Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Крохмаль Павло Анатолійович

УДК 539.3

ДРУГА ОСНОВНА ГРАНИЧНА ЗАДАЧА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТОРА

Спеціальність: 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України, професор Улітко Андрій Феофанович, Київський університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Подільчук Юрій Миколайович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу реології;

кандидат фізико-математичних наук Горбань Володимир Олексійович, Інститут гідромеханіки НАН України, старший науковий співробітник.

Провідна установа: Державний університет “Львівська політехніка” (м. Львів)

Захист відбудеться “ 8 ” вересня 1999 р. о “ 14 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка (252127, м. Київ - 127, проспект Глушкова 2, корпус 7, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (252033, м. Київ - 33, вул. Володимирська, 64).

Автореферат розісланий “ 20 ” липня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність і ступінь дослідженості тематики дисертації. Одним з фундаментальних напрямків розвитку математичної теорії пружності є побудова точних розв'язків базових граничних задач для канонічних тіл. На протязі останнього сторіччя теорія пружності збагатилася розв'язками основних граничних задач практично для всіх тіл, віднесених до координатних систем, що допускають розділення змінних в рівнянні Лапласа. Але мало дослідженими залишались задачі теорії пружності для тіл, віднесених до т. зв. циклідних координат, тобто координатних систем, де має місце неповне розділення змінних в гармонічному рівнянні. До названих систем належать тороїдальні та бісферичні координати, координатні поверхні яких утворюють відповідно тор і лінзоподібне тіло та бі-сфери і веретеноподібне тіло. Дана дисертаційна робота присвячена побудові точного аналітичного розв'язку другої основної граничної задачі теорії пружності для тора, яка, за класифікацією М. І. Мусхелішвілі, полягає у визначенні напружено-деформованого стану пружного тіла, якщо відомими є переміщення точок його поверхні. Інтерес до цієї задачі та її актуальність зумовлюються, як вже відзначалося, порівняно малою дослідженістю задач теорії пружності для тора та просторовою неоднозв'язністю тороїдальних тіл. Під недостатньою вивченістю задач пружності для тора розуміється відсутність аналітичних розв'язків достатньо простого виду, які б дозволяли проводити якісний аналіз задачі. У відомих дослідженнях граничні задачі для тора, як правило, зводились до нескінченних лінійних алгебраїчних систем досить складного вигляду, що допускали тільки чисельний розв'язок; поза увагою лишалися також особливості розв'язків, спричинені просторовою двозв'язністю тороїдальних областей.

Тема дисертаційного дослідження має тісний зв'язок з програмами науково-дослідної роботи кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського університету імені Тараса Шевченка, в тому числі з комплексною науковою програмою Київського університету імені Тараса Шевченка на 1997-2000 рр. за темою “Дослідження закономірностей деформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв'язаності полів різної природи і розробка методів їх кількісного аналізу”.

Мета і задачі дослідження. Автор ставив за мету побудову точного розв'язку другої основної задачі теорії пружності для тора в аналітичній формі. Зокрема, автор ставив перед собою такі завдання:

з'ясування основних властивостей векторних граничних задач, в яких поверхнею задання граничних умов є двозв'язна тороїдальна поверхня, на прикладі задачі Стокса для тора, яка є найпростішим різновидом граничних задач теорії пружності в переміщеннях;

відштовхуючись від отриманого точного розв'язку осесиметричної задачі Стокса для тора, дати розв'язок подібної задачі теорії пружності, звівши вихідну задачу до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь стрічкової структури з мінімальним числом стрічок у матриці системи;

побудувати точний аналітичний розв'язок нескінченних лінійних алгебраїчних систем з тридіагональними матрицями;

шляхом узагальнення отриманих результатів побудувати розв'язок другої основної граничної задачі теорії пружності для тора у загальній неосесиметричній постановці, привівши її до розв'язання нескінченних тридіагональних алгебраїчних систем однотипного виду;

