Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

ПРЕДСТАВЛЕННЯ КВАНТОВИХ АЛГЕБР ФІЗИЧНИХ СИМЕТРІЙ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОПИСУ МАС АДРОНІВ

Спецiальнiсть 01.04.02 - теоретична фізика

Іоргов Микола Зіновійович

Київ - 1999

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім.М. М. Боголюбова НАН України.

Захист вiдбудеться "_28_"__жовтня_ 1999 року об _11_ годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім.М. М. Боголюбова НАН України за адресою: 252143, м. Київ, вул. Метрологічна, 14б.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Інституту теоретичної фізики ім.М. М. Боголюбова НАН України.

Автореферат розiсланий "9'' вересня 1999 року.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради доктор фіз. - мат. Наук В.Є. Кузьмичев

Загальна характеристика роботи

В дисертаційній роботі вивчаються представлення q-деформацій алгебр Лі груп обертань, евклідових та унітарних груп, що відповідають перетворенням n-вимірного простору. Квантові алгебри, які відповідають унітарним групам Лі, застосовані до знаходження нових (більш точних) масових співвідношень для октетних баріонів J^P=1/2⁺.

Актуальність теми.

Добре відомо, що принцип симетрії відіграє важливу роль у фізиці. Основні фізичні закони, рівняння руху та їх розв'язки, різноманітні математичні моделі фізичних явищ мають деяку симетрію. Теорія груп, як математичний апарат теорії симетрій, широко застосовується в фізиці. При цьому, крім дискретних груп, розглядають скінченновимірні та нескінченновимірні неперервні групи - групи Лі, супергрупи і т.д.

Зовсім недавно арсенал теорії симетрії поповнився новими об'єктами: квантовими алгебрами та квантовими групами. Ці нові об'єкти привернули до себе увагу як математиків, так і фізиків--теоретиків завдяки їх застосовності у різноманітних розділах математики (теорія базисних гіпергеометричних функцій, теорія вузлів та зачеплень, некомутативна геометрія та ін.) та теоретичної фізики (теорія інтегровних систем, конформна і топологічна теорії поля, точно розв'язні моделі статистичної фізики, опис нестандартних статистик, феноменологія ротаційного спектру двохатомних молекул та деформованих ядер та ін.).

Розвиток цієї галузі відбувається в двох, однаково важливих, напрямках: математичному (вивчення різних деформацій алгебр симетрій, їх представлень та реалізацій) та фізичному (пошук нових застосувань квантових алгебр та квантових груп в конкретних фізичних задачах). Це визначає актуальність тематики дисертаційної роботи, оскільки остання фактично представляє обидва ці напрямки.

Відомо, що квантові групи та квантові алгебри описують симетрії просторів з некомутативною геометрією, а останні можуть відповідати квантованому простору--часу. Тому, для фізичного застосування в квантовій гравітації важливими є елементи Казиміра та незвідні представлення q-деформованих алгебр, що відповідають ортогональним та евклідовим групам симетрії n-вимірного проcтору. В дисертаційній роботі це робиться для q-алгебр U'_q (so_n) та U_q (iso_n).

Застосування Гавриликом, Качуриком і Тертичним квантових алгебр U_q (su_n) та U_q (su_n,1) (замість su_n та su_n,1) в ролі алгебр внутрішньої (ароматової) та динамічної симетрій дало можливість, при n=4, одержати для баріонів J^P=1/2⁺ правило сум для їх мас, що є істотньо точнішим емпірично, ніж відоме правило сум Гел-Мана--Окубо. В дисертаційній роботі проведено класифікацію незвідних унітарних представлень квантової алгебри U_q (su_n,1). На основі цієї класифікації отримано ряд нових мас-співвідношень для баріонів J^P=1/2⁺, що є q--аналогами мас-співвідношення Гел--Мана та Окубо. Серед них знайдено співвідношення, яке, при порівнянні з емпіричними масами октетних баріонів, має найвищу можливу точність.

Стосовно фізичної інтерпретації використання q-деформації в дисертаційній роботі показано, на прикладі баріонів J^P=1/2⁺ та J^P=3/2⁺, що застосування квантових алгебр в ролі алгебр ароматової симетрії ефективно приводить до врахування нелінійних (неполіноміальних) по порушенню унітарної SU (3) - симетрії вкладів в маси цих баріонів.

При переході від описаної феноменологічної моделі до більш послідовної квантово--польової моделі може виявитися корисним розгляд еніонних реалізацій квантових алгебр. Тому, в дисертаційній роботі, запропоновано узагальнення для набору n еніонних осциляторів і побудовано квазіеніонну реалізацію n-параметричної деформації алгебри Лі gl_n.

