Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

В первой части курсовой работы проведено исследование линейных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Составлено дифференциальное уравнение движения заданной механической системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Далее про интегрировано это дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях. Определен закон движения системы. Полученные результаты проанализированы и построен график движения.

Во второй части курсовой работы проведено исследование движения машины с помощью уравнения Лагранжа второго рода. Далее составлено дифференциальное уравнение для определения окружного усилия в точке К. Построен алгоритм вычислений. С помощью ЭВМ проинтегрировано полученное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях.

• механический уравнение интегрирование дифференциальный
• Оглавление
• 1. Исследование линейных колебаний механической системы с одной степенью свободы
• 1.1 Составление дифференциального уравнения движения системы
• 1.2 Определение закона движения системы
• 1.3 Анализ результатов
• 2. Динамический расчет машины с кулисным приводом
• 2.1 Составление дифференциального уравнения движения машины
• 2.2 Определение окружного усилия в точке К
• 2.3 Построение алгоритма вычислений
• Список использованной литературы
• 1. Исследование линейных колебаний механической системы с одной степенью свободы
• Описание системы и условий расчета.
• Механическая система состоит из груза 1 массой и ступенчатого блока 2 массой , соединенных между собой нитями. Блок слева связан с линейной пружиной жесткости . Груз, находящийся в демпфирующем устройстве, соединен нитью с центром блока. Расположение нитей, пружины и демпфера позволяют грузу перемещаться в вертикальном направлении (рис. 1).
• Тела, входящие в состав системы, считаем абсолютно твердыми. Нити предполагаются нерастяжимыми и абсолютно гибкими. Проскальзывание нитей на блоке отсутствует. Трением в подшипниках, а также массой пружины и нитей пренебрегаем. Сила сопротивления, развиваемая в демпфере, пропорциональна скорости груза , где -- коэффициент сопротивления.
• Рис. 1.
• Исходные данные

m1	m2	c1	c2		r	R	i	x0
КГ	Н/СМ	Н · С/СМ	М	СМ	М/С
16	1	20	10	16	0,1	0,5	0,4	14	1,5

• Задание на расчет.

1. Составить дифференциальное уравнение движения данной механической системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение движения при заданных начальных условиях, Т.е. найти закон движения системы .

3. Проанализировать полученные результаты. Построить график движения.

1.1 Составление дифференциального уравнения движения системы

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Направим координатную ось х вертикально, совместив ее начало с положением центра масс груза при равновесии системы. В качестве координаты, определяющей положение системы, примем величину х - координату центра масс груза.

Для составления дифференциального уравнения движения системы применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

, (1.1)

где -- кинетическая энергия системы,

-- сумма мощностей внешних сил, действующих на систему,

-- сумма мощностей внутренних сил.

Так как тела системы являются абсолютно твердыми, а шарниры на концах стержня идеальными (без трения), то сумма мощностей внутренних сил системы равна нулю. Поэтому соотношение (1.1) запишется в виде

. (1.2)

Построим расчетную схему задачи (Рис.2). Изобразим на рисунке совокупность тел 1-2, свободной от внешних связей, в положении х > 0. Покажем на расчетной схеме внешние силы, действующие на систему:

и - силы тяжести груза и блока;

- равнодействующая реакции пружин;

- сила сопротивления.

Рис. 2.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав:

. (1.3)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно со скоростью V_1,

. (1.4)

Кинетическая энергия блока 2, совершающего плоское движение, вычисляется по формуле:

, (1.5)

Где V₂ - скорость центра масс блока,

- угловая скорость блока,

i? - момент инерции блока относительно центральной оси, проходящей через центр масс (i - радиус инерции блока).

Подставляя формулы (1.4) и (1.5) в (1.3), получаем

.

