Термоупругое состояние плит и цилиндров, выполненных из сплошных и пористых материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Специальность 01. 02. 04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

Термоупругое состояние плит и цилиндров, выполненных из сплошных и пористых материалов

Кривулина Эльвира Федоровна

Саратов 2006

Актуальность темы

термоупругость балка цилиндр

Интенсивное развитие энергоемких технологий в общей машиностроительной, химической и аэрокосмической технике приводит к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, выполненных из современных нетрадиционных материалов. К последним относятся материалы, имеющие неоднородную и пористую структуру и полученные методом порошкового спекания или порошковой металлургии.

Пористые материалы находят все большее применение в таких конструкциях, как высокотемпературные теплообменники, трубопроводы для перекачки высокотемпературных жидкостей, ракетные сопла, турбинные лопатки. В электроэнергетике это токонесущие шины электропечей и других агрегатов (в виде балки-стенки) ; в машиностроении - пористые вкладыши подшипников скольжения (полый цилиндр) ; круглые и прямоугольные пластины - это всевозможные диафрагмы, затворы печей, перекрывающие клапаны и т. п. ; пористые фильтры в виде пластин и цилиндров.

Особое место в теплоэнергетике имеет проблема пористого охлаждения. Такому применению пористых материалов способствует отсутствие альтернативных материалов, пригодных для продолжительной работы при высоких температурах, а также то обстоятельство, что обычные способы охлаждения нагретых тел омыванием или обдувкой оказываются неэффективными.

Из перечисленного выше применения пористых материалов видно, что, помимо тепловых задач, необходима разработка методов решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) для изделий из пористого материала, чему и посвящена настоящая работа.

Целью работы является разработка новых и развитие известных методов решения задач теплопроводности и термоупругости для тел сплошной и пористой структуры и решения на основе этих разработок нового класса задач.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи исследования:

разработать физико-механическую модель упругого состояния материала пористой структуры при тепловом на него воздействии;

разработать методы решения задач теплопроводности пористых тел, нагреваемых внутренними источниками тепла;

разработать методы решения задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и полых цилиндров;

разработать метод решения связанной задачи тепломассопереноса, теплопроводности и задачи термоупругости труб с жидким теплоносителем;

разработать метод решения задачи теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Разработана физико-механическая модель упругого состояния материала пористой структуры при тепловом на него воздействии. Предложены расчетные зависимости, описывающие состояние материала на основе экспериментальных данных.

Разработан принцип решения задач теплопроводности пористых тел, нагреваемых внутренними источниками тепла. В основу положен метод конечных элементов и схема последовательных приближений.

Получены решения задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и полых цилиндров на основе метода суперэлементов.

Предложен метод решения связанной задачи тепломассопереноса, теплопроводности и задачи термоупругости труб с жидким теплоносителем по схеме последовательных приближений.

Разработана методика и получены решения задачи теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении.

Разработана схема решения конструкционно-связанной задачи теплопроводности и термоупругости балки-пластинки. Учтена зависимость коэффициента теплопроводности от напряжения.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, тщательности отладки и тестирования программ для ПЭВМ, а также непротиворечивости полученных результатов известным решениям, найденным другими авторами для сплошных однородных тел.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные решения могут быть использованы в практике расчетов на прочность элементов и деталей машин в форме балки-стенки, прямоугольной и круглой плит и полых цилиндров, находящихся в экстремальных условиях эксплуатации.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры МДТ СГТУ (2003-2006 гг.) и на Второй Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г.).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

Физико-механическая модель термоупругого состояния материала пористых тел.

Метод последовательных приближений в решении задач теплопроводности и термоупругости пористых тел на основе вариационных принципов и методов конечных элементов и суперэлементов.

Постановка и решение связанных задач тепломассопереноса в трубе с жидким теплоносителем на основе метода последовательных приближений и использовании вариационных принципов.

Постановка и решение задач теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении.

Постановка и схема решения конструкционно-связанной задачи термоупругости балки-пластины.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 8 научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа содержит 246 страниц наборного текста, 252 рисунка. Список использованной литературы включает 79 наименований.

