Поширення акустоелектричних хвиль в п’єзоелектричних циліндрах

16

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність: 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Поширення акустоелектричних хвиль в пєзоелектричних циліндрах

Шульга Володимир Миколайович

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Мольченко Леонід Васильович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет, професор кафедри механіки суцільних середовищ

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Карнаухов Василь Гаврилович Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу термопружності

кандидат фізико-математичних наук Підлипенець Олександр Миколайович Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа Донецький державний університет (м. Донецьк)

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

Анотація

Шульга В.М. Поширення акустоелектричних хвиль в пєзоелектричних циліндрах. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертація присвячена розвитку загальної теорії і чисельних методів дослідження дисперсії акустоелектричних хвиль в кругових порожнистих циліндрах з пєзоелектричних матеріалів низької анізотропії фізико-механічних властивостей типу кристалів ромбічної системи з різними орієнтаціями вісі симетрії другого порядку. Повна система рівнянь лінійної електропружності в циліндричних координатах зведена до восьми рівнянь типу операторної гамільтонової системи по радіальній координаті, розроблений і реалізований чисельний спосіб розвязання спектральних задач для гамільтонових систем відносно амплітудних функцій акустоелектричних нормальних хвиль в циліндрі, для хвиль типу Релея-Лемба у плоскому шарі розвинута чисельна процедура розщеплення симетричних і антисиметричних хвиль. Проведений кількісний і якісний аналіз дисперсійних характеристик нормальних акустоелектричних хвиль в циліндрах і шарах з різних матеріалів.

Ключові слова нормальні акустоелектричні хвилі в циліндрах і шарах, гамільтонова система, чисельний аналіз дисперсійних характеристик.

Аннотация

Шульга В.М. Распространение акустоэлектрических волн в пьезоэлектрических цилиндрах. Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Диссертация посвящена развитию общей теории и численных методов исследования дисперсии акустоэлектрических волн в круговых полых цилиндрах из пьезоэлектрических материалов низкой анизотропии физико-механических свойств типа кристаллов ромбической системы с разными ориентациями оси симметрии второго порядка. Полная система уравнений линейной электроупругости в цилиндрических координатах приведена к восьми уравнениям типа операторной гамильтоновой системы по радиальной координате, разработан и реализован численный способ решения спектральных задач для гамильтоновых систем относительно амплитудных функций акустоэлектрических нормальных волн в цилиндре, для волн типа Релея-Лемба в плоском слое развита численная процедура расщепления симметричных и антисимметричных волн. Проведен количественный и качественный анализ дисперсионных характеристик нормальных акустоэлектрических волн в цилиндрах и слоях из различных материалов.

Ключевые слова нормальные акустоэлектрические волны в цилиндрах и слоях, гамильтонова система, численный анализ дисперсионных характеристик.

Annotation

Shul'ga V.M. Propagation of acoustoelectric waves in piezoelectric cylinders. Manuscript.

Dissertation for obtaining Candidate Degree of Science in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid, Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to the development of general theory of electroelasticity and numerical methods for investigating the geometrical dispersion of acoustoelectric waves of different polarization in circular hollow cylinders of piezoelectric materials with low anisotropy of its physicomechanical properties of the type of crystals of the rhombic system of class mm2 with radial and longitudinal orientations of axis of symmetry of the second order.

Complete system of equations of linear electroelasticity in circular cylindrical coordinates is reduced to eight equations in the form of operator Hamiltonian system with respect to radial coordinate relative to the three displacement components, the electric potential, the three stress components on the area element and the radial component of electric displacement vector (last four functions are multiplied on). Physicomechanical parameters of the material can depend on the radial coordinate but their derivatives with respect to are not included in obtained equations. There exist twenty four ways to realize such a transformation.

By means of the linear change of spatial variables and passage to the limit at curvature radius in the obtained system we get a system of equations of electroelasticity in Hamiltonian form in rectangular coordinates. For zero piezoelectric modules the latest system is split into two independent ones for elastic and electrostatic oscillations.

