Вектори експоненціального типу операторів із дискретним спектром над банаховими просторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський державний університет імені Івана Франка

УДК 517.98

Вектори експоненціального типу операторів із дискретним спектром над банаховими просторами

- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дмитришин Мар'ян Іванович

ЛЬВІВ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної Академії наук України.

Захист відбудеться 20 травня 1999 року о 15.20 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою: 290602, м. Львів, вул. Університетська,1 (аудиторія 377).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий 19 квітня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Микитюк Я.В.

АНОТАЦІЇ

Дмитришин М.І. Вектори експоненціального типу операторів із дискретним спектром над банаховими просторами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз, Львівський державний університет імені Івана Франка, Львів, 1999.

У дисертації для операторів із дискретним спектром встановлено ізоморфізм між просторами кореневих векторів і векторів експоненціального типу. Наведено застосування до - теорії диференціальних операторів. Зокрема, в термінах векторів експоненціального типу описано простори кореневих функцій регулярних та деяких вироджених еліптичних диференціальних операторів. Побудовано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для операторів із дискретним спектром та щільним простором векторів експоненціального типу.

Ключові слова: оператор із дискретним спектром, вектор експоненціального типу, функціональне числення, еліптичний диференціальний оператор.

Дмитришин М.И. Векторы экспоненциального типа операторов с дискретным спектром над банаховыми пространствами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский государственный университет имени Ивана Франко, Львов, 1999.

В диссертации для операторов с дискретным спектром установлен изоморфизм между пространствами корневых векторов и векторов экспоненциального типа неограниченного оператора A в банаховом пространстве. В частности, показано, что банахово пространство векторов конечного экспоненциального типа совпадает с прямой суммой корневых подпространств, соответствующих собственным значениям оператора A строго меньшим по модулю за .

Приведено применение результатов для абстрактного оператора в теории дифференциальных операторов над функциональными банаховыми пространствами, в частности, в теории эллиптических дифференциальных операторов над пространствами .

Показано, что пространство векторов экспоненциального типа набора операторов частного дифференцирования, заданных в пространстве , где ограниченная область в n-мерном эвклидовом пространстве , совпадает со сужениями на пространства целых функций экспоненциального типа n комплексных переменных.

В терминах функций экспоненциального типа описаны пространства корневых функций регулярных эллиптических дифференциальных операторов в ограниченных областях и на компактных многообразиях класса . Доказано, что корневые функции оператора, порожденного регулярной эллиптической задачей в ограниченной области в случае постоянных коэффициентов уравнения и произвольных граничных операторов допускают продолжение на все пространство до целых функций экспоненциального типа. Этот же результат распространяется на регулярные эллиптические дифференциальные операторы, заданные на компактных многообразиях класса . В качестве примера такого многообразия рассматривается граница ограниченной области класса .

В рамках - теории с помощью векторов экспоненциального типа описаны пространства корневых функций некоторых классов вырожденных эллиптических дифференциальных операторов. В частности, операторов, которые характеризуются сильным вырождением их коэффициентов вблизи границы (и на бесконечности), а также обобщенных дифференциальных операторов Лежандра.

Построено функциональное исчисление в интерполяционных классах символов для операторов с дискретным спектром и плотным пространством векторов экспоненциального типа.

Определена алгебра символов и приведены основные свойства функционального исчисления. Построен алгебраический изоморфизм из алгебры символов в алгебру операторов над пространством корневых векторов замкнутого оператора.

Элементы алгебры не являются функциями в обычном смысле, поэтому используется понятие интерполяции, с помощью которого реализуется указанный выше изоморфизм.

Показано существование замкнутого расширения функций от оператора с дискретным спектром и плотным пространством векторов экспоненциального типа в рамках определенного функционального исчисления.

Приведены аналоги теорем об отображении спектра и сложные функции от операторов с дискретным спектром.

Ключевые слова: оператор с дискретным спектром, вектор экспоненциального типа, функциональное исчисление, эллиптический дифференциальный оператор.

