Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук

ТЕРМОПРУЖНІ КОНТАКТНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ДВОШАРОВИХ СИСТЕМ З НЕСТАЦІОНАРНИМ ФРИКЦІЙНИМ ТЕПЛОУТВОРЕННЯМ

УДК 539.3

Краснюк Петро Петрович

01.02.04 механіка деформівного твердого тіла

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі механіки

Львівського державного університету імені Івана Франка.

Науковий керівник

доктор технічних наук, професор Гриліцький Дмитро Володимирович,

Львівський державний університет імені Івана Франка, кафедра механіки.

Офіційні опоненти:

доктор фізикоматематичних наук, професор

Подільчук Юрій Миколайович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ),

завідувач відділу реології;

доктор фізикоматематичних наук, доцент

Михайленко Василь Васильович,

Житомирський інженерно-технологічний інститут,

кафедра вищої математики.

Провідна установа

Одеський державний університет ім. І.І. Мечникова,

кафедра методів математичної фізики.

Захист відбудеться “16” червня 1999 року о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 252 127 , м. Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252 033, м. Київ, вул. Володимирська, 60.

Автореферат розісланий “14” травня 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

термопружність квазістатичний тіло

Актуальність теми. Забезпечення експлуатаційної міцності співдотичних тіл, надійності їх роботи у високошвидкісних і тяжконавантажених вузлах транспортних, дорожньобудівельних, підйомних та бурових машин, станочного і прокатного обладнання можливі лише при достатньо повній інформації про розподіл напружень у місцях дотику деталей, температурні і кінематичні характеристики взаємодії. Особливо гостро при проектуванні та розрахунку вузлів машин і механізмів стоїть питання врахування між елементами трибоз'єднань супроводжуючого тертя фрикційного теплоутворення і зношування. Так, фрикційне теплоутворення є одним із чинників, які посилюють спрацьованість деталей в умовах навантаженого контакту, бо висока температура спричиняє заїдання на локальному контакті робочих поверхонь тіл, що труться.

Оскільки у вузлах сухого тертя зношування, теплоутворення та термопружне деформування є складними, взаємозв'язаними процесами, то їх аналітичне дослідження є комплексною проблемою, що складається із самостійних задач, до яких, поряд з аналізом і дослідженням виділення і розсіювання тепла на фрикційному контакті, входять задачі контактної взаємодії елементів пари тертя.

Постановка і побудова розв'язків таких задач є важливою та актуальною проблемою на сучасному етапі розвитку механіки контактної взаємодії і трибології, оскільки дозволяє визначити розміри та розташування зон фактичного контакту, закономірності розподілу контактного тиску та полів температури в тілах, вивчити кінематику зміни властивостей матеріалів тіл, що труться, та виробити рекомендації для оптимального розрахунку вузлів тертя на фрикційну теплостійкість.

Метою дисертаційної роботи є

постановка задач термопружної контактної взаємодії систем двох плоскопаралельних шарів і двох коаксіальних круглих порожнистих циліндрів, які знаходяться під дією навантаження та фрикційного теплоутворення, що змінюється з часом;

створення аналітикочислових методик побудови розв'язків просторово одно та двовимірних задач термопружності з нестаціонарним теплоутворенням для двошарових трибосистем;

вивчення впливу заданих теплофізичних, механічних та геометричних характеристик тіл, характеру розподілу прикладеного до трибосистем навантаження на контактну конфігурацію і основні шукані характеристики.

Наукова новизна. Основні результати роботи стосуються квазістатичних термопружних задач контактної взаємодії двох плоскопаралельних шарів і двох коаксіальних круглих порожнистих циліндрів при їх взаємному нестаціонарному нагріванні від тертя. Наукова новизна міститься у постановках задач, у методах розв'язування, в отриманих результатах.

У роботі:

розв'язано одновимірні контактні задачі термопружності для двошарових систем тіл, до яких прикладено періодично змінюване з часом навантаження і досліджено вплив коливного характеру теплоутворення на контактний тиск та поля температур і теплових потоків;

розроблено методику побудови розв'язку просторово одно- та двовимірних задач термопружності для двошарових трибосистем з нестаціонарним теплоутворенням, що дозволяє розв'язати задачі при довільних законах зміни з часом навантаження та відносної швидкості руху, коли можна знехтувати динамічним ефектом;

на основі цієї методики побудовано розв'язки одно та двовимірних квазістатичних контактних задач і вивчено основні закономірності розподілу вздовж координатних осей та зміни з часом температури, теплових потоків, термопружних напружень і переміщень елементів пари тертя;

вивчено умови, за яких навантаження, прикладене до трибосистеми, викликає відставання одного з елементів пари тертя від поверхні іншого та досліджено вплив на цей процес теплоутворення;

досліджено квазістатичну контактну взаємодію тіл неузгодженої форми (ненавантажений контакт має місце по обмеженій поверхні або по лінії), якщо для побудови розв'язків змішаних задач застосовна теорія Герца;

розв'язано квазістатичну задачу термопружності про тиск жорсткого теплоізольованого штампу на поверхню шару, защемленого по основі, та досліджено ефект відставання основи штампу від поверхні шару під дією нестаціонарного теплоутворення.

Практична цінність. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної теми кафедри механіки Львівського державного університету імені Івана Франка “Асимптотичні та числові методи дослідження термопружного стану вузлів тертя” (№ державної реєстрації 0196V023010) та теми Міністерства України у справах науки і технології “Дослідження термопружної нестійкості в рухомих трибосистемах” (№ договору Ф4/1728-97).