встановити умови, за яких друга основна гранична задача теорії пружності для тора має однозначний розв'язок.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше отримано точний аналітичний розв'язок задачі теорії пружності в переміщеннях для тора, причому загальний підхід, що використовувався автором, дозволяє одержувати точні розв'язки відповідного класу задач для інших тіл, віднесених до циклідних координатних систем. На основі проведеного дослідження розв'язків векторних граничних задач математичної фізики в неоднозв'язних просторових областях подано умови, за яких граничні задачі теорії пружності в тороїдальних областях матимуть однозначний розв'язок, і показано, що побудований автором розв'язок є однозначним. Запропоновано метод точного аналітичного розв'язання нескінченних лінійних алгебраїчних систем стрічкового типу, за допомогою якого отримано розв'язок нескінченних систем з тридіагональними матрицями, до яких звелася розглядувана гранична задача. Одержано точні розв'язки низки граничних задач теорії пружності та стоксових течій для тора і подано детальний аналіз цих розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації загальні результати та висновки мають передусім теоретичну цінність, проте представлені розв'язки частинних задач можуть бути ефективно використані в низці прикладних та інженерних розробок. Розв'язок задачі Стокса для тора може бути застосований в технологічних процесах, де широко використовується модель в'язкої Стоксової рідини: хімічних технологіях змішування та осаджування частинок у розчинах, при проектуванні пристроїв на рідких кристалах, у біотехнологіях. Побудовані розв'язки задач теорії пружності для тора можуть мати успішне застосування при розрахунку поведінки та критеріїв міцності конструкцій, що містять жорсткі включення тороїдальної форми.

Апробація і публікація результатів дисертації. Основні результати, отримані в дисертаційній роботі, неодноразово доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах “Проблеми механіки” кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського університету імені Тараса Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А. Ф. Улітка, доповідалися на 3-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Україна, м. Львів, 1997), на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Україна, м. Львів, 1998), на науковій конференції Annual GAMM conference at the University of Metz /GAMM-99/ (Франція, м. Метц, 1999). Тези доповідей опубліковано. Основні результати дослідницької роботи знайшли відображення в трьох публікаціях у фахових наукових виданнях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація структурно складається зі вступу, п'яти розділів (12 підрозділів), що включають огляд літератури, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації складає 126 сторінок, додатки А і Б складають 20 сторінок, список використаних джерел складає 6 сторінок (76 найменувань).

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність і рівень дослідженості теми дисертації, визначені її мета та завдання, дається характеристика роботи, формулюється наукова новизна, обгрунтовано теоретичне та практичне значення дослідження, рівень його апробації.

В першому розділі “Огляд літератури” обговорюються публікації вітчизняних і зарубіжних авторів, присвячені побудові розв'язків задач теорії пружності і задач стоксових течій для тіл, віднесених до циклідних координат і, зокрема, для тіл тороїдальної форми. Першою роботою в цьому напрямку є стаття А. Вангеріна (1873), в якій викладено загальний підхід до побудови розв'язків задач теорії пружності для тіл, віднесених до спряжених координатних систем обертання. На жаль, саме в задачі для тора автором було допущено помилку при визначенні розв'язків гармонічного рівняння для тороїдальних областей. В працях Ю. І. Соловйова, Ю. М. Подільчука, В. С. Кирилюка граничні задачі теорії пружності для тора зводились до нескінченних лінійних алгебраїчних систем стрічкового виду з числом стрічок у матриці від восьми до чотирнадцяти, розв'язки яких будувались чисельно. В статтях С. Вакиї, С. Маджумдара, С. Горена, М. О'Нейла розглядались осесиметричні та неосесиметричні задачі стоксових течій для тора. Використовуючи фактично підхід, запропонований О. Тедоне (1905), граничні задачі стоксових течій для тора в цих роботах було зведено до нескінченних тридіагональних систем, розв'язки яких також шукались чисельним шляхом. Враховуючи це, в представленій дисертаційній роботі загальний підхід до побудови точних розв'язків задач теорії пружності спирається на узагальнення розв'язків більш простих споріднених задач стоксових течій.

В другому розділі “Елементи теорії потенціалу в тороїдальних координатах” подано загальні відомості та основні співвідношення стосовно системи тороїдальних координат і досліджено особливості розв'язків базових граничних задач математичної фізики в тороїдальних координатах. В першому підрозділі “Основні співвідношення векторного аналізу та математичної фізики в тороїдальних координатах” представлено формули переходу від циліндричних координат до тороїдальних координат :

(1)

Полярний кут є спільним для обох систем координат. Поверхні утворюють тори, а поверхні - сегменти сфер, що спираються на коло в площині . Показано, що розв'язки рівняння , де оператор має вид

, (2)

в тороїдальних областях записуються у вигляді

(3)

де - функції Лежандра першого або другого роду напівцілого індексу, а позначення означає, що нульовий член ряду ділиться пополам. В другому підрозділі “Деякі властивості функцій Лежандра напівцілого індексу (функцій кільця)” наведено основні представлення та властивості функцій Лежандра та , що використовувалися автором при розв'язанні задач. Третій підрозділ “Задачі Дірихле та Неймана для тора” присвячено побудові розв'язків задач граничних Дірихле і Неймана для зовнішності тора. Показано, що задача Неймана для тора зводиться до розв'язання нескінченних тридіагональних лінійних алгебраїчних систем, причому тільки в осесиметричному випадку вдається одержати простий замкнутий розв'язок задачі.