Dmytryshyn M. I. Vectors of exponential type of operators with discrete spectrum on Banach spaces. - Manuscript.

Thesis for obtain the Candidate of Physical and Mathematical degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis, Ivan Franko Lviv State University, Lviv, 1999.

For the operators with discrete spectrum the isomorphism between the spaces of root vectors and exponential type vectors is established in the dissertation. The application to the - theory of differential operators is given. In particular, the spaces of root functions of regular elliptic and some of singular elliptic differential operators are described in terms of exponential type vectors. The functional calculus in interpolatory classes of symbols for the operators with discrete spectrum and dense space of the exponential type vectors is constructed.

Key words: operator with discrete spectrum, vector of exponential type, functional calculus,ellipticdifferential operator.

кореневий абстрактний еліптичний вектор

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналітичні вектори в контексті представлень груп було введено в роботах Хариш-Чандри (1953). В теорію лінійних необмежених операторів поняття такого вектора запровадив Нельсон у зв'язку із проблемою існування самоспряжених розширень операторів. Ю.М. Березанським встановлено критерій самоспряженості операторів у термінах більш загального поняття - квазіаналітичного вектора.

В класі аналітичних векторів виділяють цілі вектори експоненціального типу. Локально опуклі та нормовані простори векторів експоненціального типу необмежених операторів над банаховими просторами досліджувались в роботах Я.В. Радино (1985). Ним, зокрема, побудовано операторне числення, а також встановлена щільність множини таких векторів для генераторів обмежених сильно неперервних груп.

М.Л. Горбачуком і В.І. Горбачук (1995) встановлено щільність векторів експоненціального типу для операторів із відокремлюваним спектром, введеного Ю.І. Любичем і В.І. Мацаєвим (1960), у припущенні що їх резольвента задовольняє умові Левінсона і спектр лежить на дійсній осі.

Г.В. Радзієвським (1997) розв'язана проблема найкращих наближень елементів банахового простору векторами експоненціального типу необмежених операторів. Встановлено оцінки зверху таких наближень через K- функціонали (нерівності типу Джексона), а також оцінки зверху K- функціоналів через такі наближення (нерівності типу Бернштейна). Звідси, як частинний випадок, випливає ряд класичних теорем з теорії наближень функцій тригонометричними поліномами та цілими функціями експоненціального типу.

Таким чином, коло проблем, де використовується техніка векторів експоненціального типу, охоплює значну частину спектральної теорії операторів над банаховими просторами та її застосувань. Це підтверджує актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась у рамках науково-дослідної теми "Розробка операторних та геометричних методів функціонального аналізу на основі теорії топологічних алгебр і їх застосування до дослідження нелінійних еволюційних рівнянь у банахових просторах" (номер державної реєстрації 0193U033339) відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є опис векторів експоненціального типу операторів із дискретним спектром над банаховими просторами, побудова для таких операторів функціонального числення в інтерполяційних класах символів, а також застосування одержаних результатів до теорії диференціальних операторів у функціональних просторах.

У дисертації, зокрема, розглянуто

- проблему характеризації скінченних прямих сум кореневих підпросторів за допомогою векторів експоненціального типу у випадку абстрактних операторів,

- функціональні простори кореневих функцій регулярних і деяких сильно вироджених еліптичних граничних задач,

- проблему опису класу символів функціонального числення операторів із дискретним спектром у класах замкнених операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації для операторів із дискретним спектром над банаховими просторами

- знайдено опис скінченних прямих сум кореневих підпросторів операторів у термінах їх векторів експоненціального типу,

- описано простори кореневих функцій у банахових просторах регулярних еліптичних операторів над обмеженими областями евклідового простору і на компактних многовидах, а також деяких сильно вироджених еліптичних операторів і узагальнених операторів Лежандра,

- побудовано функціональне числення в інтерполяційних алгебрах символів для замкнених операторів, зокрема, встановлено алгебраїчний ізоморфізм алгебри символів бікомутантові заданого оператора над кореневими векторами, показано існування замикання функцій від оператора і досліджено властивості відображення спектру.

