Электрический фильтр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

“Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики” (ФГОБУ ВПО “СибГУТИ”)

Курсовая работа

По дисциплине «Теории электрических цепей»

Работу выполнил

студент 1 курса

группы ЗТ -14(заочное ускоренное)

Андреев Р.С.

Работу проверил

Булатова Г.И.

Новосибирск - 2012

Содержание

радиоимпульс фильтр дискретный спектр

Введение

1. Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

2. Формирование требований к полосовому фильтру

3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

4. Реализация LC-прототипа

5. Реализация пассивного полосового фильтра

6. Расчет полюсов ARC-фильтра

7. Формирование передаточной функции

8. Расчет элементов схемы фильтра

9. Проверка результатов расчета

Список литературы

Введение

Электрический фильтр - это устройство, которое практически не ослабляет спектральные составляющие сигнала в заданной полосе частот и значительно ослабляет все спектральные составляющие вне этой полосы. Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой непропускания. Между этими полосами находится переходная область.

По расположению полосы пропускания на шкале частот различают следующие фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ), заграждающие (режекторные) (ЗФ или РФ), многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

В соответствии с используемой элементной базой к настоящему моменту выделились несколько классов фильтров. Исторически первыми (и все еще широко применяемыми) являются пассивные фильтры, содержащие элементы L и С. Они носят название LC-фильтров. Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая избирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и непропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнитострикционных, электромеханических.

Самые значительные достижения в области теории и проектирования фильтров связаны с успехами микроэлектроники. Требования микроминиатюризации радиоэлектронной аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах, и не поддаются исполнению в микроминиатюрном виде. Появились активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде микромодульной конструкции или интегральной схемы. Применение активных RC-фильтров ограничивается пока сравнительно небольшим диапазоном частот до десятков, сотен килогерц. Бурное развитие цифровых систем связи и достижения в области цифровых вычислительных машин стимулировали создание фильтров на базе элементов цифровой и вычислительной техники - цифровых фильтров.

1. Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1) с параметрами: период следования импульсов T_и = 113 мкс; длительность импульсов t_и = 40 мкс; период несущей частоты T_н = 10 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты U_m.н = 9 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания А_max = A = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания А_пол = 32 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа R_г = R_н = 1 кОм (рис. 2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1. Периодические прямоугольные радиоимпульсы

Рисунок 2. Сопротивления нагрузок фильтра

Вначале находится несущая частота:



Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте f_н, находится по формуле:

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 3).

Рисунок 3. Огибающая дискретного спектра периодических радиоимпульсов

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами f_i, где i - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

Учитывая, что:

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от f_н:

Частоты гармоник, лежащих слева от f_н, будут:

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

Где - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе

Из анализа рис. 1.3 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 75 до 125 кГц. После расчета амплитуд их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.4). так как скважность q, т.е. отношение периода следования импульсов Ти к длительности импульсов tи, равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. В нашем задании q=2,8 , поэтому в спектре не будут совпадать (с нулями огибающей) гармоники слева и справа от несущей частоты.



Рисунок 4. Дискретные составляющие внутри огибающей спектра

2. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 82,4 кГц до 117,6 кГц Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра и соответственно (рис 2.1) Граничную частоту полосы непропускания выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты . Этой частотой является частота . Следовательно,

Рисунок 5. Границы полосы пропускания и непропускания

Используя рис. 5, найдем центральную частоту ПП:

Тогда граничная частота и полосы непропускания будет

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник и спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной - полного ослабления

исходная разница амплитуд третьей и пятой гармоник в децибелах, найденная в ход расчета спектра радиоимпульсов.

Отсюда

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Найдем граничные частоты ПП и ПН НЧ - прототипа.

Найдем значения нормированных частот

Рисунок 6. Требования к НЧ

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 6

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из

Порядок фильтра Чебышева находится также из

,

но при , т.е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева , поэтому

Для вычисления функции arch х воспользуемся соотношение

После подстановки исходных данных и вычислений получим m = 2,71 Расчетное значение m необходимо округлить в большую сторону до целого числа, принимает m=3.