Отримані в дисертації результати можуть знайти застосування при розрахунках рухомих з'єднань в машинах і механізмах, зокрема, для вироблення рекомендацій по запобіганню заїданню і задиру у фрикційних вузлах, а розроблені аналітикочислові методики придатні для дослідження інших задач математичної фізики.

Достовірність отриманих результатів забезпечується: строгістю постановки відповідних початковокрайових задач нестаціонарної теплопровідності і крайових задач квазістатичної термопружності та чітким і послідовним застосуванням аналітичних і числових математичних методів їх розв'язування; збігом результатів для деяких частинних і граничних випадків з відомими в літературі розв'язками; узгодженням між собою результатів, отриманих в окремих розділах роботи; підтвердженням теоретичних положень результатами числових експериментів; використанням апробованих пакетів програм.

Особистий внесок здобувача. Автор роботи виконав усі математичні викладки, здійснив вибір числових схем, створив пакети обчислювальних програм та провів числовий аналіз усіх наведених в дисертації задач. Постановка задач термопружності про усталені коливання двошарових трибосистем та квазістатичних задач контактної взаємодії циліндричних тіл здійснена науковим керівником, проф. Гриліцьким Д.В., а постановка і дослідження квазістатичної контактної взаємодії шаруватих тіл проведено автором цілком самостійно.

Апробація роботи. Окремі положення досліджень за темою дисертації доповідались на наукових конференціях професорськовикладацького складу Львівського державного університету імені Івана Франка (1994-1998 р.р.), на IV міжнародній науковій конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995 р.), науковотехнічній конференції “Зносостійкість та надійність машин” (Хмельницький, 1997 р.), міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С. Підстригача (Львів, 1998 р.).

У цілому дисертаційна робота обговорювалась на науковому семінарі кафедри механіки Львівського державного університету імені Івана Франка (1998 р.), науковому семінарі “Проблеми механіки крихкого руйнування” Фізикомеханічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (1998 р.), науковому семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського університету імені Тараса Шевченка (1999 р.), науковому семінарі кафедри методів математичної фізики Одеського державного університету ім. І.І. Мечникова (1999 р.).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 статей у рецензованих наукових журналах і тези двох наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел (144 найменування, які викладені на 13 сторінках) та додатку. Загальний обсяг становить 296 сторінок машинописного тексту, в тому числі 109 рисунків. Додаток в загальному обсязі займає 119 сторінок, де, зокрема, подається 102 рисунки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступній частині обгрунтовано важливість і актуальність вибраного напрямку досліджень; проаналізовано сучасний стан робіт з механіки контактної взаємодії із урахуванням теплоутворення та контактних задач для шаруватих і циліндричних тіл; подано коротку характеристику роботи і стисло викладено основні положення, які виносяться на захист.

У першому розділі наведено фізичну картину контактної взаємодії двох плоскопаралельних шарів і двох коаксіальних круглих порожнистих циліндрів та подано математичну постановку і побудовано замкнені розв'язки відповідних динамічних контактних задач термопружності для випадку періодичної зміни з часом обтискуючого навантаження.

Оскільки взаємодія тіл досліджується у моменти часу, коли вплив початкових умов стає практично незначним і розподіл температури в тілах головним чином визначається граничними умовами, то тут розглядаються граничні задачі теплопровідності і відповідні їм задачі термопружності без початкових умов.

Так, у підрозділі 1.1 розглядається пакет з двох плоскопаралельних шарів (рис. 1), нижня площина якого жорстко защемлена, а до верхньої площини прокладено притискне навантаження , а також враховано вагу шарів.

Припускається, що верхній шар товщиною у напрямку осі рухається по поверхні нижнього шару, який має товщину , з постійною малою швидкістю . За рахунок дії сил тертя в площині контакту шарів відбувається теплоутворення, а між зовнішніми площинами шарів і навколишнім середовищем нульової температури відбувається теплообмін за законом Ньютона. Тепловий контакт між тілами неідеальний.

Оскільки при даній постановці задачі шукані характеристики (температура , вертикальні переміщення і нормальні напруження (j = 1, 2)) будуть функціями координати і часу , то задача зводиться до інтегрування рівнянь теплопровідності

, (1)

та термопружності з урахуванням сили ваги

, (2)

при граничних і контактних умовах

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(j = 1, 2). (8)

Тут - контактний тиск без власної ваги шарів, - частота коливань навантаження, - прискорення вільного падіння, - термічна провідність площини контакту,  - густина, - модуль Юнга, , , , , , - відповідно коефіцієнти тертя, Пуассона, лінійного теплового розширення, теплопровідності і температуропроводності, - швидкість поширення поздовжніх хвиль. Значення j = 1 відповідає нижньому шару, j = 2 - верхньому.

У підрозділі 1.2 розглядається двошаровий круглий порожнистий циліндр, на внутрішній (радіусом ) і зовнішній (радіусом ) поверхнях якого (рис. 2), задаються радіальні переміщення

,

або радіальні напруження

,

або ж на одній бічній поверхні задаються радіальні переміщення, а на іншій - радіальні напруження.

Припускається, що кожний із циліндрів, які входять у двошарову систему, обертається зі своєю постійною кутовою швидкістю . За рахунок дії сил тертя на поверхні контакту циліндрів радіуса відбувається теплоутворення, тепловий контакт тіл неідеальний, а між зовнішніми поверхнями циліндрів і навколишнім середовищем нульової температури відбувається теплообмін за законом Ньютона.