Составим кинематическое соотношение:

, а ; V_A = • (R + r) = V_{1 .}

Кинетическую энергию системы, с учетом кинематических соотношений и выражений для момента инерции блока, можно записать в виде:

или, поскольку ,

Назовем приведенной массой величину

(1.6)

Тогда кинетическая энергия системы равна:

(1.7)

Вычислим производную по времени от кинетической энергии системы. Учитывая, что , а приведенная масса -- величина постоянная, получаем

. (1.8)

Вычислим сумму мощностей внешних сил. Известно, что мощность силы есть скалярное произведение силы на скорость точки ее приложения. Сумма мощностей внешних сил

, (1.9)

.

Таким образом,

, (1.10)

(1.11)

-- статическая деформация пружин,

- коэффициент жесткости эквивалентной пружины:

; _.

Подставляя (1.11) в (1.10), получаем

, (1.12)

(1.13)

Приравнивая правые части (1.8) и (1.13) согласно (1.2), получаем после сокращения на :

. (1.14)

Найдем с помощью последнего соотношения и выражения для приведенной силы (1.13) условие равновесия системы. При равновесии системы . Считая указанные условия выполненными,

Находим

.

Следовательно, теперь приведенную силу можно записать в виде:

.

Подставив это выражение в уравнение (1.14), находим:

,

Откуда

Введем обозначения

,

Тогда дифференциальное уравнение движения системы примет вид

. (1.15)

Таким образом, движение данной механической системы описывается однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.2 Определение закона движения системы

Для определения закона движения системы нужно найти решение дифференциального уравнения (1.15), удовлетворяющего начальным условиям

. (1.16)

Вид функции х зависит от соотношения коэффициентов n и k. Вычислим коэффициенты уравнения (1.15):

; кг

_;

;

;

Так как n > k (большое сопротивление), решение однородного дифференциального уравнения (1.15) имеет вид

(1.17)

Вычислим производную

(1.18)

Полагая теперь в функциях (1.17) и (1.18) t=0, , требуем, чтобы координата x и проекция скорости приняли соответственно начальные значения и . Таким образом, для определения постоянных интегрирования получаем систему алгебраических уравнений:

(1.19)

(1.20)

Из выражений (1.19) и (1.20) находим

;

;

Из последних равенств, используя соотношения гиперболическими функциями , получим:

Из (1.19) теперь можно найти:

;

Откуда в=1,10

Таким образом, закон движения системы имеет вид:

(1.21)

1.3 Анализ результатов

Из выражения (1.21) следует, что движение рассматриваемой механической системы является периодическим и быстро затухает.

График движения системы (график функции (1.21)) приведен на рис. 3.

Таким образом, как видно из графика, из-за большого сопротивления (n > k) колебания данной механической системы не наблюдается. Система просто пытается вернуться в положение статического равновесия.

2. Динамический расчет машины с кулисным приводом

Описание системы и условий расчета.

Схема машины с кривошипно-кулисным приводом приведена на рис. 2.1. Со стороны электромотора к маховику 1 приложен вращающийся момент . Движение от маховика 1 передается на каток 3 посредством кулисы 2, имеющей горизонтальные направляющие. Далее каток 3 передает движение ползуну 4. Полезная нагрузка моделируется силой

, приложенной к ползуну. Механизм расположен в вертикальной плоскости. Сопротивлением движению пренебрегаем. Элементы конструкции машины считаем абсолютно твердыми. Трение в подшипниках не учитываем. Ползуны скользят по направляющим без трения. Проскальзывание между телами 3 и 4 отсутствует. Каток 3 катится без скольжения.

Рис. 2.1.

Задание на расчет.

1. Составить дифференциальное уравнение движения машины методом Лагранжа второго рода.

2. Определить окружное усилие в точке К.

3. Построить алгоритм вычисления.

4. Проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение движения при заданных начальных условиях с помощью ЭВМ.

Для расчета принять:

	k	??	??	I1	m2	m3	m4	R3	r3	??	R4	r4
122	4,1	700	-	2,0	12	22	18	0,18	0,06	0,12	-	-

2.1 Составление дифференциального уравнения движения машины

Рассматриваемая механическая система при принятых условиях расчета имеет одну степень свободы. Примем за обобщенную координату угол поворота маховика . За положительное направление отсчета обобщенной координаты примем направление, противоположное движению часовой стрелки (рис. 2.2).

