Дослідження динамічних властивостей систем зв'язаних твердих тіл і їх застосування до вивчення властивостей стержневих конструкцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Спеціальність 01.02.01 - теоретична механіка

ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ СИСТЕМ ЗВ'ЯЗАНИХ ТВЕРДИХ ТІЛ І ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО ВИВЧЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ СТЕРЖНЕВИХ КОНСТРУКЦІЙ

БОЛГРАБСЬКА Ірина Олександрівна

Донецьк - 1999

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена створенню математично моделі пружного об'єкту на основі системи зв'язаних твердих тіл (СЗТТ), сполучених пружними шарнірами, обґрунтуванню адекватності скiнченномiрної (СЗТТ) i неперервної (пружний стержень) моделей пружного об'єкту i дослідженню стійкості його робочих режимів з урахуванням малої несиметрiї об'єкту.

Актуальність теми. Останнім часом увагу все більш широкого кола вчених привертає такий об'єкт аналітичної механіки, як СЗТТ. Це пов'язано як з прикладними, так i з чисто теоретичними дослідженнями. Інтерес до задач, в яких використовується СЗТТ, викликаний двома обставинами:

1. Багато об'єктів сучасної техніки, зокрема авіаційної, морської i космічної, представляють собою системи шарнірно з'єднаних тіл.

2. Використання нових матеріалів для виготовлення технічних пристроїв привело до появи значних прогинань, для врахування яких виявилось необхідним тим чи іншим методом вводити пружність в запропоновану модель. Одним з можливих підходів розв'язання цієї проблеми є використання в якості моделі пружного об'єкту системи твердих тіл, зв'язаних пружними шарнірами.

Прикладами СЗТТ можуть служити гiростат, гіроскопічні системи, тіла на струні i струнному підвісі, колісні екіпажі i та iн. Вивченню таких систем присвячені монографії провідних вчених: Й. Вiттенбурга, В.I. Зубова, О.Ю. Iшлiнського, В.М. Кошлякова, Л.Г. Лобаса, Д.Р. Меркiна, О.Я. Савченка та ін.

Ряд актуальних прикладних задач сучасної техніки вимагає розробки методів дослідження стійкості стаціонарних рухів твердих тіл, що обертаються на струні або струнному підвісі. До таких задач можна віднести проблему динамічного балансування турбін, що швидко обертаються, створення потужних центрифуг i т.д. Ініціатором розвитку теоретичних i експериментальних методів дослідження СЗТТ у вигляді твердого тіла на струні був академік О.Ю. Iшлiнський, під керівництвом якого отримано найважливіші результати в цій області. Великий внесок в розв'язання задачі стійкості стаціонарних рухів тіла на струнному підвісі було внесено С.В. Малашенком, В.М.Рубановським, В.В. Рум'янцевим, В.О. Стороженком, М.Є. Темченко та ін.

Ще в 60-i роки з'явились конструкції космічної техніки, що представляють собою сукупність СЗТТ. Зокрема, це пов'язано з проблемою розробки систем орієнтації i стабілізації руху об'єктів, що рухаються в центральному ньютоновському полі сил. Вивченню стійкості стаціонарних режимів СЗТТ, що рухаються по орбіті, присвячені праці Л.О. Бурлаково, Й. Вiттенбурга, Л. Лілова, В.А. Саричева та ін.

В 1972 р. на XIII Міжнародному конгресi з теоретично i прикладно механіки О.Ю. Iшлiнський поставив задачу про визначення умов стійкості рівномірних обертань системи двох важких гіроскопів Лагранжа, зв'язаних ідеальним сферичним шарніром, один з яких має нерухому точку. Побудовані П.В. Харламовим у 1971 роц рівняння руху системи n зв'язаних твердих тіл виявились винятково зручними для розв'язання цієї та інших подібного типу задач. Використовуючи рівняння, отримані П.В.Харламовим, та їх перші інтеграли, О.Я. Савченко в 1974 р. встановив необхідні i достатні умови стійкості рівномірних обертань системи двох гіроскопів Лагранжа. При аналізі необхідних умов стійкості був знайдений цікавий ефект стабілізації гіроскопа Лагранжа, що перебуває в стані спокою, іншим, що обертається. Цей ефект був детально досліджений О.Я. Савченком та його учнями.

Подальший розвиток динаміки системи тіл, зв'язаних ідеальними шарнірами, зобов'язаний великому колу прикладних задач, таких як: рівномірні обертання несиметричних тіл, рівномірні обертання системи гiростатiв, регулярні прецесії CЗТТ, СЗТТ з вібруючою точкою підвісу, стаціонарні рухи СЗТТ, що не мають нерухомої точки i т.д. Розв'язанню цих задач присвячені праці Л.Д. Акуленка, О.П. Бойчука, Г.В. Горра, Д.Д. Лещенка, О.Я. Савченка, В.О. Самсонова, В.О. Стороженка, М.Є. Темченко, А.М. Шульгіна та ін.

Інтенсивний розвиток обчислювальної техніки, розширення ї можливостей, знайшло їй застосування i при вивченні СЗТТ. Були розроблені програми, що дозволяють: скласти функцію Лагранжа; лiнеаризувати рівняння руху; дослідити стійкість стаціонарних режимів; провести асимптотичне інтегрування рівнянь. З цими задачами пов'язані імена Л.А. Бурлакової, В.Д. Iртегова, Д.М. Клiмова, А.П. Маркеєва, А.Г. Сокольского, М.В. Почтаренка та ін.

Функціонування сучасних космічних апаратів i досліджуваних ракет в реальних умовах показало, що об'єкти такого роду є значно менше жорсткими, ніж це випливало з передпольотних випробувань. Це вимагало введення пружності в пропоновану модель. W.D. Sundberg i G.F. Reis замінили пружний корпус ракети системою двох тіл, зв'язаних пружним шарніром. Навіть така наближена модель дала результати, що досить добре збігались з даними експерименту.

При вивченні динаміки пружних об'єктів велику роль відіграє вибір таких моделей, які достатньо повно відображали б основні властивості об'єкту i, в той же час, достатньо легко піддавались аналізу. V.E. Cochcran i D.E. Christensen розглянули дві моделі ракети: пружний стержень i систему двох тіл, зв'язаних пружним шарніром. Отримані результати чисельного інтегрування були порівняні з даними експерименту. Виявилось, що обидві моделі дали добрий збіг з експериментом по параметрах, що цікавили авторів.

