Основы теоретической механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАНИЕ С 1-13

Дано: М=60 Н•м, F₁= 10 Н, F₄= 40 Н, l= 0,5 м.

Найти: Реакции связей в т. А и В.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим равновесие жесткой рамы. На раму действуют: силы и , пара сил с моментом М и реакции связей , , .

Неизвестны реакции связей , , . Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

, . (1)

, . (2)

, . (3)

Из уравнения (3):

R_B- 114,46 (Н).

Из уравнения (2):

11,34 (Н).

Из уравнения (1):

-154,1 (Н).

Реакции, полученные со знаком "минус", в действительности имеют направление противоположное принятому на рисунке.

Проверка: .

.

.

Ответ: Х_А = -154,1 Н, Y_A = 11,34 H, R_B = - 114,46 H.

ЗАДАНИЕ C2-13

Дано: P₁ = 15 Н, P₂ = 25 Н, М = 50 Н•м, l = 0,2 м, F₄ = 40 H, б₁ = 30є.

Найти: реакции связей в точках А, В, С и К.

Решение: Исходная схема изображена на рисунке 1.

Рис. 1 Рис. 2

Действия связей в точках А, B и К заменяем реакциями Х_A, Y_A, Х_B, Y_B и R_K соответственно. Изображаем действующие на брус силы Р ₁, Р _2, F₄ и момент М (рис 2).

Проводим координатные оси. Расчленяем систему на две части (рис 3 и рис 4). Реакции и равны по модулю и противоположно направлены.

Рис. 3 Рис. 4

Рассмотрим равновесие левой части (рис 2):

; / (1)

; . (2)

; . (3)

Из уравнения (3):

(Н).

Из уравнения (2):

(Н).

Из уравнения (1):

(Н).

Рассмотрим равновесие правой части (рис 3):

; . (4)

; . (5)

; . (6)

Из уравнения (6):

(Н).

Из уравнения (5):

(Н).

Из уравнения (4):

(Н).

Реакции, полученные со знаком "минус" в действительности, имеют направление противоположное принятому на рисунке.

Проверка: .

.

.

Ответ: X_A = -60,41 H; Y_A = 129,63 H; R_K = -234,88 H; X_B = -22,39 H; Y_B = -13,78 H; R_C = -44,78 H.

ЗАДАНИЕ К 1-13

Дано: уравнения движения точки в плоскости ху при 1 с.

, .

Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории в момент .

Решение: 1. Уравнение траектории. Для определения уравнения траектории точки исключим время из заданных уравнений движения.

Воспользуемся свойством тригонометрических функций:

.

,

,

.

Это уравнение эллипса: малая полуось равна 3, а большая - 12.

2. Скорость точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси:

, .

При =1 с.

(см/с), (см/с).

Модуль скорости:

(см/с).

3. Ускорение точки. Находим аналогично:

, .

При =1 с.

(см/с²), (см/с²).

Модуль ускорения:

(см/с²).

4. Касательное ускорение.

Используем формулу:

.

При =1 с.

(см/с²).

5. Нормальное ускорение.

(см/с.²).

6. Радиус кривизны траектории.

(см).

v	a	a	an
см/с	см/с 2	см
3,42	2,88	2,45	1,51	7,7

ЗАДАНИЕ К 2-13

Дано: 90, 120, 90, 90, 60, щ₁= 3 с^-1, АD=DЕ, 0,4 м, 1,2 м, 1,4 м, 0,8 м.

Найти: скорости , , .

Решение:

Строим положение механизма при заданных углах.

Скорость т. А ==1,2 (м/с).

Вектор О₁А и направлен в сторону вращения звена О₁А.

Определение .

Зная направления и , найдем положение МЦС звена АB (т. С ₃).

Тогда:

, (1)

Из рисунка следует, что АВС ₃ прямоугольный, а АDС ₃ - равносторонний, т.е.

,

.

Тогда из (1): = = 2,08 (м/с).

и = 1,2 (м/с).

Вектор скорости направлен в соответствии с угловой скоростью вращения звена АВ.

Определение .

Найдем положение МЦС звена 2 (т. С₂).

Тогда:

. (2)

Из рисунка видно, что DЕС ₂ прямоугольный c углом ЕС ₂D=30°, значит:

;

.