В третьому розділі “Задача Стокса для тора” побудовано точний розв'язок і проведено детальний аналіз осесиметричної задачі Стокса для тора як найпростішої задачі теорії пружності для тіл тороїдальної форми. Перший підрозділ “Зв'язок між граничними задачами теорії пружності і Стоксових течій” містить обгрунтування адекватності такого підходу. Показано, що розв'язки рівняння Ламе, які задовольняють деяким граничним умовам, у випадку нестисливого матеріалу (число Пуасона ) співпадають з розв'язками рівнянь Стокса при аналогічних граничних умовах.

В цьому ж підрозділі обговорюється загальна методика розв'язання рівнянь рівноваги пружного тіла, що застосовувалась в дисертації. Слідуючи класичному підходу, запропонованому Г. Ламе і розвинутому А. Вангеріним та іншими авторами, побудова розв'язку рівняння Ламе

, (4)

де - вектор пружних зміщень, m - число Пуасона, шляхом введення в розгляд вектора вихору і величини , пропорційної до об'ємного розширення

, (5)

зводиться до послідовного інтегрування двох систем фундаментальних рівнянь векторного поля

(6)

Рівняння Стокса, які описують рух в'язкої нестисливої рідини в наближенні малих чисел Рейнольдса ()

(7)

згідно до описаної аналогії між граничними задачами рівноваги пружних тіл і усталених течій в'язких рідин можна отримати з (6), поклавши і .

Осесиметричність постановки задачі передбачає спрощення, пов'язані з можливістю представлення вектора вихору в циліндричних координатах лише однією скалярною функцією . Як наслідок, рівняння першої з систем (6) міститимуть лише дві скалярні функції і , утворюючи систему типу Коші-Рімана для -аналітичних функцій:

(8)

Під розв'язком системи (8) розуміється розв'язок задачі спряження, яка полягає у знаходженні однієї з функцій через відому спряжену до неї функцію.

До розв'язання задачі спряження (8) приводить питання про однозначність розв'язків векторних задач математичної фізики у багатозв'язних областях, де базовою задачею є узагальнена задача Дірихле для аналітичних функцій про відшукання гармонічної в області функції за заданими граничними значеннями, при умові, що спряжена до неї за умовами Коші-Рімана функція має бути однозначною. Відомо, що для гарантування однозначності розв'язку описаної задачі в багатозв'язних плоских областях потрібно накладати на граничні значення шуканої функції деякі наперед задані обмеження. Автором показано, що цей результат зберігається і для просторових тороїдальних областей. Необхідність дослідження розв'язків системи спряження (8) в задачі для тора диктується тим, що вихор і тиск у в'язкій нестисливій рідині пов'язані рівняннями типу Коші-Рімана, і просторова двозв'язність тора вимагає встановлення умов, за яких ці розв'язки будуть однозначними.

Аналізу і розв'язанню системи (8) присвячено другий підрозділ “Розв'язок рівнянь типу Коші-Рімана в тороїдальних областях”. Функції і , як розв'язки задачі спряження (8), мають задовольняти рівнянням

, (9)

де оператор визначається з (2). Дослідження розв'язків рівнянь (8) і, відповідно, (9), в областях, обмежених поверхнею тора, проводиться в тороїдальних координатах (1). Представлення для функцій (9) в просторі з тороїдальною порожниною записуються у вигляді

(10)

де для стислості викладу функція приймається парною по координаті , а функція - непарною. В роботі побудовано співвідношення між коефіцієнтами і , що задовольняють системі (8):

(11)

З (11) випливає, що однозначність коефіцієнтів вимагає виконання умови

. (12)

Коефіцієнти ж знаходяться по відомим з (11) однозначно, і в цьому разі рівність (12) має місце при довільних значеннях (але таких, що ряд по в (11) збігається), для вибраної парності функцій і . Рівність (12) є тією вищезгаданою умовою, яка забезпечує однозначність розв'язку узагальненої задачі Дірихле для -аналітичних функцій в просторових тороїдальних областях.