Оскільки зроблені припущення реалізують у системі полярносиметричну плоску деформацію, то температура , переміщення і напруження (j = 1, 2), є функціями радіальної координати і часу , і, як наслідок, задача математично зводиться до інтегрування рівнянь теплопровідності

, (9)

та термопружності з урахуванням відцентрових сил інерції

, (10)

при граничних і контактних умовах

або , (11)

або , (12)

, (13)

, (14)

, (15)

де . Знак “мінус” у співвідношенні для відносної кутової швидкості обертання відповідає обертанню складових двошарового циліндра в одну сторону, знак “плюс” - у різні.

У формулах (9) - (15): - контактний тиск, ,  - частоти коливань навантажень або переміщень. Значення j = 1 відповідає внутрішньому циліндру, j = 2 - зовнішньому.

Лінійність вихідних систем диференціальних рівнянь, граничних і контактних умов дозволяють подати шукані розв'язки задач у вигляді сум виду (як приклад, подається вираз для температури)

,…

(для системи плоскопаралельних шарів) та

,…

(для системи коаксіальних круглих порожнистих циліндрів), де перші доданки визначають розв'язки відповідних стаціонарних задач теплопровідності і статичних задач термопружності, а другі, як розв'язки систем диференціальних рівнянь типу Гельмгольца з комплексним коефіцієнтом, подаються через комплексні функції дійсного аргументу.

Як наслідок, розв'язки вихідних задач (1) - (8) і (9) - (15) представляються так

,…

,…

де ,  - модулі і аргументи (амплітуда і початкова фаза коливань) відповідних компонент.

Аналіз одержаних замкнених розв'язків показує, що:

коливання теплоутворення, викликане зміною контактного тиску, викликають коливання теплового потоку, амплітуда яких затухає з віддаленням від поверхні контакту зі збільшенням частоти коливань навантаження;

зі збільшенням частоти зміни теплоутворення коливання температури відстають за фазою від коливань теплового потоку;

теплоутворення викликає зсув фаз між зміною напружень і переміщень, який затухає зі зменшенням частоти коливань навантаження;

розглянуті тут трибосистеми мають сукупність власних (резонансних) частот механічних коливань, на які теплоутворення не впливає.

Крім того, при стаціонарній контактній взаємодії двох порожнистих циліндрів існують критичні значення відносної кутової швидкості обертання, при яких контактний тиск стаціонарної задачі необмежено зростає.

Одержані результати узгоджуються з властивостями періодичних функцій температури і теплового потоку в усталеному режимі Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964. - 488 с. і, як наслідок, коливний характер фрикційного теплоутворення є причиною поширення теплових хвиль1.

У другому розділі дисертації досліджено одновимірні контактні задачі термопружності для трибосистем, які знаходяться під дією нестаціонарного фрикційного теплоутворення, обумовленого повільною зміною з часом навантаження та відносної швидкості руху.

Оскільки динамічними ефектами, які можуть виникнути при дії навантаження, нехтуємо, то поведінка трибосистем досліджується у квазістатичній постановці, де розглядаються початково-крайові задачі нестаціонарної теплопровідності та відповідні крайові задачі квазістатичної термопружності.

Так, контактна задача для двошарової системи (підрозділ 2.1, рис. 1), де другий шар, до верхньої площини якого прикладено притискне навантаження , рухається по поверхні нижнього зі змінною в часі малою швидкістю , зводиться до інтегрування рівнянь теплопровідності (1) та термопружності (2) (коли знехтувано членом ), при початковій

, (16)

, (j=1, 2),

граничних і контактних умовах (3) - (7), де контактний тиск без власної ваги шарів співпадає з функцією розподілу навантаження .

За допомогою скінченого інтегрального перетворення Фур'є та теореми Дюамеля побудовано інтегральні зображення для температури кожного шару через функції , які пропорційні тепловим потокам на поверхні контакту, що дозволило звести поставлену задачу до системи двох рівнянь, одне з яких функціональне

, (17)

а друге - інтегральне рівняння типу Вольтерра

 (18)

Тут  - ядро інтегрального зображення температури, а існування функцій обумовлюється ненульовими початковими умовами (16). Ці функції є відомими, і представляються рядами по власних значеннях задачі Штурма-Ліувілля, побудованої для кожного із взаємодіючих тіл.

Запропоновано числовий алгоритм розв'язку цієї системи, який грунтується на використанні квадратурних формул для розрахунку інтегралів виду

які одержано на основі заміни похідної регуляризованою скінченою різницею, та інтегралу -скінченою сумою за квадратурною формулою трапеції. Обгрунтовано коректність розв'язку задачі за цим алгоритмом та показано, що відносна похибка обчислень не перевищує 1% при виборі рівномірного розбиття по часу з кроком 1 с. У часткових випадках одержано замкнені розв'язки задачі.

Розвиваючи запропонований підхід, у підрозділі 2.2 з використанням скінченого інтегрального перетворення Ханкеля одержано систему двох інтегральних рівнянь типу Вольтерра задачі контактної взаємодії двох кільцевих пластин (рис. 3), температурні поля в яких описуються диференціальним рівнянням теплопровідності тонких пластин2² Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинах. - К.: Наук. думка, 1972. - 308 с.

. (19)

Так, розглядається трибосистема, що складається із двох круглих кільцевих пластин постійної товщини, основи яких вільні від навантаження, а бічні поверхні, як і у двошарового циліндра, знаходяться під дією радіальних переміщень або напружень, що змінюються з часом. При цьому припускається, що неоднорідна пластина під дією навантаження не втрачає стійкості.

