Гріна ) (вектор напруженості електричного поля , вектор електричної індукції ) друга пара зв'язана між собою лінійно, а нелінійність припускається лише для першої пари. Тому в представленні внутрішньої енергії у вигляді повного диференціалу з трьох лише одна залежність є нелінійною. До цієї ж відмінності віднесемо і той факт, що нелінійна теорія будується для ізотропних п'єзопорошків і внутрішня енергія у цьому випадку є певним узагальненням класичного квадратично нелінійного потенціалу Мернагана. Отримана повна система диференціальних рівнянь є зручною для вивчення хвиль в п'єзоелектричних порошках. Через її громіздкість вона тут не виписується, за структурою вона подібна на лінійну і в своїй лінійній частині співпадає з системою лінійної теорії. Другий параграф присвячений плоским нелінійним п'єзопружним хвилям, особливостям їх поширення і взаємодії. Для таких хвиль отримана базова система рівнянь.

Перш за все, слід відзначити, що отримані рівняння узгоджуються з рівняннями для по-перечних рухів в класичній лінійній теорії п'єзоелектричного деформування, які викори-стовував Тірстен , а також з отриманими в дисертації рівняннями для плоских хвиль лінійної теорії для п'єзопорошків та нелінійної теорії пружної суміші. Також суттєвою особливістю в поширенні п'єзоелектричних плоских хвиль є те, що вплив електричних властивостей середовища на хвилі в акустичному діапазоні здійснюється лише за рахунок впливу на поперечну горизонтально поляризовану хвилю. Однак нелінійність повинна б перерозподілити цей вплив на всі інші хвилі. Відповідь, як саме це відбувається, не є тривіальною і вона стане ясною, коли буде побудована теорія нелінійних плоских хвиль. Для вивчення взаємодії плоских гармонічних зсувних п'єзопружних хвиль були сформульовані три стандартні задачі взаємодії і відзначені їх особливості. Цікавими є друга та третя задачі. Суттєвим новим елементом в цих задачах є присутність парціальних електричних полів та відповідних хвиль в кожній з двох фаз матеріалу. Внаслідок нелінійної взаємодії поздовжних хвиль зі збудженими поперечними починають генеруватися дві „класичні лінійні” моди поздовжної хвилі на основній частоті та з лінійними фазовими швидкостями поздовжної хвилі і три „класичні нелінійні” моди цієї хвилі на подвоєній частоті с складеними фазовими швидкостями поперечної хвилі

Таким чином, в двофазному п'єзоелектричному середовищі збудження поперечних ко-ливань призводить до генерації двох лінійних мод поперечних хвиль зміщення та двох лінійних мод електричних хвиль і одночасної генерації п'яти поздовжних хвиль зміщення - двох лінійних мод та трьох нелінійних складених мод - і теж п'яти електричних хвиль. Фазові швидкості електричних хвиль відповідають швидкостям хвиль зміщення.

Висновки містять в першій своїй частині розширене формулювання основних результатів, отриманих в дисертації. В другій частині систематизовані висновки, які ви-пливають з аналізу результатів дисертації.

I . Таким чином, в поданій на захист дисертаційній роботі запропонована нова, яка раніше не вивчалася і не пропонувалася, теоретична схема для вивчення п'єзоактивних порошків. Ця схема основана на мікроструктурній моделі двофазної п'єзопружної суміші і пристосована до вивчення хвильових процесів. Проведене дослідження включає:

1.Побудову базової системи рівнянь лінійної теорії двофазної п'єзопружної суміші і вивчен-ня як теоретично, так і за допомогою комп'ютерного моделювання стандартних для п'єзо-

акустики задач. 2. Побудову базової системи рівнянь нелінійної теорії двофазної п'єзопруж-ної суміші і вивчення класичної задачі нелінійної акустики про взаємодію плоских п'єзоп-ружних хвиль. 3. Теоретичне засвідчення нових механічних ефектів, пов'язаних з впливом на хвильове поле п'єзопорошку вмісту наповнювача і мікроструктури матеріалу взагалі.

II. Основні результати роботи такі:

А. Вперше застосована теорія двофазної твердої суміші до опису деформування п'єзо-порошків і побудована базова система диференціальних рівнянь теорії двофазних п'єзо-пружних сумішей; Б. Досліджені задачі про прямий (задача Лекса-Нелсона) і обернений п'єзоелектричні ефекти; В. Описані особливості поширення плоских п'єзопружних хвиль і теоретично передбачено додатковий механізм суттєвої зміни хвильового поля п'єзопорошку в порівнянні зі звичайною п'єзокерамікою; Г. За допомогою комп'ютерного моделювання вивчені залежності основних параметрів хвильового поля від вмісту наповнювача і підтверджено головну особливість п'єзопорошку - суттєво змінювати хвильове поле в сторону зменшення фазової швидкості сигналу; . Для декількох конкретних складів п'єзопорошку вирахувані повні комплекти пружних, п'єзоелектричних і діелектричних сталих двофазної теорії суміші; Д. Побудована квадратично не лінійна теорія двофазної п'єзоелектричної суміші і отримані базові нелінійні рівняння, які узагальнюють класичні рівняння нелінійної акустики; Е. Розв'язані стандартні задачі про поширення і взаємодію плоских п'єзопружних хвиль.

