Расчет силы давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки

Российской Федерации

ФГБОУ ВПО АлтГТУ им. Ползунова И.И.

Факультет дистанционного обучения по строительным специальностям, заочное обучение

Контрольная работа

по курсу "Гидравлика"

Расчет силы давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Выполнил:

Студент гр. Сс-21 Е.Скудина

Проверил:

Доцент кафедры ТГВ С.Еремин

Барнаул 2013г.



1. Цель и задачи контрольной работы

Цель работы - использование теоретических положений для решения практических задач, отработка навыков заполнения документации.

Задачи:

- дать ответ на контрольные вопросы в соответствии с вариантом задания;

- рассчитать силу давления покоящейся жидкости на ограждающие поверхности;

- определить положение центра давления покоящейся жидкости на ограждающих поверхностях;

- построить эпюры составляющих давления покоящейся жидкости на ограждающие поверхности.

2. Ответы на контрольные вопросы

Вопрос №1: Силы, действующие в жидкостях. Равновесное состояние жидкости.

Силы, действующие в жидкости, делятся на две группы: массовые и поверхностные.

Массовые (объемные) силы действуют на каждую жидкую частицу с некоторой массой. К ним относятся сила тяжести, силы инерции, электромагнитные силы, гравитационные силы (например, влияние Солнца или Луны). Плотность распределения объемной силы в точке А жидкой среды представляет собой предел отношения главного вектора сил к точкам малого объема , содержащего массу

.



Поверхностными называют силы, действующие на каждый элемент поверхности, как ограничивающей жидкость, так и проведенной произвольно внутри жидкости. К ним относятся нормальные к поверхности силы давления и касательные к поверхности силы трения . Плотность распределения нормальных сил

называется нормальным напряжением (в точке А), где - элементарная площадка, содержащая точку А; - сила, действующая на площадку . Плотность распределения касательных сил

называется касательным напряжением.

Равновесие жидкости

Законы равновесия жидкостей изучает раздел гидравлики - гидростатика. Для покоящейся жидкости, находящейся в поле тяжести Земли, уравнение Эйлера перепишется в виде

.(6.1)

Это уравнение равновесия жидкости в общем виде, описывающее закон распределения гидростатического давления. Перепишем ее в проекциях на оси координат, направляя ось z вертикально вверх:



.(6.2)

Если плотность жидкости считать постоянной во всем ее объеме, то уравнение (6.2) непосредственно интегрируется:

.(6.3)

Переписав это уравнение в виде

,(6.4)

получим основное уравнение гидростатики, определяющее гидростатический закон распределения давления в однородной несжимаемой жидкости, покоящейся в поле тяжести Земли. Для двух точек одного и того же объема покоящейся жидкости уравнение (6.4) представляется в виде

.(6.5)

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления. Если единственной массовой силой является сила тяжести, то поверхности равного давления представляют собой семейство горизонтальных плоскостей. Действительно, из (6.2) при p=const получим dz=0 или z=const. То есть каждому значению z соответствует плоскость, в каждой точке которой давление имеет одинаковое значение. Поверхность, граничащая с газовой средой, называется свободной поверхностью. В данном случае она является одной из плоскостей равного давления.

Применим основное уравнение гидростатики к точкам А и В, расположенным на глубине h и свободной поверхности соответственно (рис.6.1). Давление на свободной поверхности обозначим p₀, его называют внешним давлением. Оно может быть равным атмосферному (p₀= p_ат), большим (p₀ > p_ат) или меньшим (p₀ < p_ат) атмосферного. Из основного уравнения гидростатики имеем

.(6.6)

Отсюда

,(6.7)

где z₀-z=h. Тогда

.(6.8)



Величину gh называют весовым давлением, так как она равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте h. Давление p иногда называют абсолютным давлением.

Избыточным давлением называют разность

.(6.9)

В гидротехнических сооружениях, как правило, на свободной поверхности давление равно атмосферному, в этом случае избыточное и весовое давления совпадают.

Если давление в жидкости меньше атмосферного, то имеет место вакууметрическое давление

.(6.10)

Закон распределения в жидкости гидростатического давления графически представляют в виде эпюр давления (рис.6.2). Они изображаются векторами, их направления и длины соответствуют направлениям и значениям давлений.