Тогда (м/с).

Определение .

Из (2) (с^-1).

ЗАДАНИЕ К 3-13

Дано: Точка М движется относительно пластины. Уравнение относительного движения т. М:

(см).

Уравнение движения тела c^-1; t=1 с; b=12 см.

Найти: Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т. М.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение: Рассматриваем движение т. М как сложное, считая ее движение по прямолинейному желобу относительным, а вращение пластины - переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

,

.

или в развернутом виде:

.

Положение т. М:

При t=1 с. = - 48 (см) - т. М находится в области отрицательных значений на отрезке АВ.

Диагональ:

.

Расстояние =48 см.

Относительное движение.

Относительная скорость:

.

При =1с. = - 40 (см/с)

Вектор относительной направлен в сторону отрицательных значений .

Модуль относительной скорости =40 см/с.

Модуль относительного касательного ускорения , где (см/с²).

Значит 80 (см/с²).

Вектор направлен в сторону положительных значений .

Знаки и разные, следовательно, относительное движение т. М замедленное.

Относительное нормальное ускорение:

,

так как траектория относительного движения - прямая линия ().

Переносное движение.

Модуль переносной скорости:

,

где R=ОМ - радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой совпадает в данный момент т. М.

=67,9 (см);

- модуль угловой скорости тела: рад/с.

Модуль переносной скорости:

(см/с).

Вектор направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела.

Модуль переносного вращательного ускорения:

,

где - модуль углового ускорения тела D: , то есть 0 и значит .

Модуль переносного центростремительного ускорения:

(см/с²).

Вектор направлен от т. М к т. О.

Кориолисово ускорение:

.

Модуль кориолисова ускорения:

,

где .

Так как 3 рад/с, а 40 см/с то (см/с²).

Вектор направлен в соответствии с правилом векторного произведения.

Абсолютная скорость. Абсолютную скорость т. М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей. Векторы и расположены под углом 135^о друг к другу.

Модуль абсолютной скорости:

(см/с).

Абсолютное ускорение. Все векторы лежат в плоскости чертежа. Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций:

848,1 (см/с²),

-448,1 (см/с²),

(см/с²).

ЗАДАНИЕ Д 1-13

Дано: =1,8 кг, =24 м/с, Q=5 Н, R=0,3v Н, =2 с, Н.

Найти: - закон движения груза на участке ВС.

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. На груз действуют сила тяжести:

,

реакция стенки постоянная сила и сила сопротивления:

.

Проведем ось вдоль АВ. Составим дифференциальное уравнение движение в проекции на эту ось:

,

.

Перепишем это уравнение с учетом того, что :

.

Обозначим и . Тогда:

,

.

Постоянную С ₁ находим по начальным условиям: при , что дает:

.

.

Отсюда получаем

.

При перемещении груза в точку В =2 с, .

Тогда:

=12,47 (м/с).

2). При рассмотрении движения груза на участке ВС найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью. Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекции на оси :

.

Обозначим и . Разделяя переменные и интегрируя, получим:

;

при начальных условиях и =12,47. То есть:

.

После интегрирования:

.

Т.к. при , то и окончательно искомый закон движения груза на участке ВС будет:

ЗАДАНИЕ Д 3-13

Дано: 24 кг, 8 кг, =0 м/с, м.

Найти: - скорость плиты в момент .

Решение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза Д, в произвольном положении. Действующие на систему внешние силы: силы тяжести , и реакция направляющих .

Для определения воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в проекции на ось . Т. к. действующие на систему внешние силы вертикальны, то ,

.

Отсюда .

Для данной механичной системы:

,

,

,

количества движения плиты и груза соответственно ( - скорость плиты, - скорость груза по отношению к осям ). Тогда с учетом, что :

(*)

При определении учитываем, что движение груза сложное, считая его движение по отношению к плите относительным (вращательное), а движение самой плиты - переносным. Тогда,

.

Но . Вектор направлен по касательной к желобу и численно:

,

.

.

При найденном значении равенство (*) примет вид:

. (**)

Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при =0. Подстановка этих величин в уравнение (**) дает и тогда из (**) получим:

.

Отсюда зависимость скорости плиты от времени:

.

Подставим значения соответствующих величин:

.