З прикладної точки зору, в дисертації розглянуто застосування еніонної реалізації квантових алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів та баріонів J^P=3/2⁺. Отримані масові співвідношення співпали з тими, що раніше були отримані з використанням базису Гельфанда--Цетліна. Тим самим доведено застосовність еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до отримання масових співвідношень для адронів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Результати, що увійшли в дисертаційну роботу, були отримані в рамках планової наукової тематики відділу математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики НАН України (тема "Представлення квантових груп і калібрувальні інтегровні взаємодії", 1996-2000 рр.).

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертаційної роботи є аналіз представлень q-деформацій алгебр Лі унітарних, ортогональних та евклідових груп Лі, а також застосування q-деформованих алгебр до знаходження нових масових співвідношень для адронів, які б мали більш високу точність, ніж відомі раніше.

Наукова новизна одержаних результатів.

В дисертаційній роботі вперше

1. доведена теорема про скінченновимірні представлення алгебри U'_q (so_n) (n>5), що є нестандартною q-деформацією алгебри Лі групи обертань в n-вимірному просторі, та про нескінченновимірні представлення алгебри U_q (iso_n), що є нестандартною q-деформацією алгебри Лі евклідової групи в n-вимірному просторі;

2. знайдені елементи Казиміра для алгебр U'_q (so_n) при n=4,5,6 та власні значення операторів Казиміра алгебри U'_q (so₄);

3. дано детальне доведення того, що q-аналог основної неунітарної серії задає представлення квантової алгебри U_q (u_n,1);

4. отримано всі можливі нові співвідношення для мас баріонів J^P=1/2⁺ у схемі з q-деформованими алгебрами внутрішньої та динамічної симетрій, які допускають процедуру жорсткої фіксації параметра деформації; серед них знайдено оптимальне співвідношення (що має найвищу точність);

5. показано, що використання квантових алгебр у ролі алгебр ароматової симетрії ефективно приводить до врахування істотньо нелінійних (неполіноміальних) поправок по порушенню звичайної (недеформованої) SU (3) - симетрії;

6. запропоновано багатопараметричне узагальнення для набору n еніонних осциляторів і побудовано квазіеніонну реалізацію багатопараметричної деформації алгебри Uq; s1,s2,.,s (n-1) (gl (n));

7. продемонстровано застосовність еніонної реалізації q-деформованих унітарних алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів та декуплетних баріонів J^P=3/2⁺.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати, отримані в дисертації, мають теоретичний характер і є важливими, по-перше, в теорії представлень q-деформованих алгебр; по-друге, для модельного вивчення низькоенергетичних характеристик (таких як маси) адронів. Використання еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до отримання масових співвідношень для адронів може виявитися корисним при переході від чисто феноменологічної моделі, описаної в підрозділі 2.2, до більш послідовної квантово--польової моделі.

Особистий внесок здобувача.

У спільних публікаціях автором запропоновано доведення теореми про скінченновимірні представлення алгебри U'_q (so_n) (при n>5), доведення того, що q-аналог основної неунітарної серії задає представлення квантової алгебри U_q (u_n,1); автором здійснено аналітичні розрахунки при отриманні повного набору масових співвідношень для баріонів J^P=1/2⁺ та аналітичні розрахунки при використанні еніонних реалізацій квантових алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів і баріонів J^P=3/2⁺. Крім того, автор приймав участь в обговоренні всього іншого матеріалу публікацій.

Апробація резултатів дисертації.

Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на наукових семінарах ІТФ НАН України (Київ, 1995-1998), на першій та другій міжнародних конференціях "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, червень 1995; червень 1997), на міжнародному симпозіумі з математичної та теоретичної фізики "Mathematical Physics - for Today, Priority Technology - for Tomorrow" (Київ, травень 1997), на міжнародній конференції "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics" (Ужгород, серпень 1997), на міжнародній конференції "Symmetry in Science X" (Австрія, липень 1997).

Публікації.

За темою дисертаційної роботи виконано 8 робіт, п'ять з яких опубліковані у вигляді статей у наукових журналах, а три видані як матеріали конференцій.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертаційна робота викладена на 113 сторінках; складається із Вступу, трьох Розділів, Висновків, Списку використаних джерел з 77 найменувань та Додатка (4 стор.).