Если свободная поверхность открыта в атмосферу (p₀=p_ат), то сила избыточного давления на горизонтальную площадку площадью на глубине h определяется по формуле



. (6.11)

Если налить жидкость в сосуды различной формы, то из этой формулы очевидно, что при равенстве p₀, плотностей , площадей основания и глубин h сила давления на горизонтальное дно будет одной и той же. Этот факт получил название гидростатического парадокса.

Из основного уравнения гидростатики вытекает закон Паскаля: изменение давления в любой точке покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений. Действительно, если изменить в одной точке давление на ?p₁, не нарушая равновесия жидкости, то во второй жидкости давление должно измениться на величину? p₂. Т.е.

.(6.12)

Отсюда следует, что ?p₁=?p₂.

Пусть имеется два открытых сообщающихся сосуда, содержащих жидкости с различными плотностями ₁и ₂ (рис.6.3). Внешнее давление на их свободных поверхностях одинаково. Поверхность раздела жидкостей является поверхностью равного давления, представляющую собой горизонтальную плоскость. Следовательно, ₁gh₁= ₂gh₂. Тогда

.(6.13)



То есть, в этом случае высоты уровней над плоскостью раздела жидкостей будут обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

Вопрос №2: Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейные стенки.

Определим величину вертикальной составляющей силы P без учета внешнего давления.

жидкость равновесие гидростатический давление

h - глубина погружения элементарной площадки dS под уровень свободной поверхности.

Из рисунка видно, что h dS_z = dW - элементарный объем столба жидкости, опирающегося на элементарную площадку dS и ограниченного свободной поверхностью.

Поэтому:

где: W - объем вертикального тела ABKDA_zB_zK_zD_z.

Вывод: Вертикальная составляющая силы давления жидкости P на криволинейную поверхность S равна весу жидкости в объеме вертикального столба, опирающегося на криволинейную поверхность S и ограниченного свободной поверхностью. В гидравлике этот объем носит название "тело давления".

3. Основные теоретические положения

Гидростатическое давление - сила, действующая внутри покоящейся жидкости на элементарную площадку по нормали к ней.

dS - элементарная площадка на граничной поверхности, [м²];

dR - поверхностная сила, [н];

dP - нормальная составляющая поверхностной силы, [н];

dT - тангенциальная составляющая поверхностной силы, [н].

р- гидростатическое давление, [н/ м² = Паскаль].

Свойства гидростатического давления:

Гидростатическое давление в данной точке не зависит от угла наклона площадки, на которой находится точка, то есть гидростатическое давление в точке одинаково по всем направлениям (р_x = р_y = р_z = р_n) - основная теорема гидростатики. Таким образом, все частицы внутри жидкости испытывают всестороннее сжатие.

На внешней поверхности жидкости гидростатическое давление всегда направлено по нормали внутрь покоящейся жидкости.

В соответствии с основным уравнением гидростатики величина гидростатического давления зависит от внешнего давления (давления на поверхности жидкости), и избыточного давления, определяемого глубиной погружения площадки и объемным весом жидкости:

Очевидно, что в любой точке жидкости при изменении p_вн на ту же величину изменится и p.

Закон Паскаля: Давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается во все точки жидкости без изменения.

Сила давления жидкости на плоские стенки

Пусть плоская стенка площадью S, ограждающая массу неподвижной жидкости, наклонена к горизонту под углом .

На элементарную площадку dS_i действует элементарная сила абсолютного давления dP_i:

т. С - центр тяжести стенки;

т. D - центр давления (точка приложения результирующей силы);

z_i, z_c, z_d - координаты элементарной площадки, центра тяжести и центра давления стенки;

h_i = z_i sin, h_c = z_c sin - глубины погружения элементарной площадки и центра тяжести под уровень свободной поверхности.

Полную силу давления можно определить, проинтегрировав элементарные силы по площади S.

Однако _S z_i dS_i = z_с S - статический момент площади S относительно кординатной оси 0x. Следовательно, сила абсолютного давления на площадь равна:

Первое слагаемое (Р_вн - сила внешнего давления), то есть сила давления на свободную поверхность, которая в соответствии с законом Паскаля передается жидкостью на стенку без изменения (в данном случае это сила атмосферного давления).

