Точний розв’язок граничних задач для пружного середовища з веретеноподібним включенням

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський університет імені Тараса Шевченка

УДК 539.3

Спеціальність: 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

Робота виконана в Київському університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України, професор Улітко Андрій Феофанович, Київський університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук Сенченков Ігор Костянтинович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, головний наук. співробітник

- доктор фізико-математичних наук, професор Мартиненко Михайло Антонович, Український державний університет харчових технологій, завідувач кафедри вищої математики,

Провідна установа: Державний університет "Львівська політехніка" (290013, м. Львів - 13, вул. С. Бандери, 12)

Захист відбудеться " 08 " вересня 1999 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка (252127, м. Київ - 127, проспект Глушкова 2, корпус 7, механіко-математичний факультет)

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (252033, м. Київ - 33, вул. Володимирська, 64).

Автореферат розісланий " 20 " липня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

Анотації

Забаранкін М.Ю. Точний розв'язок граничних задач для пружного середовища з веретеноподібним включенням. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка твердого деформівного тіла. - Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертаційна робота присвячена створенню ефективного математичного апарату для побудови точного розв'язку граничних задач просторової теорії пружності в переміщеннях для області, зовнішньої до веретеноподібного тіла. Розв'язок рівняння Ламе для довільних граничних умов зведено до крайової задачі, що зв'язує значення шуканої аналітичної функції на трьох паралельних контурах. Показано, що шляхом перетворення даної крайової задачі до задачі з рівними коефіцієнтами при значеннях на крайніх контурах можливо здійснити чисельну реалізацію її розв'язку на основі інтегрального рівняння Фредгольма другого роду з майже різницевим ядром. Побудовано аналог формул Шварца для x-аналітичної функції в біполярній системі координат.

Ключові слова: веретеноподібне тіло, циклідні координати, рівняння Ламе, модель Стокса, точний розв'язок, система рівнянь типу Коші-Рімана, формули Шварца, крайова задача для аналітичної функції.

Забаранкин М.Ю. Точное решение граничных задач для упругой среды с веретенообразным включением. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика твердого деформируемого тела. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Диссертационная работа посвящена созданию эффективного математического аппарата для построения точного решения граничных задач пространственной теории упругости в перемещениях для области, внешней по отношению к веретенообразному телу. Решение уравнения Ламе для произвольных граничных условий приведено к краевой задаче, которая связывает значения искомой аналитической функции на трёх параллельных контурах. Показано, что путём преобразования данной краевой задачи к задаче с равными коэффициентами при значениях на крайних контурах возможно осуществить численную реализацию её решения на основе интегрального уравнения Фредгольма второго рода с почти разностным ядром. Построен аналог формул Шварца для x-аналитической функции в биполярной системе координат.

Ключевые слова: веретенообразное тело, циклидные координаты, уравнение Ламе, модель Стокса, точное решение, система уравнений типа Коши-Римана, формулы Шварца, краевая задача для аналитической функции.

Zabarankin M. Yu. The Exact Solution of Boundary-Value Problems for Elastic Medium with a Spindle-shaped Inclusion. - Manuscript.

Dissertation for the Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Solids. - Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to the construction of exact solution of the boundary-value problems for elastic medium with a spindle-shaped inclusion.

The structure of the dissertation is the following: introduction, six chapters (the first one is the bibliography review), conclusion, the bibliography and four appendixes.

In the introduction to the dissertation the author stresses out the reasons of choosing the theme for dissertation, the innovations delivered, the approbation of the researcher's results (conferences, publications etc.).

The components of the displacement vector in general case are presented as algebraic combinations of the four harmonic functions. Using technique O. Tedone each harmonic function is expressed by its own boundary value in a region, which is exterior to the spindle-shaped inclusion. Because the number of unknown harmonic functions in the presentation of the displacement vector exceeds the number of the boundary conditions for their determination the clue relations, which have the form of linear partial differential equations connecting given functions, have been constructed. The advantage of such solution forms for the problems, which are set up in cyclide coordinates, consists in the absence of the differential dependencies in the boundary conditions. This enables one using the boundary conditions to express the sought harmonic functions in a simple manner by the boundary value of one of them, which is named carrier-function. The carrier-function is determined from the corresponding clue relation. The Lame equation solution is considered to be known if the boundary values of all sought harmonic functions have been determined. In the Second Chapter the solution forms based on vorticity and dilatation functions are considered in detail.

