Динамічний хаос і самоорганізація в біполярних напівпровідниках з дрейфовою нестійкістю

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький державний університет ім. Ю. Федьковича

01.04.10 - фізика напівпровідників і діелектриків

УДК 536.759, 537.312, 621.315.55/58

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Динамічний хаос і самоорганізація в біполярних напівпровідниках з дрейфовою нестійкістю

Горлей Павло Петрович

Чернівці - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі напівпровідникової мікроелектроніки Чернівецького державного університету ім. Ю. Федьковича.

Наукові керівники: доктор фізико-математичних наук, професор Томчук Петро Михайлович, Інститут фізики НАН України, м. Київ, завідувач відділом теоретичної фізики.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Сарбей Олег Георгійович, Інститут фізики НАН України, завідувач відділом фізелектроніки;

- доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Дугаєв Віталій Костянтинович, Чернівецьке відділення ІПМ НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна організація: Інститут фізики напівпровідників НАН України (м. Київ).

Захист відбудеться "18" червня 1999 р. о 13.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д76.051.01 при Чернівецькому державному університеті ім. Ю. Федьковича за адресою: 274012, м. Чернівці, вул. Коцюбинського, 2.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького державного університету ім. Ю. Федьковича (вул. Л. Українки, 23).

Автореферат розісланий "17" травня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Курганецький.

біполярний напівпровідник струм хаотичний

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В останні роки значний інтерес викликає вивчення відкритих нелінійних дисипативних систем, які знаходяться у далеких від термодинамічної рівноваги станах і обмінюються з навколишнім середовищем енергією, масою або інформацією [1]. У таких системах часто відбувається зменшення числа їх ефективних степеней вільності, що приводить до появи нових не притаманних її складовим частинам властивостей - утворенню просторово-часових дисипативних структур. Виникнення таких структур виявилося загальною властивістю різних нелінійних фізичних, хімічних, біологічних, економічних та інших систем [2]. Така багатогранність просторово-часових структур привела до створення і швидкого розвитку нового міжгалузевого розділу науки - синергетики, як теорії процесів самоорганізації [2, 3].

Оскільки для опису динамічних систем навіть на макрорівні необхідно використовувати складні системи нелінійних диференційних рівнянь, розв'язки яких в аналітичному вигляді практично знайти неможливо, то принципову роль у дослідженнях дисипативних структур і процесів самоорганізації відіграє комп'ютерний експеримент, аналіз результатів якого може приводити до появи нових понять і представлень, а іноді - до передбачення нових явищ [3,4].

Не дивлячись на значні здобутки синергетики, слід константувати, що вона іще далека від свого завершення. Перед цією наукою стоїть задача створення нового світогляду щодо зародження, розвитку та зникнення динамічних систем, а також розробки принципів цілеспрямованого керування їх властивостями на основі відомих критеріїв самоорганізації. Для знаходження критеріїв самоорганізації необхідно проводити дослідження властивостей динамічних систем на протязі проміжку часу, впродовж якого просторово-часові структури здійснюють хоча би декілька циклів свого існування. Тому в якості модельних необхідно вибирати такі системи, для яких характерні часи процесів утворення структур малі. У цьому відношенні виключне становище займають напівпровідникові системи [4]. У фізиці напівпровідників існує багато дисипативних систем, в яких відбуваються процеси самоорганізації і, зокрема, системи носіїв, що знаходяться в умовах дрейфової нестійкості [4, 5].

До початку наших досліджень при вивченні властивостей напівпровідникової монополярної або біполярної систем носіїв з дрейфовою нестійкістю [5] практично не використовувалися синергетичні методи досліджень, які спроможні дати загальну інформацію про стани динамічної системи та залежність умов переходу між останніми від величин параметрів задачі, що створює передумови цілеспрямованого керування такими системи [1-4].

З прикладної точки зору важливими є задачі створення інтегрованого програмного пакету для визначення основних характеристик дисипативної системи та розробки простих експрес-методів, які б не залежали суттєво від вибору початкових умов і кроку інтегрування та давали можливість з необхідною точністю досліджувати еволюцію складних динамічних систем [3].

Отже, виходячи із викладеного вище, можна константувати, що тема даної дисертаційної роботи, яка присвячена вивченню процесів динамічного хаосу і самоорганізації у напівпровідникових системах з біполярними носіями при наявності дрейфової нестійкості, а також розвитку математичних методів дослідження динамічних систем, є актуальною задачею фізики напівпровідників і має не тільки чисто теоретичне, але і прикладне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких представлені в дисертації, виконані у відповідності до програми наукової тематики кафедри фізичної електроніки Чернівецького державного університету: "Дослідження процесів росту кристалів, структури дефектів і електронних явищ в складних напівпровідниках на основі А2В6 і А4В6" (номер держреєстрації 0186U060721) та в рамках проектів Державного Фонду фундаментальних досліджень Міністерства України у справах науки і технологій: "Критерії динамічного хаосу та самоорганізації в деяких фізичних системах при наявності сукупності зовнішініх впливів" (проект №2.4/745) і "Дослідження закономірностей дисипативного структурування в складних фізико-хімічних системах" (проект №3.4/297).