В третьому підрозділі “Точний розв'язок задачі Стокса для тора” дано розв'язок осесиметричної задачі Стокса для тора, яка полягає в знаходженні розподілів швидкостей і тиску у в'язкій нестисливій рідині при русі в ній жорсткого тора паралельно до його вісі симетрії. Граничні умови для вектора швидкості і тиску формулюються з умов прилипання частинок рідини до поверхні тіла, що є наслідком її в'язкості, і сталості гідродинамічного тиску в рідині на нескінченності:

, (13)

, (14)

при цьому стала , яка характеризує тиск на нескінченності, без обмеження загальності вважається рівною нулеві. Точний розв'язок задачі подано для двох випадків вибору загального розв'язку рівнянь Стокса, що дозволило провести детальний аналіз проблеми.

Найпоширеніший метод розв'язання осесиметричних рівнянь Стокса полягає у введенні функції току , яка забезпечує автоматичне виконання рівняння нерозривності - другого рівняння системи (7):

, (15)

причому є розв'язком рівняння . В термінах функції току граничні умови (13) набувають вигляду

, (16)

де - нормаль до поверхні S тіла. Стала , яка характеризує неоднозв'язність поверхні тіла і в даному випадку залежить від геометрії тора, має визначатися з умови однозначності розв'язку системи (8), тобто з умови (12). Для однозв'язних тіл .

В тороїдальних координатах загальний вираз для функції має вид

, (17)

де коефіцієнти мають визначатися з граничних умов (16). Задовільнення граничних умов приводить до нескінченної множини систем лінійних алгебраїчних рівнянь другого порядку для визначення кожної пари коефіцієнтів . Розв'язок цих систем має вид

, (18)

де , при записуються у вигляді

(19)

де . Коефіцієнти , мають більш громіздкий вид. Визначення сталої з рівності (12) вимагає обчислення вихору за формулою , після чого отримуємо

. (20)

Тиск в рідині визначається з побудованого розв'язку (11) задачі спряження (8) за відомими коефіцієнтами розкладу функції .

Інший спосіб побудови розв'язку задачі Стокса для тора спирається на представлення вектора швидкості у формі, яка тотожно задовольняє перше рівняння системи (7):

, (21)

де функції , - гармонічні: , , а - тиск, що також є гармонічною функцією. Крім граничних умов, функції мають задовольняти додатковому співвідношенню

, (22)

яке еквівалентне рівнянню нерозривності. При такому виборі загального розв'язку рівнянь Стокса задача приводиться до розв'язання нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею:

(23)

де невідомі служать для визначення серій сталих

(24)

які є коефіцієнтами Фурьє розвинень функцій (21) в тороїдальних координатах:

(25)

В загальному випадку не вдається побудувати розв'язок тридіагональних систем типу (23), який би не містив рекурентних залежностей. Для даної задачі автором знайдено точний замкнутий розв'язок системи (23), при цьому використовувався одержаний раніше точний розв'язок (18)-(20) граничної задачі (16) для функції току:

. (26)

В дисертаційній роботі проведено повний аналіз течії в околі тора. Шляхом інтегрування напружень по поверхні тора обчислено основну гідродинамічну характеристику потоку - силу опору рухові тора:

, (27)

яка в термінах гармонічних функцій (25) має вид

. (28)

В роботі досліджено асимптотичну поведінку сили опору у граничних випадках “закритого” тора (тора без отвору) і “тонкого” тора. Показано, що відношення сил опору тора та описаної навколо нього сфери в першому граничному випадку співпадає з відповідним відношенням для закритого тора, отриманим з точного розв'язку відповідної задачі. Одержано асимптотичний закон спадання сили опору при зменшенні товщини тора до нуля. Показано, що асимптотичні вирази сил опору для тонкого тора і тонкого плоского кільця співпадають. Побудовано графік залежності сили опору від геометрії тора, лінії току при обтіканні тора однорідним на нескінченності потоком рідини та ізобари.

В четвертому розділі “Зміщення жорсткого тороїдального включення в пружному просторі” проведено узагальнення побудованого в попередньому розділі точного розв'язку задачі Стокса для тора. В першому підрозділі “Осесиметричне зміщення жорсткого тороїдального включення в пружному просторі” розглядається осесиметрична задача про зміщення жорсткого тороїдального включення в пружному необмеженому середовищі. Загальний розв'язок рівняння Ламе знаходиться послідовним інтегруванням систем фундаментальних рівнянь векторного поля (6), причому в якості невідомої функції приймається величина :

(29)

і при цей розв'язок співпадає з розв'язком рівнянь Стокса (21). Гармонічні функції мають задовольняти додатковому співвідношенню

. (30)

Граничні умови задачі формулюються у вигляді (13). Задача зводиться до тридіагональної системи лінійних алгебраїчних рівнянь шляхом представлення граничних умов у вигляді

(31)

звідки одержуються співвідношення, аналогічні до (24). Після підстановки отриманих залежностей між коефіцієнтами функцій в рівняння (30) прийдемо до тричленної системи

, (32)

яка при співпадає з системою (23) в задачі Стокса.