In view of complicated structure of vectorial clue relations the attention is solely paid to the development of the construction methods of scalar clue relation solutions. These ones include the method of direct integration and the method of boundary-value problems for analytical functions, which are considered in the Third Chapter. The method of the clue relation reduction to a boundary-value problem is general, unlike the method of direct integration, which is effective in an axisymmetrical case of the boundary conditions only. However, the way of the boundary-value problem producing is not always simple. Schwarz formulas for x-analytical functions are independently constructed by the methods of direct integration and reduction to the boundary-value problem for the analytical function.

Solving of the wide class problems of elasticity is reduced to the functional equation that binds the values of the sought analytical function on three parallel contours. In case when the coefficients at the exterior contours are equal it turns out that this equation is possible to reduce to the Riemann vectorial boundary-value problem for the analytical function with the discontinued coefficient matrix. The reduction manner is suggested. The regularization manner of such discontinued coefficient matrix is offered. In a simple case the analytical solution for this vectorial problem is obtained. Numerical realization of the functional equation on three parallel contours could be rationally performed using complex Fourier transformation by the reduction manner to Fredholm integral equation.

The motion of the rigid spindle with constant velocity in the Stokers fluid is considered in Chapter Four. The exact solution of this motion problem is presented by the biharmonic classic stream function. The stream lines of the Stokes flow about spindle are constructed. Based on the obtained Schwarz formulas for x-analytical function the pressure function is introduced in the analytical form. Numerical calculations of the vorticity and pressure function values are performed on the contour of spindle. Also the vorticity and pressure function values are asymptotically evaluated near the apex on the spindle surface. The resistance force exerted on the spindle is calculated depending on the geometrical parameter. The formulas for stress tensor components are obtained on the spindle surface.

The exact solution of the second fundamental boundary-value problem of elasticity in axisymmetrical case for the elastic medium containing the spindle-shaped inclusion is suggested in Chapter Five. The displacements vector is presented as algebraic combination of the vortex function and the arbitrary harmonic vector. The Fourier transform of the boundary-value vorticity function is determined from the Fredholm integral equation of the second kind with quasi-difference kernel. The displacement problem of the rigid spindle along axis of symmetry is considered as an example. The vorticity and pressure function formulas are presented on the spindle inclusion surface. The force exerted on the inclusion is calculated depending on the geometrical parameter and the different values of Poisson number.

In general case of the boundary conditions the Lame equation solution for the region exterior to the spindle-shaped inclusion is offered in Chapter Six. This solution is initially presented by the algebraic combination of the dilatation function and an arbitrary harmonic vector. Being an analytical function, the Fourier transform of the dilatation boundary-value k-harmonic is determined from the conjugation problem at three parallel contours in the complex plane. Obtained problem is reduced to Fredholm integral equation with a quasi-difference kernel. In order to illustrate the general theory the force exerted on any spindle-shaped inclusion is calculated depending on the geometrical parameter and different values of Poisson number m for the case of the displacement rigid inclusion along transverse axis on the constant magnitude.

Key words: spindle, cyclide coordinates, Lame equation, Stokes model, exact solution, equations system of Cauchy-Riemann type, Schwarz formulas, boundary-value problem for analytical function.

Загальна характеристика роботи

Актуальність і ступінь дослідження тематики дисертації. Використання математичних моделей пружного середовища у побудові розв'язків граничних задач теорії пружності завжди потребує точного визначення границь їх застосовності до опису реальних процесів з метою коректного аналізу механічних ефектів, що виникають. Проведення повного подібного аналізу і дозволяє встановити як можливі спрощення в використанні даної математичної моделі, так і ступінь її коректності стосовно механічних явищ, що мають бути пояснені.

