Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российский Университет Дружбы Народов

Факультет физико-математических и естественных наук

Курсовая работа по теме:

"Распределение Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна"

Выполнила: студентка Багрова А.А.

Проверил: Туриков В.А.

Москва 2012

План

Глава 1. Общее введение. Два типа частиц

Глава 2. Понятие волновой функции. Принцип симметрии: четные и нечетные перестановки

Глава 3. Вывод статистик Ферми-Дирак и Бозе-Эйнштейна

Глава 4. Функциональный интеграл. Проблема фермионного знака

Глава 5. Спин в двух измерениях. Энионы (дробные квантовые статистики)

Глава 6. Расчетная задача

Заключение

Список литературы

Глава 1. Общее введение. Два типа частиц

В современной физике существует теория, наилучшим образом отражающая наши представления об исходном материале, из которого изначально построена Вселенная, - так называемая Стандартная модель. Она же описывает, как именно материя образуется из этих базовых компонентов, и силы и механизмы взаимодействия между ними.

Наше понимание базовой структуры материи развивалось постепенно. Атомная теория строения вещества показала, что не все в мире устроено так, как кажется на первый взгляд, и что сложности на одном уровне легко объясняются на следующем уровне детализации. На протяжении всего ХХ века, после открытия структуры атома (то есть после появления модели атома Бора), усилия ученых были сосредоточены на разгадке структуры атомного ядра.

Первоначально предполагалось, что в атомном ядре существует только два типа частиц - нейтроны и протоны. Однако, начиная с 1930-х годов, ученые все чаще стали получать экспериментальные результаты, необъяснимые в рамках классической модели Бора. Это навело ученых на мысль, что на самом деле ядро представляет собой динамичную систему разнообразных частиц, чье скоротечное образование, взаимодействие и распад играют ключевую роль в ядерных процессах. К началу 1950-х годов изучение этих элементарных, как их назвали, частиц вышло на передний край физической науки.

Основной метод изучения элементарных частиц состоит в том, что ядро-мишень бомбардируется мощным пучком протонов или электронов, а ученые ведут наблюдения за осколками ядра, образующимися в результате столкновений. Согласно теории относительности, кинетическая энергия быстрых частиц может быть преобразована в массу по знаменитой формуле

E = mc²,

так что новые виды частиц могут образовываться (и реально образуются) в изобилии.

Начиная с 1930-х годов, ученые занимались изучением воздействия космических лучей на ядра-мишени. Космические лучи представляют собой потоки быстрых частиц (в основном протонов), образующиеся в результате различных процессов во Вселенной и постоянно изливаемые в земную атмосферу. Этим подарком природы в виде дождя частиц с высокими энергиями физики и не преминули воспользоваться. В 1950-е годы были разработаны и построены первые установки под названием "ускорители элементарных частиц", на которых стало возможным одним нажатием кнопки искусственно получать направленные, управляемые потоки быстрых частиц с высокими энергиями. За последующие десятилетия физикам удалось открыть более двухсот различных элементарных частиц.

За исключением протона и электрона все эти частицы нестабильны, то есть очень скоро распадаются на другие элементарные частицы (за пределами ядра быстрому распаду подвержен даже нейтрон). Однако для участия во внутриядерных процессах частице хватает и мизерного времени существования, достаточного для перемещения в пределах границ ядра.

Элементарные частицы подразделяются на два класса:

Лептоны

К классу лептонов относятся частицы, которые, подобно электрону, не участвуют в водовороте внутриядерных взаимодействий. На сегодня известно шесть таких частиц. К одному семейству с электроном относятся мюоны и тау-частицы, которые похожи на электрон, но массивнее его. Обе эти тяжелые частицы нестабильны и со временем распадаются на несколько продуктов, включая электрон.

Также имеется три электрически нейтральные частицы с нулевой (или близкой к нулю, на этот счет ученые до конца не определились) массой, получившие название нейтрино.

Каждая из трех разновидностей нейтрино парна одной из трех частиц электронного семейства. Слово "лептон" происходит от греческого leptos, что значит "маленький".

Адроны

К адронам относят частицы, существующие внутри атомного ядра. Самые известные из них - это протон и нейтрон, но быстро распадающихся родственников у них сотни (в буквальном смысле). За исключением протона все они нестабильны, и их можно классифицировать по составу частиц, на которые они распадаются. Если среди конечных продуктов распада частицы имеется протон, ее называют "барион" (от греческого barys - "тяжелый"); если же протона среди продуктов распада нет, частица называется "мезон" (от греческогоmesos - "средний"). Сам термин "адрон" происходит от греческого hadros ("большой").