Аналіз одержаного точного розв'язку (26) тридіагональної системи (23) дозволив автору запропонувати в другому підрозділі “Метод побудови точного розв'язку нескінченних лінійних алгебраїчних систем стрічкового виду” загальний підхід до розв'язання нескінченних алгебраїчних систем стрічкового типу з довільною кількістю діагоналей. Ідея методу полягає у представленні розв'язку діагональної системи типу (32) у вигляді

. (33)

При цьому відшукання розв'язку вихідної неоднорідної системи зводиться до розв'язання однорідної системи такого ж порядку для визначення коефіцієнтів та неоднорідної системи меншого порядку для . У випадку тридіагональної системи рівнянь (32) ці дві системи матимуть вид

(34)

. (35)

Система (35) має точний розв'язок, який записується у вигляді

. (36)

Будь-який розв'язок однорідної системи типу (34) має залежати від однієї або більше довільних констант. Для того, щоб отримати розв'язок однорідної системи, який буде містити лише одну сталу, необхідно представити однорідну систему в неоднорідній формі. Так, система (34) запишеться

де . Коефіцієнти визначаються з останніх рівнянь рекурентно:

(37)

Очевидно, що при підстановці співвідношень (36), (37) у вираз (33) стала скоротиться.

В третьому підрозділі “Неосесиметричне зміщення жорсткого тороїдального включення в пружному просторі” розв'язано задачу про зсув жорсткого тороїдального включення в пружному просторі в напрямку, перпендикулярному до вісі симетрії тора. Побудований розв'язок є узагальненням розв'язку попередньої осесиметричної задачі. При зміщенні включення в напрямку осі декартових координат граничні умови задачі в циліндричних координатах мають записуватись

(38)

У відповідності до (38) переміщення в пружному просторі представляються у вигляді

. (39)

Послідовним інтегруванням систем (6) отримуємо представлення функцій для у вигляді комбінації чотирьох т. зв. -гармонічних функцій

, (40)

де . Як і в попередньому випадку, визначення чотирьох функцій має завершуватись рівнянням

. (41)

Застосовуючи підхід, аналогічний до описаного в попередньому підрозділі, граничну задачу вдається звести теж до тричленної алгебраїчної системи.

В обох задачах обчислено одну з інтегральних характеристик напруженого стану в околі включення - силу зсуву, необхідну для зміщення включення на задану відстань. Побудовано графіки залежності сил зсуву від геометрії тора для різних значень числа Пуасона. Порівняння сил зсуву для випадків осесиметричного та неосесиметричного зміщень показує, що сила зсуву в осесиметричному випадку завжди більша від відповідної характеристики для неосесиметричного випадку.

В п'ятому розділі “Друга основна гранична задача теорії пружності для тора” узагальнено результати, отримані в попередніх частинах дисертації. Підставою для можливості здійснення такого узагальнення став той факт, що задачі теорії пружності для тора як в осесиметричній, так і в частинній неосесиметричній постановках в рамках одного підходу звелися до розв'язання рівнянь одного типу.

В першому підрозділі “Точний розв'язок другої основної граничної задачі теорії пружності для тора” одержано загальний розв'язок рівняння Ламе, який має вид комбінації векторної та скалярної гармонічних функцій

, де , (42)

які зв'язані між собою співвідношенням

. (43)

Для отримання конструктивної форми розв'язку (42) в циліндричних координатах необхідно подати вектор зміщень u і гармонічні функції (42) у вигляді розвинень Фурьє за координатою

(44)

Аналогічним чином подавши вектор B та підставивши ці представлення в (42), після незначних перетворень одержимо:

(45)

причому функції в лівих частинах рівностей мають задовольняти рівнянням

. (46)

Умова (43) набуває вигляду

. (47)

Граничні умови записуються у вигляді

(48)

де - коефіцієнти Фурьє розвинень виду (44) компонент вектора зміщень , заданого на поверхні тіла. Поставлена гранична задача (47)-(48) для функцій (46) розв'язується в тороїдальних координатах. Підставляючи представлення виду (25) для функцій в рівності (48), одержимо представлення коефіцієнтів Фурьє розвинень функцій (46) в тороїдальних координатах через деякі невідомі . Вносячи ці розвинення в рівняння (47), приходимо до тричленної системи

(49)

для кожної гармоніки . Точний розв'язок системи (49) будується за методом (33)-(37).