Representation of the solutions of obtained systems of eight equations in the form of traveling waves of nonaxial direction transforms them to Hamiltonian systems relative to the amplitude functions of waves.

Homogeneous boundary conditions on the lateral surfaces of cylinder (nonmetalized and short metalized) allow one to form one hundred and twenty eight spectral problems. The solutions of these problems are found by reduction method to four Cauchy problems with linearly independent initial conditions at the left end that are consistent with the boundary conditions at the left end. A linear combination of the solutions of the Cauchy problems allows the boundary conditions at the right end to be satisfied and the dispersion equation in the implicit form to be obtained. The functions of the wave number of the frequency are determined from the dispersion equation. The Runge-Kutta method of fourth order is applied to solve the Cauchy problems. Roots of the dispersion equation are determined by the bisection method in the dissertation.

In the special case (curvature of the middle surface of cylinder is equal to zero) we obtain a system of equations for Rayleigh-Lamb waves in a plane layer. For the identical boundary conditions on the lateral planes the procedure is proposed and realized in the dissertation for constructing the solution allowing symmetric and antisymmetric waves relative to the middle plane of plate to be divided.

Exact formulas in the plane layer and аррroximation analytic ones in the cylinder are obtained for the frequencies of wave generation. In the case of cylinder the first frequencies are obtained by means of solving the spectral problems in terms of the polynomials of second power whereas higher frequencies are assumed to be equal to the ones in the plane layer. The frequencies of wave generation do not depend on the direction of wave propagation. Special cases are considered for the dispersion equation of fourth order when it is split into two independent ones for axisymmetric longitudinal-transverse waves and torsional waves along the axis of cylinder and for nonaxisymmetric plane-polarized waves and antiplane-polarized (linearly polarized) waves in a circular ring. The dispersion curves can intersect in these cases. Strong approaching of the dispersion curves to each other (strong interaction of the different modes) are observed in the vicinities of these points for the other directions of wave propagation.

The analysis of the geometrical dispersion is carried out for a plane layer and a cylinder for of piezoelectric materials of type (rhombic system of class mm2) and PZT-4 piezoceramic (hexagonal system of class mm6). The cases of longitudinal (planar) and radial (thickness) orientations of axis of symmetry of the second order are considered. The external surfaces covered by short circuited electrodes are free of mechanical stresses. The polarization of waves is determined by the angle of the direction of their propagation. Waves of nonaxial direction occur for (and are considered in numerical computation). Plane-polarized waves and antiplane-polarized waves in a circular ring occur for. Axisymmetric longitudinal-transverse waves and torsional waves along the axis of cylinder occur for.

The wave generation frequency notation is used for the dispersion curves. Notation of two letters is used for double zero frequencies of wave generation. Double notation is not used for and. In these cases we can identify not only frequencies of wave generation but also dispersion curves in the large since we obtain the independent determinants for torsional waves and shear waves for and for antiplane-polarized waves and shear waves for.

The wave generation frequencies determined numerically are close to those calculated by analytic formulas even for. Dispersion curves for (plane layer) for PZT-4 with thickness axis of polarization do not depend on the angle. The density of the dispersion spectrum varies little with the angle. Dispersion curves are smooth and waves are propagated practically without dispersion over considerable frequency intervals. A backward wave appears on one to three curves depending on the material, the values of and.

Dispersion spectrum for the longitudinal axis of symmetry of the physicomechanical properties has on the whole the same regularities as in the case of the radial axis of symmery.

Key words: normal acoustoelectric waves in cylinders and layers, Hamiltonian system, numerical analysis of dispersion characteristics.

1. Загальна характеристика роботи

акустоелектричний хвиля фізика

Актуальність і ступінь дослідженості тематики дисертації. Дослідження взаємодії деформацій твердих тіл з електромагнітним полем має важливе фундаментальне і прикладне значення. Знання фізичних механізмів і принципів взаємодії, їх фізико-механічне і математичне моделювання дозволяє виявити якісні і кількісні закономірності звязаних електромагнітомеханічних процесів, розширити відомі і встановити нові можливості застосування ефектів звязності, розробити науково обгрунтовані методи проектування і створення пристроїв різного функціонального призначення, у роботі яких використовуються чи проявляються явища електромагнітомеханічної взаємодії.