Приведений короткий огляд свідчить про різноманітні застосування СЗТТ при моделюванні різних технічних об'єктів i велику кількість праць по дослідженню руху СЗТТ з скінченним числом тіл в системі.

Експериментальне підтвердження успішного використання СЗТТ при моделюванні пружних конструкцій зробило актуальною задачу вивчення руху СЗТТ, число тіл в якій необмежено зростає, i доведення при цьому правомірності заміни неперервної моделі скiнченномiрною.

Слід відмітити, що при розв'язанні конкретних задач, в яких використовується стержнева модель, отримується як система звичайних диференціальних рівнянь, так i система рівнянь з частинними похідними, що описують малі пружні коливання. При цьому для розв'язання останніх використовується скiнченномiрна дискретизація, яка приводить ці рівняння до системи звичайних диференціальних рівнянь. У випадку, коли при розв'язанні задачі використовується скiнченномiрна модель у вигляді системи зв'язаних твердих тіл, ми маємо дискретизацію вже на рівні моделювання системи i конструктивні методи аналітичної механіки i теорії звичайних диференціальних рівнянь для дослідження отриманої моделі. Перевагою другого підходу, таким чином, є з одного боку ефективний формалізм запису рівнянь руху СЗТТ (можливо i з використанням ЕОМ), розвинутий математичний апарат вивчення скiнченномiрної моделі, що дозволяє в ряді задач отримати доступні для огляду аналітичні оцінки, а з другого боку - наявність досліджень, що підтверджують добрий збіг отриманих результатів з даними експерименту.

Однією з першочергових задач вивчення скiнченномiрних систем є дослідження стійкості їх стаціонарних режимів. Ця задача важлива у зв'язку з тим, що якраз ці рухи відповідають основним робочим режимам пружних конструкцій, а їх стійкість гарантує надійне функціонування технічних об'єктів.

Таким чином, необхідність розробки теорії дослідження СЗТТ у застосуванні до вивчення динаміки пружних об'єктів залишається актуальною i до цього часу, i саме цій проблемі присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження по дисертаційній роботі проводились у відповідності з Планами наукових досліджень відділів технчно механіки i прикладної механіки IПММ НАН України згідно постанови Президії НАН України по наступних бюджетних темах:

1986 - 1990 роки - “Розробка i розвиток математичних методів розв'язання задач аналітичної динаміки, орієнтованих на застосування в сучасній техніці”,

1990 - 1995 роки - «Розробка математичних моделей складних механічних систем i методів їх дослідження із застосуванням до задач машинобудування»;

1996 - 2000 роки - «Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування i динаміки взаємодіючих тіл»,

а також у 1997 - 1998 роках в рамках проекту 1.4/155 “Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем динаміки СЗТТ” Держфонду фундаментальних досліджень Міністерства України в справах науки i технологій.

Мета i задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є:

Розробка математичної моделі руху пружного об'єкту на основі СЗТТ i встановлення адекватності дискретної i неперервної моделей.

Доведення стійкості отриманих скiнченномiрних різницевих рівнянь.

Побудова загальної теорії для знаходження резонансних частот, в околі яких виникає нестійкість стаціонарних рухів СЗТТ при появі дисбалансу в системі.

Розробка конструктивного алгоритму дослідження руху СЗТТ в околі резонансних частот.

Наукова новизна отриманих результатів. В даній роботі вперше отримано нелінійні рівняння чотирьох основних механічних моделей: СЗТТ, що утворюють напiвзамкнений ланцюг; закріплені СЗТТ, невільні та вільні СЗТТ.

Встановлено, що всі ці рівняння припускають розв'язок, який описує рівномірні обертання об'єкту як цілого навколо загальної осі.

Знайдено коефіцієнт жорсткості пружного шарніру, при якому рівняння руху СЗТТ, лiнеаризованi в околі цього розв'язку, при збільшенні числа тіл в системі наближаються до рівнянь малих коливань стержня з відповідними граничними умовами.

Розроблено алгоритм доведення збіжності розв'язків отриманих рівнянь скiнченномiрних систем до рівнянь відповідних неперервних диференціальних систем.

Знайдено умови існування прецесійних рухів у СЗТТ, що утворює напiвзамкнений ланцюг.

Дано подальший розвиток дослідження стійкості рівномірних обертань вільної i невльно СЗТТ навколо недеформованої осі симетрії при врахуванні зовнішніх сил i моментів.

Отримала розвиток теорія резонансних частот. Вперше запропоновано конструктивний алгоритм визначення «резонансних» частот, в околі яких рух СЗТТ з малою несиметрiєю нестійкий. Запропоновано метод знаходження резонансних частот при вивченні рівнянь руху симетричних СЗТТ i локального дослідження рівнянь руху несиметричних СЗТТ в околі цих частот. Виділено два типи резонансних частот i розроблено метод їх визначення. Працездатність i ефективність цих алгоритмів перевірені на прикладах різних механічних об'єктів. Проведено порівняння резонансних частот при збільшенні кількості тіл у СЗТТ i встановлено їх збіжність до відповідних частот стержневої системи.

Практичне значення результатів дослідження. Дані результати мають наступне практичне значення:

1. Оскільки всі реально існуючі об'єкти мають несиметрiю, знання резонансних частот необхідно при виборі робочих режимів конструкцій;

2. Доведена збіжність скiнченномiрної моделі до неперервної дозволяє по експериментальних даних визначити конкретне число тіл в СЗТТ для адекватного моделювання, а це дає можливість ефективно розв'язувати поставлену задачу;

3. Знання умов стійкості робочих режимів дозволяє раціонально вибирати параметри конструйованого виробу.

Публікації i особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. Результати дисертаційної роботи опубліковані в монографії [1], статтях [2-19], працях конференцій [20, 21].

В монографії [1] здобувачу належать результати пунктів 1.3 - 1.8; 3.5 - 3.9 i четверта глава.

В роботі [2] - результати другого пункту.

В роботі [3] здобувачем отримано рівняння руху системи тіл в середовищі, що чинить опір, знайдено резонансні частоти i встановлено нестійкість стаціонарних розв'язків в їх околі.