В другому підрозділі “Розтяг пружного простору з жорстким тороїдальним включенням вертикальними зусиллями, прикладеними на нескінченності” наведено приклад застосування одержаного точного розв'язку задачі теорії пружності в переміщеннях для тора. Проведено аналіз поля напружень, що виникає в нескінченному середовищі з тороїдальним включенням під дією рівномірно розподіленого навантаження, прикладеного на нескінченності. Побудовано епюри нормальних та дотичних зусиль, що діють на поверхні тора. Показано, що напруження в околі включення суттєво залежать від числа Пуасона, причому найбільші кількісні відмінності, порівняно з іншими значеннями числа Пуасона, спостерігаються для нестисливого матеріалу (). Показано також, що на поверхні включення виконується залежність .

Третій підрозділ “Про розв'язність узагальнених рівнянь типу Коші-Рімана в тороїдальних областях” присвячено дослідженню рівнянь, які випливають з першої з систем (6) у неосесиметричних задачах. Ці рівняння є узагальненнями рівнянь типу Коші-Рімана (8) і мають вид

(50)

де функції є комбінаціями коефіцієнтів Фурьє типу (44) розвинень вектора вихору та функції . В осесиметричному випадку () рівняння (50) співпадають з системою (8), а на нескінченності () системи (50) перетворюються на класичні рівняння Коші-Рімана. Автором побудовано розв'язки систем (50) в тороїдальних областях, а також встановлено умови типу (12), за яких ці розв'язки будуть однозначними. Показано, що неоднозначність розв'язків систем (50) пов'язана з двозв'язністю розглядуваних областей - зовнішності або внутрішності тора. Доведено, що при використанні запропонованої форми загального розв'язку рівняння Ламе (42)-(43) рівняння (50) завжди мають однозначний розв'язок, тобто умови розв'язності виконуються автоматично.

В додатку А наводяться основні методи та результати стосовно розв'язання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що застосовувались автором при роботі над дисертацією.

В додатку Б проведено асимптотичне обчислення стоксової сили опору для тонкого плоского кільця, що рухається у в'язкій нестисливій рідині.

Висновки. В дисертації побудовано точний розв'язок другої основної граничної задачі теорії пружності для тора. Аналіз задачі розпочато з розв'язку осесиметричної задачі Стокса для тора - простої модельної задачі, що дозволила дослідити найбільш важливі особливості поведінки розв'язків векторних задач в тороїдальних областях. Центральне місце в розв'язку цієї задачі займає дослідження системи рівнянь типу Коші-Рімана, якій задовольняють функції вихору і тиску в рідині. Одержано точний розв'язок задачі Стокса для тора у двох випадках вибору загального розв'язку рівнянь Стокса - у вигляді функції току та у вигляді комбінації трьох гармонічних функцій. В другому випадку гранична задача звелася до розв'язання нескінченної тридіагональної лінійної алгебраїчної системи. При розв'язанні цієї системи було використано знайдений зв'язок між загальними розв'язками рівнянь Стокса вказаних видів, що дозволило побудувати розв'язок тридіагональної системи, який не містить рекурентних співвідношень. Обчислено силу опору, що діє на тор, побудовано лінії току та ізобари для випадку обтікання тора однорідним на нескінченності потоком рідини.

Використовуючи представлення вектора зміщень у вигляді комбінації гармонічних функцій, одна з яких дорівнює об'ємному розширенню, побудовано точні розв'язки задач теорії пружності про зміщення жорсткого тороїдального включення в пружному просторі вздовж та перпендикулярно до вісі симетрії тора. В обох випадках граничні задачі було зведено до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональними матрицями. В задачі про осесиметричне зміщення тридіагональна система при значенні числа Пуасона співпадає з відповідною системою в задачі Стокса для тора. Відштовхуючись від виду одержаного в задачі Стокса точного розв'язку тридіагональної системи, запропоновано метод побудови точного аналітичного розв'язку нескінченних алгебраїчних систем стрічкового виду з довільним числом діагоналей. Використовуючи цей метод, отримано точні розв'язки систем для осесиметричної та неосесиметричної задач. Обчислено сили зсуву, необхідні для зміщення тороїдального включення на задану відстань вздовж та перпендикулярно до вісі симетрії тора.

