Напівгрупові методи у суперсиметричних теоріях елементарних частинок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова

01.04.02 - теоретична фізика

УДК 539.12

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора

фізико-математичних наук

Напівгрупові методи у суперсиметричних теоріях елементарних частинок

Дуплій Степан Анатолійович

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському державному університеті Міністерства освіти України.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Капустніков Олександр Олексійович, Дніпропетровський державний університет, завідувач кафедри теоретичної фізики;

- доктор фізико-математичних наук, професор Струмінський Борис Володимирович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова, ведучий науковий співробітник;

- доктор фізико-математичних наук, професор Трубніков Сергій Вікторович, Харківський державний університет, професор.

Провідна установа: ННЦ Харківський фізико-технічний інститут, Інститут теоретичної фізики.

Захист відбудеться 29 червня 1999 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 Інституту теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова, НАН України за адресою: 252143, м. Київ, вул. Метрологічна, 14-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова, НАН України за адресою: 252143, м. Київ, вул. Метрологічна, 14-б.

Автореферат розісланий 14 травня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.Є. Кузьмичев.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Побудова єдиної теорії всіх фундаментальних взаємодій -- електромагнітної, слабкої, сильної та гравітаційної -- є найважливішою теоретичною проблемою сучасної фізики елементарних частинок. Вагомим досягненням у цьому напрямку став розвиток методів суперсиметрії та супергравітації, що дозволили розв'язати такі труднощі калібрувальних теорій фундаментальних взаємодій, що передують суперсиметрії (квантової електродинаміки, квантової хромодинаміки та моделі Вайнберга-Салама), як включення гравітації та розгляд процесів розсіяння при планківських енергіях.

Нелокальне багатовимірне узагальнення супергравітації -- теорія суперструн -- дало відповідь на численні відкриті питання, зв'язані з неперенормованістю та космологічною сталою, а також із послідовною уніфікацією всіх фундаментальних взаємодій. В теорії суперструн здійснився синтез різноманітних методів теоретичної та математичної фізики. Проте, подальший прогрес у розумінні глибинних фізичних основ побудови матерії, в свою чергу, вимагає інтенсивних пошуків нестандартних шляхів розв'язання відомих проблем та притягнення принципово нових теоретичних ідей.

Найбільш фундаментальними та загальними є абстрактні алгебраїчні властивості теорії, що лежить в основі фізики елементарних частинок. Як правило, на початку досліджень такі властивості запроваджуються з математичної точки зору і лише після цього формулюються на мові фізичних законів та передбачення результатів експерименту.

Так відбулося й у випадку суперсиметрії: антипереставні величини розглядалися численними математиками ще починаючи з минулого сторіччя. Але лише після відкриття суперсиметрії фізиками на початку 70-х років ХХ сторіччя вона перетворилася з чисто математичної теорії в "індустріальну" основу сучасного "моделебудування" з фізичними конструкціями та конкретними передбаченнями нових елементарних частинок -- суперпартнерів. Справжній "бум суперсиметрування" збурив теоретичну фізику 70-х і 80-х: все, що могло "суперсиметруватися", негайно "суперсиметрувалося". Основні інгредієнти теорії після очевидних модифікацій наділялися приставкою "супер", а після цього побудова вже суперсиметричної моделі, виключаючи несуттєві моменти, копіювалася крок за кроком з подібної несуперсиметричної версії, й остання зобов'язана була бути деякою її безперервною границею.

Однак, при цьому абстрактні алгебраїчні властивості фізичної теорії або зовсім не зазнавали змін, або вплив "суперсиметрування" був просто символічним. Так припускалося, що саме супергрупи являють собою адекватне суперузагальнення відповідних груп. І це дивно, оскільки серед основних змінних суперсиметричної теорії первісно є незворотні об'єкти та дільники нуля. Зокрема, концепція суперпростору, що припускає уніфікацію опису бозонних та ферміонних секторів теорії, заснована на введенні додаткових нільпотентних координат, після чого численні відображення та функції стають незворотними за визначенням. І все ж, як це не дивно й не парадоксально з математичної точки зору, вони штучно і необгрунтовано виключалися з розгляду. Така процедура була названа "факторизацією за нільпотентами" у фізиці (в теорії напівгруп ця процедура добре відома і зветься факторизацією Рису) і вона (в основному неаргументовано) застосовувалася або розумілася при суперсиметруваннях.

Насправді, всі перетворення множини, що містить нільпотенти, або всі відображення суперпростору, що додержують вигляд певної структури, утворять напівгрупу (а не групу) відносно композиції. Тому категорія груп, в рамках якої будувалися несуперсиметричні теорії елементарних частинок, повинна бути узагальнена до категорії напівгруп при математично строгому включенні суперсиметрії у фундаментальні принципи теорії. Іншими словами, перехід від простору до суперпростору повинен супроводжуватися одночасним переходом від груп до напівсупергруп, а не супергруп -- "супер" узагальнення фізичної теорії повинно супроводжуватися "напів" узагальненням її математики в цілому. Тоді у глобальному теоретико-груповому сенсі суперсиметричні моделі елементарних частинок зобов'язані мати структуру напівгрупи, в той час як спостережуваний їхній сектор при нинішніх енергіях може задовільно описуватися їхньою зворотною груповою частиною. Тому не слід обмежуватися дослідженнями лише останньої, оскільки властивості ідеальної та групової частин взаємообумовлені та взаємозалежні. У цьому контексті важливим також є перегляд стандартного анзацу "факторизації", а саме -- "факторизувати за не-нільпотентами", тобто вивчати "негрупові" (або ідеальні) властивості суперсиметричних теорій.

Таким чином, побудова та дослідження таких суперсиметричних моделей елементарних частинок, що, з одного боку, володіли б математичною спільністю та коректністю в рамках апарату теорії напівгруп, а, з іншого боку, мали б достатню фізичну провісну силу, являють собою актуальну науково-теоретичну проблему.