Сумбурная картина субатомного мира, усложнявшаяся с открытием каждого нового адрона, уступила место новой простой картине с появлением концепции кварков. Согласно кварковой модели все адроны (но не лептоны) состоят из еще более элементарных частиц. Барионы состоят из трех кварков, а мезоны - из пары кварк--антикварк.

Вышеописанные элементарные частицы являются своего рода строительным материалом атомного ядра - кирпичиками, из которых сложена Вселенная. Другая группа частиц - носители сил, удерживающих элементарные частицы вместе; это своего рода цемент, которым скреплена Вселенная. волновой ферми энион бозе

Со структурной точки зрения элементарные частицы, из которых состоят атомные ядра (нуклоны), и вообще все тяжелые частицы - адроны (барионы и мезоны) - состоят из еще более простых частиц, которые принято называть фундаментальными. В этой роли по-настоящему фундаментальных первичных элементов материи выступают кварки, электрический заряд которых равен 2/3 или -1/3 единичного положительного заряда протона. Самые распространенные и легкие кварки называют верхним и нижним и обозначают, соответственно,u (от английского up) и d (down). Иногда их же называют протонным и нейтронным кварком по причине того, что протон состоит из комбинации uud, а нейтрон - udd. Верхний кварк имеет заряд 2/3; нижний - отрицательный заряд -1/3. Поскольку протон состоит из двух верхних и одного нижнего, а нейтрон - из одного верхнего и двух нижних кварков, вы можете самостоятельно убедиться, что суммарный заряд протона и нейтрона получается строго равным 1 и 0, и удостовериться, что в этом Стандартная модель адекватно описывает реальность. Две другие пары кварков входят в состав более экзотических частиц. Кварки из второй пары называют очарованным - c (от charmed) и странным - s (от strange). Третью пару составляют истинный - t (от truth, или в англ. традиции top) и красивый - b (от beauty, или в англ. традиции bottom) кварки. Практически все частицы, предсказываемые Стандартной моделью и состоящие из различных комбинаций кварков, уже открыты экспериментально.

Другой строительный набор состоит из кирпичиков, называемых лептонами. Самый распространенный из лептонов - давно нам знакомый электрон, входящий в структуру атомов, но не участвующий в ядерных взаимодействиях, ограничиваясь межатомными. Помимо него (и парной ему античастицы под названием позитрон) к лептонам относятся более тяжелые частицы - мюон и тау-лептон с их античастицами. Кроме того, каждому лептону сопоставлена своя незаряженная частица с нулевой (или практически нулевой) массой покоя; такие частицы называются, соответственно, электронное, мюонное или таонное нейтрино.

Итак, лептоны, подобно кваркам, также образуют три "семейных пары". Такая симметрия не ускользнула от наблюдательных глаз теоретиков, однако убедительного объяснения ей до сих пор не предложено. Как бы то ни было, кварки и лептоны представляют собой основной строительный материал Вселенной.

Так же все элементарные частицы делаться на два класса по величине спина: бозоны - частицы с целым спином и фермионы - частицы с полуцелым спином. Для понимания понятия спина рассмотрим сложную частицу (скажем, атомное ядро), покоящуюся как целое и находящуюся в определенном внутреннем состоянии. Помимо определенной внутренней энергии она обладает также и определенным по своей величине моментом ( - у нас целое или полуцелое число, так как в случае квантовой механики энергия и момент импульса изменяются скачками -- квантами), связанным с движением частиц внутри нее (в классической механике момент характеризует вращение тела); этот момент может еще иметь 2L+1 различных ориентаций пространстве (проекция момента на ось z должна меняться квантовым образом от -L до L - отсюда и 2L+1 возможных комбинаций ориентации частицы с моментом L в пространстве). Другими словами, при рассмотрении движения сложной частицы как целого мы должны, наряду с координатами, приписывать ей еще и одну дискретную - проекцию ее внутреннего момента на некоторое избранное направление в пространстве. Но при указанном выше понимании смысла момента становится несущественным вопрос о его происхождении, мы приходим естественным образом к представлению о "собственном" моменте, который должен быть приписан частицы вне зависимости от того является ли она "сложной" или "элементарной" (неделимой). Таким образом, в квантовой механике элементарной частице следует приписать некоторый "собственный" момент, не связанный с ее движением в пространстве. Это свойство элементарных частиц является специфически квантовым (исчезающим при переходе к классической механике) и поэтому принципиально не допускает классической интерпретации. В частности было бы совершенно бессмысленным представлять себе "собственный" момент элементарной частицы как результат ее вращения "вокруг своей оси" (размер электрона равен 0 -- совершенно непонятно как его вращать). Собственный момент частицы называют ее СПИНОМ, в отличии от момента, связанного с движением частицы в пространстве, о котором говорят как об орбитальном моменте. Спин измеряется в единицах (приведённой постоянной Планка, или постоянной Дирака) и равен где J - характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число - так называемое спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином. В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы.

