Задачи по механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по механике

Руденко Р.Ю.



1. Два груза с одинаковыми массами связаны между собой нитью перекинутой через невесомый блок, плоскости, на которых находятся грузы, составляют с горизонтом углы и . Коэффициент трения грузов о плоскости одинаков и равен . Найти ускорение грузов а

Решение.

Предположим, что 1-й груз движется вверх по плоскости. Рассмотрим проекции сил, действующих на тела, на соответствующие плоскости (направление - вниз по плоскости).

1-е тело:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения

2-е тело:

Теперь получим:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Ускорение равно:

2. Лыжник спускается вниз по склону горы с углом наклона , не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег равен 0.1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: , где а = 0.7 кг/м. Какую максимально скорость может развить лыжник, если его масса 90 кг?

Решение.

Рассмотрим проекции на плоскость сил, действующих на тело (направление - вниз по плоскости):

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения

Теперь получим:

где b - ускорение, с которым тело движется по поверхности. Максимальная скорость достигается при нулевом ускорении. Отсюда получим:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Максимальная скорость равна:

3. Две гири массами 2 кг и 1 кг соединены нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силу натяжения нити.

Решение. Пусть 2-й груз движется вниз. Выберем направление оси У вертикально вниз. Тогда получим:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения.

Ответ. Ускорение и сила натяжение нити равны:

4. На барабан массой M = 3 кг, выполненный в виде однородного диска, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение, с которым опускается груз

Решение. На груз действует сила тяжести и натяжение нити Т. Натяжение нити создает момент сил, приводящий к вращению диска. Теперь получим систему уравнений:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения, R - радиус диска. Отсюда получим:

Ответ. Ускорение равно:

5. Однородный стержень вращается относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине. Во сколько раз увеличится момент инерции стержня, если ось вращения будет проходить через один из концов стержня?

Решение. Будем считать поперечные размеры стержня во много раз меньше его длины.

Пусть L - длина стержня, - его масса, линейная плотность стержня. Тогда моменты инерции стержня для первого и второго случаев равны:

Отсюда имеем:

Ответ Момент инерции увеличится в 4 раза.

6. Однородный диск массой m = 5 кг и радиусом R = 20 см вращается с угловой частотой n = 20 об/c вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. После того, как на диск перестал действовать вращающий момент сил, он остановился, сделав N = 100 оборотов. Найти момент сил трения .

Решение. По основному закону динамики вращения имеем:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Момент сил трения равен:

инерция ускорение кинетическая энергия

7. Шар массой 200 г. движущийся со скоростью 10 м/с ударяется о неподвижный шар массой 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упругий. Определить скорость шаров после удара.

Решение.

Так как (по условию) удар прямой и центральный то шары после удара будут двигаться по направлению начальной скорости. Далее, воспользовавшись законами сохранения импульса и кинетической энергии, получим:

Получим два решения, при этом 2-е отвечает случаю, когда столкновение не происходит:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Скорости равны:

8. Снаряд массой M = 10 кг обладал скоростью 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая, массой = 3 кг, получила скорость = 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость после разрыва второй (большей) части

Решение.

В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна земле. Далее, воспользовавшись законом сохранения импульса, получим:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Скорость равна:

9. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 100 м на две одинаковых части. Через T= 15 с после взрыва одна часть падает на землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии от места выстрела упадет вторая часть, если первая упала на расстоянии 900 м? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Искомое расстояние равно:

где - горизонтальная проекция скорости 2-го осколка после взрыва.

Найдем эту скорость из закона сохранения импульса (с учетом того, что по условию такая же проекция для 1-го осколка равна нулю):

где - горизонтальная проекция скорости снаряда. Найдем эту скорость:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения. Отсюда получим:

Ответ. Расстояние равно:

10. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой = 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда он перешел в центр платформы, частота возросла до 25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы M.

Решение.

Воспользуемся законом сохранения момента импульса:

Ответ. Масса платформы равна М = 210 кг

11. Два горизонтальных диска свободно вращаются в одном направлении вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции равны: и , частоты вращения соответственно: 60 об/мин и 30 об/мин. После падения верхнего диска на нижней оба диска из-за трения между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти (в об/мин) установившуюся частоту вращения дисков.

Решение.

Воспользуемся законом сохранения момента импульса:

Ответ. Число оборотов равно: об/мин

12. Круглая платформа радиусом 1м,момент инерции которой равен 130кг.м²,вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого 70 кг. Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека учитывать как для материальной точки.

Решение.

Воспользуемся законом сохранения момента импульса:

где - момент инерции платформы, - момент инерции человека относительно оси вращения платформы. Подставив численные значения, получим:

Ответ. Число оборотов в секунду равно:

13. Человек массой m=60кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусомR=1м и массой М=120кг,вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1=10мин-1, переходит к. ее центру. Считая что платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру.