Основний об'єкт в теорії суперструн -- це світова поверхня струни, отже побудова і вивчення незворотних і напівгрупових узагальнень супермноговидів і суперконформної диференціальної геометрії являють собою першочергову задачу. У зв'язку з цим надзвичайно актуальною є також проблема зворотного впливу суперсиметрії на теорію напівгруп. Так, докладне дослідження незворотних суперматриць приводить до нових і несподіваних результатів в ідеальній будові та теорії зображення суперматричних напівгруп, що, в свою чергу, може сприяти послідовній та коректній побудові нових суперсиметричних моделей елементарних частинок, побудованих на напівгрупових принципах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана як частина досліджень, запроваджених на кафедрах теоретичної та експериментальної ядерної фізики ХДУ в рамках координаційного плану Міністерства освіти України "Комплексні дослідження ядерних процесів та створення на їхній основі ядерно-фізичних засобів для використання в енергетиці та радіаційної безпеки ядерних енергетичних установок та технологій радіаційної модифікації матеріалів та екології". Результати дисертації увійшли до звітів держбюджетних тем "Дослідження структури атомних ядер і нових закономірностей у ядерних взаємодіях" (№1-13-94, номер держреєстрації 0194U018989) та "Дослідження ядерних процесів за участю нуклонів і складних частинок низьких та середніх енергій" (№1-13-97, номер держреєстрації 0197U016494).

Мета і задачі дослідження.

Основною метою дисертаційної роботи є розробка і застосування напівгрупових методів у суперсиметричних моделях елементарних частинок.

Для цього розв'язувалися такі задачі:

- Докладний аналіз незворотних властивостей перетворень, що виникають у суперсиметризаціях фізичних теорій.

- Пошук незворотних аналогів супермноговидів, розшарувань та гомотопій.

- Формулювання незворотної суперконформної диференціальної геометрії та побудова суперконформних напівгруп.

- Класифікація незворотних розширених і нерозширених суперконформних перетворень.

- Знаходження нелінійних реалізацій незворотних суперконформних перетворень.

- Всебічний аналіз суперматричних напівгруп, пошук нових зображень і еквівалентностей.

- Застосування нових типів матриць, що містять нільпотентні елементи та вивчення їхніх властивостей.

- Побудова незворотного аналога гіперболічної геометрії на суперплощині.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в побудові нового напрямку в суперсиметричних моделях елементарних частинок, заснованих на включенні напівгруп, ідеалів і незворотних властивостей у дослідження математичної структури. Вперше знайдені незворотні аналоги супермноговидів, розшарувань і гомотопій. Сформульована нова незворотна суперконформна геометрія та її розширені варіанти, знайдені нові типи суперконформних напівгруп і перетворень, що сплітають парність дотичного розшарування. Запропонована альтернативна редукція суперматриць, що приводить до нових абстрактних властивостей, напівгруп і супермодулів. Вперше суперматриці застосовуються для побудови зображення напівгруп в'язок, при цьому знайдені нові узагальнені відношення Гріна. Побудований незворотний варіант гіперболічної геометрії на суперплощині, де знайдені незворотні аналоги подвійних відношень, інваріантів і відстаней.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані для побудови нових математично коректних моделей елементарних частинок, заснованих на теорії суперструн, для аналізу неповоротності у вже існуючих моделях, а також для пошуку нових напівгрупових властивостей і структур в суперсиметричних об'єктах та просторах.

Особистий внесок здобувача. Всі результати отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися автором на 12 міжнародних конференціях, 10 з яких проводилися за кордоном:

- Міжнародна школа з теоретичної і математичної фізики (Гваделупа, Франція, 1993)

- Міжнародний колоквіум з теоретико-групових засобів в математичній фізиці (Париж, Франція, 1993)

- Міжнародний конгрес з математичної фізики (Париж, Франція, 1994)

- Міжнародна Краківська школа з теоретичної фізики (Закопанє, Польща, 1995)

- Міжнародна конференція з калібрувальних, прикладної суперсиметрії і квантової гравітації (Леувен, Бельгія, 1995)

- Європейська школа з теорії груп (Валладолід, Іспанія, 1995)

- Міжнародна конференція "Суперсиметрія-96" (Коллеж Парк, США, 1996)

- Міжнародна конференція в вищих гомо топічних структурах в математичній фізиці (Покіпсі, США, 1996)

- Міжнародний семінар з суперсиметрії та квантової теорії поля пам'яті Д.В. Волкова (Харків, Україна, 1997)

- Міжнародна конференція з суперсиметрії та квантових семетрій пам'яті В.І. Огієвецького (Дубна, Росія, 1997)

- Міжнародна алгебраїчна конференція пам'яті Л.М. Глускіна (Слов'янськ, Україна, 1997)

- Міжнародний конгрес математиків (Берлін, Німеччина, 1998).

Матеріали дисертаційної роботи доповідалися та всебічно обговорювалися на численних семінарах в Україні, Росії, Німеччині, Англії, Франції, США та інших країнах.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 21 друкованих наукових роботах (з них 12 в міжнародних англомовних виданнях), а також в працях згаданих конференцій. Всі праці виконані без співавторів. Більшість праць попередньо опублікована також в Інтернеті та зберігається в міжнародних електронних архівах США, Англії, Італії, Японії.

Прямий доступ до них можливий з інтернетівської сторінки автора:

http://www-home.univer.kharkov.ua/~duplij.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з Вступу, 5-ти основних розділів, розділу Закінчення і додатків. Обсяг основного тексту (без додатків і літератури) становить 292 сторінок. Робота містить 3 малюнки, 3 таблиці та список цитованої літератури з 832 назв.

2. Зміст роботи

У Вступі обґрунтована актуальність проблеми, сформульована мета роботи, її наукова новизна, практична цінність і апробація, стисло викладений її зміст.

В розділі "Теорія незворотних супермноговидів" докладно аналізуються узагальнення понять супермноговиду, суперрозшарування та гомотопії на незворотний випадок. На мові карт і функцій переходу введені поняття напівсупермноговиду як незворотного аналогу супермноговиду. Префікс "напів" віддзеркалює той факт, що основні морфізми формують напівгрупи, які складаються з відомої групової частини і нової ідеальної незворотної частини, тобто розглядається напівгрупове узагальнення попереднього формалізму.