Мета роботи заключалася у встановленні динаміки переходу від впорядкованих до хаотичних станів біполярної стаціонарної і нестаціонарної систем носіїв у напівпровіднику в умовах дрейфової нестійкості.

Досягнення мети вимагало розв'язку наступних основних задач:

дослідження стійкості просторово-однорідних розподілів заряду і електричного поля у біполярному напівпровіднику з гарячими носіями;

вивчення еволюції станів від впорядкованих до хаотичних коливань струму та розрахунок характеристик такої трансформації для нестаціонарної системи носіїв у n-GaAs;

порівняльні дослідження сценаріїв трансформації станів нестаціонарної біполярної та стаціонарної біполярної і нестаціонарної монополярної систем носіїв у напівпровіднику;

розробка простих експрес-методів і створення інтегрованого програмного пакету для дослідження еволюції складних динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів:

Вперше виявлено новий тип дивного атрактора в стаціонарній напівпровідниковій системі біполярних носіїв і досліджено його характеристики в залежності від величини керуючого параметру. Показано, що трансформація фазового портрету від фокусу до динамічного хаосу здійснюється шляхом послідовних біфуркацій подвоєння періоду.

Вперше показано, що системі монополярних носіїв в напівпровіднику з параметрами арсеніду галія при наявності дрейфової нестійкості властива переміжність хаотичних та впорядкованих станів. Знайдено нові типи атракторів і розраховано залежності розмірності Хаусдорфа та максимального показника Ляпунова фазових портретів даної системи від величини напруженості зовнішнього електричного поля Е0, як керуючого параметру. Встановлено, що в деяких інтервалах значень Е0 фазова точка послідовно займає невелике число станів з чітко визначеними координатами.

Вперше доведено, що еволюція нестаціонарної системи біполярних носіїв відбувається за сценарієм послідовних обернених біфуркацій подвоєння періоду і суттєво відрізняється як від динаміки відповідної стаціонарної системи з двома типами носіїв, так і від динаміки нестаціонарної монополярної системи носіїв.

Дістало подальший розвиток дослідження критеріїв утворення дисипативних структур у системі біполярних носіїв при вибраній апроксимаційній залежності дрейфових швидкостей останніх від напруженості електричного поля. Показано, що дисипативні структури крім класичного випадку від'ємної диференційної провідності можуть виникати і на суперлінійній ділянці вольтамперної характеристики. Зроблено допущення, що причиною таких утворень можуть бути квазінейтральні хвилі, які мають місце в такій системі.

Вперше запропоновано новий експрес-метод трасирування траекторій для дослідження топології фазових портретів динамічних систем та їх еволюції, перевагами якого в порівнянні з показниками Ляпунова, розмірністю Хаусдорфа і спектральними щільностями фазових змінних є більші інформативність, наочність, простота алгоритмічної реалізації та висока швидкість розрахунків.

Практичне значення одержаних результатів заключається у встановленні інтервалів значень керуючих параметрів, в яких системи стаціонарних і нестаціонарних носіїв у напівпровідниках в умовах дрейфової нестійкості характеризуються стабільністю своїх властивостей відносно малих збурень. Нові типи дивних атракторів, які отримані в роботі, представляють теоретичний і практичний інтерес і стимулюють постановку нових експериментальних досліджень, що сприятиме подальшому розвитку фізики напівпровідників і синергетики.

Хоча в роботі використані в основному апробовані раніше методики теоретичних розрахунків, проте в ряді випадків вони були модифіковані. Це, зокрема, стосується алгоритмів обчислення розмірності Хаусдорфа, який було розширено та оптимізовано для фазового простору розмірністю до 16 включно, та побудови біфуркаційних діаграм, який було перероблено для неперервних динамічних процесів. Запропоновано новий ефективний експрес-метод трасирування траекторій для дослідження еволюції фазових портретів динамічних систем, включаючи хаотизовані стани, який є інформативним і наочним, має просту алгоритмічну реалізацію, що обумовлює високу швидкість розрахунків з його використанням.

Матеріал дисертації також може бути використаним для спецкурсів з фізики напівпровідників і вичислювальної техніки, присвячених висвітленню питань поведінки нерівноважних динамічних систем носіїв і програмної реалізації числових методів.

Особистий внесок дисертанта. У процесі виконання роботи дисертант провів аналітичні обрахунки стаціонарних станів напівпровідникової системи біполярних носіїв та їх просторово-часових збурень [1,5] і нестаціонарних станів систем з одним і двома типами носіїв [3,8], брав участь у постановці задач досліджень [3-6,8], розробив відповідне програмне забезпечення для дослідження характеристик динамічних систем [7], запропонував метод трасирування траекторій для вивчення топології фазових портретів та особливостей їх еволюції [4] і виконав усі числові розрахунки на ЕОМ [1-13].

