Стиск пружних тіл сферичної та циліндричної форми за умов негерцівського контакту

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЖУПАНСЬКА ОЛЕСЯ ІВАНІВНА

УДК 539.3

СТИСК ПРУЖНИХ ТІЛ СФЕРИЧНОЇ ТА ЦИЛІНДРИЧНОЇ ФОРМИ ЗА УМОВ НЕГЕРЦІВСЬКОГО КОНТАКТУ

Спеціальність: 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українському державному університеті харчових технологій

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Мартиненко Михайло Антонович, Український державний університет харчових технологій, завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук Сенченков Ігор Костянтинович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник кандидат фізико-математичних наук Куценко Олексій Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, асистент кафедри механіки суцільних середовищ.

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів)

Захист відбудеться “ 29 ” червня 2000 р. о “ 14 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (252127, м. Київ - 127, проспект Глушкова 2, корпус 7, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (252033, м. Київ - 33, вул. Володимирська, 64).

Автореферат розісланий “ 23 ” травня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність і ступінь дослідженості тематики дисертації. Побудова розв'язків контактних задач механіки є одним з пріоритетних напрямків розвитку математичної теорії пружності. Специфічність досліджень в механіці контактної взаємодії пов'язана з необхідністю введення фізично адекватних математичних моделей, які б дозволяли коректно досліджувати механічні ефекти, що виникають в задачах цього класу, і складністю математичного аналізу мішаних задач теорії пружності, які формулюються в рамках прийнятих моделей. Не зважаючи на значні досягнення механіки контактної взаємодії, недостатньо дослідженими залишаються задачі при врахуванні сил тертя в області контакту і реальної кривини контактуючих тіл, що і обумовлює актуальність даної дисертаційної роботи.

У відомих з літератури дослідженнях залишилися невирішеними проблеми побудови розв'язків контактних задач в точній постановці для пружних тіл сферичної та циліндричної форми при врахуванні наведених вище факторів. Лише проведення ретельного математичного аналізу задач в рамках прийнятих математичних моделей дозволяє встановити точні межи застосування цих моделей для опису реальних механічних процесів, обгрунтувати можливі додаткові спрощення при їх використанні та оцінити ступінь коректності цих спрощень стосовно шуканих механічних характеристик.

Тема дисертаційного дослідження має тісний зв'язок з програмами науково-дослідної роботи кафедри вищої математики Українського державного університету харчових технологій, в тому числі з комплексною міжвузівською науковою програмою на 1997-1999 рр. за темою “Створення теорії, методів математичного моделювання і чисельного аналізу процесів деформування твердих тіл та складних механічних систем”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є одержання розв'язків задач контактного стиску пружних тіл сферичної та циліндричної геометрії за умов врахування реальної кривини тіл і сил тертя в контактній області. Зокрема, ставилися наступні завдання:

- розв'язати задачу про гладкий контакт пружних сфер при врахуванні реальної геометрії контактуючих поверхонь і з'ясувати розбіжності між розв'язком поставленої задачі і розв'язком, побудованим в межах теорії Г. Герца, коли контактуючі поверхні замінюються плоскими границями;

- побудувати точний розв'язок задачі про контакт жорсткого циліндра з пружним півпростором при наявності зон зчеплення і ковзання в контактній області і використанні гіпотези автомодельності Д. А. Спенса; визначити зони ковзання і зчеплення, відносні розміри яких є наперед невідомими;

- порівняти точний розв'язок контактної задачі для циліндра і півпростора з розв'язком цієї задачі, одержаним при нехтуванні впливом дотичних контактних напружень на розподіл нормальних напружень в контакті і встановити коректність таких спрощень;

- дослідити задачу про фрикційну взаємодію жорсткої сфери з пружним півпростором в автомодельній постановці, визначити відносний розмір зони ковзання і відмінність його від аналогічних характеристик плоскої задачі.