Напівкарта визначається як пара з суперобласті Unoninv, і незворотного морфізму noninv. Тоді напіватлас являє собою об'єднання стандартних зворотних карт {Uinv, inv} і напівкарт {Unoninv, noninv}. Напівсупермноговид M є суперпростір, наведений у вигляді напіватласу.

Функції переходу на напівсупермноговиді знаходяться не зі стандартних виразів =inv inv,-1 на перетині суперобластей Uinv Uinv, а з системи рівнянь

= ,

= ,

У загальному випадку при знаходженні і ці рівняння не можуть бути розв'язані за допомогою = -1 в силу незворотних . Замість цього шукаються штучні прийоми розв'язання, наприклад, розкладом у ряд за генераторами супералгебри, або послуговуючись абстрактними засобами теорії напівгруп, що розглядають розв'язок незворотних рівнянь як класи еквівалентності.

Ослаблення оберненості дозволяє природньо узагальнювати умови коциклу для функцій переходу напівсупермноговидів. Вони будуються аналогічно умовам регулярності для елементів напівгрупи.

Так, замість стандартної n=2-умови взаємної зворотності функцій переходу і у вигляді =1 (де 1 -- тотожне відображення на U ) маємо узагальнену умову

=

на перетині U U.

Замість відомої n=3 умови коциклу = 1 на перетині трьох суперобластей U U U вводимо його незворотний аналог

= .

Аналогічно будуються умови коциклу для довільних n, що звуться n-регулярністю відображення. Зрозуміло, що 3-регулярність збігається зі звичайною регулярністю теорії напівгруп. Це дозволяє сформулювати надзвичайно загальний анзац напівкомутативності для незворотних морфізмів, що при n=3 описується наступною комутативною діаграмою з однією додатковою стрілкою.

Здобуто незворотні аналоги коциклів для рефлексивних напівсупермноговидів. Знайдено додатковий нільпотентний тип орієнтованості на напівсупермноговиді, обумовлений нільпотентністю березініана функцій переходу. Індекс нільпотентності березініана дозволяє систематизувати напівсупермноговиди, що мають нільпотентну орієнтованість.

Вводяться також баштові тотожності та перешкодженість, за допомогою яких вдається прокласифікувати напівсупермноговиди. За аналогією з суперчислами маємо наступну класифікацію:

Суперчисла.

Звичайні числа, що не обертаються в нуль (зворотні).

Суперчисла, що мають ненульову числову частину (зворотні).

Суперчисла, що мають нульову числову частину (незворотні).

Напівсупермноговиди.

Звичайні многовиди (функції переходу зворотні).

Супермноговиди (функції переходу зворотні).

Перешкоджені напівсупермноговиди (функції переходу незворотні).

Аналогічно напівсупермноговидам вводяться напіврозшарування, в яких незворотність виникає внаслідок незворотності функцій переходу, зв'язаної з нільпотентами та дивізорами нуля у підстилаючій супералгебрі. Далі розглядаються морфізми й умови відповідності напіврозшарувань. Узагальнені умови коциклу для функцій переходу напівсупермноговиду та розшарування можуть приводити до побудови незворотних аналогів коциклів Чеха та спектральних послідовностей, що тісно зв'язано з когомологічними методами теорії напівгруп.

Для опису узагальнених морфізмів на напівсупермноговиді визначаються парні та непарні напівгомотопії відповідно з незворотним парним або непарним суперпараметром. Напівгомотопії приводять до розгляду фундаментальних напівгруп і відіграють ту ж саму роль у вивченні властивостей неперервності та класифікації напівсупермноговидів, яку звичайні гомотопії відіграють для звичайних (супер) многовидів.

Другий розділ "Незворотне узагальнення N=1 суперконформної геометрії" присвячено побудові незворотної суперконформної диференціальної геометрії (1|1)-мірного комплексного суперпростору C 1|1, що виключно важливо у теорії суперструн, суперріманових поверхонь і в двовимірних суперконформних теоріях поля.

Спочатку будується напівгрупа супераналітичних перетворень C 1|1 C 1|1 та проводиться їхня класифікація за незворотністю. Запроваджуються локальні одиниці та нулі й аналізуються їхні властивості.

Наведено співвідношення на потрійних перетинах для супераналітичних напівсупермноговидів. Здобуто вираз для незворотного аналогу березініана та проведено класифікацію супераналітичних перетворень C 1|1 C 1|1 за індексом нільпотентності березініана. Далі докладно проаналізовано всі можливі редукції дотичного (1|1)-мірного простору без врахування вимоги оберненості.

Виявилося, що нетривіальних редукцій існує дві, а не одна, як у зворотному випадку. Це пов'язано з фундаментальною формулою додавання березініанів редукованих суперматриць дотичного простору

Ber PA = Ber PS + Ber PT,

де PA -- повна суперматриця, PS і PT -- трикутна та антитрикутна суперматриці дотичного суперпростору відповідно.

Звідси редуковані (суперконформно-подібні) перетворення визначаються проектуванням березініана на один із доданків. Тоді в термінах перетворення координат Z = (z , )Z = (z , ) дістаємо дві умови

(z,) = Dz - D = 0 ,

Q(z,) = z - = 0 ,

де і D -- звичайна та супер похідні відповідно.

Перша з умов визначає стандартні суперконформні перетворення TSCf (зворотні та незворотні), а друга умова приводить до нових незворотних перетворень TTPt, що сплітають парність у дотичному та кодотичному суперпросторі (twisting parity of tangent space).

Справді, якщо суперконформні перетворення індукують коваріантні перетворення супердиференціалів dZ = dz + d та суперпохідних

D = D D ,

dZ = Q(z,) dZ ,

то сплітаючі парність перетворення TTPt також приводять до коваріантноі дії у дотичному суперпросторі, але з обертанням парності, тобто

= D ,

dZ = (z,) d ,

Перші два співвідношення є ключовими для побудови теорії розподілу на суперріманових поверхнях, що визначаються рівнянням (z,) = 0. Інша умова Q(z,) = 0 визначає незворотний аналог суперріманових поверхонь, в якому парність дотичного простору не фіксована. Така конструкція з функціями переходу з TSCf і TTPt може розглядатися як окремий випадок застосованих раніше напівсупермноговидів. Крім того, нові сплітаючі парність перетворення TTPt можуть приводити до додаткових вкладів до амплітуди ферміонних струн спеціальної конфігурації.