Пєзоелектричний ефект, відкритий у кінці минулого століття, з часом став предметом всебічного вивчення і застосування в різних галузях науки і техніки. Розвиток теорії і математичні методи аналізу закономірностей деформування твердих тіл з пєзоелектричних матеріалів, різноманітні аспекти практичного застосування пєзоелектриків висвітлені в цілій низці монографій, оглядових праць і великої кількості статей у науковій літературі.

Основними режимами функціонування пєзоелектричних елементів є динамічні гармонічні коливальні та хвильові процеси. Якщо обємні і поверхневі акустоелектричні хвилі є досить вивченими, то цього не можна сказати про нормальні акустоелектричні хвилі, особливо у хвилеводах з неплоскими напрямними поверхнями.

Звязок роботи з науковими програмами. Дисертаційні дослідження є частиною науково-дослідних робіт за проектом № 1.4/368 Державного фонду фундаментальних досліджень при Міністерстві України у справах науки і технологій і частково підтримані грантом № PSU081008 Міжнародної науково-освітньої програми.

Мета і задачі дисертаційної роботи полягають у розвитку теорії і чисельних методів дослідження геометричної дисперсії акустоелектричних хвиль в кругових циліндрах з пєзоелектричних матеріалів низької анізотропії типу кристалів ромбічної системи з різною орієнтацією вісі симетрії другого порядку фізико-механічних властивостей, аналізі дисперсійних характеристик хвиль і їх залежності від фізико-механічних і геометричних параметрів.

Наукова новизна. У дисертації вперше повна система рівнянь лінійної електропружності в циліндричних координатах приведена до восьми рівнянь типу операторної гамільтонової системи по радіальній координаті відносно відповідним чином вибраних канонічних змінних, розроблений чисельний підхід для розвязання спектральних задач для гамільтонових систем відносно амплітудних функцій акустоелектричних нормальних хвиль різної поляризації в порожнистих циліндрах, для випадку хвиль типу Релея-Лемба у плоскому шарі розвинута чисельна процедура розщеплення симетричних і антисиметричних хвиль, проведений кількісний і якісний аналіз дисперсійних характеристик акустоелектричних хвиль в циліндрах і шарах з пєзоелектричних матеріалів типу кристалів ромбічної системи та гексагональної системи (пєзокераміки) з різними осями симетрії фізико-механічних властивостей.

Достовірність результатів та висновків дисертації забезпечується коректною фізико-математичною постановкою хвильових задач лінійної електропружності, застосуванням апробованих чисельних методів розвязування спектральних задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, контрольованою точністю обчислень, узгодженістю результатів із загальними фізичними закономірностями і співпаданням їх в окремих випадках з відомими у науковій літературі.

Практичне значення отриманих результатів дисертаційної роботи полягає у можливості застосування розроблених методик і встановлених закономірностей поширення нормальних акустоелектричних хвиль при розробці нових типів хвилеводів, використання результатів просторової теорії електропружності для оцінки точності і меж застосування прикладних теорій, використання одержаних результатів загального характеру в учбових програмах.

Апробація роботи. Основні положення і результати дисертації доповідалися і обговорювалися на міжнародній конференції «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Kyiv, May 1999), на 11^th Inter-Institute Seminar on Youth and Computational Mechanics (Cracow - Janowice, Poland, October 1999) та на семінарах Київського університету імені Тараса Шевченка, Донецького державного університету, Інституту механіки НАН України.

Публікації. Основні положення і результати досліджень по темі дисертації опубліковані в пяти наукових працях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 134 найменувань і викладена на 166 сторінках з 42 малюнками.

2. Зміст роботи

У вступі висвітлено актуальність та рівень дослідженості теми дисертації і її звязок з конкретними науково-дослідними роботами, сформульовано мету і задачі дослідження, наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, їх достовірність та викладено короткий зміст роботи.