Основний зміст

У Вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації і сформульовано мету роботи. Висвітлено хід розвитку теорії представлень квантових алгебр у зв'язку з їх застосуванням у фізиці. Дано огляд літератури з цих питань і визначено місце досліджень, які розглядаються в дисертації, серед інших робіт. Подано загальну характеристику дисертації, викладено короткий зміст кожного розділу, сформульовано основні положення, які виносяться на захист.

У першому розділі - "q-Деформація U'q (so_n) алгебри Лі so (n) групи обертань" - розглядаються алгебри, що є нестандартними q-деформаціями алгебр Лі групи обертань SO (n) та групи рухів ISO (n) n-вимірного простору, відповідно, та їх представлення.

адрон симетрія алгебра деформація

В підрозділі 1.1 розглянуто асоціативну алгебру U'q (so_n), яка є нестандартною деформацією (відмінною від деформації Дрінфельда--Джімбо) універсальної огортуючої алгебри U (so (n,C)) алгебри Лі so (n,C), та описані її скінченновимірні представлення класичного типу.

Алгебра U'q (so_n) - це комплексна асоціативна алгебра з n-1 породжуючимими елементами I₂₁, I₃₂,., I_n,n-1, які задовільняють визначальним співвідношенням

I_j,j-1² I_j-1,j-2 + I_j-1,j-2 I_j,j-1² - [2] _q I_j,j-1 I_j-1,j-2 I_j,j-1 = - I_j-1,j-2, (1)

I_j-1,j-2²I_j,j-1 + I_j,j-1I_j-1,j-2² - [2] _q I_j-1,j-2 I_j,j-1I_j-1,j-2 = - I_j,j-1, (2)

[I_{i, i-1,} I_j,j-1] = 0, якщо | i-j | >1, (3)

де через

[x] _q = [x] = (q^{x -} q^-x) / (q-q^-1), x C (4)

позначено q-число, що відповідає числу x, а q - параметр деформації (qC, q0,1). Коли q1 ('класична' границя), то q-число [x] _q переходить в x.

Для того, щоб описати базис в U'q (so_n), розглянемо наступні елементи в цій алгебрі (вважаємо, що k > l+1, nk,l1)

q^1/2I_l+1,l I_k,l+1 - q^-1/2I_k,l+1 I_l+1,l I_k,l (5)

разом з ототожненням I_k+1,k I⁺_k+1,k I⁺_k+1,k. Введемо лексикографічний порядок для цих елементів у відповідності до їх індексів. Будемо називати деякий елемент з U'q (so_n) впорядкованим мономом, якщо він є добутком неспадаючої послідовності елементів I_. ⁺. В дисертаційній роботі доводиться (Теорема 1.1), що набір всіх впорядкованих мономів є базисом Пуанкаре--Бірхгофа--Вітта в алгебрі U'q (so_n).

Скінченновимірні представлення алгебр U'q (so_n), які відповідають представленням so (n,C), (представлення класичного типу) у q-аналозі формалізму Гельфанда-Цетліна (ГЦ) задаються сигнатурами - наборами m_n із [n/2] компонент m_1,n, m_2,n,., m _[n/2],n (тут через [n/2] позначено цілу частину n/2, які задовільняють умові домінантності, відповідно, для n=2p+1 та n=2p. За базис простору представлення ми візьмемо q-аналог базиса ГЦ з елементами, позначеними схемами ГЦ

де компоненти m_n та m_n-1 задовільняють відомим умовам галуження. Базисний елемент, позначений схемою _n, позначимо як |_n >.

Оператор I_2p+1,2p представлення, заданого набором m_2p+1, алгебриU_q (so_2p+1) діє на базисні елементи ГЦ, позначених схемами (6), відповідно до (тут =_2p-1)

і оператор I_2p,2p-1представлення, заданого набором m_2p, алгебри U_q (so_2p) діє як (тут =_2p)

В цих формулах m_n^+j означає, що компоненту m_j,n в сигнатурі m_n потрібно замінити на m_j,n+1; матричні елементи A^j_2p, B^j_2p-1, C_2p-1 даються виразами, які залежать від q-факторів, таких як [l_i,2p+1+l_j,2p], [l_i,2p-l_j,2p-1], [l_i,2p+l_j,2p-1] та ін. Зауважимо, що матричні елементи B^j_2p-1 та C_2p-1 є 'мінімальною' деформацією 'класичних' (тобто при q=1) матричних елементів. Однак, завдяки наявності нетривіального множника d (l_j,2p) в A^j_2p, який переходить в 1/2 при q->1, ці матричні елементи відрізняються від 'мінімальної' деформації.

