Построение трехмерной модели печи

Рис. 2.1. Положение системы координат при исследовании теплового процесса в неограниченной пластине.

Следовательно, задача является одномерной. Для одномерного теплового потока без внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится к виду:

 (2.11)

Обычно используют граничные условия третьего рода:

(2.12)

Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во всех точках была одинакова и равна Т0. Это начальное условие записывается в виде:

(2.13)

Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:

(2.14)

Здесь -- безразмерная температура;

-- критерий Фурье (критерий гомохронности для процессов чистой теплопроводности);

- безразмерная координата;

-- функция ошибок, где

;

Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданию постоянной температуры на стенке), уравнение (2.14) упрощается:

(2.15)

Для прикидочных расчетов удобно пользоваться номограммой зависимости q от представленной на рис.2.2

Рис.2.2 Номограмма для определения безразмерной температуры в сечении неограниченной пластины при

Если значение критерия Фурье велико, но не равно бесконечности, решение имеет вид:

(2.16)

Здесь (2.17)

где -- корни характеристического уравнения

(2.18)

где -- критерий Био.

Уравнение (2.18) имеет бесчисленное множество действительных положительных корней. Первые пять корней для различных значений критерия Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуются номограммами. Номограмма, позволяющая определить безразмерную температуру при различных значениях критерия Био, приведена на рис. 2.3

Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности неограниченной пластины.

Аналогичная номограмма, предназначенная для определения температуры в центре пластины, приведена на рис.2.4.

Рис. 2.4 Номограмма для определения безразмерной температуры в середине неограниченной пластины

Неограниченный цилиндр

Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена. Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур определения в цилиндре в любой момент времени. Задачи такого типа встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна, затвердевания литников литьевых форм и т. п.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

имеет вид: (2.19)

Краевые условия:

Решение, полученное методом разделения переменных, в безразмерной форме, имеет вид:

(2.20)

Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю температуру как:

(2.21)

Тогда безразмерная средняя температура определится соотношением:

(2.22)

где ; - корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка определяемые выражением:

(2.23)

Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10 приведена номограмма зависимости между q и Fo.

Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости между безразмерной средней избыточной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного цилиндра.

3. КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

В электрических печах конвективная теплопередача играет существенную роль, особенно при низких температурах, в теплоотдаче наружных поверхностей стен печи окружающему воздуху, а также и в теплопередаче внутри печи, от раскаленных стен и нагревателей к нагреваемым изделиям или материалам. Почти во всех этих случаях теплопередача будет и конвективная, и излучением, поэтому раздельное их изучение затруднено. Так как при высоких температурах значение конвекции мало, она представляет интерес лишь в низкотемпературных печах и в печах с искусственным перемешиванием атмосферы или с принудительной циркуляцией. В последних, особенно в печах с внешними калориферами, конвекция является основным способом теплопередачи. Таким образом, естественная конвекция должна учитываться при расчете теплоотдачи внешних поверхностей печей, а также в низкотемпературных печах, внутри же высоко- и среднетемпературных печей, как правило, значение может иметь лишь вынужденная конвекция.

При расчете теплопередачи конвекцией между твердым телом и газом или жидкостью можно использовать весьма простое выражение, аналогичное закону Ньютона,

(3.1)

где бконв -- коэффициент теплоотдачи конвекцией от стенки к газу (или наоборот); t` и t`` - температуры стенки и газа; Fст - поверхность омываемой газом стенки.

Однако простота (1) кажущаяся, так как коэффициент теплоотдачи конвекцией в свою очередь зависит от многих факторов: от температур стенки и омывающей ее среды, от скорости движения последней, ее теплопроводности, вязкости, плотности и теплоемкости, от конфигурации и состояния поверхности стенки и ее геометрических размеров.

С учетом этого дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Фурье - Кирхгофа

(3.2)

где Wx, Wy, Wz - компоненты скорости движения жидкости по осям, показывающие, что в движущейся жидкости температурное поле зависит от распределения скоростей. Последнее будет также зависеть от физических параметров жидкости, ее плотности с и вязкости м, от ускорения свободного падения g и давления р на поверхность жидкости, и дается уравнением Навье -Стокса

(3.3)

Аналогичными будут уравнения движения по осям y и z.