Содержание работы

Во введении дается анализ состояния вопроса и обзор существующих методов решения задач термоупругости плит и цилиндров.

Определены цель работы, ее актуальность, научная новизна. Кратко изложено содержание диссертации, сформулированы основные положения, которые выносятся на защиту.

В задачах теплопроводности фундаментальными являются работы А. В. Лыкова, Л. М. Беляева и А. А. Рядно, В. С. Зарубина, Г. Карслоу и Д. Егера, Л. А. Коздобы, в которых рассмотрены линейные и нелинейные задачи теплопроводности.

В решении проблем термоупругости ведущую роль играют работы Б. Г. Галеркина, Н. Н. Лебедева, В. Новацкого, А. Д. Коваленко, Я. С. Подстригача и Ю. М. Коляно, В. А. Ломакина, а также работы представителей саратовской школы термомеханики А. И. Уздалева, В. М. Рассудова, Ю. В. Чеботаревского, Г. Н. Белосточного, В. П. Красюкова, Н. Д. Панкратова. Исследованием теплофизических свойств материалов занимались Г. Н. Дульнев, Е. Я. Литовский и Н. А. Пучкелевич, В. С. Чиркин, механическим свойствам пористых материалов уделяли внимание Ю. А. Кашталян, У. Д. Кингери, Р. Бассард и Р. Лауэр.

В большинстве своем исследования проблем термоупругости касались решения линейных задач теплопроводности и термоупругости однородных тел. Значительно реже встречаются решения нелинейных задач теплопроводности и задач термоупругости для термочувствительных тел. Решения же задач теплопроводности пористых тел немногочисленны; что касается проблемы термоупругости пористых тел, то здесь публикации практически отсутствуют. Сказанное подтверждает актуальность проблем, затронутых в диссертации, и необходимость их решения.

Первая глава посвящена вопросам термоупругости плит, выполненных из сплошных и пористых материалов. Также в данной главе дана физико-механическая модель состояния материалов пористой структуры, причем пористость может быть как кажущаяся (не сквозная), так и сквозная (капиллярная).

Поскольку само изделие из пористого материала выполняется методами прессования, то ясно, что плотность материала и, следовательно, пористость распределяется по массиву самого материала неравномерно. Возникает изначальное нарушение гипотез сплошности и однородности материала, принимаемых в механике твердого деформируемого тела как основные.

Но поскольку все чаще требуются решения задач механики деформируемого твердого тела именно для таких материалов, приходится возвращаться к гипотезе сплошности, но учитывать пористость введением поправок в исходные зависимости состояния материала, т. е. подходить к решению задач механики деформируемого твердого тела с позиции механики неоднородных тел.

На рис. 1 представлены экспериментальные кривые пористого железа по значениям теплофизических и механических характеристик в зависимости от пористости.



Рис. 1. Влияние пористости на характеристики пористого железа

Кроме того, основная «скелетная» составляющая материала имеет свойства, зависящие от температуры.

На основании сказанного и опираясь на экспериментальные данные, для дальнейших решений принята следующая физико-механическая модель состояния материала:

Принимаем материал идеально упругим, термочувствительным и подчиняющимся закону Гука.

Предлагается следующая эмпирическая зависимость для модуля Юнга от температуры Т и пористости Р

. (1. 1)

На основе экспериментальных данных получаем эмпирическую формулу для коэффициента Пуассона

. (1. 2)

Коэффициент линейного расширения материала является функцией температуры и не зависит от пористости. Основанием для такого утверждения служит тот факт, что от теплового воздействия расширяется лишь «скелетная часть» материала как сплошное тело. На основе экспериментальных данных получаем формулу

. (1. 3)

Коэффициент теплопроводности материала считаем зависящим от температуры и пористости. На основе экспериментальных данных была получена следующая зависимость

. (1. 4)

Пористость является функцией координат точек тела и не зависит от температуры. Обоснование данной гипотезы приводится в диссертации.

Принимаем приближенно, что пористость тела не зависит от напряженного состояния тела. В дальнейшем (§11) предложена схема учета этой зависимости.

На основании гипотетической независимости пористости от напряженного состояния тела принимаем условие, что пористый материал одинаково сопротивляется растяжению-сжатию, т. е. .