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися і обговорювалися на наступних конференціях:

Перша Міжнародна конференція "Матеріалознавство алмазоподібних та халькогенідних напівпровідників" (Чернівці, 1994 р.)

Наукова конференція викладачів, співробітників та студентів, присвячена 120-річчю заснування Чернівецького університету (Чернівці, 1995 р.)

Міжнародна школа-конференція з фізичних проблем напівпровідникового матеріалознавства (PPMSS'95) (Чернівці, 1995 р.)

XXVI International School on Physics of Semiconducting Compounds.

Публікації. Основні результати роботи відображені у 13 публікаціях, із яких 6 - статті в наукових журналах, 2 - у Віснику Чернівецького держуніверситету і 5 - тези конференцій. Список публікацій дано у кінці автореферату.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох оригінальних розділів, висновків і основних результатів, списку цитованої літератури та п'ятьох додатків. Робота викладена на 142 сторінках, включає 21 рисунoк і 114 літературних джерел.

2. Основний зміст роботи

У вступі обговорюється актуальність теми дисертаційної роботи та її зв'язок з науковими програмами, планами і темами досліджень, які виконуються у Чернівецькому держуніверситеті; сформульовано мета і задачі роботи, наукова новизна і практичне значення отриманих результатів, приведені дані про апробацію роботи.

У першому розділі у рамках лінійної одномірної польової моделі без використання будь-яких наближень на можливі значення хвильового числа та відношення коефіцієнтів дифузії електронів і дірок при наявності дрейфової нелінійності проводиться повний комплекс класичних аналітичних досліджень щодо стійкості однорідних стаціонарних розподілів електричного поля Е і концентрацій носіїв в напівпровіднику відносно просторових і просторово-часових збурень.

Розглядається випадок, коли рух носіїв відбувається вздовж вісі z, і рахується, що акцептори та донори є однозарядними і повністю іонізованими. Тоді вихідна система рівнянь набуває вигляду [5]:

(1)

де n і p - концентрації електронів та дірок, vn(E) і vp(E) - їх дрейфові швидкості, Dn і Dp - коефіцієнти дифузії носіїв струму, Nd і Na - концентрації донорів і акцепторів, е - заряд дірки, t - час, e0 - діелектрична постійна, e - діелектрична проникливість матеріалу напівпровідника.

При записі (1) передбачалося, що характерні часи генерації та рекомбінації носіїв великі, так що цими процесами можна знехтувати. Приймалось також, що коефіцієнти дифузії Dn i Dр не залежать від часу, координати та величини напруженості зовнішнього електричного поля і тому можуть бути вибраними в якості керуючих параметрів. Для знаходження однозначних розв'язків системи (1) граничні умови вибиралися згідно [5].

Виходячи із (1), отримано аналітичні вирази, які дають змогу досліджувати як стаціонарний, так і збурені стани напівпровідникової системи біполярних носіїв у залежності від виду та комбінації керуючих параметрів.

Показано, що у випадку дрейфової нелінійності стаціонарні просторово-однорідні розподіли концентрацій електронів і дірок та напруженості електричного поля вздовж зразка є нестійкими відносно просторових збурень - у біфуркаційній точці відбувається зміна зазначених розподілів від монотонної залежності до осцилюючої.

Доведено наявність у стаціонарній напівпровідниковій системі з двома типами носіїв двох хвиль просторово-часового збурення з різними декрементами затухання R і фазовими швидкостями vф, котрі можуть приймати як від'ємні так і додатні значення. Характерно, що існують області значень хвильового числа k та відношення Dn/Dp, при яких фазові швидкості мають протилежний напрямок, а також порівняно невеликий інтервал по k, в якому обидва коливання розповсюджуються в одному напрямку. Цікаво, що мають місце такі комбінації параметрів, при яких фазова швидкість однієї із хвиль (Vф1), як функція хвильового числа, терпить два (при Dn/Dp=0) або один (при Dn/Dp=0.94) стрибки, в той час як Vф2 всюди залишається неперервною величиною.