Решение.

Воспользуемся законом сохранения момента импульса и вычислим частоту вращения платформы, после того, как человек перейдет в ее центр:

где - момент инерции платформы, - момент инерции человека относительно оси вращения платформы, m и M - массы человека и платформы. Работу найдем как разность кинетических энергий вращения:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Работа равна: А = 65.4 Дж

14. По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту с высоты h = 1 м соскальзывает плоское тело. Достигнув горизонтальной поверхности, тело поднимается по другой наклонной поверхности с углом наклона . Определить высоту подъема, если коэффициенты трения для обоих плоскостей одинаковы и равны 0.1

Решение.

Найдем ускорения, с которым тело движется вниз и вверх (проекции на плоскости):

«Вниз»:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения

«Вверх»:

Найдем скорость, с которой тело начнет подниматься по 2-й плоскости:

Теперь для искомой высоты получим:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Высота равна

15. Как изменится кинетическая энергия вращающейся без трения платформы с человеком, если он перейдет с края платформы в центр?

1) не изменится; 2) увеличится; 3) уменьшится

Решение.

При переходе потенциальная энергия системы (человек + платформа) не изменится. Следовательно, не изменится кинетическая энергия вращающейся без трения платформы с человеком

16. Два груза массой 2 кг и 1 кг соединены нитью, переброшенной через невесомый блок, и расположены на высоте h = 1 м над столом. В начальный момент грузы покоятся, затем их отпускают. Какое количество теплоты выделится при ударе груза о стол? Удар считать абсолютно неупругим.

Решение. Пусть 2-й груз движется вниз. Выберем направление оси У вертикально вниз. Тогда получим:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения.

При движении с ускорением а при соприкосновении со столом скорость груза 2 будет равна:

При абсолютно неупругом ударе вся кинетическая энергия груза 2 перейдем в тепло. Отсюда получим:

Ответ. Количество тепла равно:

17. Пуля массой m = 10 г попадает в груз, висящий на невесомом стержне длиной L = 10 м и застревает в нем. На какой угол (в градусах) отклонится стержень, если в момент удара скорость пули была = 100 м/с, а масса груза M 90 г? Ускорение свободного падения, считать ровным g = 10 м/с2.

Решение. Найдем начальную скорость системы (пуля + груз) после столкновения:

При максимальном подъеме на высоту h вся кинетическая энергия системы перейдет в потенциальную. Отсюда для искомого угла получим:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Угол равен

18. На доске лежит груз массой 6 кг. Доска совершает гармоническое колебания с периодом 1с. И амплитудой равной 2см. Определить (в кг) вес груза в момент времени, равный 1/8 периода колебаний. (Время отсчитывается от момента, когда доска, поднимаясь, проходит среднее положение).

Решение. Запишем уравнение колебаний груза (в вертикальном направлении):

Найдем ускорение груза:

Для указанного периода времени получим:

Подставив численные значения, получим:

19. Горизонтально расположенная доска совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с периодом, равным 4с. Лежащее на ней тело начинает скользить, тогда амплитуда колебания достигает величины 60 см. Каков коэффициент трения покоя между грузом и доской?

Решение. Тело начнет скользить, когда сила трения станет меньше горизонтального ускорения тела, умноженного на массу. Отсюда получим:

Найдем ускорение доски:

где g = 9.81 м/сІ - ускорение свободного падения. Подставив численные значения, получим:

Ответ. Коэффициент трения равен:

20. Какую часть периода отклонение маятника от положения равновесна меньше 3 см, если амплитуда его колебаний равна A = 6 см?

Решение.

Уравнение колебаний маятника имеет вид:

Ответ. Часть периода равна 1/3

21 Гармонические колебания материальной точки массой 0.3 кг происходят по закону

Определить (в кДж) максимальную кинетическую энергию материальной точки.

Решение.

Длина пути, пройденная точкой, равна:

Отсюда искомая скорость равна:

Ответ. Средняя путевая скорость равна:

22. Звуковые колебания, имеющие частоту f = 500 Гц и амплитуду A = 0.25 мм распространяются в упругой среде. Длина волны 70 см. Определить скорость распространения волн и максимальную скорость частиц среды

Решение. Скорость распространения волна равна:

Максимальная скорость частиц среды равна:

23. За t = 10 с материальная точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см.

Вычислить среднюю путевую скорость та это время.

Решение.

Длина пути, пройденная точкой, равна:

Отсюда искомая скорость равна:

Ответ. Средняя путевая скорость равна:

24. К концу десятого оборота (N=10) кресло карусели достигли скорости V = 20м/с. С каким тангенциальным ускорением движутся кресла, радиус вращения которых R = 4.9 м ?

Решение.

Тангенциальное ускорение связано с радиусом и угловым ускорением :

Теперь получим:

Подставив численные значения, получим:

Ответ. Ускорение равно:

Размещено на Allbest.ru

...