В статті [4] - отримано рівняння руху СЗТТ i встановлено вплив пружного зв'язку на стійкість рівномірних обертань.

В роботі [5] здобувачем проведено дослідження впливу додаткових степенів вільності, викликаних наявністю шарніра на стійкість стаціонарних рухів.

В статті [7] здобувачу належить підбір i оцінка літератури по стійкості стаціонарних рухів.

В статті [9] - постановка задачі i теоретична частина.

В роботі [10] здобувачем записано рівняння руху системи, що утворює напiвзамкнений ланцюг, i встановлено умови існування у неї прецесійних рухів.

В роботах [18], [20] здобувачем поставлена задача i записані рівняння руху системи, що вивчається.

Апробація результатів. Результати дослідження доповідались :

на Четвертій республіканській нараді з проблем динаміки твердого тіла (м. Донецьк, 1984),

V-тому Всесоюзному з'їзді з механіки (м. Ташкент, 1995),

V-iй Всесоюзній Четаєвськiй конференції “Аналітична механіка, стійкість i керування рухом” (м. Казань, 1987),

розширеному засіданні семінару Інституту прикладної математики ім. I.Н. Векуа (м. Тбiлiсi,1989),

республіканській конференції “Динаміка твердого тіла i стійкість руху” (м. Донецьк, 1990),

XV - XVII наукових читаннях по космонавтиці (м. Москва, 1991 - 1993),

Second international conference on difference equations and applications (Hungary, 1995),

Міжнародному науково-методичному семінарі “Математичні моделі фізичних процесів i їх властивості” (м. Таганрог, 1996),

International conference stability, control and rigid bodies dynamic (Donetsk, 1996),

Міжнародній конференції “Математика в ндустрiї” (м. Таганрог, 1998),

VI International conference on differential equations and applications (Poland,1998),

семінарах відділів прикладної механіки i технічної механіки IПММ НАН України під керівництвом П.В. Харламова, О.Я. Савченка,

семнар вддлв аналтично механки динамки багатовимрних систем нституту математики (м.Кив) пд кервництвом В.М. Кошлякова, .О. Луковського,

семнар кафедри теоретично механки Кивського нституту залзничного транспорту пд кервництвом Л.Г. Лобаса.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, семи розділів, висновків, списку використаної літератури з 171 найменування, малюнків на 10 аркушах. Загальний об'єм роботи 269 сторінок.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

пружний шарнір резонансний алгоритм

У вступі обґрунтовано необхідність проведення дослідження i актуальність теми; сформульовано мету роботи; відмічено новизну отриманих результатів, їхнє теоретичне i прикладне значення.

В першому розділі дано огляд літератури по темі дисертації. Відмічено основні напрямки досліджень скiнченномiрних СЗТТ. Закінчує розділ коротке резюме, що стосується необхідності проведених досліджень i їх подальшої розробки.

Другий розділ присвячений викладу загальної методики i основних методів дослідження, що застосовуються в даній роботі. Приведено необхідні теореми аналітичної динаміки, теорії матриць, теорії різницевих схем i теорії стійкості за Ляпуновим.

Третій розділ дисертації присвячений складанню рівнянь руху СЗТТ для моделювання стержневих конструкцій з різними умовами на кінцях:

Стержень з заданим рухом у нерухомому просторі (зокрема, з двома опорами на кінцях).

2. Пружна консоль.

3. Стержень з одним вільним i одним пружно обпертим кінцем.

4. Стержень з двома вільними кінцями.

Цим граничним задачам у скiнченномiрному випадку відповідають:

Системи з напiвзамкненим ланцюгом (рух двох точок кінцевих тіл підкоряється заданим зв'язкам);

2. Закріплені системи (перше тіло має дві нерухомі точки);

3. Невільні системи (перше тіло має одну нерухому точку);

Вільні системи (немає нерухомих точок).

Нелінійні рівняння руху перерахованих СЗТТ, що складаються з n твердих тіл S_k (k=) з'єднаних пружними шарнірами, записані в пунктах 3.1 - 3.5 у формі, запропонованій П.В. Харламовим, виходячи із законів про зміну кількості руху тіла S_k i моменту кількості руху тіла S_k відносно точки O_k, що є спільною точкою тіл S_{k - 1} i S_k (k=). У векторній формі вони можуть бути записані так:

m_k = F_k + R_k - R_k+1 (1)

k=

де

m_k - маса тіла S_k,

швидкість точки C_k, що є центром мас тіла S_k,

F_k - вектор зовнішніх сил,

A_k - тензор інерції тіла S_k в точці O_k,

абсолютна кутова швидкість тіла S_k,

швидкість точки O_k,

N_k - момент зовнішніх сил,

c_k=O_kC_k, h_k=O_kO_k+1

Припускалось, що з боку тіла S_{k - 1} на тіло S_k діє сила реакції R_k, момент сили реакції L_k i пружний момент M_k, а з боку тіла S_k+1 - сила реакції - R_k+1, момент сили реакції - L_k+1 i пружний момент - M_k+1.

Таким чином, рівняння руху тіла S_k (k=), що входить в СЗТТ, записується як рівняння руху одного твердого тіла, до якого додатково прикладені сили i моменти сил реакцій, що замінюють дію сусідніх тіл. При цьому в рівняннях (1), (2) потрібно покласти:

В СЗТТ з напiвзамкненим ланцюгом

,L₁=L_n+1=M₁=M_n+1=0.

В закріплених СЗТТ

,L₁=L_n+1=M₁=M_n+1=R_n+1=0.

Для невільних СЗТТ

=0, L₁=L_n+1=M_n+1=R_n+1=0.

Для вільних СЗТТ

L₁=L_n+1=M₁=M_n+1=R₁=R_n+1=0.

Покладалось, що тіла, з'єднані між собою шарнірами, які припускають у відносному русі лише чисте обертання. До таких типів шарнірів належать циліндричний, універсальний i сферичний шарніри, що припускають у відносному русі відповідно один, два i три степеня вільності.

Однак, як показано в пункті 3.6, можна вважати, що всі тіла з'єднані сферичними шарнірами, але у випадку наявності універсального або циліндричного шарніра, до них прикладені додаткові сили i моменти сил реакцій зв'язку, а введені надмірні змінні підкоряються деяким голономним зв'язкам.