Названі результати є новими. Вони розвивають результати досліджень ряду авторів, зокрема, М.Л. Горбачука, Г.В. Радзієвського, Я.В. Радино - у випадку абстрактних операторів, С. Агмона, Л. Ніренберга, Х. Трібеля - у випадку еліптичних диференціальних операторів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони знаходять застосування в теорії диференціальних рівнянь із частинними похідними і математичній фізиці.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації основні результати отримані автором самостійно. Науковому керівнику належить постановка задач і загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: V-й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 1996р.); Всеукраїнській конференції "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (м. Чернівці, 1996р.); Міжнародній конференції "Теорія апроксимацій та чисельні методи" (м. Рівне, 1996р.); Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (м. Дрогобич, 1997р.); VII-й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 1998р.); Міжнародній конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (м. Львів, 1998р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м.Чернівці, 1998р.); семінарах із функціонального аналізу Львівського державного університету ім. І. Франка та ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України; Регіональному семінарі з математичного аналізу.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в одинадцяти роботах, з яких п'ять у виданнях, затверджених ВАК України, та шість у матеріалах Міжнародних і Всеукраїнських наукових математичних конференцій.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 126 стор. Список використаних джерел включає 90 найменувань.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дано загальну характеристику роботи. Зокрема, обгрунтовано актуальність теми, практичне значення одержаних в дисертації результатів.

У першому розділі подано огляд праць, які стосуються тематики роботи. Наведено основні поняття та теореми, що використовуються у дисертації. Сформульовано основні результати, які виносяться на захист.

У другому розділі досліджуються банахові простори векторів експоненціального типу, ізоморфні скінченним прямим сумам кореневих підпросторів операторів із дискретним спектром, що діють над банаховими просторами. За їх допомогою описано простори, яким належать кореневі функції ряду регулярних і вироджених еліптичних операторів із дискретним спектром, а також диференціальних операторів Лежандра.

Нехай - банахів простір над полем комплексних чисел С, - замкнений необмежений лінійний оператор із щільною в областю визначення .

Для довільного числа визначимо простір вигляду

з нормою .

Я.Радино введено дещо інші класи банахових просторів векторів експоненціального типу оператора A, а саме, простори вигляду з нормою , де c - незалежна від k постійна.

Простори та зв'язані наступними неперервними вкладеннями для будь-якого числа .

Простором векторів експоненціального типу оператора A називаємо індуктивну границю відносно вкладень

.

Означення 1.2.1. Оператор називається оператором із дискретним спектром, якщо:

(a) спектр оператора є послідовністю власних чисел з єдиною точкою скупчення на безмежності;

(b) кожне число є полюсом резольвенти і йому відповідає скінченновимірний кореневий підпростір

,

де - індекс власного числа , тобто, найменше невід'ємне ціле число таке, що для довільного вектора x, для якого .

Спектри оператора A та його звужень на простори , пов'язані наступним чином.

Лема 2.1.4. Для довільного оператора A із дискретним спектром справджується рівність

.

Наступна теорема є основним результатом другого розділу. Вона описує скінченні прямі суми кореневих підпросторів оператора з дискретним спектром в термінах його векторів експоненціального типу.

Теорема 2.1.1. Нехай A- оператор із дискретним спектром. Тоді для довільного числа справджується рівність

.

Зокрема, простори скінченновимірні.

У підрозділі 2.2 доведено, що простір векторів експоненціального типу наборів операторів частинного диференціювання, заданих в просторі , де - обмежена область в n-вимірному евклідовому просторі , співпадає із звуженням на простору - цілих функцій експоненціального типу n комплексних змінних.

У підрозділі 2.3 описано простори кореневих функцій регулярних еліптичних диференціальних операторів в обмежених областях .

Нехай - обмежена область в з границею класу і набір операторів

, , (2.13)

, , ,

регулярно еліптичний.

В просторі розглянемо замкнений оператор A, заданий співвідношеннями

і , (2.14)

де і - простір Соболєва порядку 2m. Далі позначаємо , .

