Гидродинамика

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис.5). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями и . За время этот объем переместится вдоль трубки тока, причем сечение переместится в положение , пройдя путь сечение переместится в положение пройдя путь . В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: .

Рис.5.

Вследствие стационарности течения частица, находящаяся - спустя время в любой из точек не заштрихованной части рассматриваемого объема (см., например, точку О на рис.5), имеет такую же скорость, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов и .

Возьмем сечение трубки тока и отрезки настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления p и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом:

(2).

( -- плотность жидкости).

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям и . Эта работа равна:

(3).

Приравняем выражения (2) и (3), сократим на и перенесем члены с одинаковыми индексами в одну сторону равенства, то получим:

(4).

Сечения и были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока выражёние имеет одинаковое значение. В соответствии уравнение (4) становится точным лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю. Величины v, p, h стоящие в левой и правой частях уравнения (4), нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.

Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

(5).

Уравнение (5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока условие (4) принимает вид

т. e. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу устройства водоструйного насоса (рис.6).

Рис.6.

Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большей скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного.

3. Истечение жидкости из отверстия

Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны -- отверстие, через которое жидкость вытекает (рис.7).

Рис.7.

В каждом из этих сечений скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми, вследствие чего к ним можно применить уравнение (4).

Далее, давления в обоих сечениях одинаковы, так как они равны атмосферному давлению.

Скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю. С учетом всего сказанного, уравнение (4) применительно к данному случаю можно написать в виде

где v -- скорость истечения из отверстия.

Сократив на и введя -- высоту открытой поверхности жидкости над отверстием, получим: откуда

(6).

Эта формула называется формулой Торричелли.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (6), чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис.8), уносит с собой за время импульс ( -- плотность жидкости, S -- площадь отверстия, -- скорость истечения струи).

Рис.8.

Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости за время импульс, равный , т. е. испытывает действие силы. Эта сила называется реакцией вытекающей струи.

(7)

Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы F, он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Найдем значение силы воспользовавшись выражением (6) для скорости истечения жидкости из отверстия:

(8)

Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то была бы равна . На самом деле сила оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.

4. Силы внутреннего трения

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис.9), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние между ними d. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью .

Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной по величине силой F. Раз пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается равной ей по величине противоположно направленной силой, которая, очевидно, есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее .

Варьируя скорость пластины площадь пластин и расстояние между ними d, можно получить, что

(9)

Где -- коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры) жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа). Нижняя пластина при движении верхней также оказывается подверженной действию силы равной по величине . Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу необходимо уравновесить с помощью силы

Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин друг относительно друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (9). Воздействие пластин друг на друга осуществляется, очевидно, через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если в любом месте зазора провести мысленно плоскость, параллельную пластинам (см. пунктирную линию на рис. 9), то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой , а часть жидкости, лежащая под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащую над плоскостью, с силой причем значения и определяются формулой (9). Таким образом, формула (9) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в. разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам (рис.9), по линейному закону

(10)

Рис. 9.

Частицы жидкости непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Согласно формуле (10)

(11)

Знак модуля мы поставили по следующей причине. Если бы мы закрепили верхнюю пластину, а двигали нижнюю (см. рис.9), или изменили направление оси z на обратное, производная стала бы отрицательной. Величина же всегда положительна. Поэтому для того, чтобы формула (11) была справедлива в любом случае, нужно взять модуль .

Использовав равенство (11), формуле (9) можно придать вид

(12)

Эта формула определяет модуль силы трения. Величина показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z, и представляет собой модуль градиента модуля скорости (если v зависит только от z, ).

Формула (12) получена нами для случая, когда скорость изменяется по линейному закону. Оказывается, что эта формула остается справедливой и для любого другого закона изменения скорости от слоя к слою. В этом случае для определения силы трения между двумя граничащими друг с другом слоями нужно брать значение в том месте, где проходит воображаемая поверхность раздела слоев. Все сказанное в этом параграфе относится не только к жидкостям, но и к газам.

Единицей вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (обозначается Па*с).

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости существенно различен для жидкостей и газов. У жидкостей коэффициент вязкости сильно уменьшается с повышением температуры.

У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет. Отличие в характере поведения при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трений в жидкостях и газах.

5. Ламинарное и турбулентное течения

Наблюдается два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным (слоистым). Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь, на всей длине потока, так как частицы жидкости в ламинарном потоке не переходят из одного слоя в другой. Ламинарное течение стационарно.

При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости.

Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом -- течение нестационарно. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределяется по всему сечению потока.

Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины:

(13)

Где -- плотность жидкости (или газа), v -- средняя (по сечению трубы) скорость потока, -- коэффициент вязкости жидкости, l -- характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении и т. д.

Величина (13) называется числом Рейнольдса. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения Re называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой трубы взять ее радиус r, то критическое значение числа Рейнольдса (которое в этом случае имеет вид (13)) оказывается равным примерно 1000. В число Рейнольдса входят в виде отношения две величины, зависящие от свойств жидкости: плотность и коэффициент вязкости . Отношение

(14)

называется кинематической вязкостью. В отличие от v величина называется динамической вязкостью. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать следующий вид;

(15)

Число Рейнольдса может служить критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и т. д. Характер течения различных жидкостей (или газов) в трубах разных сечений будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.

6. Течение жидкости в круглой трубе

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая течение ламинарным, найдем закон изменения скорости с расстоянием r от оси трубы.

Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис.10). При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна .

Эта сала действует в направлении движения жидкости. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная  (Имеется в виду значение  на расстоянии r от оси трубы). Условие стационарности имеет вид

(16)

Скорость убывает с расстоянием от оси трубы. Следовательно, отрицательна и . Учтя это, преобразуем соотношение (16) следующим образом:

Разделив переменные, получим уравнение:

Рис.10.