Так, якщо визначити з допомогою кутів Крилова стан тла в інерційному просторі, то при умові, що тіла S_k i S_k+1 зв'язані циліндричним шарніром, ці змінні повинні задовольняти наступним рівнянням зв'язку:

(3)

(4)

У випадку ж, якщо ці тіла з'єднані універсальним шарніром, кути Крилова повинні задовольняти співвідношенню (3).

Далі показано, як, використовуючи рівняння зв'язку i відомі рівняння руху СЗТТ з сферичними шарнірами, записуються рівняння руху СЗТТ з універсальними i циліндричними шарнірами. Такий підхід в більшості задач дає найбільш доступну для огляду форму рівнянь руху першого наближення.

Потрібно відмітити, що якщо для СЗТТ з напiвзамкненим лагцюгом i закріпленої СЗТТ існують рухи, пов'язані лише з пружними коливаннями, то невільна i вільна СЗТТ, крім пружних коливань, рухаються як одне ціле в інерційному просторі. Для цих систем виділено рух об'єкту в цілому i малі пружні коливання, які відповідно названі великим i малим рухами. Припускалось, що відносні пружні прогини малі i рівняння руху лінійні по частині змінних. Такі рівняння для стержня з одним обпертим i одним вільним кінцями та невільно i вільно СЗТТ отримано в пунктах 3.7 - 3.9.

Четвертий розділ присвячений граничному переходу в рівняннях руху введенних СЗТТ і встановленню відповідності різких скінченномірних і неперервних задач.

В пункті 4.1 розглянуто рівняння великого i малого рухів невільної СЗТТ, що складається з n однакових гіроскопів Лагранжа, i малих коливань однорідного пружного стержня з одним обпертим i одним вільним кінцями. Припускалось, що число тіл в СЗТТ необмежено зростає при цьому (l - довжина стержня). Номер k-го шарніра, аналогічно Г.Голстейну, трактувався, як координата по осі OZ (OZ - вісь симетрії стержня), z_k=kh тоді x_k=x_k(z_k), y_k=y_k(z_k).

Було встановлено, що якщо жорсткість стержня EJ i жорсткість шарніра к² задовольняють співвідношенню

(5)

то величина пружного моменту в шарнірі прямує до моменту, діючого в плоскому перетині стержня.

Аналіз граничних значень коефіцієнтів рівнянь великого руху СЗТТ дозволив встановити, що вони при прямують до рівнянь великого руху пружного стержня.

З відомих співвідношень, що виражають похідні через скінченні різниці, i граничних значень для коефіцієнтів рівнянь малого руху СЗТТ було доведено, що при виборі жорсткості шарніра згідно (5), рівняння малого руху СЗТТ прямують до рівнянь малого руху пружного стержня.

В пункті 4.2 розглянуто рівняння малих коливань вільної i невільної систем в околі стану рівноваги. Показано, що рівняння в цьому випадку розпадаються на дві однакові незалежні групи i достатньо дослідити одну з них. Відмічено найпростішу модель, що використовується в теорії стержнів, коли при розгляданні руху стержня враховуються лише поступальні рухи стержня i ігнорується їхній поворот. В скiнченномiрнiй постановці цій найпростішій моделі зіставлена система n точок з масою m=M/n, розташованих на невагомій пружній осі. В усіх розглянутих у цьому пункті задачах встановлено, що при виборі жорсткості згідно (5), рівняння руху СЗТТ збгаються при з відповідними рівняннями малих коливань пружних стержнів.

Пункт 4.3 присвячений вивченню руху СЗТТ i балки Тимошенка в найпростішому випадку.

В заключному пункті цього розділу розглянуто рівняння руху за інерцією СЗТТ, що складається з n різних гіроскопів Лагранжа i рівняння малих коливань неоднорідних стержнів, що обертаються. Припускалось, що шарніри рівномірно розподілені по осі симетрії стержня, тобто як i раніше, h=l/n. Для неоднорідних стержнів його параметри вже залежать від стану перерізу на осі OZ, а в скiнченномiрнiй моделі - від номеру тіла S_k. Тоді співвідношення (5) приймають вигляд

(6)

Таким чином, в четвертому розділі доведено, що для різних граничних задач виконання умови (5) або (6) гарантує збг при рівнянь руху СЗТТ з рівняннями малих коливань пружних стержнів.

П'ятий розділ присвячений доведенню збіжності розв'язків рівнянь руху СЗТТ до розв'язку рівнянь малих коливань стержневих моделей.

В пункті 5.1 проведено аналіз власних частот коливань вільної СЗТТ, що рухається за інерцією. Припускалось, що СЗТТ складається з n однакових гіроскопів Лагранжа i моделює пружний стержневий об'єкт довжиною l, центральними екваторіальними моментами інерції A i B i масою M. Тоді для СЗТТ маємо

(7)

Жорсткість вибирали згідно (5).

Для знаходження власних частот знайдено алгебраїчне рівняння

(8)

коефіцієнти якого залежать від геометричних i масових параметрів, зазначених в (7).

Врахування властивостей системи, що вивчається, дозволило представити у вигляді добутку , що вдвічі знизило степінь вихідного многочлену, а далі i цей многочлен представити у вигляді добутку (n1+n2=n).

Завдяки проведеним перетворенням, власні частоти для n=2,3 можуть бути визначені в явному вигляді.

Власні частоти стержневої моделі визначались як корені трансцендентного рівняння

 (9)

отриманого О.О. Ілюхіним.

Чисельний розв'язок (8), (9) дозволив встановити збіжність частот скiнченномiрної моделі до частот стержневої, що зайвий раз свідчить про прийнятність запропонованої дискретної математичної моделі.

В пункті 5.2 розглянуто скiнченномiрну модель однорідного симетричного стержня з двома опорами на кінцях. Припускалось, що стержень обертається із сталою швидкістю навколо своєї недеформованої осі симетрії, i при цьому його елементи здійснюють поступальні i обертальні рухи навколо головних осей інерції перпендикулярного перетину, але прогини, як викликані зсувом, не враховуються. Скiнченномiрним аналогом такої системи є система однакових гіроскопів Лагранжа, зв'язаних пружним шарніром із сталою жорсткістю, що утворює напiвзамкнений ланцюг. Особливістю розглянуто задачі є наявність розв'язку в явному вигляді як в неперервній, так i в скiнченномiрнiй моделі. Вони вдповдно мають вигляд:

(10)

;

(11)

тут

Тоді із (10), (11) виплива

Оскільки отримані рівняння руху скiнченномiрної СЗТТ можуть трактуватися як скiнченнорiзницева схема по просторовій змінній рівнянь з частинними похідними стержневої моделі, а збільшення числа тіл в системі як збільшення кількості вузлів сітки, то виходячи з означення теорії різницевих схем, отриманий результат свідчить про збіжність розв'язку дискретної задачі до диференціальної.