Результати досліджень також показують, що існують граничні значення хвильового числа та відношення Dn/Dp, при яких фазові швидкості та декременти збурень поодинці стають рівними нулю. Рівність нулю фазової швидкості свідчить про наявність стоячих збурень, які приводять до формування періодичного по кристалу ланцюжка просторово-часових структур, в той час як нульові декременти збурень доводять про існування нейтрального режиму, при якому збурення не загасають і не зростають з часом. Іншими словами, значення Vф = 0 та R = 0 представляють границі між рухомими і нерухомими та стійкими і нестійкими станами. Ці границі зображені на рис.1 у вигляді залежностей lnDn/Dp= f (k) для кожної із фазових швидкостей та декрементів збурень. Видно, що для найбільш стійкого збурення R1 нейтральний режим можливий при Dn/Dp1, в той час як для R2 - при всіх досліджуваних величинах відношення Dn/Dp. Важливо, що існують такі значення Dn/Dp і k, при яких одночасно стають рівними нулю відповідно Vф1 і R1 та Vф2 і R2. Отримані результати, з одного боку, значно доповнюють висновки літературних джерел, у яких досліджувалися особливості розповсюдження хвиль у системі біполярних носіїв в умовах дрейфової нестійкості, особливо, стосовно можливості існування стоячих збурень і наявності стрибків у значеннях фазових швидкостей, тощо, а з іншого - дають основу для проведення коректного числового інтегрування вихідної системи рівнянь (1).

Вперше отримано умову утворення дисипативних структур у напівпровідниковій системі біполярних носіїв у наближенні, що залежності дрейфових швидкостей останніх від напруженості електричного поля задаються виразом:

(2)

де м0і - дрейфові рухливості носіїв у слабкому електричному полі, ki - числові коефіцієнти, величини яких залежить від температури, домінуючих механізмів розсіювання носіїв, зонної структури напівпровідника, тощо, але не залежать від напруженості електричного поля. При цьому 0n=0p= 1. Чисельні розрахунки ki є досить складною задачею і тому ці коефіцієнти часто використовуються в якості параметрів задачі.

Показано, що дисипативні структури, взагалі кажучи, крім класичного випадку від'ємної диференційної провідності можуть виникати і на суперлінійній ділянці вольтамперної характеристики обох або тільки одного типу носіїв. Зроблено допущення, що причиною утворення дисипативних структур можуть бути квазінейтральні хвилі, які мають місце в досліджуваній напівпровідниковій системі носіїв.

У другому розділі проводиться обговорення створеного програмного пакету для аналізу і дослідження еволюції динамічних систем. Пакет забезпечує інтегрування систем до шістнадцяти нелінійних диференційних рівнянь з подальшим дослідженням залежностей найбільш важливих характеристик динамічної системи від величин керуючих параметрів. Програмний пакет має власний графічний інтерфейс з модульною структурою, що дозволяє простіше та систематизованіше проводити необхідні розрахунки. Отримані графіки та дані можна зберігати як у вигляді графічних файлів, так і в декількох форматах файлів даних для подальших обчислень та побудов з використанням інших прикладних програм. Програмний пакет дає можливість використовувати дані, які були отримані експериментально, або є результатом розрахунків інших програм.

На основі розробленого інтегрованого програмного пакету проведені розрахунки динаміки станів нерівноважної стаціонарної напівпровідникової системи біполярних носіїв. Одержані результати дають змогу стверджувати, що в напівпровідниковій системі з двома типами нерівноважних носіїв і дрейфовою нелінійністю при певних значеннях керуючих параметрів притаманні складні коливання, які утворюють новий тип дивного атрактора у просторі фазових змінних. З використанням різних методів нами детально вивчена еволюція цього атрактору від фокусу до динамічного хаосу при зміні величини керуючого параметру, яка свідчить, що в досліджуваній напівпровідниковій системі біполярних носіїв цей перехід відбувається шляхом біфуркацій подвоєння періоду. Досліджувана система є досить впорядкованою, але її еволюцію неможливо описати за допомогою числа Фейгенбаума [1].

Розраховані спектральні щільності фазових змінних засвідчили, що осциляції нормованих концентрацій мають подібну природу і суттєво відрізняються від осциляцій нормованої напруженості електричного поля. З розрахованих залежностей розмірності Хаусдорфа видно, що на протязі досліджуваної області зміни величини керуючого параметру граничні цикли мають майже однакову розмірність, що свідчить про високу стабільність системи. Дослідження максимального показника Ляпунова дозволило визначити області значень керуючого параметра, при яких дана система знаходиться в стійких станах, що важливо для її практичного використання.

Запропоновано також новий експрес-метод визначення еволюції станів динамічної системи - метод трасирування траекторій, який в порівнянні з розмірністю Хаусдорфа, показниками Ляпунова та біфуркаційною діаграмою володіє цілою сукупністю переваг, а також модифіковано метод побудови біфуркаційних діаграм на випадок неперервних динамічних процесів, що дає можливість якісно і наочно представляти дані про еволюцію динамічних систем.

Для викладення сутності методу трасирування траекторій розглянемо фазову траекторію в N-вимірному просторі, яка отримана експериментально або шляхом чисельних розрахунків і складається з М точок. Звичайно точки траекторії деякий час "блукають" перед виходом на атрактор, тому перемістимо початок відліку в таку точку М0 фазової траекторії, яка достеменно належить атрактору. Приймемо для визначеності, що М0=М/2. Проведемо початковий N-вимірний вектор з точки М0 в точку М0+1. Визначимо кути R між початковим вектором і довільним R-тим вектором, який побудовано між точками (М0+R, M0+R+1), де 0RМ0. Побудуємо залежність величини cosR від довжини ділянки фазової траекторії R, яка і буде являти собою криву трасирування. При цьому значення косинуса кута для N-вимірного випадку визначається стандартним методом через скалярний добуток векторів.

