Теории эксперимента

10

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ОМДиМ

СЕМЕСТРОВОЕ ЗАДАНИЕ

по курсу «Теория эксперимента»

Образец

Выполнил: ст гр.

Принял:

Алчевск, 2013

Вариант № 1

Выполнить организацию и статистическую обработку модельного эксперимента по исследованию силы процесса горячей прокатки при следующих условиях:

а) диаметр валков D_в = 450ч750мм;

б) толщина полосы: H = 4ч8мм;

в) обжатие: Дh = 1ч3мм;

г) ширина полосы: В = 1200ч2200мм;

д) скорость прокатки: V_пр = 1ч5м/с;

е) скорость деформации u = 10ч100с^-1;

е) обработка поверхности валков: от грубого обтачивания до тонкого

шлифования.

ж) температура металла - 800ч1000⁰С;

з) марки сталей - легированные.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Приведение переменных процесса к безразмерному виду

2. Определение пределов изменения факторов

3. Составление плана эксперимента

4.Статистическая обработка эксперимента

5. Интерпретация результатов эксперимента

1. ПРИВЕДЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССА К БЕЗРАЗМЕРНОМУ ВИДУ

1.1 Выбор отклика

По условию требуется исследовать силу прокатки Р. Но для увеличения общности результатов эксперимента в качестве отклика будем использовать среднее удельное усилие прокатки р_ср:

,

где S_од - площадь очага деформации, мм².

1.2 Выбор факторов.

Рекомендуется все факторы, которые могут существенно влиять на исследуемый процесс, записывать по группам:

а) геометрические факторы: D_в, Н, Дh, В (мм);

б) кинематически факторы: V (м/с); скорость деформации u (1/с);

в) условия внешнего трения: при горячей прокатке характеризуются средней величиной микронеровностей поверхности валков R_z (мкм);

г) температурные условия: t⁰C;

д) сопротивление деформации металла: при горячей прокатке описывается эмпирической зависимостью [1]:

,

где у_б - базисное сопротивление деформации, МПа;

е - степень деформации;

u - скорость деформации, 1/с;

e - основание натуральных логарифмов;

m₁ - показатель степени деформационного упрочнения;

m₂ - показатель степени скоростного упрочнения

m₃ - показатель степени температурного разупрочнения, 1/t⁰С.

Факторы е, m₁,m₂ являются безразмерными, поэтому они уже есть критерии подобия. Остальные нужно привести к безразмерному виду.

1.3. Анализ размерностей.

Для приведения факторов к безразмерному виду воспользуемся анализом размерностей по методу Релея. В его основе лежит предположение о том, что в интервале изменения исследуемых факторов зависимость от них отклика является монотонной. Обычно это предположение оправдывается; в противном случае интервалы изменения факторов можно разбить на участки монотонного изменения.

Для анализа размерностей все переменные процесса записываются в таблицу 1.

Таблица 1. Таблица размерностей

Из таблицы 1 следует, что всего имеется n = 11 размерных параметров, для описания которых используется k = 4 основные размерности. В соответствии с р-теоремой должно получится n - k = 7 новых безразмерных величин.

Запишем искомую зависимость в виде степенной функции с неизвестными до проведения эксперимента показателями степеней:

(1)

Заменим в (1) обозначения формулами размерностей:

Чтобы уравнение (1) было однородным относительно размерностей в соответствии со 2-й теоремой подобия, необходимо выполнение следующих соотношений между показателями степеней:

F:1= i

L: - 2 = a + b + c + d + e + f -2i

и:0 = - f - g

T:0 = h - k

Отсюда:

f = g;h = k;-2 = a + b + c + d + g - 2

b = - a - c - d - g

Подставляем полученное в (1):

Объединяя члены с одинаковыми показателями степеней, получаем критерии подобия:

Получено 7 новых критериев подобия в соответствии с р - теоремой. К ним следует добавить безразмерные параметры m₁ и m₂, также являющимися критериями подобия. Т.о. исследуемый объект может быть описан 9 безразмерными величинами:

Легко видеть, что все полученные симплексы и комплексы являются безразмерными. Например:.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ИЗМЕНЕНИЯ ФАКТОРОВ

1. Критерий

: ; ;

2. Критерий

: ; ;

3. Критерий

: ; ;

4. Критерий

: ; ,

т.к. при грубом обтачивании средняя высота микронеровностей равна 20мкм, а при тонком шлифовании - 0,32мкм [2];

5. Критерий

: ; ;

Для определения диапазона изменения остальных параметров по справочнику [1] находим пределы изменения параметров m₁; m₂; и m₃ для легированных сталей: m₁ = 0,252ч0,35; m₂ = 0,087ч0,143; m₃ = 0,0028ч0,037.

6. Критерий t m₂:

; ;

7. Критерий m₁;

; ;

8. Критерий m₃:

; .

Выбираем масштаб моделирования m = 10. В соответствии с 1-й теоремой подобия критерии подобия модели и натуры должны быть равны. Поэтому все размеры модели, в том числе и высоты микронеровностей, должны быть в 10 раз меньше, чем у натуры. Материал модели и температуры деформирования берем таким же, как и у натуры. Для выполнения условия подобия по излучению, являющимся преобладающим механизмом остывания при прокатке, выполняем кинематическое условие:

,

из которого следует кинематическое условие V_м = V_н.

3. СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ЭКСПЕРИМЕНТА

В общем случае отклик исследуемого процесса зависит от 8 факторов. Однако не все они значимо влияют на отклик. Целесообразно исследовать только значимые, существенно влияющие на отклик факторы. В данном случае это:

и эффект парного взаимодействия Таким образом требуется составить план активного эксперимента для 6 переменных. В соответствии с рекомендациями в первом приближении составляется план первого порядка для получения регрессионной модели вида:

, (2)

где .

Для получения модели вида (2) необходимо иметь число опытов:

.

С учетом минимум троекратного дублирования . Поскольку эффекты взаимодействий высших порядков (более 3-го) обычно не значимы, то для уменьшения числа опытов воспользуемся дробным факторным экспериментом ДФЭ 2^n-p, где n - число факторов, а р - количество взаимодействий ПФЭ, замененных новыми факторами.

Находим вид реплики, исходя из:

Отсюда n = 3, a 6 - p ? 3. следовательно, р = 3. таким образом планируется ДФЭ как 1/8 - реплика от ПФЭ 2⁶.

Из матрицы следует, что в ПФЭ 2³ парный эффект х2 х3 заменен новым фактором х5, а тройной эффект х1х2х3 - новым фактором х4.

где - максимальная дисперсия в одном из опытов;

- табличное значение критерия Кохрена;

f = m-1 - число степеней свободы этого критерия.

,

где - критерий Кохрена при уровне значимости б = 5% [3].

Следовательно, ряд дисперсий воспроизводим и первая предпосылка регрессионного анализа выполняется.

4.4 Абсолютная и относительная погрешности эксперимента

Абсолютная погрешность эксперимента находится как доверительная оценка истинного значения случайной величины при неизвестной точности измерений: %

где - значение критерия Стьюдента при доверительно вероятности р = 0,95% и числе степеней свободы . Следует учитывать, что этот критерий двухсторонний и поэтому б = 0,5q, где q = 1-р. По [3] t(2,5; 16) = 2,1199. Поэтому:

.

Относительная погрешность эксперимента равна:

,

где - среднее значение отклика в эксперименте.

,

4.5. Оценка коэффициентов регрессии и свободного члена

Благодаря ортогональности плана ДФЭ оценивание коэффициентов регрессии существенно упрощается, т.к. нет необходимости решать систему нормальных уравнений МНК. Каждый коэффициент регрессии находится по своей формуле 2.

,

где - номер опыта;

- номера факторов ().

,

В результате получается функция регрессии в кодированных значениях факторов:

(3)

Проверка правильности вычислений подстановкой кодированных значений факторов из расширенной матрицы плана эксперимента по, например, 5-му опыту:

что достаточно близко к отклику пятого опыта, равного 126.

4.6 Декодирование модели

Связь между кодированными Х_i и натуральными значениями факторов x_i выражается соотношением:

,,

где х_0i - нулевой уровень по таблице кодирования факторов;

Д_i - интервал варьирования i - го фактора.

Подставляя в (3), получаем:

Раскрывая скобки и группируя члены, находим уравнение регрессии в натуральных значениях факторов:

(4)

Проверка (4) производится подстановкой натуральных значений факторов каждого опыта. Результаты записываются в столбец расширенной матрицы эксперимента.

Например, опыт №1:

Расчет вести с точностью на один порядок больше, чем у . Из сравнения с видно, что наибольшее расхождение с опытами плана имеется во 9 -м опыте:

Оно равно (- 2,773), т.е. относительное отклонение от экспериментального значения отклика составляет:

Это вполне естественно, т.к. полученная модель является регрессионной, т.е. поверхность уровня проходит не точно через все экспериментальные точки, а среднеквадратично. Незначительная разница между отклонениями в центре плана и остальными позволяет предположить, что исследуемая зависимость действительно линейна. Но это нужно проверить статистически.

4.6 Проверка значимости коэффициентов регрессии

Для отсеивания не значимых а_i с некоторой вероятностью р используется t-критерий Стьюдента. Если:

то данный коэффициент регрессии значим. Здесь , а -дисперсия i-го коэффициента регрессии. Дисперсия оценивается по формуле:

где x_ij - j-е натуральное значение i-го фактора (из таблицы кодирования). Этот критерий является односторонним.

Дисперсии оценок коэффициентов регрессии (3):

;

;

;

;

;

.

Критерии Стьюдента для коэффициентов регрессии:

; ; ;

; ; .

По [3] при f1 = 16 и б = 0,5 t_16,5% = 1,7459. Т.о. все коэффициенты регрессии значимы. Следовательно, все введенные в эксперимент факторы являются существенно влияющими на отклик.

4.7 Проверка адекватности линейной модели

При выборе формы уравнения регрессии была принята в качестве первого приближения линейная зависимость. Теперь следует проверить, насколько правильным было это предположение. Проверка выполняется сравнением дисперсии неадекватности с дисперсией эксперимента. Следовательно, нужно проверить гипотезу:

,

где н₁- число степеней свободы дисперсии неадекватности

н₁ = mN - (d+1);