Запишем уравнение Лагранжа второго рода

, (2.1)

где T -- кинетическая энергия машины,

-- обобщенная скорость,

-- обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате .



Рис. 2.2.

Вычислим кинетическую энергию машины как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав:

.

Кинетическая энергия маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси,

,

где -- проекция угловой скорости маховика на ось ОZ.

Кинетическая энергия поступательно движущейся кулисы

,

где -- проекция скорости центра масс кулисы на ось ОХ.

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,

,

Где - момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс.

Кинематическая энергия ползуна 4, совершавшего поступательное движение,

.

Таким образом, кинетическая энергия машины

. (2.2)

Выразим линейные и угловую скорости через обобщенную координату и обобщенную скорость . Очевидно, что . Координата центра масс кулисы (рис. 2.2)

, (2.3)

Откуда

. (2.4)

Кулиса 2 совершает поступательное движение, тогда

. (2.5)

Так как точка является мгновенным центром скоростей катка, то

. (2.6)

Ползун 4 совершает поступательное движение, поэтому

. (2.7)

Подставляя формулы (2.4)-(2.7) в выражение (2.2), получаем

.

Назовем приведенным моментом инерции величину

.

Тогда кинетическую энергию машины можно записать в виде

. (2.8)

Заметим, что приведенный момент инерции является функцией обобщенной координаты.

Вычислим производные от кинетической энергии (2.8), входящие в уравнение (2.1):

, , (2.9)

, (2.10)

,

. (2.11)

Вычислим обобщенную силу . Изобразим на расчетной схеме (рис. 2.3) задаваемые силы и моменты: . Связи, наложенные на систему, являются идеальным, поэтому их реакции не показаны на расчетной схеме. Сообщим маховику возможное перемещение в направлении возрастания обобщенной координаты.

Вычислим сумму элементарных работ задаваемых сил на возможных перемещениях точек их приложения:

Выражая в последнем соотношении скалярные произведения через проекции векторов, получаем

. (2.12)

Рис. 2.3.

Выразим величину через вариацию обобщенной координаты. Имеем

,

,

. (2.13)

Подставим соотношение (2.13) в формулу (2.12):

Коэффициент при в правой части после формулы есть, по определению, обобщенная сила

.

Перепишем последнее равенство с учетом выражений и

, а также формулы (2.7):

. (2.14)

Заметим, что обобщенная сила является функцией обобщенной координаты и обобщенной скорости .

Подставляя формулы (2.9) и (2.10) в уравнение Лагранжа второго рода (2.1), имеем

Окончательно получаем дифференциальное уравнение движения машины в виде

. (2.15)

2.2 Определение окружного усилия в точке К

Для определения окружного усилия в точке К составим дифференциальное уравнение поступательного движения ползуна 4:



Расчетная схема изображена на рис.2.4. На ней показаны силы, действующие на ползун 4: полезная нагрузка , сила тяжести , реакция направляющих ползуна и составляющие силы, с которой каток 3 действует на ползун 4, - нормальная и окружная силы, которые обозначены через N и S.

Дифференциальное уравнение движения ползуна 4 имеет вид:

.

.

.

2.3 Построение алгоритма вычислений

1. Исходные данные:

2. Постоянная величина, вычисляемая в программе:

.

3.Задание начальных значений угла поворота и угловой скорости:



4. Цикл по времени от t=0 до t=ф с шагом Дt:

Расчет в текущей точке t:

Определение движения

,

,

,

.

Определение реакции связи:

,

,

,

.

Конец вычислений в текущей точке; печать .

Подготовка к расчету в следующей точке

Значение угла поворота и угловой скорости

Новое значение времени

Проверка условия окончания цикла: переход к пункту 5, если t>=ф, иначе - к пункту 4.1.5. Конец вычислений.

Список использованной литературы

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л. Курс теоретической механики: Учеб.: т.2. Динамика.-2-е изд.-М.:Наука, 1979. - 544с.

2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник для вузов.-изд.12-е, исправленное - М.: Интеграл-Пресс, 2006.-608с.

Размещено на Allbest.ru

...