Біфуркації подвоєння періоду приводять до подвоєння піків на кривих трасирування, причому біфуркації вищих порядків породжують піки меншої висоти. При цьому крива трасирування однозначно характеризує взаємне положення точок атрактору, тобто залежить від топології фазового портрету. Останнє, в свою чергу, дає можливість розрізняти різні атрактори за виглядом та поведінкою їх кривих трасирування.

На рис. 2 представлені залежності еволюції кривих трасирування та біфуркаційні діаграми для атракторів Рьослера [1-3] і досліджуваної стаціонарної біполярної системи носіїв з дрейфовою нестійкістю від керуючого параметру. Загальний вигляд цих атракторів показано на вставках рисунків. Крива трасирування фазового портрету для даного значення керуючого параметру є вертикальною лінією, кольором точок якої представлено числові значення косинусів кутів між відповідними векторами, причому чорному кольору відповідає значення cosR=1, а білому - cosR = -1.

Чергування ділянок рівної довжини білого та чорного кольорів з різким переходом між ними, наприклад, для атрактора системи біполярних носіїв, свідчить про те, що для даної системи крива трасирування має вигляд майже прямокутної хвилі. Це обумовлено тим, що амплітуда коливань нормованої напруженості поля на порядок більша від амплітуд коливань інших фазових змінних (нормованих концентрацій електронів і дірок). При збільшенні значень керуючого параметру спостерігається збільшення розмірів атрактора, що помітно за розширенням та зсувом піків кривих трасирування. Про присутність біфуркацій подвоєння періоду коливань можна судити за зміною ширини смуг і кута їх нахилу.

Слід відмітити, що метод трасирування траекторій є поки що єдиним методом, який дає можливість прослідковувати еволюцію атрактора навіть у хаотичній області. На рис.2. чітко видно, що для обох атракторів в хаотичних станах має місце та ж структура кривих трасирування, що й при стійких станах, тільки вони є випадковим чином зміщеними одна відносно одної.

Запропонований експрес-метод дозволяє швидко і якісно досліджувати трансформацію фазових портретів системи в залежності від зміни керуючих параметрів. За його допомогою вперше доведено, що навіть у стані детермінованого хаосу система містить інформацію про свої можливі впорядковані стани. Метод трасирування траекторій також дає можливість одночасно проводити спостереження за зміною лінійних розмірів фазових портретів і прослідкувати послідовність біфуркацій подвоєння періоду до четвертого-п'ятого порядків включно. До переваг експрес-методу також слід віднести високу наочність отриманих результатів, простоту його алгоритмічної реалізації, що забезпечує велику швидкість розрахунків, і, звичайно, той факт, що криві трасирування характеризують весь фазовий портрет в цілому, тобто містять в собі інформацію про вид осциляцій всіх фазових змінних.

У третьому розділі спочатку приводяться результати дослідження еволюції станів електронів у n-GaAs, а також трансформації станів нестаціонарної напівпровідникової системи електронів і дірок в умовах дрейфової нестійкості.

Розв'язок системи рівнянь (1) знаходився стандартним методом у вигляді розкладу фазових змінних у ряд Фур'є поблизу їх однорідних розподілів вздовж зразку [1]:

(3)

де ЕmR та EmI, pmR та pmI, nmR та nmI - шукані дійсні та уявні амплітуди при m-тих гармоніках електричного поля та концентрацій носіїв, k0=2/L, де L - довжина зразка. Вираз для дрейфової швидкості носіїв для біполярної системи вибирався у вигляді (2), а для n-GaAs - згідно з [5].

Підставляючи (3) в (1) і обмежуючись у кінцевому результаті двома першими гармоніками, отримаємо для нестаціонарної біполярної системи носіїв наступну систему рівнянь відносно амплітуд:

Таблиця

p1I/ t = -k(a1f01 + kp1I), n1I/ t = (Dn/Dp)k(a1a3h01 - kn1I), p1R/ t = -k(a1g01 + kp1R), n1R/ t = (Dn/Dp) k(a1a3j01 - kn1R),	p2I/ t = -2k(a1f02+2kp2I), n2I/ t = 2(Dn/Dp) k(a1a3h02-2kn2I), p2R/ t = -2k(a1g02+2kp2R), n2R/ t = 2(Dn/Dp) k(a1a3j02-2kn2R),
Е1R = ( a31p1I - a32n1I )/k, Е1I = ( -a31p1R + a32n1R )/k,	Е2R = ( a31p2I - a32n2I )/2k, Е2I = ( -a31p2R + a32n2R )/2k,
р0(t) = a32/a31n0(t)= const f (t), (4)

де = Dpt0/L02 (t0 та L0 - відповідно, нормуючі масштаби часу і довжини), k - хвильовий вектор, f0n, h0n, j0n, g0n (n=1,2) - складні функції, що залежать від шуканих амплітуд, а також параметрів задачі. Остання рівність у (4) приводить до виконання умов об'ємної електронейтральності кристалу.