Теорема 2.3.1. Нехай A- оператор, заданий співвідношеннями (2.14). Тоді справедливі рівності

,,

.

Наступна теорема описує простір кореневих функцій оператора, породженого регулярною еліптичною задачею, у випадку постійних коефіцієнтів рівняння.

Теорема 2.3.2. Нехай A- оператор, заданий співвідношеннями (2.14), має непорожню резольвентну множину. Якщо коефіцієнти оператора A є постійними, то

.

Теорема 2.3.2 у підрозділі 2.4 узагальнюється на випадок диференціальних операторів на многовидах.

Нехай компактний многовид має вигляд границі обмеженої області класу , - простір нескінченно-диференційовних функцій. На многовиді розглянемо регулярний еліптичний диференціальний оператор A порядку 2m, який в локальних координатах , можна зобразити у вигляді

, , (2.25)

де коефіцієнти - постійні. Припускаємо, що при є дійсними числами, оператор - симетричний в над і, крім цього, існує число таке, що

для всіх .

Теорема 2.4.1. Нехай оператор A, заданий формулою (2.25), з областю визначення в має непорожню резольвентну множину. Тоді справедливі рівності

, ,

.

Функції із простору локально (у кожній підмножині ) припускають розширення до цілих функцій експоненціального типу (n-1) комплексних змінних.

У підрозділі 2.5 за допомогою векторів експоненціального типу описано також простори кореневих функцій ряду сильно вироджених еліптичних операторів.

Теорема 2.5.1. Нехай , де клас визначений в означенні 2.5.2. Далі, нехій , і для деякого . Тоді для оператора A з областю визначення в просторі справедливі рівності

, ,

.

У підрозділі 2.6 досліджуються узагальнені диференціальні оператори Лежандра.

Теорема 2.6.1. Нехай - оператор із означення 2.6.1, - його замикання в .

(а) Для

(b) Для

В теоремі 2.6.2, аналогічно до теореми 2.6.1, описано простори векторів експоненціального типу замикання в оператора із означення 2.6.1.

У третьому розділі побудовано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для операторів із дискретним спектром та щільним простором векторів експоненціального типу.

Далі А - оператор із дискретним спектром над банаховим простором та щільним за нормою підпростором векторів експоненціального типу.

Довільному власному числу співставимо -вимірний комплексний векторний простір

з нормою

,

де - проектор Ріса на кореневий підпростір .

Лема 3.1.1. Простір є комутативною банаховою алгеброю відносно згортки

,

,

із одиничним елементом Спектр алгебри складається з єдиного характера і відповідний йому максимальний ідеал збігається з радикалом і має розмірність .

Підпростору поставимо у відповідність прямий добуток алгебр

із нормою

та покоординатним множенням елементів

,

де

Побудуємо проективну границю банахових алгебр вигляду

- канонічні проекції і

Лема 3.1.2. Проективна границя є комутативною алгеброю Фреше відносно множення і - її одиничний елемент. Топологія породжується послідовністю півнорм , які задовольняють співвідношення

,

для всіх та

Топологічний спектр алгебри (множина неперервних характерів із слабкою топологією, індукованою спряженим до простором) збігається зі спектром оператора , наділеним дискретною топологією, і відповідне перетворення Гельфанда

здійснює топологічний гомоморфізм алгебри на зліченний прямий добуток поля C із покоординатним множенням елементів.

Спектр довільного елемента f в алгебрі збігається із послідовністю чисел .

Позначимо через та звуження оператора на інваріантні підпростори та відповідно. Нехай - бікомутант оператора в алгебрі і - бікомутант оператора в алгебрі.

Наступна теорема є одним із основних результатів третього розділу. Вона описує алгебру символів функціонального числення для оператора A над простором його кореневих векторів.

Теорема 3.2.1. (a) Відображення

здійснює топологічний ізоморфізм банахової алгебри на бікомутант .

(b) Відображення

,

є топологічним ізоморфізмом алгебри Фреше на бікомутант .