Пункт 5.3 присвячений вивченню розв'язків рівнянь малих коливань відносно стану рівноваги однорідної невагомої консолі i її скiнченномiрного аналогу - закріпленої СЗТТ. У цій задачі розв'язок вже не може бути виписаний в явному вигляді i для доведення збіжності розв'язків різницевих рівнянь до диференціальних була використана наступна теорема теорії різницевих схем (теорема Лакса).

Теорема 1. Нехай різницева схема L_h u^h = f^h апроксимує задачу Lu=f на розвязку u з порядком h_k. Тоді розв'язок u^h різницевої задачі збігається до розв'язку [u]_h диференціальної, причому ма мсце оцнка

Використання цієї теореми дозволило розбити доведення збіжності на два етапи:

1. Встановлення апроксимації диференціальних рівнянь різницевими.

Доведення стійкості різницевої схеми.

Було встановлено, що апроксимація випливає із граничних співвідношень, встановлених при аналізі рівняння руху скінченномірних систем, число тіл в яких необмежено зростає.

Для доведення стійкості різницевих рівнянь необхідно показати, що мале збурення правої частини викликає рівномірне відносно h збурення розв'язку.

Різницеве рівняння для закріпленої СЗТТ було приведено до вигляду

(12)

Де A₁=E+G₁(n+1)²A₀ ; E- одинична матриця;

якобiєва матриця, в якій ; ; a_nn=1;

B = {b_ij} - симетрична п'ятидiагональна матриця з елементами b_ii=6, b_ii+1=-4, ; b_{n - 2n - 1}=5; b _{n - 2n - 1}=-2; b _{n - 1n - 1}=1;

G₁,G₂ - додатні константи, що не залежать від h.

Тоді рівняння із збуреною правою частиною таке

де (13)

Доведена додатна означеність матриці A₁ i врахування симетрії A₁ i B дозволили звести рівняння (12), (13) до вигляду

(14)

Де Y=PU, X=PV, P=A₁^-1/2 W, W - унітарна матриця,

- характеристичні числа матриці D=A₁^-1B₁, B₁=G₂(n+1)⁴B.

Норма різниці розв'язків рівнянь (12), (13) з урахуванням (14) була оцінена так :

(15)

i доведення стійкості різницевих рівнянь зведено до оцінки i константами, що не залежать від h.

Для необхідна оцінка була отримана, виходячи із означення , де - власні числа матриці A₁=E+G₁(n+1)²A₀. Тоді , де власні числа матриці G₁(n+1)²A₀, а оскільки матриця A₀ додатно означена, то всі власні числа додатні, внаслідок чого , а

(16)

З нерівності (16) випливає

(17)

Для оцінки де власні числа матриці D ^-1 = B₁ ^-1A₁, була використана вдома в теор матриць теорема.

Теорема 2. Власні числа матриці не перевищують будь-якої її норми.

Тоді

(18)

За норму матриці була вибрана

(19)

для оцінки якої необхідно знання

Враховуючи структуру матриці D ^-1, її елементи були представлені так

(20)

Матрицю B ^-1 вдалося побудувати в явному вигляді. Її коефіцієнти дорівнюють

(21)

Підстановка (16) - (21) в (15) дозволила зробити висновок

де С - константа, яка не залежить від h, що й доводить стійкість різницевої задачі i збіжність розв'язків скiнченномiрних рівнянь до розв'язку неперервних.

В пункті 5.4 вивчався розв'язок рівнянь малих коливань стержня з одним обпертим i одним вільним кінцями i його скiнченномiрної моделі невільної СЗТТ. При доведенні використовувалась теорема 1. Оскільки апроксимація вже доведена, то в цьому пункті досліджувалась лише стійкість різницевих рівнянь. Для невільної системи рівняння (12) має вигляд

 (22)

коефіцієнти a², a₂, a₃, a₃₂ не залежать від n, а, отже, i від h; A={a_ij} - якобiєва матриця, в якій D_n=E_n^.A_n ; E=diag(1,2,....n);

Симетричність матриці D i додатна означеність матриці C дозволили, використовуючи заміну Y=PW_1, де P=C₁^-1/2U₁, U₁ - унітарна матриця, звести рівняння (22) до вигляду

, (23)

Де власні числа матриці F=C₁^-1 D, C₁ =a² n⁴ C.

Далі, як i в попередньому пункті, поряд з рівнянням (23) були записані рівняння із збуреною правою частиною, проведені необхідні перетворення цих рівнянь i складена різниця (15). Її норма для даної задачі оцінюється так

Оскільки , а власн числа матриц A вдом в явному вигляд, то легко може бути отримана оцнка , яка не залежить вд h. Тод для отримання необхідної оцінки залишилось вивчити .

Згідно теореми 2,



Аналіз коефіцієнтів матриці F дозволив оцінити константою, що не залежить від h, що i розв'язало поставлену задачу.

Запропонований метод доведення збіжності розв'язків скiнченномiрних задач до неперервних, як показано в пункті 5.4, виявився конструктивним. В пункті 5.5 цей прийом застосовано до вільних СЗТТ i стержня з двома вільними кінцями. Рівняння скiнченномiрної моделі в цьому випадку має вигляд (22), але матриця D така

де коефіцієнти b,d_1,d₂ не залежать від n.

Елементи матриць D₁={d¹_ij}, D₂={d²_ij}, дорівнюють

В заключному пункті цього розділу для порівняння розглянута найпростіша модель балки Тимошенка. Їй відповідає СЗТТ, що складається з n точок з масами m = M / n, розташованих на пружній лінії балки. Для доведення збіжності розв'язків в цьому випадку виявилось необхідним встановити рівномірні по h оцінки де власні числа матриці D = Gn⁴B, де B - симетрична п'ятидiагональна матриця з елементами

Приведено два методи розв'язання поставленої задачі.