Итак, бозоны, в отличие от фермионов, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, которая допускает, чтобы в одном квантовом состоянии могло находиться неограниченное количество одинаковых частиц. Фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака: в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули).

Теперь нужно разобраться в характере сил взаимодействия между кварками и лептонами, - нужно понять, как современные физики-теоретики интерпретируют само понятие силы. В этом нам поможет аналогия. Представьте себе двух лодочников, гребущих на встречных курсах по реке Кэм в Кэмбридже. Один гребец от щедрости душевной решил угостить коллегу шампанским и, когда они проплывали друг мимо друга, кинул ему полную бутылку шампанского. В результате действия закона сохранения импульса, когда первый гребец кинул бутылку, курс его лодки отклонился от прямолинейного в противоположную сторону, а когда второй гребец поймал бутылку, ее импульс передался ему, и вторая лодка также отклонилась от прямолинейного курса, но уже в противоположную сторону. Таким образом, в результате обмена шампанским обе лодки изменили направление. Согласно законам механики Ньютона это означает, что между лодками произошло силовое взаимодействие. Но ведь лодки не вступали между собой в прямое соприкосновение? Здесь мы и видим наглядно, и понимаем интуитивно, что сила взаимодействия между лодками была передана носителем импульса - бутылкой шампанского. Физики назвали бы ее переносчиком взаимодействия.

В точности так же и силовые взаимодействия между частицами происходят посредством обмена частицами-переносчиками этих взаимодействий. Фактически, различие между фундаментальными силами взаимодействия между частицами мы и проводим лишь постольку, поскольку в роли переносчиков этих взаимодействий выступают разные частицы. Таких взаимодействий четыре: сильное (именно оно удерживает кварки внутри частиц), электромагнитное, слабое (именно оно приводит к некоторым формам радиоактивного распада) игравитационное. Переносчиками сильного цветового взаимодействия являются глюоны, не обладающие ни массой, ни электрическим зарядом. Этот тип взаимодействия описывается квантовой хромодинамикой. Электромагнитное взаимодействие происходит посредством обмена квантами электромагнитного излучения, которые называются фотонами и также лишены массы. Слабое взаимодействие, напротив, передается массивными векторными или калибровочными бозонами, которые "весят" в 80-90 раз больше протона, - в лабораторных условиях их впервые удалось обнаружить лишь в начале 1980-х годов. Наконец, гравитационное взаимодействие передается посредством обмена не обладающими собственной массой гравитонами - этих посредников пока что экспериментально обнаружить не удалось.

В рамках Стандартной модели первые три типа фундаментальных взаимодействий удалось объединить, и они более не рассматриваются по отдельности, а считаются тремя различными проявлениями силы единой природы. Возвращаясь к аналогии, предположим, что другая пара гребцов, проплывая друг мимо друга по реке Кэм, обменялась не бутылкой шампанского, а всего лишь стаканчиком мороженого. От этого лодки также отклонятся от курса в противоположные стороны, но значительно слабее. Стороннему наблюдателю может показаться, что в этих двух случаях между лодками действовали разные силы: в первом случае произошел обмен жидкостью (бутылку я предлагаю во внимание не принимать, поскольку большинству из нас интересно ее содержимое), а во втором - твердым телом (мороженым). А теперь представьте, что в Кембридже в тот день стояла редкостная для северных мест летняя жара, и мороженое в полете растаяло. То есть, достаточно некоторого повышения температуры, чтобы понять, что, фактически, взаимодействие не зависит от того, жидкое или твердое тело выступает в роли его переносчика. Единственная причина, по которой нам представлялось, что между лодками действуют различные силы, состояла во внешнем отличии переносчика-мороженого, вызванном недостаточной для его плавления температурой. Поднимите температуру - и силы взаимодействия предстанут наглядно едиными.

Силы, действующие во Вселенной, также сплавляются воедино при высоких энергиях (температурах) взаимодействия, после чего различить их невозможно. Первыми объединяются (именно так это принято называть) слабое ядерное и электромагнитное взаимодействия. В результате мы получаем так называемое электрослабое взаимодействие, наблюдаемое даже лабораторно при энергиях, развиваемых современными ускорителями элементарных частиц. В ранней Вселенной энергии были столь высоки, что в первые 10-10 секунды после Большого взрыва не было грани между слабыми ядерными и электромагнитными силами. Лишь после того, как средняя температура Вселенной понизилась до 1014 K, все четыре наблюдаемые сегодня силовые взаимодействия разделились и приняли современный вид. Пока температура была выше этой отметки, действовали лишь три фундаментальные силы: сильного, объединенного электрослабого и гравитационного взаимодействий.