Наукова новизна одержаних результатів. Подано загальний розв'язок задачі про контактний стиск пружних сфер для гумоподібних матеріалів при формулюванні граничних умов на вихідній поверхні. Проведено аналіз контактних напружень та переміщень точок поверхні сфери. Вперше одержано точний аналітичний розв'язок задачі про контакт з тертям жорсткого циліндра з пружним півпростором в умовах плоского деформованого стану. Встановлено неоднозначність розв'язку задачі при використанні гіпотези автомодельності Д. А. Спенса. Фізично обгрунтованим розв'язком вважається той, для якого контактні напруження змінюються плавно при переході від зони зчеплення до зон ковзання. Показано суттєву розбіжність між точним розв'язком задачі і розв'язком у випадку, коли нехтується впливом дотичних напружень на нормальні в контактній області. Знайдено відносні розміри зон зчеплення і ковзання і розподіли контактних напружень в задачі про контакт з тертям жорсткої сфери з пружним півпростором при плавній зміні контактних напружень в області контакту. Встановлено, що в осесиметричному випадку відносний розмір зони ковзання є набагато меншим ніж у випадку плоскої задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації результати та висновки мають передусім теоретичну цінність. Разом з тим, побудовані в дисертації розв'язки конкретних контактних задач теорії пружності можуть мати успішне застосування при розробці приладів мікрохвильової техніки. Дані про розміри зони контакту і закономірності розподілу контактних напружень дозволяють оцінити динамічні характеристики таких приладів і небажані шуми, джерелом яких є зони ковзання. Також результати досліджень безпосередньо можуть бути застосовані при вивченні співудару твердих тіл, так як в процесі співудару має місце контактна взаємодія тіл і дані про точні розміри областей контакту, різний характер контактної взаємодії в зонах зчеплення і ковзання дозволять більш точно оцінити енергетичні параметри таких задач.

Апробація і публікація результатів дисертації. Основні результати, одержані в дисертаційній роботі, доповідалися на 3-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Україна, м. Львів, 1997), 3-ій Міжнародній науковій конференції “Современные проблемы механики сплошной среды” (Росія, м. Ростов-на-Дону, 1997), на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Україна, м. Львів, 1998), на 4-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Україна, м. Львів, 1999), тези доповідей опубліковано; неодноразово доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах “Проблеми механіки” кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А. Ф. Улітка. Основні результати дослідницької роботи знайшли відображення в семи публікаціях; з них три публікації - статті в журналах, регламентованих ВАК, дві публікації - статті в виданнях наукових праць, дві публікації - тези доповідей.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація структурно складається зі вступу, чотирьох розділів (13 підрозділів), що включають огляд літератури, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації складає 150 сторінок, додатки А і Б складають 20 сторінок, список використаних джерел складає 8 сторінок (82 найменування).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність і рівень дослідженості теми дисертації, визначені її мета та завдання, дається характеристика роботи, формулюється наукова новизна, обгрунтовано теоретичне та практичне значення дослідження, рівень його апробації.

В першому розділі “Огляд літератури” обговорюються публікації вітчизняних і зарубіжних авторів, присвячені побудові розв'язків контактних задач теорії пружності, які мають безпосереднє відношення до задач, що розглядаються в дисертації. Проводиться аналіз методів і підходів, які застосовуються при розв'язанні контактних задач. Видатний внесок в розв'язання проблеми контактного стиску пружних тіл був зроблений Г. Герцем. В теорії Г. Герца вважається, що відносний розмір зони контакту є малим в порівнянні з розмірами контактуючих тіл, тертя в зоні контакту відсутнє та зовнішні сили, що діють на тіла, розташовані на значній відстані від зони стиску. Подальший розвиток контактної механіки пов'язаний саме з узагальненням теорії Г. Герца на випадки, в яких би враховувались вказані вище фактори.

Строга математична постановка контактної задачі для сфери без припущення Г. Герца про малість розмірів контактної області порівняно з радіусом сфери подана в роботах Б. Л. Абрамяна, Н. Х. Арутюняна, А. А. Баблояна, В. Ф. Бондарєвої. В перелічених працях розглянуто низку контактних задач для сфери. Задача про контактний стиск пружних сфер зосередженими силами, прикладеними в їх центрах , при врахуванні реальної кривини контактуючих поверхонь в літературі не розглядалася, крім того, в жодній з відмічених робіт не розглядалося питання про переміщення точок поверхні сфери.

Обговорення ряду задач контактного стиску пружних тіл з урахуванням сил тертя (частіше за все за законом Амонтона-Кулона) містять численні роботи вітчизняних та зарубіжних авторів. Слід відмітити роботу Л. А. Галіна, в якій вперше розглянуто задачу про занурення жорсткого штампа в пружну півплощину при врахуванні тертя в області контакту, роботи В. І. Мосаковського, монографію К. Джонсона, в яких представлені розв'язки багатьох задач даного класу, роботу О. Рейнольдса, який вперше експериментально виявив явище пружного проковзування, роботу Г. Фрома, в якій проведений ретельний математичний аналіз задачі про контакт двох ідентичних циліндрів, що знаходяться в невільному обертовому русі, роботу Д. А. Спенса, який вказав закон зміни “защемленої” деформації в зоні зчеплення при контактному стиску пружних тіл з різними пружними властивостями (узагальнена задача Г. Герца). На жаль, слід констатувати відсутність строгого математичного аналізу проблеми в роботі Д. А. Спенса і в роботах інших дослідників задач цього класу і, отже, постають сумніви в достовірності отриманих результатів. Заповнити цю прогалину покликана дана дисертаційна робота.