В дисертаційній роботі доводиться (Теорема 1.2), що оператори I_k,k-1, k=2,.,n, представлення з сигнатурою m_n, які задані у q-аналозі базису ГЦ (6) формулами дії (7) - (8) задовільняють співвідношенням (1) - (3) алгебри U'q (so_n) і визначають скінченновимірні представлення цієї алгебри. Коли q не є коренем з одиниці, ці представлення є незвідними.

Крім того, якщо q=e^h, h R, ці оператори визначають *-представлення дійсної 'компактної' форми U'_q (so_n).

У підрозділі 1.2 знайдено формулу для квадратичних елементів Казиміра алгебри U'q (son), яка є явно симетричною відносно заміни параметра деформації q->q^-1. Дано явно елементи Казиміра вищих порядків для алгебр U'q (so_n), n=4,5,6. Обраховано власні значення операторів Казиміра для алгебр U'_q (so (3,C)) та U'_q (so (4,C)) у представленнях, описаних Теоремою 1.2.

Наведемо, для прикладу, явні вирази для вищих (ніж квадратичні) елементів Казиміра алгебр U'q (so_n), n=4,5. Нехай (див. (5))

X⁺_i,j,k,l =q^-1 I_ji I_lk - I_ki I_lj +q I_kj I_li

Тоді для алгебри U'_q (so (4,C)) маємо: C (4) =X_1,2,3,4. А для алгебри U'_q (so (5,C)) маємо:

У підрозділі 1.3 методом контракції Іноню--Вігнера, застосованим до алгебри U'q (so (n+1,C)), отримано (в білінійному формулюванні) алгебру Uq (iso_n), яка є нестандартною q-деформацією алгебри Лі iso (n,C) групи рухів n-вимірного простору. Дано явний вираз для квадратичних елементів Казиміра неоднорідної алгебри Uq (iso_n). Доведено теорему (аналогічну Теоремі 1.2) про нескінченновимірні представлення алгебри Uq (iso_n), які є q-деформацією нескінченновимірних представлень алгебри Лі iso (n,C). Дано умови на параметр деформації, при яких ці представлення є *-представленнями дійсної 'компактної' форми Uq (iso_n) (Теорема 1.3).

Другий розділ дисертації, який називається "Квантові алгебри Uq (u_n) i Uq (u_n,1) та їх застосування у фізиці адронів", присвячено вивченню незвідних та *-представлень 'некомпактної' дійсної форми Uq (u_n,1) квантової алгебри Uq (gl (n+1,C)), їх застосуванню до знаходження нових правил сум для мас адронів на основі використання ідеї про q-деформовану ароматову симетрію адронів.

У підрозділі 2.1 дано доведення того, що q-аналог основної неунітарної серії дійсно задає представлення квантової алгебри Uq (u_n,1) (Теорема 2.1). Це дозволило, за допомогою процедури аналогічної до недеформованого випадка, класифікувати незвідні представлення з множини незвідних представлень основної серії (Теорема 2.2) та незвідних компонент звідних представлень основної серії (Теорема 2.3). Виділено всі незвідні *-представлення алгебри Uq (u_n,1) (Теорема 2.4, Теорема 2.5).

Підрозділ 2.2 присвячений подальшій розробці підходу, що використовує ідею про q-деформованість ароматових симетрій адронів для знаходження нових правил сум для мас баріонів J^P=1/2⁺. Приймається, що баріони класифікуються по представленнях алгебри внутрішньої симетрії Uq (u₃), а в ролі алгебри динамічної симетрії використано квантові 'компактні' та 'некомпактні' алгебри Uq (u₅) та Uq (u_4,1). Масовий оператор, який порушує внутрішню симетрію, вибирається у вигляді аналогічному до масового оператора недеформованого випадка. На основі класифікації унітарних представлень алгебр: 'компактної' Uq (u₅) та 'некомпактної' Uq (u_4,1) (унітарні представлення останньої описані в Теоремі 2.4 з підрозділу 2.1), знайдено q-аналог відомого правила сум Гел-Мана--Окубо для мас баріонів J^P=1/2⁺. Вибрано спосіб фіксації параметра q нулями певного полінома; він дає ряд правил сум для мас цих баріонів. Найкраще з них,

M_N+ [3] _{q_7}/ [2] _{q_7} M= [3] _{q_7}/ [2] _{q_7} M+M,

де [2] _{q_7}=2 cos (/7), [3] _{q_7}= [2] _{q_7}²-1, має точність (при підстановці емпіричних даних для мас баріонів J^P=1/2⁺) приблизно 0.07 %. Для порівняння, точність масового співвідношення Гел-Мана--Окубо 2 M_N+2 M= 3 M + M є 0.58 %.