Объединение электрослабого и сильного ядерного взаимодействия происходит при температурах порядка 1027К. В лабораторных условиях такие энергии сегодня недостижимы. Таких энергий нет и в современной Вселенной, однако в первые 10-35 с ее существования температура Вселенной была выше 1027 К, и во Вселенной действовало всего две силы - электросильного и гравитационного взаимодействия. Теории, описывающие эти процессы, называют "теориями Великого объединения" (ТВО). Напрямую проверить ТВО нельзя, но они дают определенные прогнозы и относительно процессов, протекающих при более низких энергиях. На сегодняшний день все предсказания ТВО для относительно низких температур и энергий подтверждаются экспериментально.

Итак, стандартная модель, в обобщенном виде, представляет собой теорию строения Вселенной, в которой материя состоит из кварков и лептонов, а сильные, электромагнитные и слабые взаимодействия между ними описываются теориями великого объединения. Такая модель, очевидно, не полна, поскольку не включает гравитацию. Предположительно, более полная теория со временем все-таки будет, а на сегодня Стандартная модель - это лучшее из того, что мы имеем. Общее понимание Стандартной модели поможет нам разобраться в выводе статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирика (см. Глава 3).

Глава 2. Понятие волновой функции. Принцип симметрии: четные и нечетные перестановки

Для начала введем понятие волновой функции квантовой системы.

Условимся обозначать буквой q совокупность координат квантовой системы, a dq - произведение дифференциалов этих координат (его называют элементом объема конфигурационного пространства системы); для одной частицы dq совпадает с элементом объема dV обычного пространства.

Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат Ш(q), причем квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат: есть вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе dq конфигурационного пространства. Функция Ф называется волновой функцией системы.

Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить вероятности различных результатов также и вообще всякого измерения (не обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются выражениями, билинейными по Ш и Ш*. Наиболее общий вид такого выражения есть

где функция зависит от рода и результата измерения, а интегрирования производятся по всему конфигурационному пространству. Сама вероятность ШШ* различных значений координат тоже является выражением такого типа.

С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от времени. Если волновая функция известна в некоторый начальный момент времени, то по самому смыслу понятия полного описания состояния она тем самым в принципе определена и во все будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется дифференциальными уравнениями, точный вид которых зависит от типа рассматриваемых полей.

Сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования по всему конфигурационному пространству был равен единице:

Это равенство представляет собой так называемое условие нормировки волновых функций. Если интеграл от сходится, то выбором соответствующего постоянного коэффициента функция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована.

В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют все же своей "индивидуальности": можно представить себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в некоторый момент времени "перенумерованными" и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории; тогда в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать.

В квантовой же механике положение совершенно меняется. Уже неоднократно указывалось, что в силу принципа неопределенности понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент его координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей их индентификации в дальнейшие моменты времени; локализовав один из электронов в другой момент времени в некоторой точке пространства, мы не сможем указать, какой именно из электронов попал в эту точку. Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою "индивидуальность".

Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет здесь весьма глубокий характер - она приводит к их полной неразличимости.

Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль в квантовой теории систем, состоящих из одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы, состоящей всего из двух частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга просто перестановкой обеих частиц, должны быть физически полностью эквивалентными. Это значит, что в результате такой перестановки волновая функция системы может измениться только на несущественный фазовый множитель. Пусть ш(о1,о2)-- волновая функция системы, причем о1, о2 условно обозначают совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быть:

где б - некоторая вещественная постоянная. В результате повторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, между тем как функция ш окажется умноженной на . Отсюда следует, что или . Итак,

.

Мы приходим к результату, что имеется всего две возможности --волновая функция либо симметрична (т.е. совершенно не меняется в результате перестановки частиц), либо антисимметрична (т.е. при перестановке меняет знак). Очевидно, что волновые функции всех состояний одной и той же системы должны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, была бы ни симметрична, ни антисимметрична.

Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Действительно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо их пара обладает свойством описываться, скажем, симметричными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких же частиц будет обладать тем же свойством. Поэтому волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары частиц (а потому и при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак при перестановке каждой пары. В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае - об антисимметричной волновой функции. Свойство описываться либо симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми-Дирака или о фермионах, а о частицах, описывающихся симметричными функциями, - как подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна или о бозонах.

Из законов релятивистской квантовой механики оказывается возможным показать, что статистика, которой подчиняются частицы, однозначно связана с их спином: частицы с полу целым спином являются фермионами, а с целым спином - бозонами.