В другому розділі “Гладкий контакт пружних сфер без обмежень теорії Г. Герца відносно розмірів зони контакту” побудовано загальний розв'язок задачі винесеної в назву розділу. Вважається, що сфери є ідентичними. Контакт є гладким.

В першому підрозділі “Формулювання задачі” подано граничні умови задачі на вихідних поверхнях сфер. Задача розглядається в звичайних сферичних координатах r, , . Припускається, що розмір зони контакту визначається кутом , радіус сфери дорівнює R, тоді радіус кола, що обмежує контактну область, визначається рівністю

a=Rsin. (1)

В силу симетрії достатньо розв'язати задачу для нижньої сфери. В області контакту 0 відомі осьові переміщення :

= -R(cos - cos), (0 ) (2)

За межами області контакту поверхня сфери вільна від зусиль, всередині контактної області невідомими є осьові зусилля, а дотичні зусилля відсутні. Запишемо граничні умови для циліндричних проекцій вектора зусиль:

, (3)

0 . (4)

Крім того, головний вектор нормальних зусиль повинен бути рівний за величиною і протилежний за знаком силі притискання :

 (5)

Граничні умови (2)-(4), доповнені умовою статики (5), повністю визначають основну мішану граничну задачу теорії пружності для суцільної сфери.

В другому підрозділі “Представлення загального розв'язку задачі” в термінах загального розв'язку зовнішньої задачі для суцільної сфери у вигляді розвинень за поліномами Лежандра, побудованого А. Ф. Улітком, було одержано особливий розв'язок для зосередженої сили, прикладеної в центрі сфери і подано загальний розв'язок вихідної граничної задачі (2)-(4) відносно циліндричних складових векторів переміщень і зусиль в сферичній системі координат.

Третій підрозділ “Розв'язання задачі” присвячено побудові розв'язку сформульованої задачі. Виконання граничних умов зводить задачу до взаємопов'язаної системи парних рядів-рівнянь за поліномами Лежандра відносно нескінченної послідовності сталих інтегрування. Ці сталі остаточно виражаються через коефіцієнти розкладу за поліномами Лежандра невідомих осьових зусиль в контактній області. Беручи для останніх інтегральні представлення Абеля від деякої невідомої функції на інтервалі зміни кутової координати в області контакту, для цієї функції за заданими осьовими переміщеннями ми одержимо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду, що містить логарифмічну особливість і регулярну частину в ядрі:

контакт деформований жорсткий циліндр

 (6)

де

(7)

(8)

Сталою визначається жорстке зміщення сфери, ця стала знаходиться з умови обмеженості контактних напружень в граничних точках області контакту.

Для рівняння (6) неможливо побудувати розв'язок в явному вигляді (через наявність регулярної частини в ядрі), тому в роботі проводиться чисельне розв'язування цього рівняння шляхом заміни його скінченною системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нормальні напруження в області контакту визначаються як

0 . (9)

Дані дослідження проведено для гумоподібних матеріалів (число Пуасона близьке до 2), для яких області контакту можуть бути значними в межах виконання закону Гука. З проведеного порівняння між побудованим в дисертаційній роботі розв'язком і класичним розв'язком Г. Герца випливає, що теорія Г. Герца дає результати з високим ступенем точності для відносно великих розмірів контактної області (кутовий розмір зони контакту порядку 2 27 ). Також було визначено переміщення точок на поверхні сфери.

В третьому розділі “Контакт з тертям жорсткого циліндра з пружним півпростором в умовах плоского деформованого стану” побудовано точний розв'язок задачі і проведено детальний аналіз отриманих результатів.

Перший підрозділ “Постановка задачі. Представлення загального розв'язку в біполярних координатах у вигляді інтегралів Фур'є” містить автомодельну постановку задачі і представлення загального розв'язку для переміщень і напружень у вигляді гармонічних функцій Папковича-Нейбера, які подаються в біполярних координатах інтегралами Фур'є.

Жорсткий циліндр радіуса R занурюється в пружний півпростір монотонно зростаючою силою . Враховується сила тертя між поверхнями циліндра і півпростору в області їх співдотику, в зонах ковзання (-b < x < -a, a < x < b) нормальні і дотичні напруження пов'язані законом сухого тертя Кулона з постійним значенням коефіцієнта тертя . Вважається, що в зоні зчеплення (-a < x < a) виконується лінійний закон зміни защемленої деформації Д. А. Спенса, що дозволяє зберегти подібність поля напружень на всіх етапах навантаження. Таким чином, граничні умови в декартових координатах на границі півпростора формулюються у вигляді

(10)

причому в зоні зчеплення, абсолютні значення дотичних напружень не повинні перевищувати, згідно закону Амонтона-Кулона, добутку

(y = 0, -a < x < a). (11)

Розміри зон ковзання, тобто відношення , не фіксується. Як значення сталої так званої “защемленої” деформації , так і значення відношення повинні визначатися в процесі розв'язання задачі.