В межах просторової геометрично лінійної теорії пружності, що використовує феноменологічний закон Гука, потреба в проведенні повного коректного аналізу механічних характеристик пружного середовища, яке містить жорсткі включення у вигляді тора, лінзи, веретеноподібного тіла, приводить до необхідності розвитку математичного апарата для побудови розв'язків рівняння Ламе для тіл, що віднесені до циклідних координат.

Мета і задачі дисертаційного дослідження. Основна мета дисертаційного дослідження полягала в тому, щоб побудувати точний розв'язок рівняння Ламе для області, зовнішньої до веретеноподібного тіла, в самому загальному випадку граничних умов, і базуючись на отриманому розв'язку, здійснити кількісний аналіз механічних характеристик у випадках осесиметричного та неосесиметричного зміщень жорсткого веретеноподібного тіла в пружному середовищі в залежності від числа Пуасона m.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана дисертаційна робота належить до напрямку комплексної наукової програми Київського Університету на 19972000 р. за темою "Дослідження закономірностей деформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв'язності полів різної природи і розробка методів їх кількісного опису".

Наукова новизна дисертаційного дослідження характеризується наступними основними результатами:

Методами прямого інтегрування і крайових задач вперше побудовано аналог формул Шварца для узагальнених аналітичних функцій в біполярній системі координат. За допомогою отриманих формул дано повний кількісний та асимптотичний аналіз механічних характеристик при русі веретеноподібного тіла у рідині моделі Стокса, що відповідає пружному середовищу з числом Пуасона .

Запропоновано використовувати для розв'язання граничних задач просторової теорії пружності представлення компонент вектора переміщень у вигляді алгебраїчних комбінацій гармонійних функцій, які повинні задовольняти спеціальним ключовим рівнянням. Вперше вдалося звести розв'язок рівняння Ламе для області, зовнішньої до веретеноподібного тіла, при довільних граничних умовах до функціонального рівняння на трьох паралельних контурах з рівними коефіцієнтами при значеннях невідомої функції на крайніх контурах.

Показано, що отримане функціональне рівняння є частинним випадком векторної крайової задачі Рімана з розривною матрицею коефіцієнтів, запропоновано один із способів регуляризації такої матриці, побудовано розв'язок цієї задачі у найпростішому випадку.

Вперше здійснено кількісне обчислення напружень на контурі веретеноподібного включення та сили опору при зсуві як в осесиметричному, так і в неосесиметричному випадках. Проведено асимптотичний аналіз вказаних механічних характеристик в околі вершини веретеноподібного включення.

Практичне значення отриманих результатів дисертаційної роботи полягає в наступному. Побудований ефективний математичний апарат для розв'язання граничних задач для пружного середовища з веретеноподібним включенням може служити основою для дослідження проблем просторової геометрично та фізично лінійної теорії пружності для тіл, віднесених до циклідних систем координат. Для отримання якісної картини поведінки механічних характеристик задачі в переміщеннях достатньо розглядати для випадків чисел Пуасона і . Функція тиску, що визначається з розв'язку задач про рух жорстких тіл у в'язкій нестисливій рідині, використовується в хімічних технологіях, що пов'язані з процесом осадження частинок у в'язких розчинах.

Апробація результатів дисертації. Різні аспекти даної дисертаційної роботи було представлено на наукових семінарах "Проблеми механіки" кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського університету імені Тараса Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А.Ф. Улітка, доповідалися на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (Україна, м. Львів, 1998), на науковій конференції Annual GAMM conference at the University of Metz /GAMM-99/ (Франція, м. Метц, 1999), на 4-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Україна, м. Львів, 1999) з опублікуванням тез доповідей. Основні результати дослідницької роботи знайшли відображення в трьох публікаціях у фахових наукових виданнях.