У першому розділі виконано огляд літератури по теорії нормальних акустоелектричних хвиль і наведені основні рівняння і співвідношення лінійної теорії електропружності.

Розвиток теорії, математичних методів і закономірності деформування твердих тіл з пєзоелектричних матеріалів висвітлені у монографіях Кеді У. Мезона У.П. Tiersten H.F. Дьелесана Е., Руайе Д. Балакірева М.К., Гілінського І.А. Новацького В. Короткіної М.Р. Партона В.З., Кудрявцева Б.А. Карнаухова В.Г., Киричка І.Ф. Грінченка В.Т., Улітка А.Ф., Шульги Н.А. Шульги Н.А., Болкісєва А.М. Можена Ж. колективних книгах оглядового характеру під редакцією Мезона У., Терстона Р. Олінера А. Богданова С.В. оглядових роботах Кудрявцева Б.А. Гуляєва Ю.В., Медведя А.В. Кудрявцева Б.А., Партона В.З., Сеніка Н.А. Мезона У.

Основними режимами роботи пєзоелектричних елементів пристроїв різноманітного призначення є гармонічні коливальні і хвильові режими. Перехідні процеси в пєзоелектриках вивчалися Бабаєвим А.Е., Жарієм О.Ю., Кубенком В.Д., Савіним В.Г., Улітком А.Ф. та іншими. Закономірності поширення обємних і поверхневих акустоелектричних хвиль висвітлені у вказаних вище монографіях і наукових оглядах. Менш вивченими є нормальні акустоелектричні хвилі, особливо в пєзоелектричних тілах з неплоскими граничними поверхнями.

Акустоелектричні хвилі в плоских шарах вивчали Tiersten H.F., Гуляєв Ю.В., Карабанов А.Ю., Paul H.S., Anandam C., Федорченко А.М., Кучеров И.Я., Бурлій П.В., Ільїн П.П., Dalem P.A., Cheng N.C., Sun C.T., Ganduly S.N., Боровков О.В., Устінов Ю.А., Мадорський В.В., Гетман И.П., Schmidt G.H., Балакірєв М.К., Гілінський И.А., Космодаміанський А.С., Сторожев В.И., Raju D.P., Аветисян А.С., Mizutani K., Toda K., Every A.G.

Нормальні акустоелектричні хвилі в однорідних і шаруватих циліндрах досліджували Paul H.S., Ventavteswara S.K., Raju D.P., Chen C.L., Івіна Н.Ф., Касаткін Б.А., Wilson L.O., Morrison J.A., Шульга Н.А., Лоза І.А., Григоренко А.Я., Євсейчик Ю.Б., Медведєв К.В., Мельник С.І., Яригіна Н.А., Устінов Ю.А., Матросов А.А., Sun C.T., Cheng N.C., Ambardar A., Ferris C.D. Поширення хвиль в коловому напрямку циліндру розглядали Вікторов І.А., Пятаков В.П., Гололобов В.І., Половінкіна І.Б. В переважній більшості робіт нормальні хвилі в циліндрах вивчалися тільки для пєзокерамічних матеріалів з різними напрямками вісі попередньої поляризації.

У другому розділі досліджується поширення акустоелектричних хвиль в порожнистому круговому циліндрі з пєзоелектричних матеріалів типу кристалів ромбічної системи класу mm2 з радіальною віссю симетрії другого порядку фізико-механічних властивостей. Основна система включає рівняння механічних коливань, рівняння Гауса і матерiальнi спiввiдношення в яких враховані формули Коші для деформацій і градієнтний розвязок квазістатичного наближення рівняння електродинаміки. Векторам і потрібно надати значень.

Iндексна нумерація пружних, електропружних i дiелектричних параметрів вибрана відповідно до. Для кристалів гексагональної системи класу mm6 і поляризованої пєзокераміки.