Розв'язок задачі будується в біполярних координатах ,, які пов'язані з декартовими координатами x,y, наступним чином

( ). (12)

Загальний розв'язок для переміщень і напружень в біполярних координатах подано у вигляді інтегралів Фур'є.

Побудові точного аналітичного розв'язку поставленої задачі присвячено другий підрозділ “Побудова точного розв'язку граничної задачі”. В цьому розділі одержано інтегральне рівняння граничної задачі (10) відносно невідомого значення контактних тисків () в зонах ковзання:

 (13)

де позначено

(14)

Інтегральне рівняння (13) зведено до функціонального рівняння Вінера-Хопфа. На основі аналітичного розв'язку рівняння Вінера-Хопфа отримано розподіли напружень в області контакту. Отже, розподіл нормальних напружень в зонах ковзання визначається наступним чином

(15)

де позначено . Коефіцієнти і мають вигляд

(16)

і

(17)

Через позначено невідомі сталі, які визначаються інтегралами від шуканого розв'язку

(18)

Рівності (18) одночасно утворюють нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно .

Неперервність і обмеженість розв'язку для контактних напружень при переході через точку поділу зон зчеплення і ковзання забезпечується додатковими умовами

(19)

Величина сили притискання визначається як

. (20)

Визначено горизонтальну деформацію поверхні півпростору в контактній області.

(21)

Перший доданок в (21) відповідає лінійно змінній по заданій деформацію стиску. Він неперервно продовжується на точки вільної поверхні півпростору за межі області ковзання. Це означає, що як на даному етапі навантаження, так і на наступних етапах навантаження, обумовлених монотонним зростанням сили контактного стиску, взаємне зміщення точок пружного півпростору і жорсткого циліндра і, отже, проковзування частинок поверхні півпростору по поверхні циліндра буде визначатися другим доданком для деформації в (21). Цей доданок є відносною деформацією ковзання.

Знайдено розподіл горизонтальних переміщень точок поверхні півпростору в області контакту.

В формули для розподілів контактних напружень, горизонтальної деформації, горизонтальних переміщень входять невідомі величини координата що характеризує відносні розміри зон ковзання, а також невідомі нескінченної системи алгебраїчних рівнянь, яку утворюють рівності (18). Розв'язок цієї регулярної нескінченної системи алгебраїчних рівнянь для довільно заданого не накладає додаткових обмежень на невідомі , . Тому для визначення вказаних трьох невідомих при заданому значенні маємо дві алгебраїчні рівності (19) і інтегральну умову для сили притискання (20). Обмеження на вибір значень (розмірів зон ковзання) накладаються умовою, що у всіх точках зони зчеплення абсолютні значення дотичних зусиль не повинні перевищувати, згідно закону Амонтона-Кулона, добутку (нерівність (11)). Ця умова разом з вимогою стиску волокон в зоні зчеплення () визначають допустимі значення для вибору .

В дисертаційній роботі проведено чисельні обрахунки для значень коефіцієнта Пуасона = 0,3 і коефіцієнта тертя . На основі асимптотичного аналізу поведінки контактних напружень було встановлено, що фізично прийнятний розв'язок задачі існує в широкому діапазоні зміни координати , а саме для . При цьому з'ясовано, що лише для максимального значення , яке відповідає відношенню довжини області зчеплення (2a) до повної довжини області контакту (2b) рівному , має місце плавна зміна контактних напружень при переході від зони зчеплення до зон ковзання. Для всіх інших значень з вказаного діапазону похідні контактних напружень по координаті x обертаються в нескінченність в точках поділу зон зчеплення і ковзання (x = a).

Що стосується горизонтальної деформації в контактній області (21), на основі чисельного аналізу встановлено, що для будь-яких значень з вказаного діапазону () горизонтальна деформація завжди буде деформацією стиску в усій контактній області, але відносна деформація ковзання буде деформацією розтягу у випадку гладкого розв'язку (, ) і деформацією стиску у випадку нульової “защемленої деформації” (, ). При всіх інших значеннях ця функція буде знакозмінною.

Горизонтальні переміщення поверхні півпростору в області контакту для будь-яких значень завжди направлені до центру контактної області.

Таким чином, не виходячи за рамки модельних уявлень задач про контактний стиск пружних тіл при наявності тертя, доповнених гіпотезою автомодельності Д. А. Спенса, задача не має єдиного розв'язку. Для отримання однозначного розв'язку задач нормального контакту з тертям гіпотезу Д. А. Спенса необхідно доповнювати експериментальними даними для відношення . На нашу думку, фізично обгрунтованим розв'язком буде той, для якого контактні напруження змінюються плавно при переході від зони зчеплення до зон ковзання.