З (4) видно, що при зроблених наближеннях досліджувана система біполярних носіїв є восьми, а не дванадцятивимірною, так як амплітуди при гармоніках електричного поля однозначно лінійним чином визначаються через амплітуди гармонік для концентрації носіїв.

Дослідження показали, що система монополярних носіїв у напівпровіднику з параметрами n-GaAs в умовах існування дрейфової нестійкості характеризується переміжністю хаотичних станів (яким притаманний перехід від порядку до хаосу шляхом біфуркацій подвоєння періоду і які характеризуються високим рівнем "зашумленості") з впорядкованими станами. Виявлено факт різкої зміни осциляцій фазових змінних на "квантовані" стани, коли фазова точка послідовно займає невелике число станів з чітко визначеними координатами.

Нестаціонарна система біполярних носіїв є більш стійкою та впорядкованою. При зроблених наближеннях її восьмивимірний фазовий портрет (Рис.3) може бути представлений як сукупність двох чотирьохвимірних портретів з різною топологією.

Перші гармоніки коливань утворюють у просторі фазових змінних слабовпорядковану розетку, яка має парну кількість пелюсток різної щільності. При зміні керуючого параметру кількість пелюсток зменшується вдвічі при кожній оберненій біфуркації подвоєння періоду. Характерним є те, що пелюстки, на яких фазова точка перебуває частіше, існують у системі довший проміжок часу. Гармоніки другого порядку утворюють дивний атрактор з високим степенем впорядкованості осциляцій фазових змінних, який дещо подібний до атрактора Лоренца присутністю двох вигнутих граничних циклів, що зливаються своїми крайніми частинами.

На відміну від атрактора Лоренца, даний атрактор є більш стабільним утворенням, яке під час зміни керуючого параметру в межах сумісності системи змінюється слабо як топологічно, так і за лінійними розмірами. Після чергової оберненої біфуркації подвоєння періоду один з граничних циклів зникає. Важливо, що обидва фазові портрети системи нестаціонарних біполярних носіїв проходять подібні етапи еволюції при зміні керуючого параметру і, звичайно, відповідно до своєї топології. Слід також особливо відмітити, що якщо у випадку стаціонарної системи при збільшенні величини керуючого параметру спостерігались біфуркації подвоєння періоду, тобто система розвивалась від простих форм до складних, то у випадку нестаціонарної системи спостерігається схожий сценарій еволюції, але в зворотньому напрямку - через сукупність послідовних обернених біфуркацій подвоєння періоду.

Висновки

Одномірна польова модель, що описує поведінку напівпровідникової системи з двома типами носіїв при наявності дрейфової нелінійності демонструє складну динаміку нестійкостей і може бути використана в якості базової моделі при вирішенні задач синергетики.

Отримано аналітичні вирази, які дають можливість досліджувати стаціонарні та збурені стани рівноважної і нерівноважної напівпровідникових систем біполярних носіїв в залежності від значень керуючих параметрів.

Показано, що у досліджуваній напівпровідниковій стаціонарній системі з двома типами носіїв наявні дві затухаючі у часі хвилі просторово-часового збурення, котрі розповсюджуються з різними фазовими швидкостями. При цьому існують такі співвідношення коефіцієнтів дифузії електронів і дірок та значення хвильового числа, при яких рух у системі губить коливний характер. Зроблено допущення, що причиною утворення дисипативних структур у досліджуваній системі можуть бути квазінейтральні хвилі.

Виявлено і описано новий вид дивного атрактора в напівпровідниковій стаціонарній системі з двома типами носіїв. Розраховані розмірность Хаусдорфа, максимальний показник Ляпунова, спектральні щільності фазових змінних та біфуркаційні діаграми даної системи при зміні керуючого параметру. Прослідковано еволюцію системи від фокусу до динамічного хаосу, яка відбувається за сценарієм послідовних біфуркацій подвоєння періоду, але не описується за допомогою числа Фейгенбаума.

В системі монополярних носіїв у напівпровіднику з параметрами арсеніду галія при наявності ефекту Ганна знайдено новий тип дивного атрактора. Різкі переходи між хаотичними та впорядкованими станами з якісно іншою топологією свідчать, що даній системі властива переміжність хаотичних та впорядкованих станів.