Оскільки при зроблених припущеннях у неоднорідній пластині реалізується полярносиметричний узагальнений плоский напружений стан, то задача математично зводиться до інтегрування рівнянь теплопровідності (19) та термопружності з урахуванням відцентрових сил інерції

, (20)

при початкових

(21)

,

,

граничних і контактних умовах (11)-(15),

(j = 1, 2),

 - модифіковані функції Бесселя першого і другого роду порядку , а верхній знак у знакосполученнях “”, “” відповідає першому тілу, нижній - другому. Зауважимо, що формальною заміною з розв'язку задачі для неоднорідної пластини можна одержати розв'язок задачі для двошарового циліндра.

Показано, що систему інтегральних рівнянь

(22)

(23)

(тут для прикладу вибрано випадок, коли поверхні навантажені, де відомі функції , і є рядами по власних значеннях задачі Штурма-Ліувілля, розглянутої для кожної пластини) відносно функцій , пропорційних тепловим потокам на поверхні взаємодії, також можна одержати і за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Розв'язок цієї системи інтегральних рівнянь одержано із використанням числового алгоритму, описаного у попередньому підрозділі.

Одним із узагальнень розглянутих у другому розділі задач є припущення про те, що навантаження, яке обтискає трибосистеми, крім того, що залежить від часу, також змінюється вздовж осі, яка є перпендикулярною до напрямку руху однієї із складових трибосистеми по поверхні іншої. Внаслідок цього розглянуті задачі стають просторово двовимірними, а їх розв'язки будуються у межах двовимірної задачі термопружності (для системи двох плоскопаралельних шарів) та термопружної осесиметричної задачі.

Математично задача контактної взаємодії двох плоскопаралельних шарів (підрозділ 3.1, рис. 1) зводиться до інтегрування рівнянь теплопровідності

, (24)

та системи диференціальних рівнянь термопружності

(25)

при нульових початкових; граничних і контактних умовах

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Крім того, у кожен момент часу мають виконуватися умови рівноваги другого шару

 (31)

- рівність нулю головного вектору та головного моменту всіх зовнішніх зусиль, прикладених до тіла, а при умові виходу трибосистеми на усталений режим - умови теплового балансу для кожної із складових3³ Гриліцький Д.В. Система сингулярних інтегральних рівнянь для плоскої задачі термопружності при стаціонарному тепловиділенні на площадці контакту // Вісн. Львів. унів. Сер. мех.-мат. - 1984. - Вип. 22. - С. 29-34.

(j = 1, 2). (32)

У формулах (24)-(30)  - оператор Лапласа у декартовій системі координат двовимірний випадок),  - компоненти вектора переміщення,  - компоненти тензора напружень.

Дослідження контактної взаємодії системи двох порожнистих круглих циліндрів (підрозділ 3.2, рис. 2) здійснюється на основі розв'язків системи, що включає диференціальні рівняння теплопровідності

(33)

рівноваги, сумісності деформацій та співвідношення закону Гука, при нульових початкових, граничних і контактних умовах

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

Тут  - радіальне і дотичне напруження,  - радіальне переміщення.

Застосувавши до розглядуваних задач інтегральне перетворення Фур'є по координаті, вздовж якої змінюється навантаження (в припущенні, що поведінка останнього на нескінченності така, що допускає цю можливість) та скориставшись при побудові розв'язку задач у трансформантах запропонованим у другому розділі підходом, зведено поставлені задачі до систем інтегральних рівнянь типу Вольтерра відносно трансформант Фур'є від функцій, пропорційних тепловим потокам на поверхні взаємодії

(39)

(40)

де для прикладу вибрано систему рівнянь задачі контактної взаємодії двох циліндрів. Риска над функцією позначає трансформанту, а функції , , , і є відомими.

Для розв'язку цих систем інтегральних рівнянь запропоновано числовий алгоритм, який враховує особливості поведінки ядер інтегральних рівнянь та особливості числового обернення перетворення Фур'є. Зокрема, оскільки вибір значень параметру інтегрального перетворення залежить тільки від вибору числового методу обернення, то при кожному фіксованому значенні розв'язок систем шукаємо за числовою схемою другого розділу. При цьому відносна похибка обчислень не перевищувала 1%. В якості числового методу обернення використовувався метод Філона.

Для розглянутих у другому та третьому розділах трибосистем проведено детальний числовий аналіз впливу вхідних параметрів, а також характеру теплоутворення на поведінку полів температури, теплових потоків, термопружних напружень і переміщень. Однак, основним результатом цих розділів є висновок про те, що умова існування стаціонарних значень навантаження і швидкості руху не є достатньою для того, щоб контактні напруження з часом прямували до певного значення. Але, якщо виконується умова, що стаціонарне значення кутової швидкості обертання є меншим за критичне (значення швидкості, при якій має сенс формула для контактного тиску), то контактні напруження монотонно виходять на відповідне стаціонарне значення, а характер їх зміни визначається вибором залежностей зміни з часом навантаження і швидкості руху. Крім того, аналіз двовимірних задач дозволяє стверджувати, що локалізоване на певній ділянці навантаження може бути причиною утворення зон відриву, які зі збільшенням інтенсивності теплоутворення зростають. Як наслідок, на поверхні контакту можемо виділити зони навантаженого контакту, зони відриву та ненавантаженого контакту, а однозв'язність області прикладання навантаження у випадку неоднорідного циліндра не забезпечує однозв'язність області навантаженого контакту. Тому, щоб одержати реальний розподіл контактного тиску потрібно розглядати задачі у зміненій (змішаній) постановці. Дослідженню контактних задач з відривом і присвячено четвертий і п'ятий розділи.

У підрозділі 4.1 розглянуто квазістатичну контактну задачу про переміщення жорсткого теплоізольованого штампу по поверхні пружного шару, який защемлений по основі (рис. 4).