Шостий розділ цієї роботи присвячено демонстрації застосування СЗТТ для дослідження динаміки пружних об'єктів на прикладі таких задач, як виділення стаціонарних режимів, знаходження умов їх існування та дослідження стійкості.

В пункті 6.1 виділено два найбільш розповсюджених типи стаціонарних рухів: рівномірні обертання i регулярні прецесії. Встановлено, що рівняння руху всіх розглянутих у роботі СЗТТ допускають розв'язок, відповідний рівномірному обертанню об'єкту, як цілого, навколо вертикалі, яка збігається з віссю симетрії об'єкту. Дано огляд результатів по дослідженню регулярних прецесій у невільної СЗТТ. Умови існування регулярних прецесій у СЗТТ, що утворює напiвзамкнений ланцюг, встановлені в підрозділах 6.1.1 i 6.1.2.

В підрозділі 6.1.1 розглянуто систему n однакових гіроскопів Лагранжа, зв'язаних пружними сферичними шарнірами. Вивчалась можливість існування у цієї системи режиму

(24)

де кути Ейлера, які визначають положення системи координат, зв'язаної з тілом по відношенню до нерухомої. Цьому розв'язку відповідає рух механічної системи, в якій кожен із гіроскопів здійснює регулярну прецесію.

Якщо при цьому вісі симетрії всіх гіроскопів лежать в одній площині, то

(25)

де дорівнюють 0 або .

Проведений аналіз дозволив встановити, що розв'язок (24) при умовах (25) для невагомої механічної системи існує, якщо



i виконується співвідношення

В підрозділі 6.1.2 розглянуто систему n однакових важких гіроскопів Лагранжа, зв'язаних універсальними пружними шарнірами. В цьому випадку кути Ейлера, що описують розв'язок (24), повинні задовольняти співвідношенню

(26)

Встановлено, що цей зв'язок накладає обмеження на константи, що визначають розв'язок (24). Показано, що у випадку двох тл при врахуванні (26), розв'язок (24) такий:

(27)

i описує регулярну прецесію другого тіла i рівномірне обертання першого навколо вертикалі, яка не збігається з його віссю симетрії. Встановлено, що розв'язок (25) існує при умові

Дослідження стійкості рівномірних обертань вільних i невільних СЗТТ проведено в пункті 6.2.

В підпункті 6.2.1 вивчено рух вільної СЗТТ, що знаходиться під дією аеродинамічних сил i моментів. Встановлено співвідношення між параметрами системи, що характеризують діюче силове поле, які дозволяють їй здійснювати рух, в якому центр мас системи рухається рівномірно i прямолінійно i вона обертається як одне тверде тіло навколо осі, колінеарної вектору швидкості центру мас. Знайдено необхідні умови стійкості цього режиму при умові, що тіла є гіроскопами Лагранжа, а силове поле стаціонарне. Проведені дослідження руху СЗТТ, що знаходиться під дією сумарного вiдновлюючого моменту, дозволили встановити:

1. Рівномірні обертання системи двох тіл, зв'язаних пружним шарніром, жорсткість якого достатньо велика, стійкі асимптотично.

2. Для системи сильно витягнутих гіроскопів Лагранжа, зв'язаних пружним шарніром, існує інтервал жорсткостей таких, що при виборі параметру жорсткості із цього інтервалу, рівномірні обертання асимптотично стійкі при достатньо великих жорсткостях стають нестійкими.

В підрозділі 6.2.2 розглянуто невільну систему двох важких гіроскопів Лагранжа, зв'язаних пружним універсальним шарніром. Вивчено рівномірні обертання такої системи навколо вертикалі. Ця система є проміжною між закріпленою i невільною СЗТТ, у якої жорсткість сферичного шарніру, розташованого в нерухомій точці, дорівнює нулю. Знайдено співвідношення між жорсткостями універсального i сферичного шарнірів, при яких необхідні умови стійкості виконуються при довільній швидкості обертання СЗТТ.

Сьомий розділ дисертаційної роботи присвячений використанню СЗТТ для вивчення об'єктів з малою несиметрiєю.

В пункті 7.1 вплив малої несиметрiї на стійкість руху продемонстровано на прикладі одного урівноваженого твердого тіла (центр мас нижче точки опори).

Розглянуто два види несиметрiї:

1. Тіло має моменти інерції, а координати центру мас - 0,0,c₃.

2. Моменти інерції тіла дорівнюють A,A,C, а координати центру мас - Тут припускалось, що малі параметри.

Знайдено частоти

(28)

при яких характеристичне рівняння системи першого наближення при має кратні корені. Встановлено, що поява в системі несиметрiї, як першого, так i другого виду, приводить до виникнення нестійкості стаціонарних режимів в околі частоти (28), яку називаємо далі резонансною.

В пункті 7.2 запропоновано загальну схему знаходження резонансних частот для систем з малою несиметрiєю. Розглянуто механічні системи, рівняння руху яких

(29)

(30)

припускають відповідно розв'язки

(31)

(32)

причому Тут , а

Далі для спрощення припускалось n₀ = n - 1, при цьому є скаляр. Припускалось снування невироджено замни змнних

,

де a_ij - вдом функц часу, як приводять системи (29), (30), лнеаризован в окол розв'язкв (31), (32), до автономних.

Тоді характеристичні рівняння систем першого наближення записуються так:

(33)

(34)

Із співвідношень

визначились величини , при яких рівняння (30) має кратні корені. Саме в околі цих частот у системи (29) можуть виникати нестійкі розв'язки (31).

Подальше дослідження пов'язано з вивченням рівняння (29). Обчислюється похідна



i виділяються два випадки:

1. f(a) не дорівнює нулю, тоді

i при виконанні

розв'язок (31) системи (29) буде нестійкий.

f(a)=0, тоді

i дослідження зводиться до аналізу знаковизначеностi квадратичної форми

(35)

Якщо квадратична форма (35) визначена додатно, то розв'язок (31) системи (29) стйкий, якщо ж вона знакозмiнна, то в околі резонансної частоти існує інтервал нестійкості.

В пункті 7.3 досліджувався рух за інерцією системи двох тіл, зв'язаних пружним універсальним шарніром, одне з яких має моменти інерції . Вивчались рівномірні обертання системи тіл як одного цілого навколо осі, колінеарної вектору швидкості центру мас СЗТТ. Характеристичні рівняння системи першого наближення для симетричної системи i для несиметричної системи, в якій припускалось , виявилось можливим представити у вигляд

(36)

Тоді корені рівняння (36) i корені рівняння

(37)

зв'язані так:

.