Второе слагаемое (Р_изб - сила избыточного давления), то есть сила давления покоящейся жидкости на стенку.

Вывод: Сила избыточного гидростатического давления Р_изб, действующая на плоскую фигуру любой формы, равна произведению площади этой фигуры S на глубину погружения ее центра тяжести под уровень свободной поверхности h_c и объемный вес жидкости .

При решении практических задач важно знать не только силу, действующую на граничную поверхность со стороны жидкости, но и точку ее приложения, то есть центр давления.



Внешнее давление, передаваемое через жидкость, равномерно распределяется по площади, поэтому точка приложения силы Р_вн совпадает с центром тяжести площади.

Избыточное давление зависит от глубины погружения точки, поэтому по площади оно распределяется неравномерно и точка приложения силы Р_изб лежит ниже центра тяжести (т. D₁).

Центр давления (точка приложения силы P) находится между точками С и D₁ и может быть определен геометрическим сложением сил Р_вн и Р_изб.

Таким образом, для определения центра давления достаточно определить точку приложения Р_изб, так как координата центра тяжести известна.

Из условия равенства моментов:

или

или

откуда

где I_0x - момент инерции плоской фигуры относительно оси 0x.

Формулу можно переписать в виде:



- эксцентриситет.

Вывод: Точка приложения силы избыточного давления покоящейся жидкости лежит ниже центра тяжести фигуры на величину эксцентриситета.

I₀ - момент инерции плоской фигуры относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. Его величина и положение центра тяжести зависят от формы фигуры:

Сила давления жидкости на криволинейные стенки

Пусть внутри покоящейся жидкости находится бесконечно тонкая невесомая пластинка площадью S.

С одной стороны на нее действует сила P, с другой - противоположная по направлению и равная по величине сила P*. Сила P является равнодействующей элементарных сил давления на площадь S. Пластина криволинейна, сила P направлена произвольно и может быть выражена через составляющие по осям координат:



Направление определяется направляющими косинусами:

На элементарную площадку dS действует сила dP, составляющие которой по осям координат равны:

где dS_x = dS cos - проекция элементарной площадки dS на плоскость, перпендикулярную оси 0x;

dS_y = dS cos - проекция элементарной площадки dS на плоскость, перпендикулярную оси 0y;

dS_z = dS cos - проекция элементарной площадки dS на плоскость, перпендикулярную оси 0z;

hc_x, hc_y - глубины погружения центров тяжести проекций dS_x и dS_y под уровень свободной поверхности.

Определим величину горизонтальных составляющих силы P без учета внешнего давления.



Вывод: Горизонтальные составляющие силы давления жидкости P на криволинейную поверхность S равны силам давления на вертикальные проекции S_x, S_y этой поверхности, перпендикулярные соответствующим осям координат.

Определим величину вертикальной составляющей силы P без учета внешнего давления.

h - глубина погружения элементарной площадки dS под уровень свободной поверхности.

Из рисунка видно, что h dS_z = dW - элементарный объем столба жидкости, опирающегося на элементарную площадку dS и ограниченного свободной поверхностью.

Поэтому:

где: W - объем вертикального тела ABKDA_zB_zK_zD_z.

Вывод: Вертикальная составляющая силы давления жидкости P на криволинейную поверхность S равна весу жидкости в объеме вертикального столба, опирающегося на криволинейную поверхность S и ограниченного свободной поверхностью. В гидравлике этот объем носит название "тело давления".

Эпюры гидростатического давления

Построение эпюр гидростатического давления используется для анализа характера его распределения по различного рода ограждающим поверхностям (плотинам, стенкам резервуаров, устройствам регулирования уровня жидкости и т.д.). Кроме того, с их помощью можно графоаналитическим способом определить величину суммарной силы давления жидкости и ее составляющих, а также местоположение центра давления.

При построении эпюр в выбранных точках исследуемой поверхности по нормали к ней откладываются отрезки прямых, длина которых соответствует величине гидростатического давления в данной точке. Окончания отрезков соединяются непрерывной линией. Площадь получившейся фигуры соответствует величине силы давления жидкости в сечении. Суммарная сила давления на всю ограждающую поверхность соответствует произведению площади эпюры на ширину поверхности. Точка приложения суммарной силы (центр давления) и центр тяжести эпюры лежат на одной прямой.