Статистика сложных частиц определяется четностью числа входящих в их состав элементарных фермионов. Действительно, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалентна одновременной перестановке нескольких пар одинаковых элементарных частиц. Перестановка бозонов не изменяет волновой функции вообще, а перестановка фермионов меняет ее знак. Поэтому сложные частицы, содержащие нечетное число элементарных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие четное число их, - статистике Бозе. Этот результат находится, конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: сложная частица имеет целый или полуцелый спин в зависимости от того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с полу целым спином.

Так, атомные ядра с нечетным атомным весом (т. е. состоящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются статистике Ферми, а с четным весом - статистике Бозе. Для атомов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, статистика определяется, очевидно, четностью или нечетностью суммы атомного веса и атомного номера.

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь.

Пусть ш1, ш2, … - волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций ш1, ш2, … волновая функция Ш всей системы в целом.

Пусть p1, p2, …, pN - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Для системы бозонов волновая функция выражается суммой произведений вида

со всеми возможными перестановками различных индексов p1, p2, …; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных состояниях:

Множитель введен для нормировки (все функции ш1, ш2, … взаимно ортогональны и предполагаются нормированными). В общем же случае системы произвольного числа частиц N нормированная волновая функция

где сумма берется по всем перестановкам различных из индексов p1, p2, …, pN, а числа Ni указывают, сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения i (при этом ).

При интегрировании квадрата по ) обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в данной сумме равно, очевидно, , то отсюда и получается нормировочный коэффициент.

Для системы фермионов волновая функция Ш есть антисимметричная комбинация произведений F1.1). Так, для системы из двух частиц имеем

В общем же случае N частиц волновая функция системы записывается в виде определителя

Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак.

Из выражения следует важный результат: если среди номеров p1, p2, …, pN есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится тождественно в нуль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера p1, p2, …, pN различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это - так называемый принцип Паули.

Глава 3. Вывод статистик Ферми-Дирак и Бозе-Эйнштейна

Рассмотрим случай, когда ограничений на числа заполнения Np нет, т. е. Np = 0, 1, 2, 3,... (Sh. Bose, A. Einstein, 1924). Тогда

Чтобы этот ряд сходился при любых р, необходимо, чтобы знаменатель написанной выше геометрической прогрессии был меньше единицы, т. е. Ер - µ > 0 для всех р (если бы ряд расходился, то не существовало бы ни статистической суммы ни потенциала 12 и т. д., т. е. у системы не было бы равновесного термодинамического состояния). Обозначив Е 0 - минимальное значение из всех возможных Ер, будем иметь

и условие существования статистической суммы (условие термодинамичности рассматриваемой системы) запишется как

(если вести отсчет энергии от уровня Е 0, то, положив в написанных формулах Е 0 = 0, получим более простые неравенства Ер > 0, µ. < 0).

Выпишем в соответствии с общими формулами выражения для ?, np, д и./V в бозе-случае. Имеем



для средних чисел заполнения

или окончательно

Эту формулу для средних чисел заполнения обычно называют распределением Бозе-Эйнштейна. Выражения для внутренней энергии и термодинамического числа частиц имеют стандартный вид (но с бозевской формой для np):

Теперь рассмотрим случай, когда числа Np ограничены двумя значениями Np = 0,1 (Е. Fermi, P. Dirac, 1926). Имеем при любом значении химического потенциала µ

Откуда

Для средних чисел заполнения получаем и окончательно

Эту формулу для средних чисел заполнения обычно называют распределением Ферми--Дирака. Формулы для внутренней энергии и числа частиц - те же:

но с фермиевской формой для np.

Окончательные две формулы внешне очень похожи друг на друга, и когда их пишут совместно, то ставят перемигивающие знаки ± или т, относя верхний знак к бозе-, а нижний - к ферми-случаю.

Выявленное нами ограничение на числа заполнения для ферми-систем Np = 0, 1 (или ни одного, или один) - это знаменитый принцип запрета Паули (W. Pauli, 1925). Существует теорема о связи спина и статистики, доказанная для свободных квантовых полей (W. Pauli, 1940): системы частиц с полуцелым спином и частицы с целым спином описываются разными функциями. В Первом случае говорят о статистике Ферми--Дирака, во втором - о статистике Бозе-Эйнштейна. Доказательство теоремы исходит из обшерелятивистских представлений квантовой теории поля и существенно выходит за рамки моего понимания данного вопроса, поэтому вывод теоремы приводиться не будет.