За запропонованою в попередньому пункті методикою резонансні частоти розшукуються як кратні корені характеристичного рівняння симетричної системи.Рiвняння (36) має кратні корені в двох випадках:

при цьому ;

тоді

Ці частоти були відповідно названі частотами першого i другого типів.

В першому випадку з (37) виплива ,

(38)

для визначення других резонансних частот многочлен був представлений у вигляд

,

.

Тод в рвнянн (37)

(39)

звдки при умов мамо, , отже, резонансна частота , а резонансна швидксть

(40)

Якщо ж , то з (39) виплива, що повинно задовольняти спввдношенню

,

резонансна швидксть дорвню

(41)

При цьому характеристичне рвняння (36) ма кратний корнь.

Вдмчено, що знайден частоти снують при умов A₂ > B₂, що ма мсцедля витягнутих гроскопв. Але саме цей випадок найбльш цкавий, оскльки одним з найважливших застосувань СЗТТ моделювання з х допомогою пружних стержнв, для яких, як вдомо, довжина набагато переважа нш лнйн розмри.

Порвняння модулв резонансних частот дозволило встановити

звдки виплива, що друг резонансн частоти досягаються при менших швидкостях обертання обкту.

Наступним кроком при вивчанні руху систем з малою несиметрiєю є вивчення поведінки функції в околі точки . Розроблена в пункті 7.3 методика дослідження цієї функції дозволила встановити, що в околі двох із знайдених частот , визначених в (38), (41), при наявності несиметрiї в СЗТТ виникають інтервали нестійкості.

В пункті 7.4 до раніше розглянутої СЗТТ добавлено третє тіло. В цьому випадку кількість резонансних швидкостей збільшується, але не всі вони можуть бути виписані в явному вигляді. Однак нижчі, особливо небезпечні резонансні швидкості як першого, так i другого типів знаходяться аналітично.

Так, резонансн швидкості першого типу так:

(42)

Нижча резонансна частота другого типу досягаться при швидкост обертання, яка дорвню

(43)

де .

Аналз (43) дозволив встановити, що знайдена частота обертання сну при наступних умовах, як зв'язують параметри системи:

,

тобто снування можливо не для витягнутих тл.

Далі в цьому пункті для системи n зв'язаних твердих тіл (n>2) запропоновано наступний алгоритм знаходження резонансних частот двох типів.

Для знаходження резонансних частот першого типу необхдно розвязати рвняння де

а - симетричн матриц, в яких

Тут а визначен формулою (7).

Вдмчено, що для однакових тл многочлен розкладаться на множники: резонансн частоти першого типу знаходяться як корен системи

(44)

Степен ж многочленв значно менші степеня що полегшу задачу знаходження коренв.

При визначенн значень резонансних частот другого типу видляються два випадки:

 (45)

(46)

де x_i - корен першого, а y_k - корен другого рвняння системи (44).

В першому випадку до спввдношень Вта, записаних вдповдно для першого або другого рвняння (44), додаться звязок (45), розвязуться отримана система рвнянь визначаться група резонансних частот.

У другому випадку використовуться замна

спввдношення (46) приводяться до вигляду u_i = v_j, результант прирвнються нулю обчислюються резонансн частоти.

В пункті 7.5 проведено порівняння величин резонансних частот в припущенні, що один i той же пружний об'єкт моделюється СЗТТ, що складається з двох i трьох тіл. Покладалось, что об'кт ма форму цилндра. Тод його екваторальний и осьовий моменти нерц вдповдно дорвнюють

A=M(3R² +l² )/12, B=MR² /2,

Де R - радус цилндра, M - його маса, l - висота.

Оскльки тло S_n 1/n-тою частиною вихдного тла, то

m_n =M/n, h_n =l/n, R_n =R, c_n =l/2n,

 тод

(47)

Де r=MR² /12, s=Ml² /12.

з (5) витка, що жорстксть стержня EJ жорстксть пружного шарнра зв'язан спввдношенням

. (48)

Пдстановка (47), (48) в (38), (42) дозволя привести вираз для перших резонансних швидкостей до вигляду

(49)

Тут для резонансних частот введено позначення , в якому i=1,2 познача тип частоти; j = 2,3,...,n - кльксть тл у систем, а k = 1,2,3... - кльксть частот даного типу.

Із (49) витка

Проведені аналітичні i числові дослідження дозволили встановити, що при збільшенні числа тіл в системі модулі відповідних частот збільшуються, але при цьому нижча частота другого типу менша відповідної частоти першого типу.

В пункті 7.6 визначено резонансні частоти вільних СЗТТ i пружних стержнів з двома вільними кінцями. Встановлено збіжність резонансних частот скiнченномiрної моделі до відповідних частот пружного стержня. Цей результат є ще одним підтвердженням можливості використання скiнченномiрної моделі при вивченні динаміки пружних стержневих систем.

В пункті 7.7 досліджено вплив моментів зовнішніх сил на величину резонансних частот першого i другого типв.

Вважалось. що система перебуває під дією зовнішнього силового поля. в якому до кожного тіла прикладений момент N_i (i=1,2; M₁ = M₂ ). Встановлено. що силове поле впливає на величину і кількість резонансних частот.

Резонансні швидкості першого типу дорівнюють

Резонансн ж швидкост другого типу задовольняють рвнянню

(50)

Корен рвняння (50) можна зобразити у вигляд

де a, b, f_1, f₂ - функц параметрв системи, а мають вигляд (40), (41).

В заключному пункті цього розділу розглянуто рух за інерцією системи двох тіл, зв'язаних узагальненим пружним універсальним шарніром. Цей шарнір, крім обертання навколо його осей, припускає i зсув в площині шарніру i дозволяє, крім згинних, враховувати i зсувні деформації.

Вважалось, що внутршн пружн сили, як виникають при малих кутових зсувних деформацях, визначаються наступною силовою функцю:

Де - вдповдно жорсткост згину зсуву;

- кути повороту тла S₂ вдносно тла S₁ навколо осей шарнру;

x,y - зсув вздовж осей шарнру;

трьома крапками позначен члени бльш високого порядку малості.