Полагаем, что при изготовлении изделия из пористого материала методом порошковой металлургии начальные (технологические) напряжения отсутствуют.

10. В случае внутреннего тепловыделения для мощности теплового источника принимается зависимость

. (1. 5)

Коэффициенты в (1. 1), (1. 2), (1. 3), (1. 4), (1. 5) определялись методом наименьших квадратов путем обработки экспериментальных данных.

Приближенные гипотезы, описывающие физико-механическое состояние материала, позволяют подходить к решению задач с позиций хорошо развитой механики неоднородных материалов сплошных тел, свойства которых скорректированы на пористость.

Объектами исследования в первой главе диссертации являются балка-стенка, круглая и прямоугольная пластины. Для них решены задачи теплопроводности и термоупругости. Полагаем поле температур в пластине одномерным. Пластины могут содержать или не содержать источники тепла. Тепловые граничные условия могут быть 1 рода или приводимые к ним. По контуру пластинки могут быть как свободными, так и закрепленными.

Решение задачи теплопроводности пластин сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения

(1. 6)

при удовлетворении граничным условиям .

Рис. 2. Схема балки-плиты в одномерном поле температур

Непосредственное решение нелинейной задачи затруднено, поэтому воспользуемся схемой итераций, согласно которой исходная краевая задача заменяется решением серии линейных задач:

, (1. 7)

где - характеристики, полученные из предыдущего приближения.

Сформулированную краевую задачу заменяем эквивалентной ей вариационной с поиском экстремума следующего функционала

. (1. 8)

Рассматривается балка-стенка. Согласно МКЭ разбиваем пластину по толщине (или высоте балки-стенки) на отдельные слои-суперэлементы (с условно постоянными, усредненными характеристиками) и аппроксимируем функцию температуры линейным сплайном. В конечном итоге получаем линейную алгебраическую систему уравнений вида

(1. 9)

Решение системы (1. 9) ищется итерационным методом Гаусса-Зейделя до сходимости с заданной точностью.

Для поиска нормальных температурных напряжений в балке-стенке исходим из посылки, что длина бруса велика, и краевыми эффектами можно пренебречь. В этом случае с достаточной точностью можно использовать прием, основанный на принципе освобождаемости от связей (принцип Сен-Венана).

Суть приема решения заключается в том, что вначале балка-стенка жестко защемляется и для такого ее состояния определяются нормальные напряжения в торцах, приводящихся к равнодействующей силе N и моменту M. Для получения действительного поля напряжений к пластинке прикладываются торцевые усилия обратного направления.

Для получения численного решения балка-стенка представляется в виде пакета отдельных слоев (суперэлементов), подчиняющихся общепринятым гипотезам (плоских сечений, одноосного напряженного состояния и условию совместности деформаций).

Получены расчетные формулы для температурных напряжений в стержне при различных способах его закрепления.

Формула (1. 10) отображает состояние балки-стенки в случае, когда пластина свободна от связей

. (1. 10)

При наличии подвижной заделки, разрешающей осевое перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (1. 10) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки в формуле (1. 10) остается лишь первое слагаемое.

Здесь имеем

(1. 11)

Решение задачи дало ряд новых результатов, что свидетельствует о необходимости более тщательного исследования НДС пористых тел по сравнению со сплошными.

Рис. 3. Графики пористости и напряжений защемленной балки-стенки из пористого железа

На практике балка-стенка используется, например, в качестве токонесущей шины в случае одностороннего механического контакта с одним или несколькими токосъемниками.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. Схема токонесущей шины Формулы нормальных напряжений в субэлементе имеют вид

На рис. 4 представлена характерная картина распределения пограничных температур по длине шины определенных эмпирически с помощью термопар.

Технически закрепление шины осуществляется по схеме скользящей заделки, разрешающей осевое ее смещение и запрещающей поворот.

Для решения задачи термоупругости данной конструкции предлагается приближенный метод, основанный на суб- и суперэлементной интерпретациях.

Протяженность субэлемента соответствует зоне постоянного уровня пограничной температуры, т. е. ширины токосъемника или участков шины между токосъемниками.