У математичному плані задача зводиться до інтегрування рівнянь теплопровідності (24) та системи диференціальних рівнянь термопружності (25) (індекс j опустимо), при нульовій початковій; граничних і контактних умовах

(41)

(42)

(43)

Крім того, у кожен момент часу мають виконуватися умови рівноваги

(44)

а при виході на усталений режим умови теплового балансу виду (32) для температури шару.

Тут  - осадка штампу,  - кут повороту штампу відносно осі ,  - функція, що визначає форму основи штампу в області контакту.

У роботі показано, що в припущенні теплоізоляції поверхні шару поза ділянкою взаємодії, поставлена задача зводиться до інтегрального рівняння (записаного у безрозмірних величинах (позначених *), де  - критерій Фур'є, - безрозмірний параметр, що визначає інтенсивність теплоутворення)

 (45)

відносно безрозмірного контактного тиску . Разом з обезрозміреними умовами рівноваги (44) та умовами обмеженості контактних напружень (при змінній ділянці взаємодії) , одержано повну систему рівнянь поставленої задачі.

Запропоновано числовий алгоритм побудови розв'язку такого класу інтегральних рівнянь (зі змінними межами інтегрування), що спирається на результати попередніх розділів (при дискретизації по часу) та представлення контактного тиску інтерполяційними поліномами Лагранжа по поліномах Чебишева при розв'язуванні просторової задачі. Числові експерименти показали високу ефективність запропонованого підходу, при якому відносна похибка обчислень не перевищувала 5%. Зауважимо, що можна одержати меншу похибку за рахунок подрібнення кроку розбиття по часу, однак у цьому випадку невиправдано зростає кількість обчислень.

Аналіз одержаних результатів показує, що:

при чисто силовій взаємодії, для довільного значення півширини плоскої основи штампу, контактний тиск має кореневу особливість, а осадка штампу є додатною величиною (штамп втиснуто у шар);

в термопружній задачі, при фіксованому значенні півширини основи штампу, збільшення інтенсивності теплоутворення викликає зменшення осадки, причому настає такий момент, що рівновага штампу має місце при від'ємних значеннях осадки;

контактний тиск зберігає кореневу особливість (з меншим, ніж при пружній взаємодії, коефіцієнтом при сингулярності) тільки при умові, що півширина ділянки контакту є меншою за ;

якщо півширина основи штампу є більшою за , то взаємодія штампу і основи має місце по ділянці , тобто спостерігається відрив штампу від основи на краях ділянки контакту;

співпадає з критичною півшириною ділянки контакту , яку можна отримати, притиснувши штамп з параболічною основою (змінний контакт) безмежною силою.

Підрозділ 4.2 присвячено дослідженню контактної задачі про переміщення пружного шару по поверхні жорсткої теплонепроникної основи, до якої тіло притискається нормально до площини контакту. Ілюстрацією до цієї задачі може служити рис. 1, де перший шар розглядається як абсолютно жорстка основа. При цьому припускається, що шар, який знаходиться початково у повному контакті з основою, може відставати від неї під дією навантаження.

Припустивши, що при однозв'язній області прикладання навантаження будемо мати одну область контакту і, знехтувавши тепловіддачею з поверхні поза ділянкою контакту, зведено задачу до побудови розв'язків систем диференціальних рівнянь теплопровідності (24) та термопружності (25) (індекс j опущено) при нульовій початковій, граничних та контактних умовах

(46)

(47)

де за умови симетрії відносно осі прикладеного навантаження.

Крім того, у кожен момент часу виконуються умови рівноваги (31) і обмеженості контактних напружень (), а при виході на усталений режим - умови теплового балансу (32).

Поставлену задачу було зведено до інтегрального рівняння, структура якого аналогічна до (45), однак тут права частина залежить від виду прикладеного навантаження. Його розв'язок побудовано на основі числового алгоритму, що використовує схему, наведену у попередньому підрозділі і теорії узагальнених функцій для регуляризації ядер.

За результатами числового аналізу можемо стверджувати, що:

збільшення інтенсивності теплоутворення веде до зменшення ділянки контакту, однак збільшує максимальне значення контактного тиску і дещо змінює його розподіл по відношенню до пружної задачі;

за умови, що швидкість руху є меншою за критичну, контактні напруження монотонно виходять на відповідне стаціонарне значення, а характер їх зміни визначається залежністю зміни з часом навантаження і швидкості руху: якщо змінюється з часом навантаження, то контактні напруження пропорційно зростають при сталій ділянці контакту, а якщо змінюється швидкість руху, то спостерігається монотонне зменшення ділянки взаємодії.

У цьому ж підрозділі на основі методів, використаних при дослідженні задачі з відривом, розглянуто контакту взаємодію пружного тіла з жорсткою основою (відповідні результати наведено у підрозділі А.4.2 додатку А), коли початковий контакт відбувається по обмеженій поверхні або по лінії, якщо тіло можна моделювати плоскопаралельним шаром згідно з теорією Герца.

У підрозділі 5.1 розглянуто контакт двох циліндрів при нерівномірному навантаженні бічної поверхні в уточненій (змішаній) постановці. Оскільки на поверхні контакту можна виділити зони навантаженого контакту, зони відриву та ненавантаженого контакту, то в кожній з цих зон задаються свої теплофізичні умови, зокрема при :

у зоні навантаженого контакту мають виконуватися умови теплоутворення (36) та неідеального теплового контакту (37);

у зоні ненавантаженого контакту - умови неідеального теплового контакту з відмінним коефіцієнтом термічної провідності

; (48)

у зоні відриву, залежно від вибраної моделі, або умови теплоізоляції поверхонь тіл, або умови неідеального теплового контакту через проміжний шар виду (48) з відмінним коефіцієнтом термічної провідності.