Теорема Паули фиксирует характер перестановочных соотношений между операторами рождения и уничтожения частиц: бозонные операторы связаны отношениями коммутации, фермионные-антикоммутации. Из-за возможности взаимного превращения частиц операторы рождения и уничтожения различий фермионов также следует считать антикоммутирующими. Суть в том, что теорема обосновывает принцип запрета Паули нерелятивистской квантовой механики - невозможность нахождения двух электронов в одном и том же квантовом состоянии (квантовое состояние - любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Чистое квантовое состояние может быть описано: в волновой механике - волновой функцией, в матричной механике - вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы). Доказательство П. т. основывается на условиях микропричинности, а именно: использует независимость операторов полей в точках, разделённых пространственноподобным интервалом. При этом важна локальность квантовой теории поля (КТП). При формулировке КТП с помощью функционального интеграла теорема Паули заставляет описывать поля с полуцелым спином грассмановыми (антикоммутирующими) числами.

Глава 4. Функциональный интеграл. Проблема фермионного знака

Введем понятие функционального интеграла. Функциональный интеграл (континуальный интеграл, интеграл Фейнмана) - обобщение понятия интеграла на случай бесконечномерных пространств. Это -метод квантования физ. систем, альтернативный волновой механике Шрёдингера и операторному методу Гейзенберга. В основе этого метода, предложенного в 40-х гг. Р. Фейнманом (R. Feynmann), лежит предположение о том, что амплитуда вероятности перехода механической системы из начального состояния, характеризуемого координатами ха, в состояние с координатами хb пропорциональна сумме амплитуд, отвечающих всевозможным траекториям, связывающим точки а и b. При этом вклад данной траектории равен

где S-классическое действие на траектории x(t). Т. о., вероятность того, что система, находившаяся в момент времени ta в состоянии с координатами ха, перейдёт в момент tb в состояние с координатами хb, равна

суммирование ведётся по всем возможным траекториям, связывающим ха и хb, С-нормировочная константа.

Этому выражению можно придать более наглядный смысл, если аппроксимировать траектории x(t)ломаными линиями, состоящими из отрезков прямых, соединяющих точки xi, в к-рых система находится в моменты времени

Переходя к пределу при N, сумму (3) можно записать в виде интеграла



Где

- классическое действие на траектории, состоящей из отрезков прямых, соединяющих точки хi; интегрирование ведётся по всем траекториям, проходящим в моменты ta и tb соответственно через точки ха и хb, L - классическая функция Лагранжа. Итак, формула (4) - определение функционального, или континуального, интеграла.

Метод функционального интегрирования обобщается и на случай статистики Ферми - Дирака. В этом случае нужно считать переменные интегрирования антикоммутирующими и пользоваться правилами интегрирования по ферми-полям (сформулированы Ф.А. Березиным, 1961).

Зачем нам нужно было вводить понятие функционального интеграла? Суть в том, что континуальный интеграл можно определить для фермиона, но только в случае нулевой плотности (грубо говоря, динамика отдельных квантовых частиц в вакууме). А если частиц очень много и они образуют плотную среду, то вычисление континуального интеграла затруднительно, так как квантовые пути частиц постоянно переплетаются, волновая функция системы меняет от этого знак, и это ведет к неконтролируемым осцилляциям

Несмотря на то, что явно вычислить удаётся фактически лишь гауссовы интегралы, этого достаточно для метода теории возмущений в квантовой статистике и квантовой теории поля. С помощью функциональных интегралов были впервые получены правила Фейнмана для вычисления матрицы рассеяния S в квантовой электродинамике.

В настоящее время продолжают появляться статьи, авторы которых пытаются разрешить "проблему фермионного знака", которая возникает при численных расчетах в многофермионных задачах. Решение этой проблемы станет важным шагом во многих областях физики.

Глава 6. Расчетная задача

В данной курсовой работе речь шла о двух видах частиц: бозонах и фермионах. Однако, существует еще один тип частиц, представляющий особый интерес: энионы (от англ. any - любой). В 1977 году группа физиков-теоретиков из университета Осло под руководством Йона Магне Лейнааса и Яна Мирхейма доказала, что традиционное деление частиц на фермионы и бозоны не применимо к теоретическим частицам, существующим в двух измерениях. Такие частицы могли бы иметь ряд неожиданных свойств. В русскоязычной литературе найти статьи, посвященные энионам, представляет сложность, поэтому ограничимся общим представлением об этих частицах.

В физике энионами называют частицы особого типа, являющиеся обобщением концепции бозонов и фермионов на случай дробного спина. В силу условия квантования спина в высших размерностях, такое обобщение возможно лишь в случае двух пространственных измерений. При перестановке двух энионов происходит глобальное изменение фазы волновой функции системы, которое является обобщением умножения волновой функции на +1 или -1, происходящее при перестановке бозонов или фермионов. Данное изменение фазы не сказывается на наблюдаемых величинах. Энионы могут подчиняться абелевой или неабелевой статистике. Абелевы энионы (абелева статистика означает, что процедура перестановки частиц коммутативна) играют определяющую роль в дробном квантовом эффекте Холла. Неабелевы энионы (в неабелевом случае не только фаза добавляется, но и сама процедура перестановки частиц некоммутативна) были описаны теоретически, но пока что не обнаружены в эксперименте.