У підрозділі 2.3, на прикладі баріонів J^P=1/2⁺ та J^P=3/2⁺, показано, що використання квантових алгебр в ролі алгебр ароматової симетрії ефективно приводить до врахування нелінійних (неполіноміальних) по порушенню унітарної SU (3) - симетрії вкладів в маси цих баріонів. Дано порівняння розкладу Окубо (повного розкладу по порушенню SU (3)) з першим порядком по порушенню U_q (su₃), розкладеному за параметром h (q=e^h) в околі h=0 ("в околі" недеформованої алгебри su₃). Показано, що ці два розклади узгоджені, хоча і не тотожні.

Проілюструємо це на декуплеті баріонів J^P=3/2⁺. У динамічному представленні зі старшою вагою [p+4,p,p,p,p] алгебри Uq (u₅), для мас ізомультиплетів баріонів маємо вирази (нехтуючи електромагнітним розщепленням мас в кожному ізомультиплеті):

M = M₁₀+ ,

M * = M₁₀ + + [2] ,

M* = M₁₀+ [2] + [3] ,

M = M₁₀+ [3] + [4] ,

де M_10, та - деякі константи. Оскільки кожний ізомультиплет з декуплету баріонів однозначно фіксується значенням дивності (або гіперзаряду - Y), всі ці вирази можуть бути записаними однією масовою формулою

M_{B_i}*= M₁₀+ [1-Y] + [2-Y],

де B_i* пробігає чотири різних ізомультиплети в 10-плеті. Із визначення q-чисел (4) випливає, що залежність обох величин [1-Y], [2-Y] від гіперзаряду Y істотньо нелінійна (і стає лінійною тільки в класичній границі q - > 1), а це відповідає врахуванню нелінійних по порушенню унітарної SU (3) - симетрії вкладів в маси баріонів J^P=3/2⁺.

У підрозділі 2.4 на основі техніки q-тензорних операторів побудовано масовий оператор, q-коваріантний відносно квантової алгебри Uq (u₃) (він відрізняється від масового оператора, що використовувався в попередніх розглядах). В результаті отримано масове співвідношення [2] (q^-1 M_N+ q M₎ = [3] M + M_, яке, на відміну від попередніх співвідношень для мас, більш просте і, крім того, не залежить від представлення динамічної алгебри симетрії. Однак, його узгодження з емпіричними масами баріонів потребує 'підгоночної' процедури для фіксації параметра деформації q, тоді як попередні масові співвідношення допускали процедуру 'жорсткої' фіксації параметра q нулями цілком певного полінома.

Третій розділ дисертаційної роботи має назву "Еніонні реалізації квантових алгебр та їх застосування". В ньому дано короткий огляд необхідного матеріалу (відомого з інших робіт) стосовно еніонів: визначення еніонних осциляторів на двовимірній гратці та еніонних реалізацій квантових алгебр Uq (su_n). Далі описано нові результати про застосування еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів та баріонів J^P=3/2⁺.

Дамо визначення еніонних операторів. Розглянемо двовимірну гратку з квадратними комірками. Кожному вузлу x цієї гратки поставимо у відповідність оператори знищення та народження c_i (x), c_i⁺ (x), i=1,.,n, (які задовільняють канонічним антикомутаційним співвідношенням) n різних мод (сортів) ферміонних збуджень. Оператор безпорядку вводиться наступним чином: де _x (x, y) - кутова функція, і сумування проводиться по всіх вузлах y гратки, таких що yx, називається параметром статистики. Еніонні осцилятори a_i (x), i=1,.,n, визначаються за формулами a_i (x) = K_i (x) c_i (x) (сумування по i відсутнє). За допомогою введених еніонних операторів в роботі Фрау, Лерди і Шуто побудовано реалізацію квантової алгебри Uq (su_n). При цьому параметр статистики зв'язується з параметром деформації q через співвідношення q=eⁱ. Детальний огляд цього матеріалу дано в підрозділі 3.1.