Щодо механічних умов на поверхні , то у зоні навантаженого контакту покладається рівність радіальних напружень і переміщень та відсутність дотичних напружень, а у зонах відриву та ненавантаженого контакту - умови відсутності радіальних та дотичних напружень.

Скориставшись результатами підрозділу 3.2 задачу зводимо до системи інтегральних рівнянь, заданих у кожній із зон, межі між якими наперед невідомі, а визначаються в процесі побудови розв'язку. Для цього використовується зображення по осьовій координаті у кожен момент часу контактного тиску і функцій, пропорційних тепловому потоку на поверхні контакту відрізками ряду по поліномах Лагерра виду

,

а також методи поточкової колокації і послідовного уточнення контактних умов. Тобто спочатку розв'язується система інтегральних рівнянь задачі в початковій постановці, визначаються точки, де контактний тиск змінює знак і надалі тут уточнюються контактні умови. Ця процедура продовжується доти, поки контактний тиск змінює знак.

Аналізуючи одержані результати можна стверджувати, що залежно від відношення коефіцієнтів лінійного теплового розширення циліндрів можливі три механізми взаємодії:

якщо є значно меншим за , то при однозв'язній області прикладання навантаження контакт циліндрів має місце по обмеженій, однозв'язній області;

якщо несуттєво відрізняється від , то область навантаженого контакту є багатозв'язною;

якщо , то має місце суцільний контакт між циліндрами.

У підрозділі 5.2 досліджено задачу контактної взаємодії довгого пружного бандажа і вставленого в нього круглого порожнистого циліндра, якщо початковий контакт відбувається по поверхні кільця (фіксована ділянка взаємодії ; кінематична умова контакту ) або по колу (ділянка контакту невідома; кінематична умова контакту

,

де - функція прозору), і якщо переміщення контактної поверхні бандажа з достатньою точністю можна апроксимувати переміщеннями від цих же чинників поверхні пружного циліндра.

На основі результатів підрозділу 3.2 поставлена задача була зведена до систем інтегральних рівнянь, структура яких визначається виглядом теплофізичних контактних умов. Зокрема, при ідеальному тепловому контакті одержано систему відносно теплових потоків та температури на ділянці взаємодії, а при неідеальному тепловому контакті - відносно контактного тиску та температур поверхонь взаємодіючих тіл. При побудові розв'язку цих систем інтегральних рівнянь використана числова схема наведена у підрозділі 4.1.

Основним результатом тут є висновок про суттєвий вплив на розподіл контактного тиску зміни навантаження вздовж осі трибосистеми.

У висновках сформульовано основні результати дослідження, а додаток А містить детальний числовий аналіз кожної із задач дисертаційної роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Одержано аналiтичний розв'язок одновимiрних динамiчних контактних задач термопружностi без початкових умов для двошарових систем тiл, до яких прикладено перiодично змiнне з часом навантаження, i дослiджено вплив коливного характеру фрикцiйного теплоутворення на контактний тиск i поля температур та теплових потокiв. Показано, що коливання теплоутворення є причиною поширення теплових хвиль.

Розроблено методику побудови розв'язку проcторово одно- і двовимірних задач термопружності для двошарових трибосистем з нестаціонарним теплоутворенням, що дозволяє розв'язати задачі при довільних законах зміни з часом навантаження і відносної швидкості руху, коли можна знехтувати динамічними ефектами.

На основі цієї методики побудовано розв'язки одно- і двовимірні квазістатичних контактних задач для трибосистем двох плоскопаралельних шарів і двох коаксіальних круглих порожнистих циліндрів і досліджено основні закономірності розподілу вздовж координатних осей і зміни з часом температури, теплових потоків, термопружних напружень і переміщень елементів пар тертя. Зокрема, у випадку двовимірних задач показано, що локалізоване на певній ділянці навантаження є причиною утворення зон відриву, які зі збільшенням інтенсивності теплоутворення зростають. Як наслідок, на поверхні контакту можна виділити зони навантаженого контакту, зони відриву та ненавантаженого контакту, і для того, щоб одержати реальний розподіл контактного тиску, потрібно розглядати задачі у зміненій (змішаній) постановці. Тому далі:

Розв'язано контактну задачу про переміщення пружного шару по поверхні жорсткої теплонепроникної основи, від якої притиснуте нормально до площини контакту тіло може відставати під дією навантаження. У припущенні однозв'язності області прикладання навантаження, задача зведена до інтегрального рівняння відносно контактного тиску, на основі числового розв'язку якого показано, що збільшення інтенсивності теплоутворення веде до зменшення ділянки контакту, де зміна з часом останньої визначається вибором залежності зміни навантаження і швидкості руху: якщо від часу залежить навантаження, то область контакту не змінюється, а якщо змінюється швидкість руху, то спостерігається монотонне зменшення ділянки взаємодії.

Поставлена і розв'язана контактна задача взаємодії двох циліндрів при нерівномірному навантаженні бічних поверхонь у зміненій (змішаній) постановці. Для побудови розв'язку систем інтегральних рівнянь, заданих у кожній із зон відриву, навантаженого і ненавантаженого контакту, границі між якими спочатку невідомі, використовується представлення по осьовій координаті у кожен момент часу контактного тиску і функцій, пропорційних тепловим потокам на поверхні взаємодії, відрізками ряду по поліномах Лагерра, а також методи поточкової колокації та послідовного уточнення контактних умов. Показано, що залежно від відношення коефіцієнтів лінійного теплового розширення циліндрів можливі три механізми взаємодії: якщо є значно меншим за , то при однозв'язній області прикладання навантаження контакт циліндрів має місце по обмеженій, однозв'язній області; якщо несуттєво відрізняється від , то область навантаженого контакту є багатозв'язною, і якщо , то має місце суцільний контакт між циліндрами.