Однорідні граничні умови на зовнішніх поверхнях вибираються по одній з чотирьох альтернативних пар а на внутрішніх поверхнях розриву при досконалому механічному і електричному контактах повинні виконуватися умови неперервності. Наближена умова справедлива для сильних діелектриків, а умова має місце для металізованих поверхонь при закорочених електродах. Крім того, ці дві умови повинні використовуватися одночасно на обох граничних поверхнях.

У дисертації основна система (1)-(4) зведена до восьми рiвнянь відносно невідомих (канонічних змінних) Якщо фізико-механічні параметри залежать від змінної, то похідні від них по в операторні матриці, останні дві з яких симетричні, не входять. Система (6) має форму операторної гамільтонової системи з операторною функцiєю Гамiльтона Перехід від рівнянь (1) - (4) до системи (6) шляхом зміни порядку канонічних змінних можна виконати двадцятьма чотирма способами.

Якщо в системі (6) замінити змінні і виконати граничний перехід, то одержимо систему рівнянь в прямокутних координатах вiдносно канонічних змінних, яка також є системою гамільтонового типу з операторною функцiєю Гамiльтона.

При система (6), а, отже, і (7), розпадаються на дві незалежні підсистеми, перша з яких відповідає задачі про пружні коливання, а друга є задачею електростатики.

Розвязок системи (6) для циліндричної області (- товщина циліндру) вибирається у вигляді бiжучих хвиль

Нова координата, циклiчна частота, нормуючі параметри розмiрнiстю вiдповiдно, дiелектрична постійна.

Розвязок у такій формі охоплює декілька випадків поляризації хвиль при - хвильове число, кут напрямку поширення хвилi, маємо хвилі неосьового напрямку при осесиметричні (поздовжньо-поперечні і крутильні) хвилi в осьовому напрямку при хвилі в коловому напрямку (плоска і антиплоска поляризації) при - неосесиметричні по координатi хвилі, що поширюються вздовж осi цилiндру з постiйною поширення.

Пiдставляючи (8) в (6), одержимо гамільтонову систему відносно канонічних змінних з функцією Гамільтона.

Умови неперервностi при переходять у вимоги Комбіновані граничні умови при записуються в загальному вигляді причому. Надаючи альтернативним парам коефіцієнтів значень та, з урахуванням рівностей, одержимо різні можливі варіанти граничних умов при і. На двох зовнішніх поверхнях формально може бути записано сто двадцять вісім типів граничних умов.

Для розвязування спектральної задачі (9),(10),(11) розвивається чисельний спосіб. Розвязок крайової задачі представляється лінійною комбінацією розвязків чотирьох задач Коші. Початкові умови на лівому кінці вибираються у вигляді лінійно незалежних ненульових векторів, які не суперечать крайовим умовам (11) при. Для розвязання задач Коші у дисертації застосовується метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Лінійна комбінація (12) дозволяє виконати довільні умови (11) на правому кiнцi. Наприклад, у випадку вільних від механічних напружень і покритих закороченими електродами поверхонь, вибравши початкові вектори у вигляді одержимо однорідну систему з матрицею i вектором невiдомих. Умова iснування нетривiального розвязку системи (14) є дисперсiйним спiввiдношенням, з якого визначається залежність хвильового числа від частоти. Для довільної пари на дисперсійних кривих по відповідному їм нетривіальному розвязку однорідної системи (14) знаходиться форма хвилі по радіальній координаті. Фазова та групова швидкостi визначаються за відомими формулами вiдповiдно. Інші випадки граничних умов на бічних поверхнях циліндру розглядаються аналогічно.

При дисперсійний визначник четвертого порядку (15) розпадається на два незалежні дисперсійні рівняння, одне з яких відповідає плоскополяризованим акустоелектричним хвилям, а інше - антиплоскополяризованим (лінійнополяризованим) пружним хвилям, що поширюються в коловому напрямку в круговому кільці. При дисперсійний визначник четвертого порядку (15) розпадається на два незалежні дисперсійні рівняння, одне з яких відповідає осесиметричним поздовжньо-поперечним акустоелектричним хвилям, а інше - крутильним пружним хвилям, що поширюються в осьовому напрямку. Дисперсійні криві у випадках і можуть перетинатися між собою.