К уравнениям Навье - Стокса следует прибавить дифференциальное уравнение сплошности (непрерывности)

(3.4)

Уравнение (4) для несжимаемых жидкостей превращается в уравнение

(3.5)

В (1) значение коэффициента теплоотдачи б надо связать с условиями теплообмена, что можно сделать из анализа этих условий на границе тела, где через ламинарный пограничный слой тепло передается лишь путем теплопроводности и, следовательно,

(3.6)

Выражение (6) является дифференциальным уравнением теплообмена, описывающим процесс теплоотдачи на границах тела.

Для придания конкретности к описанию процесса теплообмена при помощи указанных выше уравнений нужно прибавить краевые условия (или условия однозначности). Они должны включать:

а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплопередачи;

б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

в) граничные условия, характеризующие протекание процесса теплопередачи на границах тела;

г) временные условия, характеризующие протекание процесса во времени.

Решение уравнений (2) - (6) возможно лишь в некоторых частных случаях при использовании ряда упрощений, причем полученные решения не всегда согласуются с опытными результатами. Поэтому изучение конвективного теплообмена развивалось, как правило, экспериментальным путем. Однако чисто экспериментальное изучение какого-либо физического явления имеет тот недостаток, что его результаты имеют ограниченную ценность, так как применимы лишь к частному явлению. Это чрезвычайно усложняет эксперимент, заставляя опытным путем проверить зависимость данного явления от ряда факторов, а некоторые явления зависят от многих переменных. Характерным примером в этом отношении является, например, свободная теплоотдача плоских плит: она рассчитывается по (1), причем значения коэффициента теплоотдачи определяются опытным путем.

На помощь в этих случаях приходит теория подобия, позволяющая в известной степени обобщить полученные опытные результаты, распространить их на целую группу подобных явлений.

Наиболее известно геометрическое подобие (подобные треугольники, многоугольники и т.п.); геометрические фигуры являются подобными, если их размеры отличаются на постоянный множитель , который носит название постоянной подобия и является безразмерной величиной, как бы некоторым масштабом.

Понятие подобия может быть распространено и на физические явления. Можно говорить о процессах, подобных во времени, такие процессы носят название гомохронных. Для них также есть константа подобия kф.

Если постоянная подобия kф=1, то процесс синхронный. Можно говорить о подобии скоростей и ускорений двух потоков жидкостей или газов (кинематическое подобие), о подобии сил, вызывающих подобные движения (динамическое подобие), о подобии температур и тепловых потоков (тепловое подобие) и т. д.

Подобие физических явлений означает, что все физические величины, характеризующие их, также подобны. Если некоторые из них в различных точках имеют разные значения (например, температура), то речь будет идти о подобии полей этих величин. Если рассматриваемая величина (например, скорость, температурный градиент) является вектором, то сходственные векторы должны быть одинаково ориентированы в пространстве. Кроме того, так как все процессы проходят в пространстве, для подобия явлений обязательным является, прежде всего, геометрическое подобие. Если речь идет о подобии двух потоков, то необходимо, чтобы эти потоки были ограничены стенками подобной конфигурации или чтобы омываемые ими тела также имели подобную конфигурацию.

Для сложных физических явлений, определяемых несколькими величинами, постоянные подобия нельзя выбирать произвольно, так как они связаны друг с другом. Например, если взять известную зависимость: скорость есть путь, деленный на время () и применить её к двум подобным системам, то для первой системы , для второй системы , разделив второе на первое, получим:

Из определения подобия следует:

и, следовательно,

или (3.7)

Это и есть искомая зависимость между постоянными подобия, если задаться двумя из них, тем самым выбор третьей постоянной будет предопределен.

Если в (7) вместо постоянных подобия проставить их выражения через отношения скоростей, путей и времени, то или (одно и то же).

Следовательно, подобные системы характеризуются безразмерными комплексами, составленными из характеризующих явление величин, сохраняющими одно и то же численное значение. Такие величины носят название инвариантов или критериев подобия. Их принято обозначать символами, состоящими из начальных букв фамилий ученых, которые их ввели в употребление или вообще работали в данной области.

Связь между подобием явлений и критериями подобия и является содержанием первой теоремы подобия (теоремы Ньютона). Подобные между собой явления или процессы имеют численно одинаковые одноименные критерии подобия.