При построении эпюр составляющих гидростатического давления на криволинейных поверхностях отрезки прямых, соответствующие по длине величине этих составляющих, имеют направление, совпадающее с направлением соответствующих осей координат.

Рассмотрим вертикальную прямоугольную стенку шириной b, ограничивающую массу неподвижной жидкости глубиной h. Определим силу избыточного гидростатического давления, действующую на стенку. Внешнее (атмосферное) давление не учитываем.



р_m = h_m - избыточное давление в произвольной точке m.

р_А = h - избыточное давление в точке А.

h - глубина жидкости перед стенкой.

Треугольник OAB представляет собой эпюру избыточного гидростатического давления.

= 0,5 h h = 0.5 h² - площадь эпюры.

т. С - центр тяжести стенки;

т. D - центр давления (точка приложения результирующей силы);

т. C* - центр тяжести эпюры, для треугольника располагается на расстоянии 2/3 h от основания AB.

Сила избыточного гидростатического давления на всю плоскую стенку равна:

При наличии жидкости с двух сторон рассматриваемой стенки строятся эпюры с обеих сторон и после их геометрического сложения получают результирующую эпюру.



O₁AB₁ - эпюра избыточного гидростатического давления, действующего на стенку слева;

O₂AB₂ - эпюра избыточного гидростатического давления, действующего на стенку справа;

OKMA - результирующая эпюра избыточного гидростатического давления;

P=P₁-P₂ - результирующая сила избыточного гидростатического давления.

Для случая наклонной стенки эпюра принимает вид:

4. Исходные данные и расчетная схема

Исходные данные (вариант 3.4.1)

Ответы на контрольные вопросы и расчеты выполняются для одного из вариантов по данным, приведенным в таблице.



Расчетная схема

Вертикальная прямоугольная стенка, переходящая в криволинейную (цилиндрическую) поверхность поддерживает необходимые уровни воды верхнего и нижнего бьефов (УВБ, УНБ). Ширина стенки и цилиндрической поверхности b.

5. Результаты расчета

ДАНО:

Глубина воды h_ВБ =7.5м.

Глубина воды h_НБ = r = 1.4м.

Ширина стенки b =10м.

Плотность воды: 1000 кг/м³

Ускорение свободного падения g = 9.81

Атмосферное давление Р_атм = 101.3 кПа

Требуется:

Определить абсолютное и избыточное давление в т. В.

Решение:

Глубина жидкости в т.В равна:

h_B = h_ВБ - h_НБ = 7.5 - 1.4 = 6.1м

Избыточное давление в т.В определим по формуле:

Р_изб = gh_B = 1000*6.1*9.81 = 59.8кПа

Абсолютное давление в т.В определим по формуле:

Р_абс = Р_вн+Р_изб = Р_атм+Р_изб = 101.3+59.8 = 161.1 кПа

Определить аналитическим и графоаналитическим путем силу избыточного давления на вертикальную стенку АВ.

2.1) аналитический метод.

Решение:

Сила избыточного давления, действующая на плоскую фигуру любой формы, равна произведению площади этой фигуры на глубину погружения ее центра тяжести под уровень свободной поверхности и объемный вес жидкости.

Глубина жидкости перед стенкой:

h_AB = h_ВБ - h_НБ = 7.5 - 1.4 = 6.1м

Площадь вертикальной стенки АВ:

S_AB = h_AB*b = 6.1*10 = 61 м²



Глубина погружения центра тяжести стенки АВ:

Сила избыточного давления воды на стенку АВ:

Р_{изб АВ} = *g*h_cAB *S_AB = 1000*9.81*3.05*61 = 1825.15 кПа

2.2) графоаналитический метод

(п.2.2 не выполняется, согласно заданию преподавателя)

Определить аналитическим путем координату центра давления для стенки АВ.

Центр давления для стенки АВ лежит ниже центра ее тяжести на величину эксцентриситета.

Момент инерции стенки АВ:

Эксцентриситет:

Глубина погружения точки приложения от поверхности:

h_d= h_cAB +К =3.05+1.02 = 4.07 м

Построить эпюру горизонтальной составляющей избыточного давления на цилиндрическую поверхность ВК и тело давления.