III. З отриманих результатів можна зробити такі висновки:

1. Застосування теорії твердих двофазних сумішей для опису поширення плоских гармо-нічних хвиль в п'єзопорошках дало змогу описати ряд нових хвильових ефектів. Наприклад, появу нових мод. 2. Запропонована модель описує ряд відомих властивостей п'єзопорошків. Наприклад, здатність в порівнянні зі звичайними п'єзокерамічними матеріалами суттєво змінювати параметри хвилі і, перш за все, затримувати сигнал. Показано, що тверді суміші п'єзокераміки зі свинцем суттєво змінюють основні параметри плоскої хвилі. Проведене числове моделювання на комп'ютері підтвердило велику відмінність між плоскими хвилями в чистій п'єзокераміці і п'єзопорошком. Вона полягає в зниженні величин фазових швидкостей хвильових мод і зниженні рівнів енергії, яку ці моди переносять. 3. Отримані повні комплекти фізичних сталих теорії суміші для конкретних п'єзопорошків дають практичну можливість будь-кому проводити комп'ютерне моделювання ряду інших хвильових задач для п'єзопорошків. 4. Слабка нелінійність п'єзопорошків призводить до суттєвого прояву взаємодії хвиль. Присутність парціальних електричних полів та відповідних хвиль в кожній з двох фаз матеріалу впливає на всю картину хвильового поля. Наприклад, внаслідок нелінійної взаємодії поздовжних неп'єзопружних хвиль зі збудженими п'єзопружними поперечними генеруються дві „класичні лінійні” пружні моди поздовжної хвилі на основній частоті та з лінійними фазовими швидкостями поздовжної хвилі і три „класичні нелінійні” і вже не чисто пружні моди цієї хвилі на подвоєній частоті зі складеними фазовими швидкостями поперечної хвилі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Рущицький Я.Я., Хотенко І.М. Лінійні хвилі в двофазних п'єзоелектриках. // Доп.НАН України.- 1995.- № 3.- С. 41-43.

2. Рущицкий Я.Я., Хотенко И.Н. О нелинейных волнах в двухфазних пьезопорошках. // Прикладная механика. - 1998.- 33, № 8. - С. 49-57.

3. Рущицький Я.Я., Хотенко І.М. Про побудову квадратично нелінійної теорії поширення хвиль в двофазних п'єзоелектричних порошках. // Доп. НАН України.- 1998. - № 9.- С. 61-67.

4. Рущицький Я.Я., Хотенко І.М. Нелінійні плоскі гармонічні хвилі в двофазних п'єзоелектричних порошках. // Доп. НАН України.- 1998.- № 10.- С. 60-66.

5. Хотенко І.М. Одна задача електромагнітної оптики для анізотропної твердої п'єзоактивної суміші. // Thesis of Conference Reports of Intern. Conference "Modelling and

6. Investigation of System Stability", Kiev, T.Shevchenko University, 1997. - P.146.

7. Хотенко І.М. Нова система хвильових рівнянь, яка виникає в мікроструктурній теорії п'єзоелектричних порошків. // Тези доповідей 6 міжнародн. конф. памяті акад.

8. П. Кравчука, Київ, Нац.техн. унів. України “КПІ”, 1997. - С. 416.

9. Хотенко І.М. Нелінійні плоскі гармонічні хвилі в двофазних п'єзоелектричних порошках. // Тези доповідей 7 міжнародн. конф. памяті акад. П. Кравчука, Київ, Нац. техн. унів.України „КПІ“, 1998. - С. 515.

10. Коваленко А.П., Рущицкий Я.Я., Хотенко И.Н. Моделирование плоских волн в пьезопорошках. // Thesis of Conference Reports of Intern. Conference "Modelling and

11. Investigation of System Stability", Kiev, T.Shevchenko University, 1999. - P.38.

12. Rushchitsky J.J., Khotenko I.M. Nonlinear plane waves in piezoelectric powders. // Annotations of lectures of XVIIIth Symposium "Vibrations in Physical Systems", Poland, Poznan,1998. - P. 230-231.

Размещено на Allbest.ru