Выражение представляет собой уравнение движения, выраженное в критериальной форме. Любая зависимость, любое уравнение, в том числе и дифференциальное, могут быть представлены в критериальной форме. Вторая теорема подобия (теорема Букингама) и посвящена критериальным уравнениям, она устанавливает возможность представления интеграла дифференциального уравнения как функции от входящих в него критериев подобия.

Сначала дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые условия, написанные для бесконечной плоской стенки, приводятся к критериальной форме, затем результат решения этих уравнений записывается в виде функции от входивших в них критериев подобия. Дифференциальные уравнения были решены, и результат решения мог быть представлен в виде удобных для использования таблиц или графиков. Во многих случаях, однако, решить дифференциальные уравнения не представляется возможным, тогда выявление входящих в них критериев подобия позволяет намного упростить экспериментальное изучение вопроса и распространить его результаты на подобные явления.

Следовательно, если построить на основе экспериментов опытную зависимость, характеризующую какой-либо процесс или явление, и представить ее не в виде связи между отдельными величинами, входящими в эту зависимость, а в виде связи между критериями подобия, то получится критериальное уравнение (иначе обобщенная зависимость), характеризующее этот процесс. Так как для всех подобных процессов или явлений критерии подобия сохраняют одно и то же значение, то и критериальное уравнение для них будет одно и то же и сможет быть распространено на все подобные явления. Для определения тех же явлений, которые подобны, служит третья теорема подобия (теорема Кирпичева и Гухмана), которая говорит, что те явления подобны, для которых подобны условия однозначности и составленные из этих условий однозначности критерии подобия одинаковы.

Некоторые из критериев подобия выводятся из условий однозначности, это определяющие критерии, значения которых должны быть одинаковыми для выполнения условий подобия. Остальные критерии, неопределяющие, получаются сами собой как следствие подобия. Неопределяющие критерии обычно содержат в себе искомую величину.

Таким образом, при постановке опытов целесообразно замерять все те величины, которые имеются в критериях подобия. Результаты этих опытов необходимо обрабатывать в критериях подобия и зависимость между ними представлять в виде критериального уравнения.

Так как такие обобщенные зависимости являются чисто экспериментальными, то они применимы лишь и пределах изменений аргумента, подтвержденных опытами, экстраполяция их как в сторону больших, так и в сторону меньших значений аргумента недопустима.

Например, для определения критериев теплового подобия для передачи тепла в движущейся среде конвекцией, используется дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье--Кирхгофа совместно с граничным уравнением теплообмена. На основе условия подобия процессов определяются соотношения между постоянными подобия аналогично тому, как это было сделано в (7), из которых путем подстановки определяются критерии теплового подобия:

--число Фурье;

-- число Нуссельта аналогично числу Био. Число Нуссельта характеризует собой условия теплопередачи между твердыми телом и средой, оно содержит в себе искомую величину - коэффициент теплоотдачи б, коэффициент теплопроводности среды л и определяющий размер l, характеризующий собой геометрическое подобие.

-- число Пекле. Число Пекле обычно преобразуется и представляется в виде произведения двух критериев:

Число Рейнольдса Re содержит в себе скорость потока v и коэффициент кинематической вязкости среды , где м -- коэффициент динамической вязкости, характеризует собой ее внутреннее трение; с -- плотность среды. Число Рейнольдса является критерием гидродинамического подобия, он характеризует собой условия вынужденного движения среды.

Множителями числа Прандтля Pr являются физические параметры - кинематическая вязкость и коэффициент температуропроводности - число Прандтля характеризует собой свойства среды.

Число Прандтля практически не зависит ни от давления, ни от температуры и для газов одинаковой атомности равно постоянной величине: для одноатомных газов 0,67, для двухатомных и, в частности, для воздуха 0,72, для трехатомных 0,8, четырехатомных и более 1,0.

Так как мы имеем дело с теплоотдачей в потоке движущейся среды, то кроме теплового подобия, должны; быть соблюдены условия гидромеханического подобия. Критерии гидромеханического подобия выделяются из дифференциального уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости Навье--Стокса.

Это то же число Рейнольдса , а также критерий гомохронности и число Грасгофа , где g - ускорение свободного падения; Дt - температурный перепад между средой и омываемой ей поверхностью; в - функция, связывающая изменение плотности среды с температурой; число Грасгофа характеризует свободное конвективное движение среды.