Досліджено квазістатичну контактну взаємодію тіл неузгодженої форми (ненавантажений контакт має місце по обмеженій поверхні або по лінії), якщо переміщення контактної поверхні взаємодіючих тіл можемо з достатньою точністю апроксимувати переміщеннями від цих же чинників контактної поверхні плоскопаралельного шару (коли розглядається взаємодія пружного тіла і жорсткої теплоізольованої основи) чи поверхні круглого порожнистого циліндра (якщо розглядається контакт пружного бандажа і циліндра). На основі одержаних результатів зроблено висновок про суттєвий вплив характеру розподілу обтискуючого навантаження на розподіл контактного тиску навіть у тому випадку, коли застосовна теорія Герца.

Розв'язано квазістатичну задачу термопружності про тиск жорсткого теплоізольованого штампу на поверхню шару, защемленого по основі, і досліджено ефект відставання основи штампу від поверхні шару під дією теплоутворення. Розглянуто контактні задачі для штампу з плоскою і параболічною основами та півциліндричного штампу. Показано, що взаємодія штампу з поверхнею шару можлива по всій ширині плоскої основи тільки за умови, що півширина основи є меншою за критичне значення (значення півширини ділянки контакту, яке можна одержати, притиснувши штамп з параболічною основою (змінний контакт) безмежною силою), яке залежить від інтенсивності теплоутворення.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА МАТЕРІАЛАМИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Гриліцький Д.В., Краснюк П.П. Квазістатична контактна взаємодія двох кільцевих пластин з теплоутворенням від тертя // Доповіді НАН України. 1995. № 11. С. 41-45.

Гриліцький Д.В., Краснюк П.П. Квазістатична контактна задача термопружності для двох циліндрів з врахуванням фрикційного нагрівання // Тези доповідей IV міжнародної конференції з механіки неоднорідних структур. Тернопіль. 1995. С. 28.

Грилицкий Д.В., Краснюк П.П. Установившиеся радиальные термоупругие колебания системы двух полых круговых цилиндров с теплообразованием от трения // Прикладная механика. 1996. Т. 32, № 4. С. 26-33.

Грилицкий Д.В., Краснюк П.П. Стационарный термоупругий контакт двух цилиндров с фрикционным теплообразованием // Трение и износ. 1996. Т. 17, № 3. С. 312-319.

Грилицкий Д.В., Краснюк П.П. Термоупругий контакт двух цилиндров с нестационарным фрикционным теплообразованием // Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т. 38, № 3. С. 112-121.

Гриліцький Д.В., Краснюк П.П. Пружний контакт двох циліндрів // Фізикохімічна механіка матеріалів. 1997. Т. 33, № 3. С. 31-38.

Грилицкий Д.В., Краснюк П.П. Установившиеся вертикальные термоупругие колебания системы двух плоскопараллельных слоёв с теплообразованием от трения // Инженернофизический журнал. 1997. Т. 70, № 4. С. 695-698.

Краснюк П.П. Квазістатична контактна задача термопружності для системи двох плоскопаралельних шарів // Проблеми трибології. 1997. № 4. С. 150-159.

Краснюк П.П. Термопружна контактна задача для шару, що переміщується по поверхні жорсткої основи // Матеріали міжнародної наукової конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” присвяченої 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С. Підстригача. Львів. 1998. С. 132.

Краснюк П.П. Квазістатична контактна взаємодія двох шарів із фрикційним теплоутворенням // Фізикохімічна механіка матеріалів. 1999. Т. 35, № 2. С. 33-43.

АНОТАЦІЯ

Краснюк П.П. Термопружні контактні задачі для двошарових систем з нестаціонарним фрикційним теплоутворенням. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук за спеціальністю 01.02.04 механіка деформівного твердого тіла. Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертацію присвячено вивченню термопружної контактної взаємодії тіл, які знаходяться під дією навантаження та фрикційного теплоутворення, що змінюється з часом. Стосовно трибосистем двох плоскопаралельних шарів і двох коаксіальних круглих порожнистих циліндрів зроблено постановки та побудовано розв'язки низки нових термопружних просторово одно- і двовимірних квазістатичних задач термопружності з нестаціонарним теплоутворенням. Для такого класу задач створено і обгрунтовано аналітико-числову методику побудови розв'язку, високу ефективність якої підтверджено числовими експериментами. Досліджено вплив заданих теплофізичних, механічних та геометричних характеристик тіл, характеру прикладеного до трибосистем навантаження на контактну конфігурацію і основні шукані характеристики та проаналізовано ефекти, обумовлені нестаціонарним теплоутворенням від тертя при контактній взаємодії жорсткого штампу і шару, бандажу і циліндра.

Ключові слова: контактна взаємодія, трибосистема, тертя, термопружність, нестаціонарне теплоутворення, шар, циліндр, штамп, бандаж.

АННОТАЦИЯ

Краснюк П.П. Термоупругие контактные задачи для двухслойных систем с нестационарным фрикционным теплообразованием. Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.02.04 механика деформируемого твёрдого тела. Киевский университет имени Тараса Шевченка, Киев, 1999.