У підрозділі 3.2 дисертації розглянуто оригінальну квазіеніонну (квазіеніони - деяка спеціально сконструйована модифікація еніонів) реалізацію багатопараметричної деформації Uq; s_1,s_2,.,s_{n-1} (gl (n)) алгебри Лі gl (n). Ця багатопараметрична деформація може бути отримана за допомогою твістінг--процедури із стандартної деформації Uq (gl_n). У частковому випадку s₁=s₂=. =s_n-1= s алгебра Uq; s (1),s (2),.,s (n-1) (gl (n)) переходить у алгебру Uq,s (gl (n)), яку раніше розглядав Такеучі (остання при s=1 переходить в Uq (gl (n)). Квазіеніонні оператори народження та знищення, які приймають участь у побудові реалізації алгебри Uq; s1,s2,.,s (n-1) (gl (n)), відрізняються від звичайних еніонних операторів тим, що різні їх моди не є незалежними (кореляція різних мод характеризується параметрами s_1,s_2,.,s_n-1, які явно входять в перестановочні співвідношення для їх квазіеніонних операторів).

При переході від феноменологічної моделі, що використовується в підрозділі 2.2, до більш послідовної квантово--польової моделі може виявитися корисним розгляд еніонних реалізацій квантових алгебр. В підрозділі 3.3 дисертації розглянуто застосування еніонної реалізації квантових алгебр до знаходження масових співвідношень для векторних мезонів та баріонів J^P=3/2⁺. Для цього спочатку явно побудовані базиси у просторах необхідних представлень квантових алгебр і знайдено відповідність між адронами та станами у фоківському просторі еніонних збуджень. Наведемо таку відповідність для деяких адронів:

На основі масового оператора в еніонній реалізації проведено обчислення виразів для мас адронів. Результати співпали з тими, що раніше були отримані на основі формалізму Гельфанда--Цетліна. Тим самим доведено застосовність еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до отримання масових співвідношень для адронів.

Нарешті, у Висновках наведено основні результати дисертаційної роботи та рекомендації щодо їх використання.

У Додатку, який називається "Доведення співвідношення (1.25)", дається детальне доведення співвідношення (1.25), яке використовується при доведенні Теореми 1.2 з першого розділу дисертації.

Висновки

1. Для алгебр U'q (so (n)) та Uq (iso (n)), що є нестандартними q-деформаціямиалгебр Лі, відповідно, групи обертань SO (n) та групи рухів ISO (n) n-вимірного простору, для n>5 дано доведення того, що оператори, які є квазі-мінімальною деформацією операторів класичних представлень в базисі Гельфанда--Цетліна, дійсно задають представлення цих q-алгебр. Цей результат є ще одним підтвердженням застосовності q-аналога формалізму Гельфанда--Цетліна до побудови представлень q-деформованих алгебр.

2. Знайдено у явному вигляді елементи Казиміра вищих порядків для алгебр U'q (so (n)), n=4,5,6. У випадку алгебри U'_q (so (4,C)) обчислено власні значення операторів Казиміра.

3. Дано доведення того, що q-аналог основної неунітарної серії дійсно задає представлення квантової алгебри Uq (u (n,1)). Це дозволило, за допомогою процедури аналогічної до недеформованого випадка, знайти всі незвідні та *--представлення квантової алгебри Uq (u (n,1)).

4. На основі класифікації незвідних *--представлень алгебри Uq (u (4,1)) та скінченновимірних незвідних представлень алгебри Uq (u (5)) отримано ряд нових масових співвідношень для баріонів J^P=1/2⁺, що є q--аналогами масового співвідношення Гел--Мана та Окубо. Серед них, при порівнянні з емпіричними значеннями мас баріонів, знайдено співвідношення, яке має точність 0.07 % (співвідношення Гел-Мана--Окубо, як відомо, має точність 0.58 %). В цьому підході є важливим те, що параметр деформації q "жорстко" фіксувався нулем цілком певного полінома.

5. На прикладі баріонів J^P=1/2⁺ та J^P=3/2⁺ показано, що використання квантових алгебр в ролі алгебр ароматової симетрії ефективно приводить до врахування нелінійних (неполіноміальних) вкладів по порушенню унітарної SU (3) - симетрії. Дано порівняння розкладу Окубо (повного розкладу по порушенню SU (3)) з першим порядком по порушенню Uq (su (3)), розкладеному по параметру h (q=e^h) в околі h=0 ("в околі" класичної su₃). Показано, що ці два розклади хоча і не співпадають тотожньо, але є узгодженими.

6. Побудовано масовий оператор, який (з точки зору його тензорних властивостей) є точним q--аналогом класичного масового оператора. Cпіввідношення для мас баріонів з октету, яке отримується при використанні цього масового оператора, має зовсім простий вигляд і, крім того, має властивість універсальності (незалежність від вибору представлення алгебри динамічної симетрії). З іншого боку, для цього співвідношення немає іншої процедури фіксації параметра деформації, крім процедури "підгонки".