Досліджено випадок нестисливого матеріалу (коефіцієнт Пуасона = 0,5). Аналітично встановлено, що у випадку нестисливого матеріалу взаємний контактний тиск півпростору і циліндра не викликає тангенціальних переміщень на границі розділу двох тіл, тертя в області контакту відсутнє і нормальні контактні напруження розподілені згідно теорії Г. Герца.

В третьому підрозділі “Повне зчеплення циліндра з півпростором” дано аналітичний розв'язок задачі на випадок, коли область контакту є зоною зчеплення і закон зміни защемленої деформації є лінійним. Досліджено поведінку контактних напружень на кінцях області контакту та переміщення точок границі півпростору за межами області контакту, але поблизу неї. Встановлено, що контактні напруження мають обмежені за амплітудою осциляції при підході до границі області контакту, що призводить до фізично суперечливих результатів для переміщень поза межами зони контакту і поблизу границі контактної області, оскільки має місце взаємне проникнення матеріальних частинок, розміщених на границі півпростору та поверхні циліндра.

З порівняння розподілів контактних напружень при наявності зон ковзання в граничному випадку гладкого розв'язку і у випадку повного зчеплення слідує, що в усіх внутрішніх точках області контакту, за виключенням точок, прилеглих до границі контактної області, нормальні напруження при повному зчеплення з високим степенем точності співпадають з нормальними напруженнями при врахуванні ковзання в контакті. Що стосується дотичних напружень, то їх розподіли є близькими в центральній зоні області контакту, де має місце зчеплення в обох розглядуваних випадках.

В четвертому підрозділі “Розв'язок задачі при нехтуванні впливом дотичних контактних напружень на розподіл нормальних напружень в контакті” проведено порівняльний аналіз відомого розв'язку Д. А. Спенса розглядуваної задачі, за припущенням незалежності нормальних контактних напружень від дотичних і побудованого в дисертації точного розв'язку (при цьому розподіл нормальних напружень визначається згідно теорії Г. Герца). Встановлено, що відношення довжини області зчеплення (2a) до повної довжини області контакту (2b), взяте Д. А. Спенсом з однозначного розв'язку аналогічної задачі для штампу з плоскою основою, є близьким до відповідного відношення точного розв'язку, знайденого автором дисертаційного дослідження, у випадку гладкої зміни контактних напружень при переході від зони зчеплення до зон ковзання. Розподіл дотичних напружень у випадку точного гладкого розв'язку з високим ступенем точності наближується розподілом дотичних напружень, побудованим при такому самому відношенні зон зчеплення і ковзання у випадку нехтування впливом дотичних напружень на нормальні в контактній області.

В четвертому розділі “Фрикційна взаємодія жорсткої сфери з пружним півпростором” проведено дослідження задачі про нормальний контакт з тертям жорсткої сфери з пружним півпростором. В першому підрозділі “Формулювання задачі в тороїдальних координатах” наведено граничні умови задачі у вказаній системі координат. Розглядається контакт жорсткої сфери з пружним півпросторм z 0 під дією осьової сили . При встановленні граничних умов вважається, що розмір зони контакту b є малим порівняно з радіусом сфери R. Радіальні переміщення в зоні зчеплення (-a < r < a) змінюються пропорційно квадрату відстані від центра зони контакту (гіпотеза Д. А. Спенса) і є невідомими в області ковзання . Нормальні переміщення відомі в усій області контакту (-b < r < b)і визначаються як . На поверхні пружного півпростору поза межами області контакту зусилля відсутні, тому і тангенціальна, і нормальна складові напруження дорівнюють нулеві. Крім того, сили тертя в зоні ковзання підпорядковуються закону Кулона. Оскільки на сферу діє лише осьова сила , то розв'язок задачі буде осесиметричним. Лінією розділу граничних умов є коло, тому доцільним є використання при розв'язанні задачі тороїдальних координат ,,, які так пов'язані з циліндричними координатами r,, z:

, , (22)

, .

Полярний кут є спільним для обох координатних систем. Граничні умови переформульовуються в тороїдальній системі координат наступним чином:

(23)

і для напружень в зоні зчеплення повинен виконуватися закон Амонтона-Кулона

. (24)

В співвідношеннях (23), (24) позначено: - стала так званої “защемленої” деформації згідно гіпотези Д. А. Спенса , - межа поділу зон зчеплення і ковзання і

; (25)

- сталий коефіцієнт тертя; () - невідома функція, якою визначаються нормальні напруження в зоні ковзання.

Таким чином, визначена мішана гранична задача для півпростора з двома коловими лініями розділу граничних умов.