(п.4 не выполняется, согласно заданию преподавателя)

Определить вертикальную и горизонтальную составляющие силы избыточного давления на цилиндрическую поверхность ВК, а также их равнодействующую.

Решение:

Сила суммарного давления жидкости Р на цилиндрическую поверхность может быть выражена геометрической суммой ее составляющих: горизонтальной Р_х и вертикальной Р_y, т. е.

Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости на цилиндрическую стенку равна силе суммарного давления жидкости на вертикальную проекцию _в этой стенки:

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме тела давления:

Для нижнего бьефа:



= 1000 кг/м³

ширина стенки

b = 10 м

уровень воды нижнего бьефа:

h_НБ = r = 1.4м.

площадь вертикальной проекции:

S_B = r*b = 1.4*10 = 14 м²

глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции:

Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости на цилиндрическую стенку со стороны нижнего бьефа:

Р_х1 = gh_cBKS_B = 1000*9.81*0.7*14 = 96.14 ??????

площадь сектора ВОК:

объём тела давления:

W_BОK = S_BОK*b = 1,54*10 =15,4 м³



Вертикальная составляющая силы суммарного давления жидкости на цилиндрическую стенку со стороны нижнего бьефа:

Р_y1 = gW_BОK = 1000*9.81*15,4 = 151,07 кПа

Сила суммарного давления жидкости Р на цилиндрическую стенку со стороны нижнего бьефа:

????????

угол наклона равнодействующей к горизонту:

₁ 58⁰

Для верхнего бьефа:

= 1000 кг/м³

ширина стенки

b = 10 м

уровень воды верхнего бьефа:

h_ВБ =7.5м.

площадь вертикальной проекции:

S_B = r*b = 1.4*10 = 14 м²

глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции:

h_сВП = h_ВБ - r/2 = 7.5 - 1.4/2 = 6.8м

Горизонтальная составляющая силы суммарного давления жидкости на цилиндрическую стенку со стороны верхнего бьефа:

Р_х2 = gh_cВПS_B = 1000*9.81*6.8*14 = 933,91????????

площадь полукруга ВОК:

объём тела давления:

W_BMK = S_BMK*b = 1.54*10 = 15.4 м³

Вертикальная составляющая силы суммарного давления жидкости на цилиндрическую стенку со стороны верхнего бьефа:

Р_y2 = gW_BMK = 1000*9.81*15.4 = 151.07

Сила суммарного давления жидкости Р на цилиндрическую стенку со стороны нижнего бьефа:



угол наклона равнодействующей к горизонту:

₁ 9⁰

Сила суммарного давления жидкости на цилиндрическую стенкуВОК:

Р_сум = Р₂cos 9⁰ - P₁cos 58⁰ = 934.4 - 94.89 = 839.51



Выводы

1) Сила избыточного гидростатического давления Р_изб, действующая на плоскую фигуру любой формы, равна произведению площади этой фигуры S на глубину погружения ее центра тяжести под уровень свободной поверхности h_c и объемный вес жидкости .

2) Точка приложения силы избыточного давления покоящейся жидкости лежит ниже центра тяжести фигуры на величину эксцентриситета.

3) Горизонтальные составляющие силы давления жидкости P на криволинейную поверхность S равны силам давления на вертикальные проекции S_x, S_y этой поверхности, перпендикулярные соответствующим осям координат.

4) Вертикальная составляющая силы давления жидкости P на криволинейную поверхность S равна весу жидкости в объеме вертикального столба, опирающегося на криволинейную поверхность S и ограниченного свободной поверхностью. В гидравлике этот объем носит название "тело давления".



Список литературы

1. Еремин С.Д., Яковенко В.П. Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу "Гидравлика" для студентов-заочников строительно-технологического факультета / С.Д. Еремин, В.П. Яковенко; Алт. гос техн. ун-т им. И.И. Ползунова. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2012. - 46 с.

2. Альтшуль А.Д. , Киселев П.Г. Гидравлика и аэродинамика. - М.: Стройиздат, 1975. - 328 с.

3. Киселев П.Г., Гидравлика. Основы механики жидкости. - М.: Энергия, 1980. - 360 с

Размещено на Allbest.ru

...