Физическая сущность колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нет такой области техники, нет такого раздела физики, в которых мы не встречались бы в той или иной степени с явлениями, в которых имеют место колебания. Радиотехника, электротехника переменных токов и некоторые другие отрасли техники целиком основаны на исследованиях колебательных процессов. В физических науках: в оптике, акустике, механике, электричестве, в теории атома -- всюду мы встречаемся с колебаниями.

Физическая сущность тех процессов, в которых имеют место колебания, различна: например, колебания железнодорожного моста и колебания тока в электрическом контуре -- совершенно различные явления. Но даже беглое знакомство с законами колебаний в том и другом случае показывает много общего между этими колебательными процессами, как мы их называем. Детальный анализ колебательных процессов, встречающихся в физике и технике, показывает, что основные законы колебаний во всех случаях одинаковы. Такая, в известном смысле, универсальность законов колебательных процессов заставляет выделить изучение их в отдельную дисциплину, которая и носит название теории колебаний. Таким образом, задачей курса теории колебаний является изучение с единой точки зрения колебательных процессов, встречающихся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах.

Рисунок 1

Все колебательные процессы, с которыми нам приходится встречаться, можно классифицировать по внешним признакам -- по характеру, по форме того закона, по которому некоторая величина, участвующая в процессе, изменяется со временем. Такую классификацию можно назвать кинематической в широком смысле этого слова. Прежде всего все колебательные процессы, практически встречающиеся в физике и технике, разделяются на два класса: периодические и непериодические. В теории существенное значение имеет и промежуточный класс -- почти периодические движения. Периодическим называется такой процесс, при котором колеблющаяся величина, взятая в любой момент времени, через определенный отрезок времени Т имеет то же самое значение. Математическое определение периодической функции таково: функция f (t) называется периодической с периодом Т, если

f(t + T) = f(t)

при любом значении переменной t. Непериодическими можно назвать все остальные функции, не удовлетворяющие сформулированному условию периодичности.

Среди класса периодических колебаний огромную роль играют гармонические колебания, или синусоидальные колебания, при которых изменение физической величины со временем происходит подобно изменению одной из двух первых тригонометрических функций: синуса или косинуса при линейной зависимости аргумента от времени.

Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодических. Мы отметим сейчас только такие, с которыми нам чаще всего придется встречаться в теории колебаний.

3атухающая (или «нарастающая») «синусоида» и лимитационные движения. Колебания по закону «затухающей синусоиды» или, как они иногда называются, «затухающие гармонические», колебания, показаны на рис. 1, a и математически представляются выражением:

Ae^-?tcos(?t+?)

где А, ?, ?, и ? -- постоянные величины, a t -- время. «Нарастающие гармонические» колебания показаны на рис. 1,б и математически они отличаются только знаком у величины ?. Строго говоря, о таких колебаниях следовало бы сказать так: затухающие (или нарастающие) колебания, близкие к гармоническим при достаточно малом значении ?. Поэтому выражение «затухающая синусоида», или «затухающие гармонические колебания», не совсем логично, гармонические колебания не могут затухать. Но название это обычно принято, и мы также примем его. Лучше было бы говорить, что затухающее колебание представляется произведением двух сомножителей, гармонического cos (?t+?) и экспоненциального e^-?t.

Характерные примеры лимитационных движений показаны на рис. 2. Они представляют собой такие изменения величины, при которых переменная величина с течением времени стремится

Рис. 2.

к некоторому предельному постоянному значению; математически лимитационные движения можно представить, например, так:

(Ae^-?t -- Ве^?t)е^?t,

где А, В, ? и ? -- действительные числа, причем ?>?.

Перечисленные чисто внешние признаки колебательных процессов совершенно недостаточны для систематизации их. Поэтому мы будем классифицировать колебания по основным физическим признакам тех систем, колебательных систем, как мы их будем называть, в которых совершаются колебания.

В связи с этим весь материал курса разделен по сложности систем, в которых происходят колебания, на две части:

1) колебания в системах с одной степенью свободы;

2) колебания в системах со многими степенями свободы и в системах с бесконечным числом степеней свободы.

В первой части речь идет о простейших, элементарных и вместе с тем основных, фундаментальных процессах всей теории колебаний, поэтому она занимает значительную часть книги. Во второй части рассматриваются более сложные процессы, но принципиально, по существу мало отличающиеся друг от друга.

В каждой части следовало бы рассматривать четыре типа колебательных явлений:

1) собственные колебания,

2) вынужденные колебания,

3) параметрические колебания,

4) автоколебания.

Собственные колебания происходят в изолированной системе после внешнего возмущения («толчка»). Характер колебательного процесса в основном определяется только внутренними силами системы, зависящими от физического строения системы, необходимая энергия доставляется извне при возбуждении колебаний.

Вынужденные колебания происходят под действием заданных внешних периодических сил, которые действуют независимо от колебаний в системе. Характер процесса определяется не только свойствами системы, но и существенно зависит от внешней силы. Энергия колебаний доставляется источником, дающим внешнюю силу.

Параметрические колебания отличаются от вынужденных родом внешнего воздействия. При вынужденных колебаниях извне задана сила или какая-либо другая величина, совершающая колебания, а параметры самой системы остаются при этом постоянными. Параметрические колебания вызываются периодическим изменением какого-либо физического параметра системы (например, массы).