Структура та об'єм дисертації. Враховуючи поставлене перед дисертаційним дослідженням завдання, дисертація структурно складається з вступу, шести розділів (12 підрозділів), висновків, списку використаної літератури та чотирьох додатків. Загальний обсяг складає 154 сторінки, список використаних джерел займає 5 сторінок (80 найменувань), додатки складають 21 сторінку.

Зміст роботи

пружність веретеноподібний рівняння фредгольм

У вступі обґрунтовується актуальність проведення дисертаційного дослідження, визначається його мета та завдання, встановлюється зв'язок із науковими програмами організації, де виконувалась робота. Формулюються наукова новизна та практичне значення отриманих результатів, що виносяться на захист. Подається перелік наукових конференцій, семінарів та публікацій, в яких відображені різни аспекти проведеного дослідження.

В першому розділі подано огляд літератури, в якому шляхом критичного аналізу розглянуто розвиток просторової теорії пружності в напрямку побудови розв'язків граничних задач в переміщеннях для тіл, віднесених до циклідних координат. В першу чергу увагу приділено задачам стоксової течії, математична модель якої співпадає з рівнянням Ламе із числом Пуасона та допускає в осесиметричному випадку граничних умов введення функції току. Зазначено, що в попередніх публікаціях стосовно задач про рух жорстких тіл, таких як тор, лінза та веретеноподібне тіло, в рідині моделі Стокса не досліджена важлива механічна характеристика функція розподілу тиску, для побудови якої необхідно звертатись до апарату x-аналітичних функцій. Згідно до класичних традицій впроваджена концепція визначення x-аналітичної функції як розв'язку узагальненої системи рівнянь типу Коші-Рімана. Центральне місце в огляді відведено неосесиметричній постановці граничних умов в задачах просторової теорії пружності для тіл канонічної форми. Побудова розв'язків рівняння Ламе з довільним числом Пуасона для еліпсоїда та тора зводиться до нескінченої тричленної рекурентної системи алгебраїчного типу. Обговорено можливі напрямки в дослідженні функціонального рівняння на трьох паралельних контурах метод сингулярних інтегральних рівнянь та зведення до крайової задачі Рімана зі спряженням для аналітичної функції.

В другому розділі "Теорія потенціалу і рівняння Ламе в біполярній системі координат" зосереджено базові форми представлення розв'язків гармонійного і бігармонійного рівнянь.

Слід зазначити, що у випадку веретеноподібного тіла, яке є однозв'язним тілом, треба покласти , на відміну від тора, що є неоднозв'язним тілом, для якого .

Для визначення функцій і отримана система рівнянь алгебраїчного типу, з розв'язку якої встановлено:

(16)

де для визначника цієї системи введено позначення:

. (17)

Базуючись на отриманому розв'язку (16), побудовано лінії току при обтіканні жорсткого веретеноподібного тіла в'язкою нестисливою рідиною для значень геометричного параметра

.

Проведено чисельний та асимптотичний аналіз перших коренів детермінанта (17) в залежності від .

В другому підрозділі "Аналіз основних характеристик потоку в'язкої рідини при русі веретеноподібного тіла" наведено значення вихрової функції в області, зовнішній до веретеноподібного тіла. Як важливий випадок, подано значення вихрової функції на контурі :

,

для якого на основі теорії лишків із застосуванням даних для першого кореня детермінанта (17) встановлено, що в локальних координатах асимптотична поведінка в околі вершини веретеноподібного тіла має особливість кореневого типу. Побудовано графік як функції від в залежності від параметра .

Шляхом прямого інтегрування фундаментального співвідношення векторного поля з використанням формул Шварца (11) побудовано функцію тиску в області, зовнішній до веретеноподібного тіла. Подано важливе для практичного застосування значення функції тиску на контурі :

для якого встановлено, що, як і для вихрової функції в локальних координатах , асимптотична поведінка в околі вершини веретеноподібного тіла має особливість кореневого типу, за виключенням випадку

,

в якому особливість стає логарифмічною. Побудовано графік як функції від в залежності від параметра .