Як виявилось, урахування зсуву приводить до появи нових резонансних частот першого другого типу.

Для першого типу частот знайдено

При вивченн резонансно ситуац другого типу одна резонансна швидксть була визначена в явному вигляд

а решта знаходиться з рвняння

 (51)

Коефцнти (51) так

В кнцi цього пункту встановлено, що рівномірне обертання системи з малою несиметрiєю в околі знайдених перших резонансних частот нестійке.

ВИСНОВКИ

Отримано нелінійні рівняння руху чотирьох скiнченномiрних механічних моделей: СЗТТ, що утворюють напiвзамкнений ланцюг; закріплені СЗТТ; невільні i вільні СЗТТ, які використовуються відповідно для моделювання стержня із заданою траєкторією руху в інерційному просторі; пружної консолі; стержня з одним пружно обпертим i одним вільним кінцями i стержня з двома вільними кінцями.

Визначено значення жорсткості пружного шарніру, при якій рівняння руху СЗТТ, лiнеаризованi в околі стаціонарного режиму, при збгаються з рівняннями малих коливань пружних стержнів.

Доведено збіжність розв'язків рівнянь руху СЗТТ до розв'язку відповідних неперервних граничних задач.

Визначено умови існування в невагомій СЗТТ, яка утворює напiвзамкнений ланцюг, регулярної прецесії i встановлено форму, яку при цьому приймає пружна лінія валу, який моделюється з допомогою такої СЗТТ.

Досліджено умови стійкості вільної СЗТТ, що знаходиться в полі аеродинамічних сил i моментів. Встановлено інтервал жорсткостей; при жорсткості з цього інтервалу рух асимптотично стійкий у випадку достатньо великої жорсткості (зокрема i для одного тіла) стає нестійким.

Розроблено ефективний алгоритм знаходження резонансних частот, в околі яких стаціонарний рух об'єктів з малою несиметрiєю нестійкий.

Вивчено поведінку резонансних частот при збільшенні тіл в системі i встановлено їх збіжність до резонансних частот пружного об'єкту.

Досліджено вплив зсувних деформацій в пружних зчленуваннях. Встановлено появу нового спектру частот, що з'являються при врахуванні зсуву.

СПИСОК РОБІТ, ОПУБЛІКОВАНИХ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

Савченко А.Я., Болграбская И.А., Кононыхин Г.А. Устойчивость движения систем связанных твердых тел. - Киев: Наук. думка, 1991. - 166с.

Болграбская И.А., Игнатьев А.О., Кононыхин Г.А., Савченко А.Я. Исследование устойчивости стационарных движений твердых тел при воздействии дебалансов различной физической природы // Устойчивость движения. - Новосибирск: Наука СО, 1985. - С. 101-104.

Болграбская И.А., Савченко А.Я. Устойчивость движения связки двух тел в сопротивляющейся среде // Механика твердого тела. - 1986.- Вып.18. - С. 73-77.

Болграбская И.А., Савченко А.Я. Влияние дополнительных степеней свободы на устойчивость движения тела в сопротивляющейся среде // Механика твердого тела. - 1987. - Вып.19. - С. 79-88.

Болграбская И.А., Савченко А.Я. Исследование некоторых динамических свойств систем с распределенными параметрами на основе модели системи связанных твердых тел // Метод Ляпунова в анализе динамики систем. - Новосибирск: Наука СО, 1987. - С. 164-171.

Болграбская И.А. Влияние сдвиговых деформаций в системе двух гироскопов Лагранжа на резонансные частоты // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. - №2. - С. 33-36.

Болграбская И.А., Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений систем связанных твердых тел // Механика твердого тела. - 1989. - Вып.21. - С. 62-73.

Болграбская И.А. Уравнения движения по инерции системы n различных гироскопов Лагранжа и малые колебания вращающихся неоднородных стержней // Механика твердого тела. - 1992. - Вып.24. - С. 75-80.

Болграбская И.А., Нестеров О.Ю. Определение резонансных частот в упругих стержневых системах // Механика твердого тела. - 1993. - Вып.25. -С. 90-94.

Болграбская И.А., Савченко А.Я. Системы связанных твердых тел, образующих полузамкнутую цепь // Механика твердого тела. - 1994. - Вып. 26(І). - С. 33-39.

Болграбская И.А. Обоснование исследования динамических свойств упругого стержня на основе модели системы связанных твердых тел // Прикл. математика и механика. - 1996. - 60, вып.2. - С. 346-350.

Болграбская И.А. О равномерной оценке минимального собственного числа пятидиагональной матрицы // Доп. НАНУ. - 1997. - №2. - С. 8-11.

Болграбская И.А. Решение задачи о колебании консоли с помощью системы твердых тел, связанных упругими шарнирами // Механика твердого тела. - 1997. - Вып. 27. - С. 75-83.

Болграбская И.А. Моделирование колебаний упругих вращающихся стержней полузамкнутой цепью твердых тел // Механика твердого тела. - Вып.29. - 1997. - С. 16-21.

Болграбская И.А. Уравнения движения несвободной упругой системы // Механика твердого тела. - Вып. 29. - 1997. - С. 110-114.

Болграбская И.А. Исследование решения задачи о движении системы связанных твердых тел, моделирующей малые колебания упругой консоли // Механика твердого тела. - 1998. - Вып. 26(ІІ). - С. 138-144.

Болграбская И.А. Дискретная модель малых колебаний свободного упругого объекта // Доп. НАНУ. - 1998. - №2. - С. 61-64.

Болграбская И.А., Веласко Г. Э. Регулярная прецессия системы гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Тр. Ин-та прикл. математики и механики. Моделирование непрерывных и дискретных систем. - Донецк, 1998. - т. 2. - С. 3-9.

Болграбская И.А. Доказательство устойчивости одной разностной краевой задачи // Доп. НАНУ. - 1998. - №12. - С. 12-15.

Bolgrabskaya I.A. and Velasco H.G. Investigation of the solutions of system of the difference equations which describe small oscillation of elastic rods // Fourth international conference on difference equations and applications. - Poznan (Poland). - 1998. - P. 57-60.

Болграбская И.А. Стационарные режимы системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Тр. Международной конференции «Математика в индустрии». -Таганрог. 1998. - С. 55-59.

Размещено на Allbest.ru

...