Розглянуті також ліві вироджені редуковані перетворення TDegL, для яких обидві умови (z,) = 0 та Q(z,) = 0 справджуються водночас, а також праві вироджені редуковані перетворення TDegR, що визначаються умовою D = 0.

Знайдено єдиний опис обох типів редукованих перетворень за допомогою альтернативної параметризації, в якому відмінність між ними визначається проекцією деякого "спіна редукції" m= 1/2, де знак відповідає перетворенням TSCf і TTPt відповідно. Наведено таблицю множення для "спіна редукції" та описані його властивості.

Якщо суперконформні перетворення TSCf являють собою супераналог голоморфних перетворень, то сплітаючі парність перетворення TTPt можна трактувати як супераналог антиголоморфних перетворень комплексної площини, які повинні бути незворотними.

Іншою важливою властивістю сплітаючих парність перетворень TTPt є незамкненість їх композиції (як, зрештою, й антиголоморфних перетворень). Однак, на перетині трьох суперобластей U U U справджується такий закон множення перетворень

TSCf() TTPt() = TTPt()

Звідси видно, що множина сплітаючих парність перетворень є правим поглинанням для суперконформних перетворень.

Крім того, замість стандартної умови коциклу на суперрімановій поверхні

D = D D

ми визначаємо "сплетений коцикл"

 = D

із множників різноманітної парності.

Тоді можливо побудувати принципово нові розподіли та розшарування, що не зберігають парність, в протилежність класичному випадку.

Застосовуючи анзац ослаблення оберненості, можна узагальнити й самі суперконформні перетворення.

Так, нова параметризація N=1 суперконформної групи дозволила розширити її до напівгрупи SSCf та уніфікувати опис старих і нових перетворень. Знайдено, що побудована напівгрупа SSCf належить до нового абстрактного типу напівгруп, які задовольняють незвичайному ідеальному множенню

SSCf * In In ,

In * SSCf In+1 ,

SSCf * In * SSCf In+1 ,

де In -- члени побудованого ідеального ряду, що має специфічні властивості. З цього множення можна визначити In як правий та двобічний підвищуючий ідеал, але звичайний лівий ідеал, що говорить про нетривіальну ідеальну структуру N=1 суперконформної напівгрупи.

Введено та вивчено властивості узагальнених векторних і тензорних відношень Гріна, також визначено ідеальні квазіхарактери в суперконформній напівгрупі.

Дослідження властивостей дробово-лінійних N=1 редукованих перетворень проводиться в термінах непарних аналогів мінорів для суперматриць -- напівмінорів, що є напівматрицями N спеціального вигляду й описують обертаючі парність відображення лінійних двовимірних суперпросторів

2|0 1|1 , 1|1 2|0 .

Визначене відображення -напівтранспонування, що зв'язує напівматриці з матрицями : N M. Напівтранспонування можна трактувати як витяг квадратного кореня із добре відомого оператора зміни парності -транспонування.

Для опису сплітаючих парність перетворень вводяться непарні аналоги детермінанта та перманента від напівматриць -- напівдетермінант etN та напівперманент erN, що нільпотентні та задовольняють нетривіальним співвідношенням. Напівдетермінант дуальний до детермінанта в тому розумінні, що для незворотних перетворень напівдетермінант etN відіграє роль, аналогічну тій, яку корінь із звичайного детермінанту (detM)1/2 відіграє для зворотних перетворень. Знайдено парно-непарну симетрію дробово-лінійних N=1 суперконформних перетворень, що полягає в симетрії відносно одночасної заміни детермінанту на напівдетермінант та парних координат на непарні.

Знайдено та досліджено незворотні супераналоги відстані в (1|1)-мірному суперпросторі. Введено незворотний TPt аналог метрики dsTPt та сформульовано незворотний аналог інваріантності -- "інваріантність" застосованої метрики.

Далі вивчаються нелінійні реалізації редукованих суперконформно-подібних перетворень, і на додаток до зроблених раніше досліджень, включено у розгляд кінцеві перетворення та враховано їхню неповоротність. Розглянуто тлумачення нелінійних реалізацій як рух непарної кривої у суперпросторі С1|1 й здобуто зображення для кінцевих зворотних і незворотних N=1 суперконформних перетворень, а також для сплітаючих парність перетворень як рівнянь для SCf голдстіно та TPt голдстіно.

Співвідношення між лінійною і нелінійною реалізаціями вивчені у рамках діаграмного підходу, де перетворення G відіграє роль лінійного перетворення, перетворення H буде нелінійним (у зворотному випадку -- із підгрупи G), в той час, як A та B відповідають косетним перетворенням з голдстоунівськими полями як параметрами. Тоді для кінцевих редукованих зворотних та незворотних перетворень з урахуванням їхньої таблиці множення здобуті такі можливі зображення

GSCf ASCf = BSCf HSCf ,

GTPt ASCf = BTPt HSCf

(друге рівняння є новим) та відповідні компонентні рівняння, що розв'язані в окремих випадках.

В третьому розділі "Незворотня геометрія розширених редукованих перетворень" розглянуто N=2 та N=4 редуковані зворотні та незворотні відображення. Знайдено загальний вираз для березініана розширених перетворень в термінах напівмінорів суперматриць дотичного (1|N)-мірного простору в комплексному базисі. Сформульовані теореми додавання N=2 та N=4 березініанів, звідки випливають можливі редукції (1|N)-мірних дотичних просторів.

Нетривіальних редукцій виявляється N+1, що приводить до N-узагальнення поняття комплексної структури: для N-редукованих перетворень існує 1 парний (зворотний або незворотний) суперконформний (SCf) супераналог голоморфних перетворень та N непарних незворотних сплітаючих парність (TPt) супераналогів антиголоморфних перетворень.