Интегрирование дает, что

(17)

Постоянную интегрирования нужно выбрать так, чтобы скорость обращалась в нуль на стенках трубы, т. е. r=R(R -- радиус трубы).

Рис.11.

Рис.12.

Из этого условия

Подстановка значения С в (17) приводит к формуле

(18)

Значение скорости на оси трубы равно

(19)

С учетом этого формуле (18) можно придать вид

(20)

Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону (рис.11).

При турбулентном течении скорость в каждой точке меняется беспорядочным образом. При неизменных внешних условиях постоянной оказывается средняя (по времени) скорость в каждой точке сечения трубы. Профиль средних скоростей при турбулентном течении изображен на рис.12. Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, в остальной же части сечения скорость изменяется меньше.

Полагая течение ламинарным, вычислим поток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины dr (рис.13). Через кольцо радиуса r пройдет за секунду объем жидкости, равный произведению площади кольца  на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы. Приняв во внимание формулу (20), получим:

(21)

Чтобы получить поток Q, нужно проинтегрировать выражение (21) по r в пределах от нуля до R:

(22)

(S -- площадь сечения трубы). Из формулы (22) следует, что при ламинарном течении среднее (по сечению) значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы. Подставив в (22) значение (19) для  получим для потока формулу

(23)

Рис.13.

Эта формула называется формулой Пуазейля. Согласно (23) поток жидкости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы, пропорционален четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости. Напомним, что формула Пуазейля применима только при ламинарном течении.

Соотношение (23) используется для определения вязкости жидкостей. Пропуская жидкость через капилляр известного радиуса и измеряя перепад давления и поток Q, можно найти .

7. Движение тел в жидкостях и газах

При движении тела в жидкости или газе на него действуют силы, равнодействующую которых мы обозначим буквой R (рис. 14).

Рис.14.

Силу R можно разложить на две составляющие: на Q, направлена в сторону, противоположную движению тела, а вторая, Р, перпендикулярна к этому направлению. Составляющие Q и Р называются лобовым сопротивлением и подъемной силой.

Как показывают расчеты, в идеальной жидкости равномерное движение тел должно было бы происходить без лобового сопротивления; Не обладая вязкостью, идеальная жидкость должна свободно скользить по поверхности тела, полностью обтекая его. На рис. 15 показаны линии тока при обтекании очень длинного цилиндра идеальной жидкостью.

Рис.15

Вследствие полного обтекания картина оказывается совершенно симметричной как относительно прямой, которая проходит через точки А и В, и через точки С и D. Давление вблизи точек А и В будет одинаково (и больше, чем в невозмущенном потоке); и вблизи точек С и D тоже будет одинаково (и меньше, чем в невозмущенном потоке). Следовательно, результирующая сил давления на поверхность цилиндра, очевидно, будет равна нулю. Такой же результат получается и для тел другой формы. Иначе протекают явления при движении тела в жидкости, обладающей вязкостью. В этом случае тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой последующие слои. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев становится меньше, и на некотором расстоянии от поверхности жидкость оказывается практически не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости (пограничным слоем), в котором имеется градиент скорости. В нем действуют силы трения, которые оказываются приложенными к телу и приводят к возникновению лобового сопротивления.

Полное обтекание становится невозможным. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри (рис.16). Вихри уносятся потоком, а затем постепенно затухают вследствие трения. Энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным, поэтому результирующая сил давления будет отлична от нуля, в свою очередь, обусловливая лобовое сопротивление. Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. При данных поперечных размерах тела сопротивление давления сильно зависит от формы тела.

Рис.16.

По этой причине его называют также сопротивлением формы. Наименьшим сопротивлением давления обладают тела хорошо обтекаемой (каплевидной формы) (рис.17).

Рис.17.

Такую форму стремятся придать фюзеляжу, крыльям самолетов, кузову автомобилей и т п Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления определяется значением числа Рейнольдса (24). В данном случае l -- некоторый характерный размер тела, v -- скорость тела относительно жидкости. При малых Re основную роль играет сопротивление трения, так что сопротивлением давления можно пренебречь. При увеличении Re - сопротивление давления возрастает. При больших значениях Re в лобовом сопротивлении преобладают силы давления.

Формула Стокса. При малых Re т. е. при небольших скоростях движения (и небольших l см. (24)), сопротивление среды обусловлено только силами трения. Стокс установил, что сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости скорости v движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела (предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости больше размеров тела). Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шара, если в качестве l взять радиус шара r, коэффициент пропорциональности оказывается равным . Следовательно, сила сопротивления движению шарика в жидкостях при небольших скоростях в соответствии с формулой Стокса равна

Подъемная сила. Для возникновения подъемной силы вязкость жидкости не имеет существенного значения. На рис.18 показаны линии тока при обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра.

Рис.18

Вследствие полного обтекания линии тока будут симметричны относительно прямой CD, а относительно прямой АВ картина будет несимметричной. Линии тока сгущаются вблизи точки С, поэтому давление здесь будет меньше, чем вблизи точки D, и возникает подъемная сила Р. Также возникает подъемная сила и в вязкой жидкости.

Подъемная сила поддерживает самолет в воздухе, действуя на его крылья. Лобовое сопротивление играет при полете самолета вредную роль. Поэтому крыльям самолета и фюзеляжу придают хорошо обтекаемую форму. Профиль крыла должен вместе с тем обеспечивать достаточную по величине подъемную силу.

Рис.19.

Оптимальным для крыла является показанный на рис.19 профиль, найденный великим русским ученым Н. Е. Жуковским.