7. Показано, що використання спеціально сконструйованих 'квазіеніонних' операторів дає змогу побудувати реалізацію багатопараметричної деформації Uq; s (1),s (2),.,s (n-1) (gl (n)) алгебри Лі gl (n). Додаткові параметри деформації s (1),s (2),.,s (n-1) явно входять в перестановочні співвідношення для квазіеніонних операторів різних сортів.

8. Побудовано стани у фоківському просторі еніонних збуджень, що відповідають векторним мезонам та баріонам J^P=3/2⁺. На основі використання масового оператора в еніонній реалізації знайдено масові співвідношення для цих адронів. Вони співпали з отриманими раніше у формалізмі Гельфанда--Цетліна. Тим самим доведено застосовність еніонних реалізацій квантових унітарних алгебр до отримання масових співвідношень для адронів; це може виявитися корисним при переході від чисто феноменологічної моделі, що була описана в підрозділі 2.2 дисертації, до більш послідовної квантово--польової моделі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Multiparameter deformations of gl (n) algebra in terms of anyonic oscillators // J. Nonlin. Math. Phys. - 1996. - V.3. - P.426-431.

2. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. q-deformed algebras Uq (so_n) and their representations // Methods of Funct. Anal. and Topology. - 1997. - V.3. - N 4. - P.51-63.

3. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Representations of the nonstandard algebras U_q (so (n)) and U_q (so (n-1,1)) in Gel'fand--Tsetlin basis // Укр. Фіз. Журн. - 1998. - Т.43. - С.791-797.

4. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Quantum groups as flavor symmetries: account of nonpolynomial SU (3) - breaking effects in ba ryon masses // Укр. Фіз. Журн. - 1998. - Т.43. С.1526-1533.

5. Гроза В.А., Іоргов М.З., Клімик А.У. Про представлення квантової алгебри U_q (u_n,1) // Доповіді НАН України. - 1999. - N 2. - С.91-95.

6. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. q-Deformed inhomogeneous algebras Uq (iso_n) and their representations // Proc. Int. Conf. Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics II. - Kiev. - 1997. - V.2. - P.384-392.

7. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z. Nonstandard q-deformation of the Euclidean algebras and their representations // Proc. Int. Conf. Non-Euclidean geometry in modern physics. - Uzhgorod. - 1997. - P.56-63.

8. Gavrilik A. M., Iorgov N. Z., Klimyk A. U. Nonstandard deformation U'_q (so_n): the imbedding U'_q (so_n) U_q (sl_n) and representations // Proc. Int. Conf. Symmetries in Science X (Bregenz, Austria, 1997). - New York: Plenum. - 1998. - P.121-133.

9. Іоргов М.З. Представлення квантових алгебр фізичних симетрій та їх застосування до опису мас адронів. } - Рукопис.

Анотація

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут теоретичної фізики НАН України, Київ, 1999.

В дисертації вивчаються представлення q-деформованих аналогів U'_q (so_n), U_q (iso_n) та U_q (u_n,1) алгебр Лі груп обертань, евклідових та псевдоунітарних груп; та дається їх застосування. Для алгебр U'_q (so_n), U_q (iso_n) (n>5) доведено теорему про незвідні представлення (в базисі Гельфанда--Цетліна). Знайдено елементи Казиміра для алгебр U'_q (so_n), n=4,5,6. Квантові алгебри U_q (u_n) та U_q (u_n,1) застосовано до знаходження нових масових співвідношень (більш точних, ніж співвідношення Гел-Мана--Окубо) для баріонів 1/2⁺. Показано, що використання квантових алгебр для опису ароматової симетрії адронів враховує нелінійні вклади по порушенню SU (3) - симетрії. В еніонній реалізації U_q (su_n) побудовано вектори станів для мезонів 1 ^- та баріонів 3/2⁺ і отримано правила сум для їх мас.

Ключові слова: квантові (q-деформовані) алгебри, представлення алгебр, алгебри динамічної симетрії, ароматова симетрія, адрони, правила сум для мас, еніони.

Iorgov N. Z. Representations of quantum algebras of physical symmetries and their application for treatment of hadron masses. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Bogolyubov Institute for Theoretical Physics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1999.

In the thesis, representations of q-deformed analogs U'_q (so_n), U_q (iso_n) and U_q (u_n,1) of Lie algebras of rotation, Euclidean and pseudounitary groups are explored, along with their applications. For the algebras U'_q (so_n), U_q (iso_n) (n>5), a theorem on irreducible representations (in Gel'fand--Tsetlin basis) is proved. Basis Casimir elements for the algebra U'_q (so_n), n=4,5,6, are found. Quantum algebras U_q (u_n) and U_q (u_n,1) are used to derive new mass relations (more accurate than the Gell-Mann--Okubo one) for baryons 1/2⁺. It is shown, that usage of quantum algebras as describing flavorsymmetries of hadrons accounts for nonlinear contributions in SU (3) - breaking. Within anyonic realization of U_q (su_n), the state vectors for mesons 1 ^- and baryons 3/2⁺ are constructed, and mass sum rules obtained.