Для визначення частот зародження хвиль у дисперсійному рівнянні (15) потрібно покласти, внаслідок чого воно розпадається на три незалежні частотні рівняння.

Першому з цих рівнянь відповідають електропружні радіальні коливання, другому і третьому відповідно колові і поздовжні пружні коливання. Для частот зародження хвиль можна одержати наближені аналітичні формули, якщо виходити безпосередньо із спектральних задач для системи (9), поклавши в ній. Оскільки одержані таким чином спектральні задачі не мають простих розвязків, то при знаходженні частот зародження застосовується наближений підхід. Його суть полягає у тому, що перші частоти зародження знаходяться по наближених розвязках вказаних задач у вигляді поліномів другого ступеня, а друга і т. д. частоти знаходяться по точних розвязках цих спектральних задач, покладаючи в них. В результаті для частот зародження хвиль одержані наближені значення, в яких впорядковані по зростанню додатні корені рівнянь і. Частоти зародження не залежать від кута.

У частинному випадку рівняння (9) переходять в систему рівнянь про хвилі типу Релея-Лемба у плоскому шарі. Якщо при будуть задані однотипні граничні умови, то загальний алгоритм розвязання спектральних задач можна спростити, розглядаючи незалежно симетричні і антисиметричні відносно серединної площини шару хвилі. Для кожного з цих типів хвиль розвязки задач Коші потрібно знаходити на інтервалах при одиничних початкових векторах для симетричних хвиль і одиничних початкових векторах для антисиметричних хвиль. Дисперсійні рівняння формулюються з граничних умов при. При вільних від механічних напружень покритих закороченими електродами зовнішніх площинах дисперсійні рівняння для обох типів хвиль матимуть вигляд (15). При дисперсійний визначник четвертого порядку розпадається на два дисперсійні визначники нижчого порядку, причому для пружних зсувних хвиль дисперсійні співвідношення одержані в аналітичному вигляді. Частоти зародження хвиль визначаються за формулами (17) при, які у цьому випадку є точними. Їх розділено на випадки симетричних і антисиметричних хвиль.

Дисперсійне рівняння (15) містить велику кількість фізико-механічних параметрів, що виключає його повний аналіз у просторі параметрів. У таких випадках всі дослідники ідуть шляхом розгляду конкретних задач.

У дисертації кількісний аналіз дисперсійного рівняння проведений для плоского шару і циліндру при для пєзоелектричних матеріалів типу пєзокераміки PZT-4 і ніабату барію і натрію.

Нумерація дисперсійних кривих вибрана по частотах зародження хвиль. При двократних нульових частотах зародження застосовується позначення з двох переставлених літер. Оскільки при одержуємо незалежні визначники для крутильних і зсувних хвиль, а при для антиплоскополяризованих і зсувних хвиль, і тим самим можемо ідентифікувати не тільки частоти зародження, а і дисперсійні криві в цілому, то в цих випадках подвійна літерація не застосовується.

Проведені розрахунки показали, що дисперсійні криві носять плавний характер і на значних частотних проміжках хвилі поширюються практично без дисперсії. Густина частотного спектру практично не залежить від кута. Деякі пари дисперсійних кривих лежать близько одна від одної на всьому діапазоні зміни хвильового числа і при всіх. Явище зворотної хвилі спостерігається на одній - трьох дисперсійних кривих в залежності від матеріалу, кута і значення. Дисперсійні криві при (плоский шар) для PZT-4 не залежать від кута. Точки перетину дисперсійних кривих для і при інших значеннях породжують осередки сильної взаємодії хвиль, де дисперсійні криві сильно зближуються (гіперболічні точки на спектрі). Перші дисперсійні криві для зсувних хвиль та крутильних і антиплоскополяризованих хвиль при і, які будуть чисто пружними, є прямі, а вищі - гіперболи. Чисельні значення частот зародження хвиль в циліндрі близькі до розрахунків за наближеними формулами (17) навіть при. Нижчі дисперсійні криві для шару і циліндру з PZT-4 при співпадають з відомими у літературі (де вони одержані іншим способом), що підтверджує достовірність одержаних в дисертації результатів.