Встановлено і досліджено новий тип дивного атрактора в напівпровідниковій нестаціонарній системі біполярних носіїв. Прослідковано трансформацію досліджуваної системи від динамічного хаосу до фокусу і показано, що вона відбувається за сценарієм послідовних обернених біфуркацій подвоєння періоду. Встановлено, що еволюція напівпровідникової нестаціонарної системи біполярних носіїв суттєвим чином відрізняється від еволюції стаціонарної системи біполярних і нестаціонарної системи монополярних носіїв.

Запропоновано новий експрес-метод трасирування траекторій для дослідження топології фазових портретів динамічних систем і їх еволюції, який характеризується наочністю та простотою алгоритмічної реалізації, що обумовлює високу швидкість розрахунків. Апробація цього методу для атракторів Лоренца і Рьослера показала його високу точність для визначення положення точок біфуркацій і можливість спостереження топологічої структури фазового портрету навіть у хаотичних станах системи.

Створено програмне забезпечення для комплексного дослідження процесів самоорганізації в складних динамічних системах. Програмний пакет дозволяє проводити розрахунки розмірності Хаусдорфа, максимального показника Ляпунова, спектральних щільностей компонент, кривих трасирування фазових портретів системи та вивчати їх залежності від величин керуючих параметрів, а також досліджувати еволюцію систем, використовуючи експериментальні результати або дані, розраховані іншими програмами.

Список цитованої літератури

Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979. - 512 с.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - М.: Мир, 1985. - 423 с.

Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л. Электронная синергетика. - Л.: Изд. Ленинградского университета, 1989. - 248 с.

Шёлль Э. Самоорганизация в полупроводниках: неравновесные фазовые переходы в полупроводниках, обусловленные генерационно - рекомбинационными процессами. - М.: Мир, 1991. - 463 с.

Левинштейн М.Е., Пожела Ю.К., Шур М.С. Эффект Ганна. - М.: Сов.радио, 1975. - 288 с.

Основні результати дисертаційної роботи викладені в наступних публікаціях

Горлей П.Н., Горлей П.П., Томчук П.М. Странный аттрактор в неравновесной системе с двумя сортами носителей // Письма в ЖТФ, 1996, 22, №20, с. 82-86

Горлей П.Н., Горлей П.П., Рождественская М.Г. Температурная и концентрационная зависимости процессов самоорганизации в полупроводниках // Неорганические материалы, 1997, 33, №2, с. 242-245

Горлей П.Н., Горлей П.П., Томчук П.М. Перемежаемость состояний неравновесных носителей в n-GaAs // Письма в ЖТФ, 1998, 24, №9, с. 32-37

Горлей П.Н., Горлей П.П., Томчук П.М. Трассировка траекторий - новый метод исследования эволюции состояний динамических систем // Письма в ЖТФ, 1999, 25,№1, с. 17-25

Горлей П.М., Горлей П.П., Томчук П.М. Еволюція станів нерівноважної системи з двома типами носіїв // УФЖ, 1999, 44, №3, с. 357-365

Горлей П.П., Горлей П.Н., Томчук П.М. Динамика перехода порядок-хаос в полупроводниковой системе неравновесных носителей при наличии эффекта Ганна // Неорганические материалы, 1999, 35, №5, с. 464-467

Горлей П.П. Інтегрований програмний пакет для дослідження процесів самоорганізації у динамічних системах // Наук. вісник Чернівецького університету, Фізика, 1998, вип.30, с. 74-79

Горлей П.М., Горлей П.П., Раренко І.М. Трансформація станів нестаціонарної системи з двома типами носіїв // Наук. вісник Чернівецького університету, Фізика, 1998, вип.40, с. 32-35

Бачинский А.В., Горлей П.Н., Горлей П.П., Рождественская М.Г. О токовой неустойчивости при наличии ударной ионизации в теллуре // І Міжн. конф. "Матеріалознавство алмазоподібних та халькогенідних напівпровідників", Чернівці, 4-6 жовтня 1994 р., тези том II, c. 94

Горлей П.М., Горлей П.П., Рождественська М.Г. Дослідження процесів самоорганізації в телурі при наявності дрейфової нестійкості // Матеріали наук. конф. викладачів, співробітників та студентів, присв. 120-річчю заснув. ЧДУ, 4-6 травня 1995 р., том 2, с. 19

Gorley P.M., Horley P.P., Bukatar I.O., Rozhdestvens'ka M.G. The temperature and concentration dependencies of the processes of self-organization in semiconductors // International School-Conf. on Phys. Problems in Material Science of Semicond., Chernivtsi, Ukraine, 11th-16th of September, 1995, Abstract booklet, p. 63

P.M. Gorley, P.P. Horley, P.M. Tomchuk Self-Organization of Nonequilibrium Carriers in n-GaAs // XXVI International School on Phys. of Semicond. Compounds Jaszowiec'97, Poland, June 6-13, 1997, Abstract booklet, p. 138

P.P. Horley, I.M. Rarenko, P.M. Tomchuk The Scenery of Order-Chaos Transition in System of Nonequilibrium Carriers in Semiconductor under Gunn's Effect // Second International School-Conf. on Physical Problems in Material Science of Semicond., Chernivtsi, Ukraine, September 8-12, 1997, Abstract booklet, p. 264

Анотація

Горлей П.П. Динамічний хаос і самоорганізація в біполярних напівпровідниках з дрейфовою нестійкістю.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.10 - фізика напівпровідників і діелектриків. - Чернівецький державний університет, Чернівці, 1999.