Целью диссертационной работы является изучение термоупругого контактного взаимодействия тел, находящихся под действием нагрузки и фрикционного теплообразования, зависящих от времени. В качестве объектов исследования выбираются трибосистемы, состоящие из двух плоскопараллельных слоёв и двух коаксиальных круглых пустотелых цилиндров, для которых сделаны постановки новых пространственно одно- и двумерных квазистатических задач термоупругости с нестационарным теплообразованием. Согласно общей методики выполнения исследований, начально-краевые задачи нестационарной теплопроводности и краевые квазистатические задачи термоупругости, составляющие математическую постановку задач, приведены к системам интегральных уравнений типа Вольтера и Вольтера-Фредгольма относительно контактного давления и тепловых потоков на поверхности контакта, решение которых получены численным способом.

Основными результатами, полученными в диссертации, являются:

Аналитическое решение одномерных динамических контактных задач термоупругости без начальных условий для двухслойных систем тел, к которым приложено периодически изменяемая со временем нагрузка, и исследование влияния колебательного характера теплообразования на контактное давление и поля температур и тепловых потоков. Показано, что колебания теплообразования вызывают распространение тепловых волн.

Разработка методики построения решения пространственно одномерных и двухмерных задач термоупругости для двухслойных трибосистем с нестационарным теплообразованием, позволяющая решить задачи при произвольных законах изменения со временем нагрузки и относительной скорости движения, когда можно пренебречь динамическими эффектами.

Построение, на основании этой методики, решений одно- и двумерных квазистатических контактных задач для трибосистем двух плоскопараллельных слоёв и двух коаксиальных круглых пустотелых цилиндров, а также изучение основных закономерностей распределения вдоль координатных осей и изменения со временем температуры, тепловых потоков, термоупругих напряжений и перемещений элементов пар трения. В частности, в случае двухмерных задач (плоской - для системы плоскопараллельных слоёв, и осесимметричной - для неоднородного цилиндра) показано, что локализованное на некотором участке давление является причиной образования зон отрыва, которые с увеличением интенсивности теплообразования возрастают.

Решение контактной задачи о перемещении упругого слоя по поверхности жёсткого, теплонепроницаемого основания, от которого прижатое нормально к плоскости контакта тело может отставать под действием нагрузки. В предположении односвязности области приложения нагрузки задача приведена к интегральному уравнению относительно контактного давления, на основании численного решения которого показано, что увеличение интенсивности теплообразования ведёт к уменьшению участка контакта, где изменение со временем последнего определяется выбором зависимости изменения нагрузки и скорости движения: если от времени зависит нагрузка, то область контакта не изменяется, а если изменяется скорость движения, то наблюдается монотонное уменьшение участка взаимодействия.

Постановка и решения контактной задачи взаимодействия двух цилиндров при неравномерном нагружении боковых поверхностей в изменённой (смешанной) постановке. Для решения систем интегральных уравнений, заданных в каждой из зон отрыва, нагруженного и ненагруженного контакта, границы между которыми начально неизвестны, используется представление по осевой координате в каждый момент времени контактного давления и функций, пропорциональных тепловым потокам на поверхности взаимодействия, отрезками ряда по полиномам Лагерра, а также методы поточечной колокации и последовательного уточнения контактных условий. Показано, что в зависимости от отношения коэффициентов линейного теплового расширения цилиндров возможны три механизма взаимодействия: если значительно меньше чем , то при односвязной области приложения нагрузки, контакт цилиндров имеет место по ограниченной, односвязной области; если незначительно отличается от , то область нагруженного контакта многосвязная; если , то имеем сплошной контакт между цилиндрами.

Исследование квазистатического контактного взаимодействия тел несогласованной формы (ненагруженный контакт имеет место по ограниченной поверхности или по линии), если перемещения контактной поверхности взаимодействующих тел можно с достаточной степенью точности аппроксимировать перемещениями от этих же факторов контактной поверхности плоскопараллельного слоя (когда рассматривается взаимодействие упругого тела и жёсткого теплоизолированного основания) или поверхности круглого пустотелого цилиндра (если рассматривается контакт упругого бандажа и цилиндра). На основании полученных результатов сделан вывод о существенном влиянии характера распределения обжимающей нагрузки на распределение контактного давления даже в том случае, когда применима теория Герца.

Решение квазистатической задачи термоупругости о давлении жёсткого теплоизолированного штампа на поверхность слоя, защемлённого по основанию, и исследование эффекта отставания основания штампа от поверхности слоя под действием теплообразования. Рассматриваются контактные задачи для штампа с плоским и параболическим основанием и полуцилиндрического штампа. Показано, что взаимодействие штампа с поверхностью слоя возможно по всей ширине плоского основания только при условии, что полуширина основания является меньшей за критическое значение, зависящее от интенсивности теплообразования.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, трибосистема, трение, термоупругость, нестационарное теплообразование, шар, цилиндр, штамп, бандаж.

ABSTRACT

Krasniuk P.P. Thermoelastic contact problems for two-layered systems with transient frictional heat generation. - Manuscript.

Thesis for degree of the candidate's of sciences (physics and mathematics) by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - Taras Shevchenko University, Ukraine, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to investigation of thermoelastic contact interaction of bodies, under the load and time-dependent frictional heat generation. The statements of problems for the systems of two layers and two hollow circular cylinders, inserted into each other without clearance are made. The solutions of some new one and two-dimensional quasistatic thermoelastic problems with transient heat generation are obtained. For such class of problems the analytical-numerical method of solving is proposed. The high efficiency of this method is confirmed by numerical experiments.The influence of thermophysical, mechanical and geometric characteristics of bodies, character of load distribution on contact configuration and main unknown contact characteristics are investigated. The effects due to transient frictional heat generation that arises during contact interaction of rigid punch and layer and tire and cylinder are analysed.

Key words: contact interaction, tribosystem, friction, thermoelastisity, transient heat generation, layer, cylinder, punch, tire.

Размещено на Allbest.ru

...