Наслідок 3.2.1. Спектр оператора в алгебрі має вигляд .

Наслідок 3.2.2. Довільному елементу відповідає єдина послідовність інтерполяційних многочленів , яка визначає оператор =.

Для довільного оператора існує єдиний елемент і, отже, єдина послідовність інтерполяційних многочленів , таких, що .

Зокрема, оператор є визначеним для довільної функції , заданої на спектрі , для якої існує розв'язок задачі інтерполяції із даними , (задані значення функції і її відповідних похідних у точках спектра).

Теорема 3.2.1 дозволяє розвинути для оператора A функціональне числення в класі замкнених операторів над B.

Теорема 3.1.2. Для довільного елемента оператор припускає замикання над B із областю визначення

На основі теореми 3.3.1, як і в класичному випадку, можна довести аналог теореми про складні функції.

Теорема 3.4.2. Припустимо, що виконуються наступні умови:

(a) функція , задана на спектрі , є розв'язком задачі інтерполяції із даними ,.

(b) функція , задана на спектрі елемента , є розв'язком задачі інтерполяції із даними, де і . Тоді для композиції функцій справедливе співвідношення

.

ВИСНОВКИ

У роботі для операторів із дискретним спектром над банаховими просторами описано простори векторів експоненціального типу, що співпадають з прямими сумами кореневих підпросторів, і встановлено, що простір всіх векторів експоненціального типу збігається з простором кореневих векторів.

В термінах векторів експоненціального типу наведено опис простору кореневих функцій регулярних і деяких сильно вироджених еліптичних операторів, а також узагальнених диференціальних операторів Лежандра.

Побудувано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для операторів із дискретним спектром та щільним підпростором векторів експоненціального типу. Встановлено аналоги теорем про відображення спектру і складні функції від таких операторів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В РОБОТАХ

1. Дмитришин М.І., Лопушанський О.В. Базисність систем кореневих векторів операторів з компактною резольвентою // Доп. НАН України. 1997. - № 9. - С.28-32.

2. Дмитришин М.І. Деякі властивості кореневих векторів операторів з дискретним спектром // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1997. - Т.40, № 2. - С.36-38.

3. Dmytryshyn M.I., Lopushansky O.V. Vectors of exponential type of operators with discrete spectrum // Математичні студії. Праці Львівського матем. т-ва. - 1998. - Т.9, № 1.- С.70-77.

4. Дмитришин М.І., Лопушанський О.В. Функціональне числення повних операторів з дискретним спектром // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1998. - Т.41, № 1. - С.127-135.

5.Дмитришин М.І., Лопушанський О.В. Про простір ультрагладких векторів оператора з компактною резольвентою // Тези доповідей V-ої Міжнар. наукової конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 1996. - С.126.

6. Дмитришин М.І., Лопушанський О.В. Про базисність кореневих підпросторів оператора з компактною резольвентою // Тези доповідей Всеукраїнської конф. "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування". - Київ. - 1996. - С.51.

7. Дмитришин М.І. Базисність кореневих підпросторів оператора з компактною резольвентою // Тези доповідей Міжнар. конф. "Теорія апроксимацій та чисельні методи". - Рівне. - 1996. - С.28.

8. Дмитришин М.І., Ряжська В.А. Про простір векторів експоненціального типу оператора узагальненого диференціювання // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конф. "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь". - Київ. - 1997. - С.41. (Здобувачу належить теорема 1).

9. Дмитришин М.І. Функціональне числення для операторів з дискретним спектром // Матеріали VII-ої Міжнар. наукової конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 1998. - С.148.

10. Дмитришин М.І. Аналітичність кореневих функцій регулярної еліптичної граничної задачі // Матеріали Міжнар. наукової конф. "Сучасні проблеми механіки і математики". - Львів. - 1998. - С.270.

11. Дмитришин М.І. Функціональне числення на кореневих векторах оператора з дискретним спектром // Матеріали Міжнар. наукової конф. "Сучасні проблеми математики". - Частина 1. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1998. - С.178-179.

Размещено на Allbest.ru

...