и окончательно при =1 с.

(м/с) - направлена вправо.

ЗАДАНИЕ Д 4-13

Дано: =0 кг, =2 кг, =4 кг (однородный каток), =0 кг, =10 кг, (равномерно распределены по ободу), М ₄=0,3 Нм, М ₅=0 Нм, Н, =0,1, =0,3 м, =0,1 м, =0,2 м, =0,1 м, =0,6 м.

Найти: в тот момент времени, когда .

Решение: 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2,3,5 и невесомых тел 1,4, соединенных нитями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На систему действуют внешние силы: активные , , , , реакции , , , сила трения , и момент ₄ сил сопротивления шкива 4. Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

. (1)

2. Определяем и . Так как в начальный момент система находится в покое, то. Величина равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

.

Учитываем:

1) тело 1 движется поступательно:

;

2) тело 5 вращается вокруг неподвижной оси, момент инерции:

;

,

.

3) тело 3, радиус которого обозначим , движется плоскопараллельно:

,

момент инерции:

,

,

.

Выразим все скорости через . Заметим, что:

,

.

,

.

Следовательно,

== 6,333. (2)

3. Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь . Обозначим - угол поворота шкива 4, и - перемещение груза 2 и центра катка 3.

=132 (Дж),

, , .

Работы остальных сил равны нулю, так как точка, где приложены силы, , - мгновенный центр скоростей; точка приложения и неподвижна, а и перпендикулярны перемещению груза.

Как видно из рисунка:

,

,

,

,

.

Следовательно, работы внешних сил равны:

== - 13,85 (Дж).

== - 2,4 (Дж),

= (Дж).

Сумма вычисленных работ равна.

=132-13,85-2,4-1,2= 114,55 (Дж). (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в (1) при получаем уравнение для искомой величины :

6,333=114,55 и = 4,25 (м/с).

ЗАДАНИЕ Д 7-13

Дано: =30 Н, =0 Н, =10 Н, =20 Н, =0 Н, М ₂=0,6 Н•м, =0,3 м, =0,15 м, =0,2 м, =0,2 м, =0,1 м, =0,1 м.

Найти: ускорение a₁

Решение: Изображаем схему при заданных условиях.

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1,2,3,4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Для определения ускорения применим общее уравнение динамики: равновесие относительное движение ускорение

,

где - сумма элементарных работ активных сил;

- сумма элементарных работ сил инерции.

2. Зададимся направлением ускорения. Изобразим силы инерции и моменты инерции, величины которых равны:

, , .

3. Сообщая системе возможное перемещение получим:

(*)

Выразим все перемещения через :

;

;

.

Величины е₁, е₂, a₃ и a₄ выразим через a₁:

;

;

.

Уравнение (*) принимает вид:

.

Так как , то:

.

Подставляем значения:

.

.

.

Откуда: .

Ответ: .

ЗАДАНИЕ Д 9-13

Дано: R₁= R₂= R=0,25 м, r₁=0,4R, r₂=0,8R, Р ₁= 0, Р ₂= 12Р, Р ₃= 2Р, Р ₄= 0, Р ₅= 3Р, M₁ =0, M₂ = 0,2PR, F = 10Р,

Найти: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение: 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота колеса 2 от равновесного положения.

Составим уравнение Лагранжа:

(1)

2. Кинетическая энергия системы:

.

Т.к. колесо 1 вращается вокруг оси, груз 3 движется поступательно, а каток 5 - плоскопараллельно, то:

; , ,

, .

Тогда,

.

Имея ввиду, что для катка 5

.

(точка опоры катка о поверхность - мгновенный центр скоростей), получаем:

.

Выразим все скорости через обобщенную скорость . . Тогда,

,

, .

Следовательно,

==.

Т.к. здесь Т зависит только от , то:

, , . (2)

3. Определим обобщенную силу .

На систему действуют активные силы: сила тяжести и пара сил с моментом М ₂.

Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение (). Тогда центр катка получает перемещения:

; и , .

Элементарная работа действующих сил равна:

==.

Коэффициент при в записанном выражении и будет искомой обобщенной силой. Следовательно,

, (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение Лагранжа (1), получим:

.

,

= 0,414g 4,06 (м с^-2).

Размещено на Allbest.ru

...