Так как при изучении явления теплопередачи между движущейся средой и поверхностью твердого тела мы всегда имеем дело со стационарными процессами, то число Фурье (так же как и критерий гомохронности, выделяемый из уравнения Навье - Стокса) отпадает. Поэтому обычно критериальное уравнение теплопередачи конвекцией строится по типу

(3.8)

здесь Nu содержит в себе искомую величину б и является неопределяющим критерием, тогда как критерии Re, Pe, Gr и Pr - определяющими.

При естественной, свободной конвекции из этого уравнения выпадает число Рейнольдса (v=0) и (8) принимает вид:

(3.9)

При вынужденном турбулентном движении, когда естественной конвекцией можно пренебречь, выпадает число Грасгофа:

(3.10)

Наконец, для газов одинаковой атомности и, в частности, для воздуха, когда Pr=const, будем иметь:

и (3.11), (3.12)

3.1 Свободная конвективная теплопередача

В электрических печах свободная или естественная конвективная теплопередача представляет интерес лишь с точки зрения учета теплоотдачи наружных стен печей (учет тепловых потерь), а также внутри низкотемпературных печей (с рабочей температурой до 700°). В обоих случаях речь идет об омывании воздухом поверхностей той или иной формы и теплообмене между ними.

Свободное движение воздуха около стены или поверхности изделия всецело определяется наличием теплообмена, чем больше передается тепла, чем интенсивнее теплообмен, тем интенсивнее будет и движение. При этом различают два основных режима движения: ламинарный, когда струйки теплоносителя движутся параллельно друг другу, и турбулентный, вихревой, характеризующийся беспорядочным движением частиц потока. В общем виде можно сказать, что при слабом теплообмене, при малых температурных напорах преобладает ламинарный режим, при больших - вихревой. Часто, однако, одновременно существуют оба вида движения, переходящие один в другой.

В ограниченном пространстве, например в прослойках, на характер циркуляции оказывают влияние как теплоотдающие, так и тепловоспринимающие поверхности.

Многочисленные эксперименты были проведены для определения б плит, горизонтальных, наклонных и вертикальных труб, проволок и шаров.

Обработка всех этих экспериментальных данных в критериях подобия позволила создать обобщенную зависимость, охватывающую разнообразные случаи.

(3.13)

где c и n - постоянные.

Поскольку (13) распространяется на случай теплоотдачи при свободной конвекции плоских стен, шаров, труб и проволок, то, следовательно, форма тела в этом процессе имеет второстепенное значение, определяющим критерием при естественной конвекции является комплекс (Gr,Pr)m.

Индекс m в (13) означает, что в качестве определяющей температуры принята средняя температура пограничного слоя среды. Поэтому все физические постоянные, входящие в числа Грасгофа, Прандтля и Нуссельта, следует вычислять именно для этой температуры.

За определяющий геометрический размер, входящий в критерии подобия, были приняты для труб и шаров их диаметр d, а для плит - их высота h.

3.2 Вынужденное движение среды

Все рассмотренные выше выражения не могут быть применены к теплообмену в замкнутых объемах, когда на движение среды влияют как тепловоспринимающая, так и теплоотдающая поверхности. В качестве примера теплообмена в замкнутых пространствах рассмотрим теплообмен в воздушных прослойках.

При расчете воздушных прослоек между двумя поверхностями наличие конвекции увеличивает теплопередачу по сравнению с теплопередачей теплопроводностью через воздух. При расчете таких прослоек их принято, тем не менее, считать на теплопроводность, но увеличивать коэффициент теплопроводности по сравнению с действительным на величину , где лк - теплопроводность, учитывающая конвекцию, а лВ - теплопроводность неподвижного воздуха. Обработка опытных данных по теплообмену в различных прослойках позволила Крауссольду предложить для них следующие критериальные уравнения:

при (3.14)

при (3.15)

Формулы (14) и (15) применимы к прослойкам любых форм: плоским вертикальным и горизонтальным, кольцевым, сферическим и т.д.

В качестве определяющего размера при вычислении числа Грасгофа берется толщина прослойки.

4. ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ РАСЧЕТОВ В ANSYS

В нашей работе было произведено компьютерное моделирование шахтной лабораторной печи СШОЛ-1,1,6/12-М3. Расчет производился для четырех случаев:

1. Нагрев печи без садки при свободной конвекции.