У третьому розділі досліджується поширення акустоелектричних хвиль в порожнистому круговому циліндрі з пєзоелектричних матеріалів типу кристалів ромбічної системи класу mm2 з поздовжньою віссю симетрії другого порядку фізико-механічних властивостей. У цьому випадку рівняння (1) і (2) замикаються матеріальними співвідношеннями (3), в яких векторам і потрібно надати значень Iндексна нумерація пружних, електропружних i дiелектричних параметрів вибрана відповідно до.

У дисертації основна система (1), (2), (3), (21) зведена до восьми аналогічних (6) рiвнянь у формі операторної гамільтонової системи з іншими матрицями і іншими канонічними змінними. Для одержаної системи мають місце такі ж самі властивості, що і для системи (6), причому в граничній системі типу (7) в прямокутних координатах канонічними змінними будуть.

Розвязок для циліндричної області вибираємо у вигляді бiжучих хвиль

Для амплітудних функцій одержимо гамільтонову систему (9) з іншими матрицями і функцією Гамільтона. Умови неперервності (10) при залишаються незмінними, а в граничних умовах (11) при і останні рівності замінюються на

Алгоритм розвязання спектральної задачі залишається без змін. Одиничні вектори у випадку вільних від механічних напружень і покритих закороченими електродами поверхонь.

З граничних умов на правому кінці одержимо однорідну систему (14) і дисперсійне рівняння (15) з матрицею.

При дисперсійний визначник четвертого порядку розпадається на два незалежні дисперсійні рівняння, одне з яких відповідає плоскополяризованим пружним хвилям, а інше - антиплоскополяризованим (лінійнополяризованим) акустоелектричним хвилям, що поширюються в коловому напрямку в круговому кільці. При дисперсійний визначник четвертого порядку розпадається на два незалежні дисперсійні рівняння, одне з яких відповідає осесиметричним акустоелектричним хвилям, а інше - крутильним пружним хвилям, що поширюються в осьовому напрямку. Дисперсійні криві у випадках можуть перетинатися між собою.

Для визначення частот зародження хвиль одержуємо три частотні рівняння.

Перше і друге з цих рівнянь відповідають пружним радіальним і коловим коливанням, а третє - електропружним поздовжнім коливанням. Для частот зародження хвиль можна одержати наближені аналітичні формули, якщо виходити безпосередньо із спектральних задач для аналогічної (9) системи при. Чинячи так як і у другому розділі, для частот зародження хвиль одержимо наближені значення, в яких впорядковані по зростанню додатні корені рівнянь і. Частоти зародження не залежать від кута.

У частинному випадку рівняння типу (9) переходять в систему рівнянь типу (18) про хвилі Релея-Лемба у плоскому шарі. Якщо при будуть задані однотипні граничні умови, то загальний алгоритм розвязання спектральних задач можна спростити, розглядаючи незалежно симетричні і антисиметричні відносно серединної площини шару хвилі. Для кожного з цих типів хвиль розвязки задач Коші потрібно знаходити на інтервалах при одиничних векторах (19) і (20). Дисперсійні рівняння формулюються з граничних умов при. При вільних від механічних напружень покритих закороченими електродами зовнішніх площинах дисперсійні рівняння для обох типів хвиль матимуть вигляд (15) при. При дисперсійний визначник четвертого порядку розпадається на два визначники нижчого порядку, причому для пружних хвиль зсуву дисперсійні співвідношення одержані в аналітичному вигляді. Частоти зародження хвиль визначаються за формулами (26) при (їх розділено на випадки симетричних і антисиметричних хвиль), які у цьому випадку є точними.