Докладно класифіковані N=2 та N=4 суперконформні перетворення з використанням перманентів. Знайдено загальний вигляд березініана для зворотних N-SCf перетворень

Ber(Z/Z ) = k(detH)(2-N)/N ,

де H -- матриця похідних (Dij) у комплексному базисі і k= 1.

В окремому випадку N=2 здобуто вигляд березініана через перманент

Ber(Z/Z ) = detH/perH .

Проведена класифікація в термінах перманентів зворотних та незворотних розщеплених суперконформних перетворень, що описують спінові структури на звичайній рімановій поверхні та відіграють важливу роль у розрахунку суперструнних амплітуд.

Побудовано N=2 та N=4 суперконформні напівгрупи в альтернативній параметризації та докладно досліджені їхні властивості. Наведено компонентне зображення. Визначені й обговорюються властивості сплітаючих парність перетворень та відповідних супердиференціалів, дуальних відповідним суперпохідним.

Четвертий розділ "Суперматричні напівгрупи, ідеальна будова та редукції" присвячений побудові та дослідженню ідеальних властивостей суперматриць. На прикладі (1|1)(1|1) суперматриць вивчена їхня незворотна будова і визначається два типи можливих редукцій: парно-редуковані (трикутні) суперматриці S та непарно-редуковані (антитрикутні) суперматриці T. Для них справедлива теорема додавання березініанів

Ber M = Ber S + Ber T .

Вивчені мультиплікативні властивості непарно-редукованих суперматриць, що призводять до висновку про те, що непарно-редукований морфізм може подаватися у вигляді композиції непарно- та парно-редукованих морфізмів, що відповідально також й за сплетені коцикли у редукованих суперконформних перетвореннях.

Побудована напівгрупа множин редукованих матриць. Множини парно- та непарно-редукованих суперматриць об'єднуються в деяку сендвіч-напівгрупу з несиметричним множенням, що залежать від другого співмножника. Напівгрупа множин редукованих матриць ізоморфна деякій напівгрупі правих нулів зі сендвіч-множенням.

Щоб збудувати аналогічну сендвіч-напівгрупу з множенням не множин, а самих суперматриць, вводиться непарний антипереставний аналог E() (антискаляр) для скалярної суперматриці E(x) (скаляра). Тоді пряма сума скаляра й антискаляра збігається з дивною підалгеброю Березина E(x) E() = Q(1). Визначається в цьому випадку також праве та ліве антитранспонування, що мають сенс кореня з оператора зміни парності , оскільки = .

Тоді конкретна реалізація непарного правого, лівого та двобічного модулів у термінах суперматриць має вигляд

E() M = M ,

M E() = M ,

E(1) M E(2) = 1 M 2 ,

де, на відміну від стандартного супермодуля, у правій частині з'явилися антитранспонування , й оператор зміни парності .

Знаходження нових типів непарних модулів буде виключно важливим для побудови та застосування нових типів супермноговидів та напівсупермноговидів.

Щоб дістати об'єднане множення парно- та непарно-редукованих суперматриць та побудувати відповідну напівгрупу, застосованими антискалярами E() послуговувались нарівні зі скалярами E(x). Якщо трактувати звичайне множення суперматриць як сендвіч множення зі скаляром E(1), то можна визначити сендвіч-множення редукованих суперматриць (із "суперполем" X=(x,)). Сендвіч-множення асоціативне, тому редуковані суперматриці утворюють напівгрупу, що ізоморфна напівгрупі правих нулів.

Розглянуто також роль непарних модулів й антискалярів у прямій сумі множин редукованих суперматриць S і T, де застосовано непарні аналоги власних чисел, характеристичних функцій (по формулі Ber(E()-T) замість Ber(E(x)-S)) та сформульовано узагальнену теорему Гамільтона-Якобі для них.

Важливу роль у суперсиметричних теоріях відіграють неперервні напівгрупи редукованих суперматриць. Розглянуто та докладно проаналізовано ідеальну структуру багатопараметричних напівгруп непарно-редукованих суперматриць. Загальний вигляд суперматриць, що утворять напівгрупу (-напівгрупу), є антитрикутним, та їхня підмножина у множині всіх матриць є слабим ідеалом.

Знайдено, що одно- та двопараметричні напівгрупи P та F непарно-редукованих ідемпотентних суперматриць P(t) та F(t,u) (t,u -- параметри) неперервно зображають напівгрупи лівих нулів та прямокутні в'язки відповідно. Це зображення є неточним, оскільки не існує редуктивності та скорочення. Тому стандартне відношення рівності замінюється на відношення t - u Ann. Напівгрупа P має незвичайну властивість -- вона є регулярною, але не інверсною. Для неї також знайдені відношення Гріна: L-еквівалентність співпадає з універсальним відношенням, а R-еквівалентність збігається з -відношенням (а не ).

Здобуто об'єднання однопараметричних напівгруп в деяку нетривіальну напівгрупу -- скручену прямокутну в'язку, для якої виписана таблиця Келі та знайдено всі піднапівгрупи.

Розглядаються суперматричні зображення вищих (n|n)-в'язок як узагальнень прямокутних в'язок, що не можуть бути зведені до композиції останніх. Для них визначаються вищі -відношення (n|n) , які збігаються з відповідними R-еквівалентностями. Обчислено відношення Гріна для (n|n)-в'язок та встановлено зміст стандартних L, R, H, D- класів для суперматриць.

Далі визначено більш загальні відношення L(i), R(i), H(i), D(i), які звуться тонкими відношеннями еквівалентності. Такі узагальнені відношення Гріна необхідні для опису всіх можливих класів елементів у (n|n)-в'язках, пропущених у стандартному підході.

Із тонких еквівалентностей можна знаходити також усі відомі відношення. Наприклад, у випадку (2|2)-в'язки,

L(1) L(2) = L ,

R(1) R(2) = R ,

але додатково знаходимо нові мішані відношення вигляду

H(i|j) = L(i) R(j) ,

D(i|j) = L(i) R(j) ,

та вищих порядків

H(ij|k) = (R(i) R(j)) L(k) ,

D(ij|k) = (R(i) R(j)) L(k) .