Предположение о существовании энионов вытекает из, так называемой, дробной квантовой статистики, которая возникла на основе принципа запрета Паули-Халдэйна, с одной стороны, при исследовании систем, в которых наблюдалось новое явление - дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ), и одномерных точно решаемых моделей, с другой стороны - при изучении многочастичных систем с конечномерным гильбертовым пространством, в котором размерность одночастичного пространства линейно зависит от полного числа частиц в системе.

В трёхмерном (и более) пространстве частицы строго делятся на фермионы и бозоны, согласно тому, какой статистике они подчиняются: фермионы - статистике Ферми-Дирака, бозоны - статистике Бозе-Эйнштейна. На языке квантовой физики это формулируется как поведение многочастичных состояний при замене частиц. Например, в случае двухчастичного состояния имеем (в обозначениях Дирака):

- для бозонов

- для фермионов

Однако, в двумерных системах можно наблюдать квазичастицы, которые подчиняются распределению, варьирующемуся непрерывно между статистиками Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна:

,

где - вещественное число. При мы имеем статистику Ферми-Дирака, а при - статистику Бозе-Эйнштейна. В случае же получается нечто иное, называемое энионом.

Можно также ввести понятие спина эниона, сопоставив его :

Энионы описываются статистикой, которую называют статистикой кос (англ. Braid statistics), поскольку она связана с теорией кос.

Рассмотрим более подробно.

Существование промежуточной статистики в пространственно двумерных системах целиком обусловлено многосвязностью конфигурационного пространства системы тождественных частиц - пространства определения вектора состояния. Конфигурационное пространство N тождественных частиц получается из координатного пространства идентификацией точек, полученных при любой перестановке координат частиц, и после исключения сингулярных точек, где две или более координат совпадают. В трехмерном случае конфигурационное пространство М двусвязно и фундаментальная гомотопическая группа совпадает с группой р1(M) перестановок SN с ее четным для бозонов и нечетным для фермионов представлениями. В двумерных системах анионные возбуждения реализуют представления группы кос.

В многосвязности двумерного конфигурационного пространства проще всего убедиться, рассматривая канонический импульс, который

Векторный потенциал представляет собой сумму потенциалов Бома--Ааронова с потоком ?=?\р в единицах потока ?0

Таким образом, двумерное конфигурационное пространство содержит систему особенностей и тем самым многосвязно, а между частицами, переносящими единичный статистический заряд и поток ?=?\р существует дальнодействующее фазовое взаимодействие Дирака--Бома--Ааронова. Гамильтониан системы таких частиц равен

Сейчас известно, что возможны три эквивалентные формулировки. В первом случае N;частичная волновая функция частиц, находящихся

в поле векторного потенциала a(?) может быть симметричной.

Волновая функция в этом третьем случае становится многозначной, благодаря приобретаемой при перестановке (zk-zj)->eiр(zk-zj) частиц калибровочной фазе:

описывает свободные анити-частицы, волновая функция системы N частиц в такой калибровке приобретает при перестановке двух частиц множитель exp(i?)/ Свойство дробной статистики трактуется в этом представлении как граничные условия на волновую функцию. Поясним это на следующем примере. Исключение из конфигурационного пространства тождественных частиц областей [23] эквивалентно граничному условию

jn(0) ? шdш*/dx - k.c. = 0

на границе тождественности x = x1 - х 2 = 0. Общее решение уравнения jп = 0 имеет вид

симметричная функция) отвечает бозонам,

антисимметричная функция) - фермионам. Промежуточное з соответствует промежуточной статистике и при з<0 и x-> +0 краевым состояниям

ш=exp(зx).

Расчетная задача. Определение химического потенциала железа.

Для начала определим химический потенциал для фермионного газа. Чтобы сделать это, проведем следующий расчет.

Объем элементарной ячейки фазового объема, в котором может находиться лишь одна частица, равен . Поэтому число квантовых состояний в элементе фазового объема равно

где g учитывает внутренние степени свободы частицы. Электрон обладает спином, который может принимать два значения. Поэтому для электронов g = 2. Однако для общности получаемых формул сохраним в вычислениях g без спецификации ее числового значения.

Применим распределение Гиббса

Подставив сюда число квантовых состояний, найдем

Учитывая малость элементарной ячейки фазового объема и принимая во внимание, что энергия свободного электрона выражается через его импульс формулой

,

перейдем от суммирования к интегрированию:

где V-- объем, занимаемый газом. Интегрирование по пространственным переменным дает значение объема V, а при интегрировании по импульсам можно перейти к сферическим координатам в импульсном пространстве. Учитывая сферическую симметрию, можно положить

В результате получаем

где

.