Як узагальнення одержаних результатів, побудовано точний розв'язок другої основної граничної задачі теорії пружності для тора. Загальний розв'язок рівняння Ламе вибирався у вигляді комбінації гармонічних векторної та скалярної функцій. Граничну задачу зведено до нескінченної множини тридіагональних алгебраїчних систем, коефіцієнти яких мають однотипний вид. В якості прикладу застосування отриманого загального розв'язку розглянуто задачу про напружений стан пружного простору з жорстким тороїдальним включенням під дією вертикальних зусиль, прикладених на нескінченності. Побудовано епюри нормальних та дотичних напружень на поверхні включення. На завершення розв'язку другої основної граничної задачі теорії пружності для тора проведено аналіз узагальнених систем типу Коші-Рімана, що виникають в неосесиметричному випадку. Цим системам задовольняють Фурьє-компоненти об'ємного розширення та проекцій вектора вихору. Отримано розв'язки вказаних систем, для однозначності яких мають виконуватися певні умови на коефіцієнти функцій, що входять до даних рівнянь. Доведено, що запропонований вид загального розв'язку рівняння Ламе забезпечує автоматичне виконання цих умов.

Основні положення дисертаційного дослідження знайшли своє відображення в наступних публікаціях у фахових наукових виданнях

Крохмаль П. А., Улітко А. Ф. Точний розв'язок задачі Стокса для тора // Вісник Київського ун-ту, Сер. мат. і мех. - 1998. - Вип. 2. - С. 48-55.

Крохмаль П. А. Осесиметрична задача теорії пружності в переміщеннях для тора // Вісник Київського ун-ту, Сер. фіз.-мат. науки. - 1999. - Вип. 1. - С. 30-35.

Крохмаль П. А. Дві задачі теорії пружності для простору з жорстким тороїдальним включенням // Машинознавство. - 1999. - № 3. - С. 32-38.

АНОТАЦІЇ

тороїдальний координата векторний нейман

Крохмаль П. А. Друга основна гранична задача теорії пружності для тора. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертаційна робота присвячена побудові точного розв'язку другої основної задачі теорії пружності для тора. Узагальнюючи результати попередніх досліджень, автором побудовано загальний розв'язок рівнянь теорії пружності, який дозволяє ефективно розв'язувати широкий клас граничних задач теорії пружності в координатних системах з неповним розділенням змінних. Даний підхід дозволив звести другу основну граничну задачу для тора до нескінченних систем алгебраїчних рівнянь з тридіагональними матрицями. Запропоновано загальний метод побудови точного аналітичного розв'язку нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь стрічкового типу, на базі якого отримано розв'язок знайдених тридіагональних систем. Проведено дослідження розв'язності граничних задач теорії пружності як векторних граничних задач математичної фізики в неоднозв'язних тороїдальних областях.

Ключові слова: тор, циклідні координати, точний розв'язок, задача в переміщеннях, задача Стокса, неоднозв'язні області.

Крохмаль П. А. Вторая основная краевая задача теории упругости для тора. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

Диссертационная работа посвящена построению точного решения второй основной краевой задачи теории упругости для тора. Обобщая результаты предыдущих исследований, автором построено общее решение уравнений теории упругости, позволяющее эффективно решать широкий класс краевых задач теории упругости задач в координатных системах с неполным разделением переменных. Представленный подход позволил свести вторую основную краевую задачу для тора к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Предложен общий метод построения точного аналитического решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений ленточного типа, на основании которого получено решение найденных трехдиагональных систем. Проведено исследование разрешимости краевых задач теории упругости как векторных задач математической физики в неодносвязных тороидальных областях.

Ключевые слова: тор, циклидные координаты, точное решение, задача в перемещениях, задача Стокса, неодносвязные области.

Krokhmal P. A. The Second Fundamental Boundary-Value Problem of Elasticity for a Torus. - Manuscript.

Dissertation for the Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Solids. - Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to the construction of exact solution of the second fundamental boundary-value problem of elasticity for a torus.

The structure of the dissertation is the following: introduction, five chapters, which include the bibliography review, conclusion, references and two appendixes.

In the introduction to the dissertation the author stresses out the reasons of choosing the theme for dissertation, the innovations produced, the approbation of the researcher's results (conferences, publications etc.).

The First Chapter contains the bibliography review, where a number of papers on elasticity and Stokes flow problems for a torus are discussed. By critical analysis of known publications the author accents the problems and questions that weren't resolved by his predecessors.