В поперечных сечениях (в средней зоне) субэлементов тепловые условия становятся близкими к теплоизоляции, что позволяет для субэлемента приближенно считать распределение температуры одномерным вдоль координаты у и использовать для решения описанную методику.

. (1. 12)

Рис. 5. Схема -го субэлемента

Поскольку введение продольных связей между субэлементами позволяет свободно смещаться двум смежным сечениям в поперечном направлении друг относительно друга, это нарушает условие совместности их деформаций. Для исправления этого недостатка введем касательные напряжения в смежных сечениях и подчиним их уравнению равновесия

, (1. 13)

где отсчитывается от нейтрального слоя субэлемента i, . Интеграл (1. 13) практически вычисляется по квадратурной формуле.

Полученные формулы (1. 13) для определения по сути аналогичны приему, используемому в формуле Журавского по определению касательных напряжений при поперечном изгибе балки.

Аналогично было получено решение для прямоугольной и круглой пластин.

Заметим, что из полученных решений для пористых пластин как частный случай вытекают известные решения (Тимошенко) для однородных тел, что подтверждает достоверность полученного результата.

Во второй главе описаны задачи теплопроводности и термоупругости толстого и тонкого полых цилиндров, выполненных из сплошных и пористых материалов, при полярно-симметричном нагреве и при осесимметричном нагреве.

Рассмотрим задачу теплопроводности для полого цилиндра длины L с пористостью, изменяющейся по радиусу и длине цилиндра при осесимметричном нагреве джоулевым теплом (рис. 6). Пористость цилиндра является кажущейся.

Решение задачи теплопроводности толстого цилиндра при осесимметричном нагреве сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения, записанного в цилиндрических координатах

 (2. 1)

с тепловыми граничными условиями 1 рода или приводимыми к ним.

Реализация основана на применении метода конечных элементов (МКЭ) по вариационно-разностной схеме.

Рис. 6. Схема разбиения на элементы

Функционал при этом имеет вид

, (2. 2)

где ,

,

В пределах каждого треугольника аппроксимируем функцию температур линейным сплайном

, к=1, 2, …, 6 (2. 3)

Следуя далее методу последовательных приближений и обычной процедуре МКЭ, получим разрешающую алгебраическую систему уравнений для узловых температур

. (2. 4)

Для оценки напряженного состояния используем схему суперэлементов.

Отнесем цилиндр к группе цилиндров средней длины, т. е. полагаем, что краевыми эффектами на торцах цилиндра можно пренебречь, но с другой стороны, нельзя пренебречь уровнем касательных напряжений, возникающих в сечениях и обусловленных их неравномерным нагревом по длине (рис. 7).

Разбиваем цилиндр по длине на ряд коротких цилиндров, или толстых плит, которые условно названы «дисками», а по радиусу - на ряд кольцевых элементов.

Рис. 7. Схема (слева) и радиальные напряжения (справа) i-го суперэлемента

В рамках суперэлемента считаем поле температур полярно-симметричным (осредненным). Полагаем, что «диски» связаны друг с другом продольными связями и поперечный сдвиг «дисков» разрешен. Поскольку такие связи нарушают условие совместности деформаций дисков в радиальном направлении, введем касательные напряжения на «стыках» элементов и подчиним их далее уравнению равновесия.

Итак, исходная задача по определению НДС цилиндра с переменным по длине нагревом приближенно разбита на две независимые задачи: задачу термоупругости для осесимметричного нагрева короткого цилиндра (суперэлемента) и определения касательных напряжений из уравнения равновесия.

Напряжённое состояние в цилиндре является трёхосным и, согласно закону Гука, имеет вид

,

,

(2. 5),

где обозначено: , , - упругие коэффициенты,

- тепловая деформация,

- средний коэффициент линейного расширения.

Для решения полярно-симметричной задачи термоупругости представляем в кольцевом элементе радиальные перемещения линейным сплайном , где - коэффициенты, выраженные через узловые перемещения. Подчиним узловые перемещения условию минимума функционала потенциальной энергии деформаций

, (2. 6)

где - контактные давления слоев. Следуя далее процедуре МКЭ, получаем систему уравнений для узловых перемещений , где глобальная матрица жёсткости, матрица искомых узловых перемещений, матрица правых частей уравнения. Решение системы позволяет по перемещениям найти поле напряжений.