В другому підрозділі “Застосування інтегрального перетворення Мелера-Фока при розв'язанні мішаних задач для півпростора з коловою лінією розділу граничних умов” подано загальні відомості та основні співвідношення стосовно інтегрального перетворення Мелера-Фока та функцій Лежандра. Розв'язано систему узагальнених рівнянь Коші-Рімана в тороїдальних координатах для лінзоподібних областей.

В третьому підрозділі “Побудова розв'язку граничної задачі” на основі представлення гармонічних функцій Папковича-Нейбера у вигляді інтегралів Мелера-Фока, одержано інтегральне рівняння задачі про контакт з тертям жорсткої сфери з пружним півпростором відносно невідомого контактного тиску в зоні ковзання.

Подано розподіли нормальних і дотичних напружень в зоні зчеплення через невідому функцію контактного тиску. З аналізу асимптотичної поведінки цих напружень при виході з зони зчеплення встановлено умови їх обмеженості.

Досліджено випадок нестисливості півпростору (коефіцієнт Пуасона = 0,5). Аналітично встановлено, що в цьому випадку відбувається гладкий контакт між сферою і півпростором і нормальні напруження розподілені згідно теорії Г. Герца.

В четвертому підрозділі “Випадок повного зчеплення” розглянуто занурення жорсткої сфери в пружний півпростір при повному зчепленні поверхонь контактуючих тіл при заданому квадратичному законі зміни радіальних переміщень в контактній області. На основі результатів попереднього підрозділу одержано аналітичні вирази для розподілів контактних напружень.

Обрахунки проведено для значень числа Пуасона = 0,3 і коефіцієнту тертя .

Таким чином, як і у випадку плоскої задачі контакту циліндра з півпростором при повному зчепленні, в розглядуваному випадку можливе існування макрозон ковзання, так як нерівність закону Амонтона-Кулона не виконується в значній області контакту. Але області невиконання закону Амонтона-Кулона відрізняються за розмірами в плоскій і осесиметричній задачах, значить і відносні розміри зон ковзання і зчеплення в плоскій і осесиметричній задачах будуть різними.

В п'ятому підрозділі “Випадок відсутності впливу дотичних напружень на нормальні напруження в контактній області” при нехтуванні впливом дотичних напружень на нормальні і заданому розподілі нормальних напружень в області контакту згідно теорії Г. Герца одержано аналітичний розв'язок задачі на випадок нехтування впливом дотичних контактних напружень на нормальні. Встановлено, що розв'язок такої задачі не є однозначним.

Шостий підрозділ “Аналіз розподілу контактних напружень і розмірів зон ковзання” присвячено детальному аналізу результатів, отриманих в попередніх підрозділах та співставленню розв'язку плоскої задачі, побудованого в третьому розділі з розв'язком аналогічної осесиметричної задачі, побудованого в даному розділі.

В додатку А наводиться нетривіальне перетворення контактних напружень в зоні ковзання до виразу через гіпергеометричні функції Гауса (15) в задачі про контакт з тертям жорсткого циліндра з пружним півпростором.

В додатку Б показано, що нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь яку утворюють рівності (18) у випадку нестисливого матеріалу (коефіцієнт Пуасона = 0,5) має лише нульовий розв'язок.

Висновки. В дисертації подано розв'язки низки задач механіки контактної взаємодії з врахуванням реальної кривини поверхонь контактуючих тіл і врахуванням тертя і зчеплення в контактній області.

Побудовано загальний розв'язок задачі про контактний стиск пружних сфер зосередженими силами, прикладеними в їх центрах, граничні умови якої формулюються на вихідній поверхні. Встановлено, що і для гумоподібних матеріалів теорія Г. Герца забезпечує високу точність розрахунків розподілу нормальних контактних напружень.

Одержано точний розв'язок задачі про контакт з тертям жорсткого циліндра з пружним півпростором в умовах плоского деформованого стану. Встановлено неоднозначність розв'язку задачі при використанні гіпотези автомодельності Д. А. Спенса. Визначено точні закономірності в розподілах контактних напружень і розмірів зон ковзання. Досліджено деформацію півпростора в контактній області. На основі порівняльного аналізу точного розв'язку, розв'язку при повному зчепленні і розв'язку, побудованого при введенні додаткового спрощення стосовно нехтування впливом дотичних напружень на нормальні, встановлено ступінь коректності цих спрощень.

Знайдено відносні розміри зон зчеплення і ковзання і розподіли контактних напружень в задачі про контакт з тертям жорсткої сфери з пружним півпростором у випадку, коли контактні напруження змінюються плавно при переході від зони зчеплення до зони ковзання. В рамках цієї задачі побудовано аналітичний розв'язок задачі для випадку повного зчеплення. Показано наявність суттєвої розбіжності між відносними розмірами зон ковзання в плоскій і осесиметричній задачах, що не було враховано в роботах Д. А. Спенса.