Для кожного мішаного D-класу можна побудувати мішану eggbox діаграму тонких R, L-класів, що буде такої вимірності, скільки доданків має у своїй правій частині задане мішане відношення. А саме, eggbox діаграми D(i|j)-класів двовимірні, а діаграми D(ij|k)-класів повинні бути тривимірними. У випадку (n|n)-в'язки слід розглядати всі можливі k-вимірні eggbox діаграми, де 1 < k < n.

Введені тонкі відношення еквівалентності допускають піднапівгрупову інтерпретацію: стандартні відношення Гріна на піднапівгрупі U напівгрупи S мають як свій аналог продовжені образи в S, а саме -- тонкі відношення еквівалентності на S.

В п'ятому розділі "Перманенти, scf-матриці та незворотна гіперболічна геометрія" детально досліджені властивості матриць, що містять нільпотентні елементи та дільники нуля, цілком певний тип яких виникає при аналізі N-розширених редукованих перетворень. Для таких матриць перманенти починають відігравати дуальну (відносно до детермінантів) роль, тому важливо розглянути ці дуальні властивості в загальному випадку нільпотентних матриць, що можна застосувати також в інших моделях, в яких послуговуються суперсиметрією у вигляді основоположного принципу.

Введено поняття scf-матриці Ascf із парних елементів, що мають scf-властивість певної ортогональності її блоків між собою. У зворотному випадку scf-матриці подібні до ортогональних матриць. Так, для 22 матриці scf-властивість полягає в ортогональності елементів стовпчиків, і для них існує дуальність між перманентом та детермінантом і між мінорами та алгебраїчними доповненнями

per Ascf det Ascf ,

AscfM AscfD .

Сформульовано критерій оберненості scf-матриць у термінах перманентів, а не детермінантів. Запропоновано нову формулу для per-зворотної scf-матриці, що в зворотному випадку має вигляд

Ascf-1,per = AscfMT/per Ascf .

Відмінність від стандартного випадку виникає лише для незворотних scf-матриць. Знайдено формули, які зв'язують слід, перманент і детермінант, а також нова формула Біне-Коші для перманентів

per (Ascf Bscf) = per Ascf per Bscf,

що збігається з аналогічною формулою для детермінантів лише в разі введених scf-матриць. Визначено напівгрупу scf-матриць SCF(N), підгрупа якої ізоморфна O(N) та для якої знайдено ідеали й умови оберненості при N=2 та N=4. Далі пропонується використовувати scf-матриці для вивчення дробово-лінійних (зворотних та незворотних) перетворень суперпростору С1|1, що звуться per-відображенням. Показано, що для per-відображення існує симетрія

per det, Re Im

в усіх основних співвідношеннях гіперболічної геометрії.

Знайдено новий інваріант per-відображення суперплощини -- праве подвійне відношення D+(z1,z2,z3,z4), що поряд з відомим лівим подвійним відношенням D-(z1,z2,z3,z4) є такою функцією чотирьох точок

D(z1,z2,z3,z4) = (z1z3) (z2z4) / (z1z4) (z2z3) .

Це приводить до нових морфізмів групи перестановок, дзеркальної per-гармонійної послідовності точок і до per-аналогу класичної формули Лагера, а також до функції, яку можна трактувати як per-аналог похідної Шварца. Два подвійних відношення дають дві -- праву та ліву -- гіперболічні відстані

d(z1,z2) = ln D( z1,z2,z3,z4) .

У термінах правого подвійного відношення D+( z1,z2,z3,z4) та правої відстані d+(z1,z2) можна послідовно побудувати per-аналог гіперболічної геометрії та тригонометрії на комплексній суперплощині або в багатовимірних комплексних суперпросторах.

У Закінченні сформульовані основні результати та висновки дисертаційної роботи.

У Додатках наведено необхідні відомості про супералгебри, окремі аспекти теорії супермноговидів та суперріманових поверхонь, додаткові факти з теорії напівгруп, а також деякі викладки, що не увійшли до основного тексту.

Основні результати і висновки роботи

Побудовано теорію незворотних супермноговидів -- напівсупермноговидів, незворотних розшарувань та гомотопій, що є основою математичного апарату суперсиметричних моделей елементарних частинок.

Знайдено формулювання напівсупермноговидів в термінах функцій переходу, знайдено узагальнені умови коциклу, новий тип орієнтованості.

Запропоновано загальний принцип напівкомутативності для незворотних морфізмів.

Сформульовано незворотні аналоги розшарувань -- напіврозшарування -- у термінах рівнянь для функцій переходу, вивчено морфізми розшарувань.

Введено напівгомотопії з незворотним парним або непарним суперпараметром.

Побудовано і досліджено в термінах теорії напівгруп незворотну суперконформну геометрію на суперплощині, необхідну для формулювання суперструн теорій елементарних частинок.

Побудовано супераналитичну напівгрупу і дано визначення супераналитичних напівсупермноговидів.

Розглянуто додаткові редукції дотичного суперпростору з врахуванням незворотності. Вони приводять до узагальнення поняття комплексної структури на незворотний випадок.

Знайдено нові незворотні перетворення -- сплітаючі парність перетворення, дуальні суперконформним в розумінні здобутої формули додавання березініанів і являють собою незворотний супераналог антиголоморфних перетворень. Вони обертають парність у дотичному суперпросторі та приводять до появи нового типу коциклів -- сплетених коциклів.

Єдиним способом описані обидва типи редукованих перетворень за допомогою альтернативної параметризації, в якій переключення між ними робиться введеним спіном редукції, рівним половині та N/2 для розширених N-перетворень.

Побудовано N=1 суперконформну напівгрупу, що належить до нового абстрактного типу напівгруп, які мають незвичайну ідеальну структуру. Визначено узагальнені векторні й тензорні відношення Гріна.

Досліджено дробово-лінійні незворотні редуковані перетворення у термінах напівмінорів та напівматриць, для яких визначено функції напівперманента та напівдетермінанта (дуального кореню зі звичайного детермінанта). Знайдено парно-непарну симетрію дробово-лінійних N=1 суперконформних перетворень, що полягає в симетрії відносно одночасної заміни детермінанта на напівдетермінант та парних координат на непарні.