Вычисляем касательные напряжения на стыке смежных суперэлементов, интегрируя уравнение равновесия

. (2. 7)

Выбор нижнего предела интеграла обеспечивает выполнение граничного условия при .

Здесь также отметим, что из представленного общего решения для толстостенного цилиндра вытекают известные решения однородного цилиндра, а также решения в полярно-симметричной постановке.

Для оценки НДС тонкого цилиндра исходим из посылки безмоментной теории. Цилиндр по радиусу разбивается на ряд тонких оболочек (слоев), контактирующих между собой.

Окружные напряжения в слоях представляются формулой

, (2. 8)

где , - толщина,

- средний радиус -го слоя,

.

Здесь - контактные давления слоев, определяемые из условия совместности деформаций (равенства радиальных перемещений в зоне контакта), т. е. из системы уравнений , где - известные постоянные, - осевая деформация, определяемая из условия равенства нулю продольного усилия в поперечном сечении цилиндра

.

Третья глава посвящена задачам термоупругости и тепломассопереноса в пористой трубе жидкого теплоносителя или охладителя.

Рис. 8. Схема тепломассопереноса и окружные напряжения цилиндров

Цилиндр нагревается джоулевым теплом. Изнутри труба охлаждается жидкостью, протекающей в ней в турбулентном режиме. Тепловой режим трубы и жидкости стационарный. Трением в жидкости и работой сил давления пренебрегаем. Внешние контуры трубы теплоизолированы.

Поле температур в трубе определяется уравнением

, (3. 1)

которое удовлетворяет граничным условиям и условию стыка температур жидкости и цилиндра . Рассматриваемая нами задача является двумерной для цилиндра и одномерной для жидкости.

Температурное поле жидкости определяется уравнением

, (3. 2)

где - массовый расход жидкости,

Cp - удельная теплоемкость жидкости,

- коэффициент теплоотдачи,

- смоченный периметр.

Для жидкости на входе задана температура Твх. Также выполняется условие конвективного теплообмена двух сред .

Оба уравнения теплопроводности цилиндра и жидкости решаются совместно и представляют связанную задачу тепло- и массопереноса.

Решение задачи будем искать по схеме метода последовательных приближений с привлечением МКЭ (рис. 6, формула (2. 3)). Схема теплоизоляции контуров имеет следующий вид при

, при .

Уравнение для жидкости решается по конечно-разностной схеме . Отсюда получим температуру жидкости в n-й точке. Затем через условие теплообмена уточняем . Снова решаем уравнение для трубы при новом значении ТS и уравнение для жидкости до тех пор, пока ТS не перестанет изменяться.

Для установившегося поля температур пересчитываются все теплофизические характеристики по формулам:

коэффициент теплопроводности трубы - ,

удельная теплоемкость жидкости- ,

коэффициент теплоотдачи .

Далее решаем задачу термоупругости. В основу положена методика, разработанная во 2 главе. Также был рассмотрен случай тонкостенности трубы.

Полученные результаты для пористого материала сравнивались с беспористым. Характер функций напряжений остается тем же, но с другими количественными характеристиками.

Количественное отличие в решении должно быть оценено потребителем.

Четвертая глава рассматривает задачи пористого охлаждения плит и цилиндров. Рассматриваются случаи наличия внутреннего тепловыделения и его отсутствия.



Рис. 9. Схема пористого охлаждения пластины в одномерном поле температур

Нахождение температурного поля внутри прямоугольной и круглой плит ведется по одинаковой схеме (одномерный режим). Одна из лицевых поверхностей пластины нагрета до высокой температуры Т2. Охлаждающая жидкость, нагнетаемая сквозь пластину в положительном направлении у, имеет при у= температуру Т0.

Перенос тепла в такой пластине можно определить как сумму двух составляющих: теплопроводность внутри твердого тела и теплообмен твердое тело - жидкость . Исходя из этого, количество тепла, отдаваемого твердым телом жидкости, должно быть равно количеству тепла, переносимому за счет теплопроводности.

Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет температура пластины без источника тепла, примет вид

при , где . (4. 1)

Тепловой баланс, составленный для жидкости, выглядит следующим образом:

 при , где . (4. 2)

Частное решение уравнения (4. 1), которое удовлетворяет граничным условиям при , при , имеет вид

для . (4. 3)

Частное решение уравнения (4. 2), удовлетворяющее граничным условиям, принимает вид

для . (4. 4)

Исключая температуру из уравнений (4. 3) и (4. 4), окончательно получим поле температур в пластине

. (4. 5)

В случае присутствия теплового источника W поле температур по толщине стенки описывается функцией

для . (4. 6)

Решение задач термоупругости плит ищется аналогично задачам термоупругости плит, описанным в главе 1.

Также получено решение пористого охлаждения цилиндра.

Распределение температуры в охлаждаемой пористой трубе удовлетворяет дифференциальному уравнению

, где . (4. 7)

Состояние жидкости описывается дифференциальным уравнением

, где . (4. 8)

В случае отсутствия источника тепла решение задачи теплопроводности для пористого охлаждения цилиндра примет вид

, (4. 9)

где F (r) -интегрально-показательная функция,

, - постоянные коэффициенты.

Решение задачи термоупругости ведется по схеме, описанной во 2 главе.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты и выводы

Разработана физико-механическая модель термоупругого состояния материала пористых тел. Модель сохраняет основные признаки сплошных тел при условии коррекции физико-механических и теплофизических свойств за счет пористости. Данный подход позволяет использовать в решении задач хорошо развитую механику неоднородных материалов.

Развит метод последовательных приближений для решения задач теплопроводности пористых плит и цилиндров. На первом шаге итерации учитывалось лишь влияние пористости на поле температур, во всех последующих шагах характеристики материала корректировались за счет его термочувствительности.

Получены решения нового класса задач термоупругости пористых пластин и цилиндров на основе метода суперэлементов. В случае двумерного поля температур в балке-пластинке и цилиндре для приближенного определения касательных напряжений предложено использовать аналогию с формулой Журавского при поперечном изгибе бруса.

На основе метода последовательных приближений получено решение связанной задачи тепломассопереноса и теплопроводности в трубе. Дана количественная оценка влияния пористости на поле температур цилиндра.

Дана постановка и получено решение задач теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении. Исследовано влияние различных типов хладагентов на НДС конструкции.

Дана постановка и разработана схема решения конструкционно-связанной задачи теплопроводности и термоупругости балки-пластинки. Учтена зависимость коэффициента теплопроводности от напряжений. Решение получено по схеме метода последовательных приближений. На первом этапе решения коэффициент теплопроводности принимается независимым от НДС, а затем уточняется на последующих шагах.

Анализ численных результатов в примерах расчетов показал существенное влияние пористости на поля температур и НДС конструкций, что свидетельствует о необходимости ее учета в решении реальных практических задач.

Публикации по теме диссертации

Кривулина Э. Ф. Задача термоупругости для балки-пластины из пористого материала в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2003. С. 34-39.

Кривулина Э. Ф. Задача термоупругости для круглой плиты из пористого материала в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. № 6. С. 59-68.

Кривулина Э. Ф. Задача термоупругости для прямоугольной пластинки из пористого материала в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Механика деформируемых сред: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во СГУ, 2004. С. 58-63.

Кривулина Э. Ф. Задача термоупругости для цилиндра из пористого материала при полярно-симметричном нагреве / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2005. С. 65-71.

Кривулина Э. Ф. Задачи тепломассопереноса и термоупругости для трубы из пористого материала / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Второй Всерос. науч. конф. Ч. 1. Самара: СамГТУ, 2005. С. 292-295.

Кривулина Э. Ф. Задача термоупругости для круглой не выделяющей тепло плиты при пористом ее охлаждении / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Вестник Саратовского государственного технического университета. № 2. 2006. С. 27-34.

Кривулина Э. Ф. Решение задачи термоупругости для балки-пластины из пористого железа в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004. С. 63-71.

Кривулина Э. Ф. Решение задачи тепломассопереноса и термоупругости для трубы из пористого материала / Э. Ф. Кривулина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2005. С. 91-94.

Размещено на Allbest.ru

...