Дисертацію присвячено встановленню динаміки переходу від коливних до хаотизованих станів біполярної стаціонарної і нестаціонарної систем носіїв у напівпровіднику в умовах дрейфової нестійкості. Виявлено і описано нові типи дивних атракторів в стаціонарній та нестаціонарній напівпровідникових системах з двома носіїв. Встановлено, що при наявності ефекту Гана системі електронів в n-GaAs властива переміжність хаотичних та впорядкованих станів. Запропоновано новий експрес-метод трасирування траекторій для дослідження топології фазових портретів і їх еволюції, який характеризується наочністю та простотою алгоритмічної реалізації, що обумовлює високу швидкість розрахунків, а також створено програмне забезпечення для комплексного дослідження процесів самоорганізації в складних динамічних системах.

Ключові слова: напівпровідник, дрейфова нестійкість, самоорганізація, дисипативні структури, динамічний хаос.

Аннотация

Горлей П.П. Динамический хаос и самоорганизация в биполярных полупроводниках с дрейфовой неустойчивостью. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.10 - физика полупроводников и диэлектриков. - Черновицкий государственный университет, Черновцы, 1999.

Диссертация посвящена исследованию динамики перехода от колебательных к хаотическим состояниям биполярной стационарной и нестационарной полупроводниковых систем носителей в условиях дрейфовой неустойчивости. Из полученных аналитических выражений и результатов численных расчетов следует, что в стационарной системе неравновесных электронов и дырок присутствуют две затухающие волны пространственно-временных возмущений, распространяющихся с разными фазовыми скоростями вдоль полупроводника. При этом существуют такие соотношения волнового числа и коэффициентов диффузии носителей, при которых движение в исследуемой системе перестает быть колебательным. Выявлены и описаны новые виды странных атракторов в стационарной и нестационарной полупроводниковых системах с двумя типами носителей. Доказано, что при изменении управляющих параметров переход от упорядоченных к хаотическим состояниям происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода, причем для стационарной системы этот переход происходит от менее упорядоченных состояний к более упорядоченным, а для нестационарной - в обратном направлении. В обоих случаях существуют значения управляющего параметра, при которых система носителей устойчива, что может быть использовано в практических целях. Стационарная и нестационарная системы электронов и дырок относительно упорядочены, о чем свидетельствуют низкие значения максимального показателя Ляпунова и размерности Хаусдорфа. Фазовый портрет нестационарной системы биполярных носителей в восьмимерном фазовом пространстве может быть представлен как суперпозиция двух четырехмерных фазовых портретов с качественно разной топологией, отвечающим разным порядкам возмущений стационарного состояния в системе. Установлено, что при наличии эффекта Ганна электронам в n-GaAs присуща перемежаемость хаотических и упорядоченных состояний. Особый интерес в этом случае представляет фазовый портрет системы, состоящий из небольшого числа разрешенных состояний, которые по очереди посещаются фазовой точкой. Предложено новый экспресс-метод трассировки траекторий для исследования топологии фазовых портретов и их эволюции, который характеризуется наглядностью, простотой алгоритмической реализации и высокой скоростью расчетов. Все вычисления в диссертационной работе были проведены с использованием созданного программного обеспечения, которое предназначено для комплексного исследования процессов самоорганизации в сложных динамических системах.

Ключевые слова: полупроводник, дрейфовая неустойчивость, самоорганизация, диссипативные структуры, динамический хаос.

Annotation

Horley P.P. Dynamic chaos and self-organization in bipolar semiconductors with drift instability.- Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.04.10 - Physics of Semiconductors and Dielectrics. - Chernivtsi State University, Chernivtsi, 1999.

Dissertation is devoted to determination of evolution scenery from oscillation to chaotic states in the stationary and nonstationary bipolar carriers systems in semiconductor with drift instability. New types of strange attractors have been discovered and investigated in stationary and nonstationary semiconductor system with two types of carriers. Rapid changes from ordered to chaotic states are peculiar to electron system of n-GaAs under Gunn's effect. New trajectory tracing express-method was proposed for investigation of phase portraits topology and its evolution. This method is very efficient and easy for programming implementation that cause fast calculations. Software for complex study of selforganization processes in complicated dynamic systems was created.

Key words: semiconductor, drift instability, self-organization, disipative structures, dynamic chaos.

Размещено на Allbest.ru

...