Знайдено незворотні супераналоги відстані в (1|1)-мірному суперпросторі. Введено незворотний аналог метрики та доведено її напівінваріантність.

Вивчено нелінійні реалізації N=1 редукованих перетворень та знайдено новий тип голдстіно як розв'язок, що відповідає сплітаючим парність перетворенням.

Досліджено незворотну геометрію на N=2 та N=4 розширеній суперплощині.

Побудовано N=2 та N=4 суперконформні напівгрупи в альтернативній параметризації. Узагальнено на довільне N поняття комплексної структури на суперплощині.

Побудовані суперматричні напівгрупи і досліджені їхні ідеальні властивості та нетривіальні редукції, що застосовуються у феноменології суперсиметричних моделей елементарних частинок.

Знайдено декілька можливостей об'єднати антитрикутні суперматриці з трикутними у сендвіч-напівгрупи з незвичайними властивостями.

Здобуто нові типи непарних супермодулів й антитранспонування, зображення дивної супералгебри Березіна.

Введено непарні аналоги власних чисел, характеристичних функцій і сформульовано узагальнену теорему Гамільтона-Якобі.

Знайдено, що напівугрупові в'язки неперервно зображуються суперматричними напівгрупами антитрикутного вигляду.

Здобуто об'єднання однопараметричних напівгруп у деяку нетривіальну напівгрупу -- скручену прямокутну в'язку.

Визначено вищі в'язки та для них введені узагальнення відношень Гріна -- тонкі та мішані відношення еквівалентності. Для них побудовані багатовимірні діаграми.

Досліджено незворотні властивості матриць з нільпотентними елементами та дільниками нуля, що виникають у N-розширеній суперконформній геометрії.

Знайдено дуальність між перманентом та детермінантом і між мінорами та алгебраїчними додатками, запропоновано нову формулу для зворотної матриці через перманент та мінори. Вивчено зворотні та незворотні дробово-лінійні перетворення спеціального вигляду, для яких знайдено новий тип симетрії.

Побудовано незворотну гіперболічну геометрію на суперплощині, в якій існує два різноманітних інваріантних подвійних відношення та, відповідно, дві відстані.

Таким чином, в роботі проведені дослідження геометричних та симетрійних аспектів суперсиметричних і суперструнних моделей елементарних частинок, знайдені конкретні аналітичні та загальнонаукові результати можна кваліфікувати як новий науковий напрямок, що полягає в побудові нової моделі елементарних частинок на основі більш абстрактних категорних понять та базових внутрішніх структур.

До перспектив дальшого розвитку цього напрямку можна віднести пошук нових проявів незворотних та напівгрупових властивостей у сучасній теорії суперструн і супермембран, просування вбік конкретних розрахунків можливих додаткових вкладів у ферміонні амплітуди та спостережувані, а також розробка загальних принципів побудови суперсиметричних моделей елементарних частинок на основі відповідних теорій напівгруп.

Основні публікації по темі дисертації

1. Duplij S. On semi-supermanifolds // Pure Math. Appl. - 1998. - V. 9. - №3. - P. 117-143.

2. Duplij S. On superconformal-like transformations and their nonlinear realization // Supersymmetries and Quantum Symmetries. - Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. - P. 243-251.

3. Duplij S. On semigroup nature of superconformal symmetry // J. Math. Phys. - 1991. - V. 32. - №11. - P. 2959-2965.

4. Duplij S. On N=4 super Riemann surfaces and superconformal semigroup // J. Phys. - 1991. - V. A24. - №13. - P. 3167-3179.

5. Duplij S. Semigroup of N=1,2 superconformal transformations and conformal superfields // Acta Phys. Pol. - 1990. - V. B21. - №10. - P. 783-811.

6. Duplij S. Towards gauge principle for semigroups // Acta Phys. Pol. - 1992. - V. B23. - №7. - P. 733-743.

7. Duplij S. Some abstract properties of semigroups appearing in superconformal theories // Semigroup Forum. - 1997. - V. 54. - №2. - P. 253-260.

8. Duplij S. On an alternative supermatrix reduction // Lett. Math. Phys. - 1996. - V. 37. - №3. - P. 385-396.

9. Duplij S. Noninvertible N =1 superanalog of complex structure // J. Math. Phys. - 1997. - V. 38. - № 2. - P. 1035-1040.

10. Duplij S. Superconformal-like transformations and nonlinear realizations // Southwest J. Pure and Appl. Math. - 1998. - №2. - P. 85-112.

11. Duplij S. Supermatrix representations of semigroup bands // Pure Math. Appl. - 1996. - V. 7. - №3-4. - P. 235-261.

12. Дуплий С.А. Идеальная структура суперконформных полугрупп // Теор. мат. физ. - 1996. - T. 106. - №3. - С. 355-374.

13. Дуплий С.А. Об N =1 суперконформной инвариантности // Ядерная физика. - 1990. - T. 52. - №4(10). - С. 1169-1175.

14. Дуплий С.А. О типах N =2 суперконформных преобразований // Теор. мат. физ. - 1991. - T. 86. - №1. - С. 138-143.

15. Дуплий С.А. Об N =2 суперконформных преобразованиях // Пробл. яд. физ. и косм. лучей. - 1990. - T. 33. - С. 22-38.

16. Дуплий С.А. Нильпотентная механика и суперсимметрия // Пробл. яд. физ. и косм. лучей. - 1988. - T. 30. - С. 41-49.

17. Дуплий С.А. Поиски суперсимметричных партнеров на ускорителях высоких энергий. I // Пробл. яд. физ. и косм. лучей. - 1985. - T. 24. - С. 82-96.

18. Дуплий С.А. Поиски суперсимметричных партнеров на ускорителях высоких энергий. II // Пробл. яд. физ. и косм. лучей. - 1986. - T. 26. - С. 1-22.