Пользуясь таблицей 1, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ - прототипа ():

Таблица 1

А, дБ	Порядок m = 3
0,2 0,5 1,0 3,0	-0,814634; -0,407317 j1,11701 -0,626457; -0,313228 j1,021928 -0,494171; -0,247085 j0,965999 -0,29862; -0,14931 j0,903813

Обратить внимание на то, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной .

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ - прототипа в виде

Где - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

4. Реализация LC-прототипа

Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 2) составляется выражение для входного сопротивления .



Подставляя в значение и значение , после преобразований получим:

Формула описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 2 фильтр, нагруженный на сопротивление это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, преобразуется к виду:

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей . Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение можно записать в виде цепной дроби:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7. Схема фильтра

По составляем схему (рис. 7), на которой

Денормируем элементы схемы НЧ - прототипа, используя соотношения:

где _н = _п.нч - нормирующая частота;

R_г - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения и значения и получаем реальные значения элементов схемы НЧ - прототипа:

5. Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ - прототипа и частотами пф полосового фильтра существует соотношение:

На этом основании индуктивное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:

а емкостное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис 7 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 8.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8. Схема полосового фильтра

Рассчитаем элементы этой схемы:

На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.

Расчет активного полосового фильтра.

6. Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC - фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC - фильтру Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра. Причем, не самой нормированной передаточной функцией Н(р), а только ее полюсами и, согласно:

Найдем полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

В начале находим:



Затем сами полюсы:

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ - прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной.

Их значения удобно представить в виде таблицы 2.

Таблица 2

Номера полюсов	Полюсы Н(р)
1,2	3,302261	61,757167
3,6	1,914639	72,621327
4,5	1,387623	52,631864

Следует отметить, что чередование пар полюсов в таблице 2 значения не имеет.

7. Формирование передаточной функции

Учитывая, что АRС-фильтры обычно строятся из каскадно-соединеных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:

Коэффициенты в знаменателе находятся по формулам:

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
1	139467,5	66045,22
2	139467,5	38292,78
3	139467,5	27752,46

Подставляя найденные коэффициенты в Н(р) получим:

8. Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 9)

Рисунок 9. ПФ на одном операционном усилителе

Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 9, в виде:



Из формулы видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка Следовательно, для реализации функции Н(р) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1 R2, С3, C4, R5, ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в двух последних формулах. Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя первой формулы:

В системе пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема. Поэтому зададимся значениями, например, емкостей конденсаторов С3 и С4 (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

Если принять С3 = С4 = 2 нФ, то решая систему, получим:

R1=3,585 кОм, R5=15,141 кОм, R2=43,18 Ом

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же С3= С4 = 2 нФ, получим: R1=3,585 кОм, R5=26,114 кОм, R2=18,14 Ом

Аналогично для третьего звена:

R1=3,585 кOм, R5=36,032 кОм, R2=25,03 Ом

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов, поэтому для сопротивлений R1, и R5 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

9. Проверка результатов расчета

Известно, что Н(р) всего фильтра будет:

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра.

Произведем замену переменной вида , в результате чего получают выражение:

Находим модуль в виде

Зная Н(), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:



Выполним расчет звеньев фильтра на частотах .Из предыдущего раздела берем значения элементов:

R1=3,585 кОм, R5=15,141 кОм, R2=43,18 Ом

С1=С2=2нФ.

Для примера подставляем эти значения в формулу для первого звена:

Все результаты сводятся в таблицу 4.

Таблица 4

	76,64	82,4	117,6	126,4
	0,636	0,581	0,621	0,445
	0,236	0,324	3,217	1,062
	1,334	3,939	0,385	0,314
	0,2	0,627	0,769	0,148
	3,929	4,716	4,138	7,032
	12,5	9,786	-10,149	-0,522
	-2,5	-11,907	8,29	10,061
	14	2,78	2,279	16,571

В ходе расчета модуля H() значение Н() наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2. поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

На рис. 10 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 11 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Рисунок 10

Рисунок 11

Список литературы

1. Бакштов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 2000. - 589 с.

2. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 1998. - 444 с.

3. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983. -752 с.

Размещено на Allbest.ru

...