Базуючись на законі Гука, що зв'язує компоненти тензорів напружень та швидкостей деформацій, у випадку , показано, що на контурі веретеноподібного тіла компоненти тензора напружень мають вигляд:

, (18)

де модуль зсуву пружного середовища та динамічний коефіцієнт в'язкості для в'язкої рідини.

На основі отриманих значень для компонент тензора напружень (18) подана формула сили опору при русі веретеноподібного тіла:

,

що співпадає зі значенням сили опору, яке розраховується через границю функції току на нескінченості. Побудовано графік сили опору в залежності від геометричного параметра . Наведено таблицю значень сили опору для випадків , , , , , , . У випадку виродження веретеноподібного тіла до голки () сила опору прямує до нуля, та навпаки, при виродженні у тор нескінченого радіуса без отвору () необмежено зростає.

Проведений асимптотичний аналіз основних механічних характеристик потоку в'язкої нестисливої рідини при русі жорсткого веретеноподібного тіла встановив існування критичного значення геометричного параметра рівного

У заключній частині дисертації сформульовано основні висновки дослідження поставлених проблем.

Сконструйовано математичний апарат для побудови розв'язків довільних граничних задач теорії пружності в переміщеннях для області, зовнішньої до веретеноподібного тіла, синтез форм, що представляють компоненти вектора переміщень у вигляді лінійних алгебраїчних комбінацій гармонійних функцій, і методів побудови розв'язків відповідних ключових рівнянь, яким повинні задовольняти дані гармонійні функції. Побудовано аналог формул Шварца для x- аналітичної функції в біполярній системі координат незалежно один від одного методами прямого інтегрування і крайових задач.

Проведений кількісний аналіз задач про зміщення жорсткого веретеноподібного тіла у пружному середовищі як в осесиметричному, так і в неосесиметричному випадках показав, що зміна числа Пуасона в межах не впливає на якісну картину поведінки механічних характеристик пружного середовища на контурі веретеноподібного тіла поза околом вершини. Для кожного фіксованого значення геометричного параметра () спостерігається монотонне спадання чисельних значень сили опору, а також функцій вихору та об'ємного стиску в екваторіальної області від до . Найбільш помітна зміна значень даних характеристик відбувається на інтервалі . Отже, основний висновок, що випливає з кількісного аналізу, полягає в тому, що побудований математичний апарат дозволяє адекватно відобразити при заданих граничних умовах реальну картину поведінки механічних характеристик пружного середовища з веретеноподібним включенням, що має особливість в геометрії, і для отримання якісної картини поведінки механічних характеристик як в осесиметричному, так і в неосесиметричному випадках достатньо розглядати граничні задачі в зміщеннях для чисел Пуасона і .

В додатку А розглянуто отримання одного інтегрального співвідношення спеціального вигляду, що використовується в методі прямого інтегрування.

В додатку Б побудовано розв'язок векторної крайової задачі Рімана для кусково-аналітичного вектора з розривною матрицею коефіцієнтів у найпростішому випадку.

В додатку В наведено таблиці чисельних значень перших коренів функцій Лежандра верхнього індексу 0, 1, 2, 3 та детермінанту, що виникає в осесиметричних граничних задачах.

В додатку Г представлено загальні формули головного вектора та головного моменту дії пружного середовища на довільне жорстке включення осесиметричної форми.

Основні положення дисертаційного дослідження відображені в публікаціях

Забаранкин М.Ю. Единый подход к решению обобщённой системы уравнений типа Коши-Римана // Доповіді НАН України. - 1999. - № 5. - С. 30-33.

Забаранкін М.Ю. Класичний підхід до розв'язання рівняння Ламе в осесиметричному випадку для веретеноподібного тіла // Вісник Київського університету, Сер.: фіз.-мат. науки. - 1999. - Вип.1. - С. 14-18.

Забаранкін М.Ю. Класичний підхід до розв'язання рівняння Ламе для веретеноподібного тіла // Машинознавство. - 1999. - № 3. - С. 23-31.

Размещено на Allbest.ru