19. Duplij S. Noninvertibility and "semi-" analogs of (super) manifolds, fiber bundles and homotopies. - Kaiserslautern: 1996. - 30 p. (Preprint / Univ. Kaiserslautern ; KL-TH-96/10, q-alg/9609022 ).

20. Duplij S. Nonlinear realization of N =1 superconformal-like transformations. - Kaiserslautern: 1998. - 15 p. (Preprint / Univ. Kaiserslautern ; KL-TH 98/02).

21. Duplij S. Ideal structure of superconformal semigroups. - Kaiserslautern: 1995. - 50 p. (Preprint / Univ. Kaiserslautern ; KL-TH 95/4; CERN-SCAN-9503192).

Анотація

Дуплій С.А. Напівгрупові методи у суперсиметричних теоріях елементарних частинок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю: 01.04.02 - Теоретична фізика. - Харківський державний університет, Харків, 1999.

Дисертація присвячена абстрактним, геометричним та симетрійним аспектам сучасної теорії елементарних частинок. В роботі розвивається новий напрямок у побудові суперсиметричних і суперструнних моделей, заснований на послідовному й точному включенні напівгруп, ідеалів і незворотних властивостей у дослідження їхньої математичної структури. Побудована теорія напівсупермноговидів і незворотне узагальнення суперконформної та гіперболічної геометрій. Здобуті нові неперервні суперматричні зображення напівгруп. Проведені дослідження дозволили сформулювати теоретичну модель елементарних частинок, засновану на суперсиметрії в термінах більш загальних категорій та нових структур -- як теорію суперматричних та абстрактних напівгруп, що включає попередні теорії як окремий зворотний варіант.

Ключові слова: суперсиметрія, супермноговид, суперструна, суперконформне перетворення, нільпотент, парність, напівгрупа, еквівалентність, ідеал.

Annotation

Duplij S.A. Semigroup methods in supersymmetric theories of elementary particles. - Manuscript.

The thesis for the search of the scientific degree of a doctor of physical and mathematical sciences by speciality: 01.04.02 - Theoretical Physics. - Kharkov State University, Kharkov, 1999.

The thesis is devoted to abstract, geometric and symmetric aspects of modern theory of elementary particles. A new direction in constructing supersymmetric and supertring models based on consequent and strong consideration and inclusion of semiroups, ideals and noninvertible properties into their mathematical structure. A theory of semisupermanifolds and noninvertible generalization of superconformal and hyperbolic geometries are built. New continuous supermatrix representations of semiroups are obtained. The carried out investigations allowed us to formulate a theoretical model of elementary particles based on supersymmetry in terms of more general categories and new structures-as a theory of supermatrix and abstract semigroups which includes previous theories as a particular invertible case.

Keywords: supersymmetry, supermanifold, superstring, superconformal transformation, nilpotent, parity, semigroup, equivalence, ideal.

Аннотация

незворотній симетризація фізичний диференціальний

Дуплий С.А. Полугрупповые методы в суперсимметричных теориях элементарных частиц. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности: 01.04.02 - Теоретическая физика. - Харьковский государственный университет, Харьков, 1999.

Диссертация посвящена абстрактным, геометрическим и симметрийным аспектам современной теории элементарных частиц. В работе развивается новое направление в построении суперсимметричных и суперструнных моделей, основанное на последовательном и строгом включении полугрупп, идеалов и необратимых свойств в исследование их математической структуры. Построена теория полусупермногообразий и необратимое обобщение суперконформной и гиперболической геометрий. В частности, получена формулировка полусупермногообразий в терминах функций перехода, найдены обобщенные условия коцикла, новый тип ориентируемости и предложен принцип полукоммутативности. Построена супераналитическая полугруппа и дано определение супераналитических полусупермногообразий. Рассмотрены дополнительные редукции касательного суперпространства, которые приводят к обобщению понятия комплексной структуры на необратимый случай. Найдены новые сплетающие четность преобразования, которые дуальны суперконформным в смысле формулы сложения березинианов, являются необратимым супераналогом антиголоморфных преобразований, вращают четность в касательном суперпространстве и приводят к появлению нового типа коциклов -- сплетенных коциклов. Построены суперконформные полугруппы, принадлежащия к новому абстрактному типу полугрупп, которые имеют необычное идеальное строение. Определены и вычислены обобщенные векторные и тензорные отношения Грина. Найдены необратимые супераналоги расстояния в суперпространстве. Введен необратимый аналог метрики и показана ее полуинвариантность (необратимый аналог инвариантности). Изучены нелинейные реализации редуцированных преобразований и найден новый тип голдстино как решение, соответствующее сплетающим четность преобразованиям. Построены расширенные суперконформные полугруппы в альтернативной параметризации. Обобщается на произвольное N понятие комплексной структуры на суперплоскости. Получены новые непрерывные суперматричные представления полугрупп. Исследованы их идеальные свойства и нетривиальные редукции, применяемые в феноменологии суперсимметричных моделей. Найдено несколько возможностей объединить антитреугольные суперматрицы с треугольными в сэндвич-полугруппы с необычными свойствами. Получены новые типы нечетных супермодулей и антитранспонирования, представления странной супералгебры Березина. Введены нечетные аналоги собственных чисел, характеристических функций и сформулирована обобщенная теорема Гамильтона-Якоби. Показано, что полугрупповые связки непрерывно представляются суперматричными полугруппами антитреугольного вида. Получено объединение однопараметрических полугрупп в некоторую нетривиальную полугруппу -- скрученную прямоугольную связку. Введены обобщения отношений Грина -- тонкие и смешанные отношения эквивалентности. Исследованы необратимые свойства матриц с нильпотентными элементами, возникающих в расширенной суперконформной геометрии. Найдена дуальность между перманентом и детерминантом предложена новая формула для обратной матрицы через перманент и миноры. Построена необратимая гиперболическая геометрия на суперплоскости, в которой имеется два различных инвариантных двойных отношения и, соответственно, два расстояния.

Ключевые слова: суперсимметрия, супермногообразие, суперструна, суперконформное преобразование, нильпотент, четность, полугруппа, эквивалентность, идеал.

Размещено на Allbest.ru

...