2. Нагрев печи с садкой при свободной конвекции.

3. Нагрев печи без садки при вынужденном движении среды.

4. Нагрев печи с садкой при вынужденном движении среды.

Начальные и граничные условия для всех случаев принимаем одинаковыми:

Начальные условия: равномерная температура 20°С.

Граничные условия: внутренняя теплогенерация в нагревателе 1,932*107 Вт/м3.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

4.1 Случай I (Нагрев печи без садки при свободной конвекции)

Выписываем табличные данные для воздуха: кинематическую вязкость, коэффициенты теплопроводности и температуропроводности в зависимости от температуры [2,3]:

Преобразуем выписанные табличные значения в функции от температуры:

Определяем число Грасгофа по формуле:

Где l - характеристический размер, равен 0,06 м - половине внутреннего диаметра печи, т.к. теплопроводностью через воздух нагревается дно печи. Разность температур Дt задаем по предварительному циклу расчетов.

Определяем число Прандтля по формуле:

Рассчитываем поправочный коэффициент, отражающий влияние конвекции:

Эквивалентная теплопроводность прослойки, учитывающая перенос тепла конвекцией и теплопроводностью:

4.2 Случай II (Нагрев печи c садкой при свободной конвекции)

Отличие от случая I состоит в другом значении характеристического размера l=0,1 м, т.е. высоте садки.

4.3 Случай III (Нагрев печи без садки при вынужденном движении среды)

Определяем величину числа Рейнольдса:

Находим число Нуссельта по формуле для обтекания шара:

Определяем число Грасгофа по формуле:

Разность температур Дt задаем по предварительному циклу расчетов.

Рассчитываем поправочный коэффициент, отражающий влияние конвекции:

Эквивалентная теплопроводность прослойки, учитывающая перенос тепла конвекцией и теплопроводностью:

Следует ввести поправку на вынужденное движение среды. Вводим второй поправочный коэффициент ж, представляющий собой отношение коэффициентов теплоотдачи б для случаев с вентилятором и без него.

Эквивалентная теплопроводность прослойки, учитывающая перенос тепла конвекцией при вынужденном движении среды и теплопроводностью:

4.4 Случай IV (Нагрев печи с садкой при вынужденном движении среды)

За определяющий размер принимается диаметр шара. Так как тело не сферическое, принимается эквивалентный диаметр:

Определяем величину числа Рейнольдса:

Находим число Нуссельта по формуле для обтекания шара:

Определяем число Грасгофа по формуле:

Разность температур Дt задаем по предварительному циклу расчетов.

Рассчитываем поправочный коэффициент, отражающий влияние конвекции:

Эквивалентная теплопроводность прослойки, учитывающая перенос тепла конвекцией при вынужденном движении среды и теплопроводностью:

ВЫВОДЫ

· За время 2400 с (40 мин) в печи достигается температура приблизительно равная 1200°С, т.е. номинальная рабочая температура печи.

· Выравнивания температуры до значений, приемлемых для проведения термообработки, за это время не происходит.

· В случае вынужденной конвекции средняя скорость нагрева садки выше.

· Желательно провести дальнейшее исследование вопроса, приняв за исходные данные распределение температур в момент 2400 с, но понизив удельную мощность тепловыделения нагревателя до 1,5 кВт (потребляемой для поддержания рабочей температуры). Т.о., можно будет установить, за какое время произойдет выравнивание температуры.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Электрические промышленные печи: Учебник для вузов. Ч. 1. А.Д. Свенчанский. Электрические печи сопротивления. - М.: Энергия, 1975. - 384 с.

2. Электротермическое оборудование: Справочник / Под общ. ред. А.П. Альтгаузена. - М.: Энергия, 1980. - 416 с.

3. Ксенофонтов А.Г. Методические указания к лабораторным работам по курсу «Расчет и конструирование нагревательных устройств». - М.: Изд-во МВТУ, 1985. - 33 с.

4. Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах / Под общ. ред. Д.Г. Красковского. - М.: КомпьютерПресс, 2002. - 224 с.

5. Югов В.П. Решение задач теплообмена. ANSYS 5.7 Thermal Analysis Guide. - М.: CADFEM, 2001. - 110 с.

Размещено на Allbest.ru