Побудовано розв'язок системи узагальнених рівнянь Коші-Рімана в тороїдальних координатах для лінзоподібних тіл.

Основні положення дисертаційного дослідження знайшли своє відображення в наступних публікаціях

Жупанская О.И. О контакте упругих сфер без упрощений теории Герца // Труды III Международной конференции: “Современные проблемы механики сплошной среды”. -Том 1. - Ростов-на-Дону: мп “Книга”. - 1997 С. 159-163.

Жупанська О.І. Контактний стиск двох сфер зосередженими силами, прикладеними в їх центрах // Вісник Київського ун-ту, Сер. мат. і мех. - 1998. - Вип. 2. - С. 43-48.

Жупанська О.І., Мартиненко М.А. Задача про занурення жорсткої сфери в пружний півпростір // Науковий вісник Миколаївського державного педагогічного університету. - 1999. - Вип. 1. - С. 106-109.

Жупанська О.І. Фрикційна взаємодія жорсткого циліндра з пружним півпростором // Математичні методи та фізико-механічні поля.- 1999. - № 2. С. 125-134.

Жупанська О.І. Визначення зон зчеплення і ковзання при зануренні жорсткої сфери в пружний півпростір // Машинознавство. - 1999. - № 4. - С. 40-45.

АНОТАЦІЇ

Жупанська О. І. Стиск пружних тіл сферичної та циліндричної форми за умов негерцівського контакту. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Дисертаційна робота присвячена побудові розв'язків контактних задач теорії пружності при врахуванні реальної кривини поверхонь контактуючих тіл і тертя в області контакту. На основі загального розв'язку осесиметричної задачі для пружної суцільної сфери методом парних рядів-рівнянь одержано розв'язок задачі про контактний стиск пружних сфер зосередженими силами, прикладеними в їх центрах. Методом Вінера-Хопфа побудовано точний розв'язок задачі про контакт жорсткого циліндра і пружного півпростору при наявності зон зчеплення і ковзання в області контакту. Встановлено неоднозначність розв'язку при використанні гіпотези автомодельності Д. А. Спенса. Знайдено відносні розміри зон зчеплення і ковзання і розподіли контактних напружень в задачі про контакт з тертям жорсткої сфери з пружним півпростором при плавному переході контактних напружень від зони зчеплення до зони ковзання. Показано наявність суттєвої розбіжності між відносними розмірами зон ковзання в плоскій і осесиметричній задачах.

Ключові слова: контактна задача, сфера, циліндр, півпростір, точний розв'язок, область контакту, зона зчеплення, зона ковзання.

Жупанская О. И. Сжатие упругих тел сферической и цилиндрической формы в условиях негерцевского контакта. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Диссертационная работа посвящена построению решений контактных задач теории упругости для случаев учета реальной кривизны поверхностей контактирующих тел и трения в области контакта. На основе общего решения осесимметричной задачи для сплошной упругой сферы методом парных рядов-уравнений получено решение задачи о контактном сжатии упругих сфер сосредоточенными силами, приложенными в их центрах. Методом Винера-Хопфа построено точное решение задачи о контакте жесткого цилиндра с упругим полупространством при наличии зон сцепления и скольжения в области контакта. Установлена неоднозначность решения при использовании гипотезы автомодельности Д. А. Спенса. Найдены относительные размеры зон сцепления и скольжения и распределения контактных напряжений в задаче о контакте с трением жесткой сферы и упругого полупространства при плавном переходе контактных напряжений от зоны сцепления к зоне скольжения. Показано наличие существенного расхождения между относительными размерами зон скольжения в плоской и осесимметричной задачах

Ключевые слова: контактная задача, сфера, цилиндр, полупространство, точное решение, область контакта, зона сцепления, зона скольжения.

Zhupanska O. I. Compression of Spherical and Cylindrical Elastic Bodies in Assumption of Non-Hertzian Contact. - Manuscript.

Dissertation for the Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Solids. - Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to the construction of exact solution for contact problems taking into account the real curvature of bodies' surfaces and the friction in contact zones.

The structure of the dissertation is as follows: introduction, four chapters (13 subchapters), which include the bibliography review, conclusion, references and two appendixes.

In the introduction to the dissertation the author stresses out the reasons of choosing the theme for dissertation, the innovations produced, the approbation of the researcher's results (conferences, publications etc.).

The First Chapter contains the bibliography review, where a number of papers on similar contact problems is discussed. By critical analysis of known publications the author emphasizes the problems and questions that weren't resolved by her predecessors.