Автоколебания -- периодические движения, которые возникают в системе в отсутствие внешнего периодического воздействия. Характер колебаний определяется устройством системы. Источник энергии, покрывающий потери энергии на тепло при колебаниях, обычно составляет неотъемлемую часть системы. С другой стороны, все колебательные процессы можно разделить еще и таким образом на две части: колебания, совершающиеся в линейных и в нелинейных системах. Линейными системами называют такие системы, в которых основной закон колебаний выражается линейным дифференциальным уравнением. Очевидно, что нелинейные системы -- такие, для которых основной закон выражается нелинейным дифференциальным уравнением. Анализ нелинейных колебательных систем очень усложняется отсутствием регулярных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Разница между процессами в линейных и нелинейных колебательных системах сводится к тому, что при анализе колебаний в линейных системах по частным процессам можно сделать вполне определенное заключение о всех возможных в данной системе процессах, а для процессов в нелинейных системах вообще этого сделать нельзя. Поэтому теория колебаний для нелинейных систем довольно сложна, и обычно решаются задачи, относящиеся только к определенному виду нелинейных систем. Для нас существенна теория колебаний в нелинейных системах потому, что все автоколебательные системы являются принципиально нелинейными системами.

Определение числа степеней свободы

Число степеней свободы есть количество независимых переменных (величин), необходимых для полного описания процессов в системе. Однако при рассмотрении конкретной физической системы определение этих переменных представляет иногда довольно сложную задачу, так как, строго говоря, мы всегда имеем дело с системой, обладающей бесконечным числом степеней свободы. Поясним это простым примером.

Тело подвешено на нити (рисунок 3).

Сколько степеней свободы имеет эта простейшая колебательная система?

Ответ зависит и от физических свойств системы, и от того, какие процессы мы собираемся в ней исследовать.

Если мы будем рассматривать только те движения, при которых нить не деформируется, т.е. остается прямой и сохраняет постоянную длину; если размеры тела малы по сравнению с длиной нити, так что движение тела относительно нити не играет существенной роли, если движение одних точек относительно других также несущественно, - тогда можно рассматривать эту систему как математический маятник, как систему с двумя степенями свободы.

Тело в этом случае можно заменить точкой, обладающей конечной массой, а нить - недеформируемым стержнем, не обладающим массой. Точка движется по сфере, и для однозначного определения положения ее достаточно знать две независимые координаты. С помощью такой схемы мы изучаем только определенные колебания тела на нити.

Если, кроме этого, будут заданы еще такие начальные условия, при которых нить во время колебания будет находиться в определенной плоскости, то такая схема явится схемой системы с одной степенью свободы.

Таким образом, для анализа определенного процесса в реальной физической системе мы выбрали некоторую его схему, заранее ограничив исследование рядом условий. Не следует забывать, что хотя схема отражает явление только в определенных границах, только при определенных условиях, она дает правильное и полное описание тех движений системы, которые характеризуются координатами, вошедшими в схему.

Но здесь возникают такие вопросы. Как выбрать нужную координату? Как убедиться в том, что в данном случае можно выделить движение, описываемое выбранной координатой?

Только опыт, сравнение результатов математического анализа данной схемы с результатами опыта, физические наблюдения могут нас убедить в правильности выбранных координат, выбранной схемы. Подробный физический анализ и критическое отношение к схемам, исследование процессов, происходящих в системе, -- могут дать уверенность в правильности выбора координат.

Для уяснения затронутых здесь вопросов приведем такой пример. Выбирая схему математического маятника, как изложено выше, мы без особых замечаний пренебрегли растяжением нити при колебаниях, а ведь оно всегда есть. Но оно мало и поэтому не окажет существенного влияния на колебания тела. Однако, как известно, есть такой случай, при котором этим малым растяжением нельзя пренебрегать. В этом случае, если даже и будут сообщены маятнику такие начальные условия, при которых он «должен» колебаться только в плоскости и тело «должно» двигаться почти по дуге окружности, колебания будут в действительности совсем не такими. Колебания растяжения нити будут нарастать, и энергия этих колебаний через некоторое время сравняется по величине с энергией маятниковых колебаний тела, и даже весь первоначальный запас энергии перейдет в колебания растяжения нити. Таким образом, в данном случае избранная схема системы с одной степенью свободы не годится.

Рисунок 4

Аналогично дело обстоит в электрическом колебательном контуре (рис 4) с сосредоточенными емкостью С и индуктивностью L.

Для заряда q конденсатора имеем известное из физики обыкновенное дифференциальное уравнение.

Если мы считали бы по крайней мере индуктивность распределенной, что ближе к истине, то и здесь получили бы уравнения в частных производных.

Итак, обращаясь к малым или линейным колебаниям системы с одной степенью свободы, следует написать только одно уравнение движения, а именно:

Причем для кинетической энергии, функции рассеяния и потенциальной энергии в этом случае имеем выражения:

Следует также отметить, что если правая часть уравнения (1) не зависит явно от времени t, то система называется автономной.

Сделаем еще одно предварительное замечание относительно коэффициентов уравнения (1). Коэффициент а по смыслу всегда положителен: в простейших и наиболее распространенных случаях он представляет собой массу тела или его момент инерции (а в электрических системах - индуктивность). Во всяком случае, какую бы комбинацию физических параметров этот коэффициент ни представлял, его положительность следует из существенной положительности кинетической энергии. Коэффициент с может быть также отрицательным. Это может иметь место в том случае, если рассматривать поведение системы в окрестности положения неустойчивого равновесия.

Что касается коэффициента b, то если предполагать, что существует только сопротивление, то b не может быть отрицательно. Однако в некоторых задачах приходится учитывать поступление энергии в систему извне, причем это поступление может определяться силой, пропорциональной скорости, т. е. формально мы имеем случай так называемого «отрицательного сопротивления». Тогда мы получим силу, выраженную так же, как линейное сопротивление, но с отрицательным b.

колебательный степень свобода движение

Литература

1. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний: Учебник. 3-е изд. испр. - Спб - “Лань”, 2005.- 440 с.:ил.

2. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний.

Размещено на Allbest.ru