Key words: quantum (q-deformed) algebras, representations of algebras, algebras of dynamical symmetry, flavor symmetry, hadrons, sum rules for masses, anyons.

Иоргов Н.З. Представление квантовых алгебр физических симметрий и их приложение к описанию масс адронов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт теоретической физики НАН Украины, Киев, 1999.

Дисертация посвящена изучению представлений q-деформированных алгебр U'_q (so_n), U_q (iso_n), U_q (u_n,1) алгебр Ли, соответственно, групп вращений, эвклидовых и псевдоунитарных групп, и их приложений.

Для алгебр U'_q (so_n) и U_q (iso_n), которые являются нестандартными q-деформациями алгебр Ли, соответственно, группы вращений и группы движений n-мерного пространства, при n>5 дано доказательство того, что операторы, получаемые квазиминимальной деформацией операторов классических представлений в базисе Гельфанда--Цетлина, действительно задают представления этих q-алгебр. Этот результат есть еще одним потверждением пригодности q-аналога формализма Гельфанда--Цетлина для построения представлений q-деформированных алгебр.

Для алгебр U'_q (so_n), n=4,5,6, в явном виде получены элементы Казимира высших порядков. В случае алгебры U'_q (so₄) найдены собственные значения операторов Казимира.

Дано доказательство того, что q-аналог основной неунитарной серии задает представления квантовой алгебры U_q (u_n,1). Это позволило найти неприводимые и *-представления квантовой алгебры U_q (u_n,1).

На основе классификации представлений алгебр U_q (u_4,1) и U_q (u₅) получен ряд новых массовых соотношений для барионов J^P=1/2⁺, которые являются q--аналогами массового соотношения Гелл--Манна и Окубо. Среди них найдено соотношение, которое при подстановке эмпирических данных для масс барионов имеет точность 0.07 % (для сравнения, известное соотношение Гелл-Манна--Окубо имеет точность 0.58 %). В этом подходе важным есть то, что параметр деформации q "жестко" фиксировался нулем вполне определенного полинома.

На примере барионов J^P=1/2⁺ и J^P=3/2⁺ показано, что использование квантовых алгебр в роли алгебр ароматовой симметрии эффективно приводит к учету нелинейных (неполиномиальних) вкладов по нарушению унитарной SU (3) - симметрии. Дано сравнение разложения Окубо (полного разложения по нарушению SU (3)) с первым порядком по нарушению U_q (su₃), разложенному по параметру h (q=e^h) в окрестности h=0 ("в окрестности" классической su₃. Показано, что эти два разложения согласованы, хотя и не совпадают тождественно.

Построен массовый оператор, который (с точки зрения его тензорных свойств) есть точный q--аналог классического массового оператора. Получающиеся при этом соотношения для масс барионов из октета, имеют совсем простой вид и, кроме того, имеют свойство универсальности (независимость от выбора представления алгебры динамической симметрии). С другой стороны, для этого соотношения нет иной процедуры фиксации параметра деформации, кроме процедуры "подгонки".

Показано, что использование специально сконструированных 'квазиэнионных' операторов дает возможность построить реализацию многопараметрической деформации U_{q; s_1,s_2,.,s_{n-1}} (gl_n) алгебры Ли gl_n. Дополнительные параметры деформации s₁,s₂,.,s_n-1 явно входят в перестановочные соотношения для квазиэнионных операторов разных сортов.

Построены состояния в фоковском пространстве энионных возбуждений, которые соответствуют векторным мезонам и барионам J^P=3/2⁺. При использовании массового оператора в энионной реализации получены соотношения для масс этих адронов. Они совпали з полученными раньше в формализме Гельфанда--Цетлина. Тем самым доказано пригодность энионных реализаций квантовых унитарных алгебр для получения соотношений для масс адронов; это может оказаться полезным при переходе от чисто феноменологической модели, которая использовалась в диссертации, к более последовательной квантово--полевой модели.

Ключевые слова: квантовые (q-деформированные) алгебры, представления алгебр, алгебры динамической симметрии, ароматовая симметрия, адроны, правила сумм для масс, энионы.

Размещено на Allbest.ru