In the Second Chapter the general properties of the toroidal coordinate system and of the Legendre functions of semi-integer indices are considered, and the exact solutions of the basic potential problems for a torus are presented. It is shown that the Dirichlet problem for a torus has simple and trivial solution, while the Neumann problem requires solving of infinite three-diagonal linear algebraic systems, and only in axisymmetrical case the solution can be written in a closed form.

The construction of solution of the second fundamental boundary-value problem of elasticity for a torus begins in the Third Chapter with addressing to the axisymmetric Stokes flow problem for a torus as to the simplest problem of elasticity. This allows one to omit some complicated calculations and investigate the most important features of the problem as a vectorial problem of mathematical physics using the simplified model statement of a problem. One of the key points in solution of the problem is the analysis of system of equations of Cauchy-Riemann type, which is satisfied by the vorticity and the pressure in viscous fluid. The obtained solutions of this system for the exterior and interior of a torus are non-single-valued due to the double-connectedness of these regions. In order to ensure the uniqueness of solutions of the system of equations of Cauchy-Riemann type one has to impose some preassigned restrictions on values of the contained functions. This result is a generalization of the related planar potential problem known as the generalized Dirichlet problem.

The existence of such preassigned restrictions for the functions of vorticity and pressure in a fluid must be taken into account when solving the axisymmetric Stokes problem for a torus by introduction of a stream-function. In this way the original boundary-value problem is reduced to solving of an infinite set of algebraic systems of the second order, each of which contains in its right-hand members an unknown constant. This constant enters the boundary conditions for the stream-function and determines the non-simple-connectedness of the body's surface. The value of the constant must be chosen in the way that the aforementioned restrictions for pressure and vorticity functions to be satisfied. Another approach to construction of solutions of Stokes flow problems is based on representation of the velocity vector by combination of three harmonic functions, one of which is the pressure in fluid. In this case the problem may be reduced to an infinite algebraic system with a three-diagonal matrix. Using the connection between solutions of both types, an exact solution of this system was obtained. This solution is based on constructed stream-function for a torus and does not contain recursive relations. A detailed analysis of the Stokes problem for a torus is performed. The drag force is calculated, and the streamlines and izobars patterns are built. An asymptotical analysis of the drag force in the limiting cases of closed torus and slender torus is carried out.

In the Fourth Chapter the constructed solution of Stokes problem for a torus is generalized for the elastic medium instance. Two problems concerning the displacement of a rigid toroidal inclusion along and perpendicular to the symmetry axis in an elastic space are considered. When constructing the general solutions of the Lame equation in the axisymmetric and asymmetric cases, the technique by O. Tedone was used. In accordance to this method, the displacement vector is represented by combination of axisymmetric harmonic functions, where one of which is the dilatation. But the number of unknown functions exceeds the number of the boundary conditions for their determination, and as the last necessary condition the definitive equation for dilatation has to be used. By use of this approach the aforesaid axisymmetric and partial asymmetric boundary-value problems were reduced to infinite algebraic systems with three-diagonal matrices. When the Poisson number m is equal to 2, the system of the axisymmetric elastic problem is equal to the system of the Stokes flow problem for which an exact solution was obtained. As a generalization of that solution the method for solving of infinite n-diagonal systems for arbitrary n is suggested. Using this method, an exact solution for the three-diagonal system is given. For both problems the force needed to shift the inclusion on a prescribed distance is calculated, and the asymptotical analysis of the forces is performed.

The Fifth Chapter is devoted to generalization of obtained results. Exact solution of the second fundamental boundary-value problem for a torus is presented. The general solution of Lame equation is represented by combination of a harmonic vector and the dilatation. The displacement boundary-value problem is reduced to an infinite set of three-diagonal algebraic systems with uniform coefficients. As an example the problem of tension of an elastic space with toroidal inclusion by vertical loading applied at infinity is solved. The analysis of stress field in the vicinity of the inclusion is carried out. In conclusion of the investigation of the second fundamental boundary-value problem for a torus the analysis is given and the solutions are constructed for the generalized systems of equations of Cauchy-Riemann type. These equations arise when solving the asymmetric elastostatics equations. They bind the Fourier components of vorticity and dilatation. The conditions under which these equations have unique solutions, and the exact solutions are obtained. It is shown that these conditions are automatically satisfied if the suggested general solution of Lame equation is chosen.

Key words: torus, cyclide coordinates, exact solution, displacement boundary-value problem of elasticity, Stokes problem, non-simple-connected domains.

Размещено на Allbest.ur

...