In the Second Chapter the problem of smooth contact of two identical elastic spheres without Hertzian limitation on contact zone sizes is considered. Since the contact is smooth, the tangential stresses are absent in the contact zone. Due to symmetry it suffices to obtain solution for only one, say, lower sphere. In the contact zone the axial displacement is supposed to be known, and the surface of sphere is free of loading outside the contact region. Inside the contact region the axial stress is unknown, ant the tangential one is equal to zero. The boundary-value problem is formulated in spherical coordinate system. Using general solution of an axisymmetric problem for a sphere, and expressing the unknown normal stress in the contact zone by Abel's integral of some unknown function, we obtained the integral equation of the problem. It turns to be the Fredgolm integral equation of the second kind with logarithmic singularity and a regular part in the kernel. An exact solution of this equation cannot be constructed due to presence of the regular part in the kernel, so numerical integration of the equation was performed. The solution was investigated details for the case of a rubbery material, for which the Poisson ratio is approximately equal to 1/2. In this case the contact zones might be large within the Hooke's law. The comparison of obtained solution with classical Hertz's solution shows that Hertzian theory performs well even for non-small contact angles (about 13.5 degrees). As a supplement to classical Hertzian theory the distribution of displacement of surface points was constructed.

The contact of a rigid cylinder and an elastic half-space in presence of the Coulomb friction in the contact zone is considered in the Third Chapter. It is known that normal pressing of two bodies with different elastic properties causes slipping at the edges of contact region. The contact zone is divided into three regions, one of them is the adhesion zone, and two others are the slip zones. It is supposed that Spence's linear law of `frozen deformation' holds in the adhesion zone, preserving the similarity of stress patterns at different stages of loading.

The boundary-value problem is formulated and solved in planar bipolar coordinates. Using the integral Fourier transform author obtained the integral equation of the problem with respect to unknown normal pressure in the slip zones. Exact analytical solution of this equation was constructed using Wiener-Hopf technique. The solution contains a series of constants, which should be determined from finiteness and continuity of contact stresses over the boundary of slip and stick zones. This condition with Coulomb's law and condition of fiber compression in adhesion zone makes it possible to determine all the constants and obtain permissible values of slip zone size. Analysis of contact stresses shows that physically feasible solution exists in wide range of changing of some constant , which determines the slip zone size. It was ascertained that only for the maximum value of the contact stress will be smooth over the border of slip and stick zones. For all other values of the derivatives of contact stresses are infinite over the border of two zones. By thorough analysis of the problem of frictional contact of a rigid cylinder with an elastic half-space it was ascertained that Spence's hypothesis of so-called `frozen deformation' does not allow to obtain a single-valued solution for contact stress. All calculations were performed for values of Poisson ratio and coefficient of friction .

Also the case of an incompressible medium was considered. It was analytically proven that in this instance the mutual pressing of cylinder and half-space does not involve the tangential stress on the boundary of two bodies and the normal stress has the Hertzian distribution.

An exact analytical solution was obtained also for the case when the whole contact zone is an adhesion zone and the `frozen deformation' law is linear. The contact stress at the edges of the contact zone was investigated as well as displacement of the surface points of half-space near to the boundary of contact region. It is ascertained that the contact stress has finite-amplitude oscillations near the boundary of contact zone, which leads to physically contradictory results for displacement outside the contact region.

As a part of the analysis of the problem, the comparison of Spence's solution of the considered problem in assumption of independence of normal and shear stresses with autor's solution was done. The Spence's ratio of adhesion zone and full contact zone sizes is close to the ratio found by the author for the case of smooth contact stress over the whole contact region.

The Fourth Chapter contains solution for problem of frictional contact of a rigid sphere and an elastic half-space. The friction in the contact zone is supposed to follow the Coulomb's law, and the statement of the problem is analogous to the planar one. The boundary-value problem is formulated using the toroidal coordinate system, since the borders between adhesion and slip zones, and between contact zone and free surface are circular. The integral equation of the problem with respect to unknown contact pressure in the contact zone is obtained. The problem also was investigated in various statements: when the medium of half-space is incompressible, when the only adhesion zone is present in the contact region, when neglecting the influence of the shear stress on the normal stress in the contact region. It is shown that in the case of incompressible medium the contact is smooth and the solution has Hertzian form. In the case of full adhesion it is shown that contact stress is oscillating when leaving the contact zone. Under assumption of independence of normal and tangential stresses in contact zone it is impossible to construct a unique solution.

Comparison of solutions for the planar an axisymmetric problems shows that ratios of stick and slip zones for both problems are not similar, and the width of the slip zone in axisymmetric problem is much less than that for the planar problem.

Keywords: contact problem, sphere, cylinder, half-space, exact solution, contact zone, adhesion zone, slip zone.

Размещено на Allbest.ur

...