Произведя замену переменных

Получим

С помощью обозначения

перепишем наше распределение в виде

Интеграл F(+)(б) называется интегралом Ферми индекса 1/2. Этот интеграл не вычисляется аналитически, однако может быть получено представление в виде ряда. Не вдаваясь в технику математических расчетов, приведем лишь результат. Для отрицательных значений а, т. е. при -б > 0, с учетом главного члена разложения в первом приближении получается формула

таким образом мы приходим к

Тем самым б оказалось выражено через другие величины, входящие в формулу распределения

где me - масса электрона.

Число свободных электронов, приходящихся на один атом в металле, различно, но оно обычно близко к одному электрону на атом. Поэтому можно считать, что число свободных электронов равно числу атомов. Если плотность металла с, а масса атома ma, то n = сV/ma и, следовательно, мы приходим к следующему выражению



Теперь определим химический потенциал как µ=-бkT, или

Вычислим, чему равно его значение для железа.

Плотность железа с=7874кг/мі, атомная масса ma=(55,847 г/моль)/(6.02*1023)=9.277*10^(-26) килограмм.

Прочие величины: h=1.05*10-34 Дж*сек, me=9.1*10^(-31) кг, g=2.

Подставляя все эти величины в формулу, имеем

µ=1.12*10^(-18) Дж=6,99 эВ.

Таким образом, мы видим, что химический потенциал железа, как и других металлов, достаточно велик и сравним по порядку величины с характерной энергией связи электронов с атомами.

С другой стороны, кинетическая энергия электронов при комнатной температуре может быть оценена как kT=1.38*10^(-23)*300/(1.602*10^(-19))=2.6*10^(-2) эВ. Поэтому для подавляющего числа электронов экспоненциальный член в знаменателе распределения Ферми-Дирака можно положить равным нулю. И распределение принимает вид ступеньки: равномерное заполнение электронами зоны E<µ, и почти полное их отсутствие при E>µ.

Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели базовые аспекты квантовой статистической физики.

Были проанализированы два фундаментальных типа частиц - бозоны, подчиняющиеся распределению Бозе-Эйнштейна, и фермионы, подчиняющиеся распределению Ферми-Дирака.

На самом элементарном уровне фермионы (электроны, кварки, нейтрино) представляют собой материю, из которой состоит все во Вселенной, а бозоны (фотоны, глюоны, кванты слабого взаимодействия) отвечают за взаимодействия этой материи. В этом заключается наиболее фундаментальное различие между ними.

На более сложном уровне отличие бозонов и фермионов чуть менее существенно. Так, например, атомы, в зависимости от числа нейтронов, могут быть как бозонами, так и фермионами. Тем не менее, принцип Паули и различие статистик продолжает играть основополагающую роль при описании систем "составных" фермионов и бозонов. Скажем, именно бозонная сущность атомов гелия-4 приводит к явлению сверхтекучести. А сверхтекучесть фермионного гелия-3 имеет совсем иную природу.

Тем не менее, хотя эти два класса исчерпывают все элементарные частицы во Вселенной (а также их более сложные конфигурации, - нуклоны, атомы и др.), в сильно коррелированных двумерных средах могут возникать квазичастицы (коллективные возбуждения сразу множества электронов), не подчиняющиеся ни одной из двух статистик, - так называемые энионы. Такого рода квазичастицы ответственны за ряд важных эффектов в физике конденсированных состояний, например, за дробный квантовый эффект Холла. Не исключено, что энионы вносят некоторый вклад в эффект высокотемпературной сверхпроводимости.

Разумеется, очень многие вопросы квантовой статистики остались не затронутыми. Мы лишь вкратце коснулись здесь проблемы фермионного знака, которая является основным препятствием на пути применения формализмов квантовой теории поля к конденсированным средам. Мы не рассмотрели более сложные виды статистик, такие, как динамическая статистика Венга. Не были проанализированы одномерные системы, в которых бозоны и фермионы могут однозначно преобразовываться друг в друга.

Список литературы

1. Квасников И.А. - Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. Том 2.

2. Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 2.

3. Л.Д. Ландау-Е.М. Лившиц - Теоретическая физика. Том 5.

4. А.Н. Матвеев - Курс физики. Том 2

5. Журнал "Успехи физических наук" (РАН) - Анионная сверхпроводимость в сильно коррелированных спиновых системах (июль 1992 г.)

6. Интернет-энциклопедия "Элементы" - http://elementy.ru/

7. Интернет-энциклопедия физики и техники - http://www.femto.com.ua/

8. Википедия. Свободная энциклопедия - http://www.wikipedia.org/

Размещено на Allbest.ru

...