Кількісний аналіз дисперсійного рівняння проведений для плоского шару і циліндру при для пєзоелектричних матеріалів типу пєзокераміки PZT-4 і ніабату барію і натрію. Для нумерації дисперсійних кривих використовується такий же підхід, як і в другому розділі. Частоти зародження хвиль не залежать від кута і для циліндру навіть при чисельні розрахунки практично співпадають з аналітичними формулами (26).

Дисперсійний спектр в основному має такі ж закономірності, як і у випадку радіальної вісі симетрії фізико-механічних властивостей, хоча і має низку відмінностей. Дисперсійні криві для плоского шару для PZT-4 залежать від кута. Зсувні хвилі для плоского шару і антиплоскополяризовані хвилі для циліндру при тепер будуть акустоелектричними, а, отже, відповідні дисперсійні криві не будуть гіперболами, і не буде прямою лінією (бездисперсійною кривою). Не спостерігається близькість дисперсійних кривих, яка визначалася при радіальній вісі симетрії. Явище зворотної хвилі має місце для меншої кількості дисперсійних кривих.

Основні результати і висновки роботи

Повна система рівнянь лінійної електропружності в кругових циліндричних координатах перетворена до восьми рівнянь типу операторної гамільтонової системи по радіальній координаті з відповідним чином вибраними канонічними змінними і операторною функцією Гамільтона, розглянуті частинні і граничні випадки.

Хвильові задачі про нормальні акустоелектричні гармонічні хвилі в круговому циліндрі зведені до спектральних задач для гамільтонових систем звичайних диференціальних рівнянь і для їх розвязання розроблені чисельні процедури, що базуються на розвязках задач Коші методом Рунге-Кутта і визначенні коренів трансцендентних рівнянь методом бісекції.

У частинному випадку плоского шару запропонована і реалізована чисельна процедура, яка дозволяє при однотипних однорідних граничних умовах на лицевих сторонах незалежно дослідити симетричні і антисиметричні відносно серединної площини шару хвилі типу Релея-Лемба.

Проведено кількісний аналіз геометричної дисперсії нормальних акустоелектричних хвиль різної поляризації в порожнистих циліндрах і плоских шарах для матеріалів типу кристалів ромбічної системи класу mm2 і попередньо поляризованої пєзокераміки з радіальними і поздовжніми осями симетрії фізико-механічних властивостей. Одержані аналітичні залежності для частот зародження хвиль в плоских шарах і тонкостінних циліндрах. Проаналізовані випадки розщеплення дисперсійного визначника четвертого порядку на незалежні дисперсійні визначники нижчих порядків.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Шульга В.M. Численный анализ дисперсии электроупругих волн в цилиндре // Теорет. и прикл. механика. - 1997. - Вып. 27. - C. 149-153.

2. Шульга В.M. Численный анализ дисперсии электроупругих волн в цилиндре с продольной осью симметрии физических свойств // Теорет. и прикл. механика. - 1998. - Вып. 28. - C. 151-156.

3. Шульга В.M. До розв'язання рівнянь електропружності в циліндричних координатах // Доп. НАН України. - 1999. - N 3. - C. 71-74.

4. Шульга В.M. О распространении акустоэлектрических волн в полом цилиндре с продольной осью симметрии физических свойств // Прикл. механика. - 1999. - 35, N 4. - С. 37-46.

5. Шульга В.M. О распространении акустоэлектрических волн в полом цилиндре с радиальной осью симметрии физико-механических свойств // Прикл. механика. - 1999. - 35, N 7. - С. 49-58.

6. Шульга В.M. Чисельний аналіз геометричної дисперсії акустоелектричних хвиль у циліндричних тілах з фізико-механічними властивостями типу кристалів ромбічної системи з поздовжньою віссю другого порядку // Dynamical systems modelling and stability investigation. Thesеs of conference reports. - Kyiv, May 25-29, 1999. - Р. 84.

7. Shul'ga V.M. Numerical analysis of the geometrical dispersion of acoustoelectric waves in hollow cylinder and layer // 11^th Inter-Institute Seminar on Youth and Computational Mechanics. Abstract of papers. - Janowice, October 7 - 10, 1999. -P. 31.

Размещено на Allbest.ru