Пошук шарових пластин на згинаюче і стискаюче навантаження

Размещено на http://www.allbest.ru/

Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ПОШУК ШАРОВИХ ПЛАСТИН НА ЗГИНАЮЧЕ І СТИСКАЮЧЕ НАВАНТАЖЕННЯ

Спеціальність: Будівельна механіка

Копитько Ольга Олександрівна

Дніпропетровськ, 2000 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Шарові конструкції знайшли широке застосування у різних галузях сучасної техніки, що зумовлено прагненням досягти високої міцності та жорсткості при малій матеріаломісткості. Вони також ефективні при утворенні необхідних звуко- і теплоізоляційних властивостей споруд.

Великий інтерес до шарових конструкцій викликано і утворенням нових композиційних матеріалів, котрі, як правило, мають знижений опір поперечному стисканню і поперечному зсуву.

Основною тенденцією розвитку сучасних методів розрахунку таких конструкцій є врахування нелінійного розподілу компонент напружено-деформованого стану за товщиною пакету шарів. Більшість відомих теорій не враховують поперечні деформації стискання та не лінійність змінювання напружено-деформованого стану за товщиною шарових систем, або враховують їх дуже приблизно. У цьому зв'язку актуальною задачею є удосконалення теорії і методів розрахунку шарових конструкцій із композиційних матеріалів.

В роботі О.П. Прусакова наведена теорія розрахунку трансверсально ізотропних шарових пластин несиметричної будови з високим показником змінності напружено-деформованого стану (НДС). Такий НДС виникає у товстих шарових пластинах при дії локального навантаження та наявності різних концентраторів напружень. Ця теорія побудована на основі методу розкладання компонент НДС у ряди за поперечною координатою і використанні змішаного варіаційного принципу Рейсснера для одержання рівнянь рівноваги та умов на контурі. Вона враховує деформації поперечного зсуву, стискання і не лінійність змінювання НДС за товщиною пакету шарів.

При побудові теорії вільне поперечне навантаження, яке діє на шарову пластину, наведено у вигляді згинаючої (q) та стискаючої (p) складових.

Загальний НДС наведено у вигляді суми основного (не урівноваженого) і послідовності урівноважених НДС із зростаючими показниками їх змінності за товщиною. При цьому основний НДС точно задовольняє умовам навантаження на лицевих площинах пластини. Такий підхід дозволяє визначати з високою точністю як внутрішній НДС, так і НДС примежшарів. Окрім цього, такий підхід дозволяє використовувати комбінований метод розрахунку, який складається із методу зв'язаних рівнянь та енерго-асимптотичного методу (ЕАМ). ЕАМ може бути використаний тільки для визначення урівноважених НДС і приводить до ітераційного процесу.

Основні рівняння теорії, які враховують за методом зв'язаних рівнянь основне (не урівноважене) и два урівноважених НДС, мають 22-й порядок. На їх основі можна визначати не тільки внутрішній НДС шарової пластини, але і у відповідному наближенні НДС примежшарів.

Для уточнення НДС примежшарів пропонується використовувати ЕАМ, за допомогою якого наступні урівноважені НДС визначаються на основі окремих рівнянь 6-го порядку.

Для шарових пластин симетричної будови основні рівняння теорії розпадаються на дві незалежні системи 12 і 10-го порядків, які описують згинаючу та стискаючу деформації. Показано, що в цьому випадку внутрішній НДС визначається з високою точністю у широкому діапазоні змінювання пружніх геометричних параметрів шарів.

Для шарових пластин несиметричної будови практична реалізація цієї теорії зв'язана з великими математичними труднощами, що зумовлено високим порядком розв'язувальних рівнянь.

У зв'язку з цим пропонується визначати НДС шарових пластин несиметричної будови шляхом їх окремого розрахунку на дію згинаючого і стискаючого навантажень із наступним підсумовуванням результатів розрахунку. Такий підхід дозволяє знизити порядок розв'язувальних рівнянь для згинаючої і стискаючої деформацій та зменшити обсяг обчислень. Сказане вище має велике значення при визначенні НДС для тонких і товстих шарових пластин: НДС тонких пластин буде визначатися в основному згинаючим навантаженням, а товстих - стискаючим. Мету та задачі дослідження становлять:

- розробка методу розрахунку несиметричних за товщиною шарових пластин з високим показником змінності НДС, який дозволяє зменшити труднощі розрахунку та забезпечує високу точність визначення НДС у широкому діапазоні змінювання геометричних параметрів шарів;

- побудова послідовностей функцій із зростаючими показниками їх змінності, які апроксимують всі компоненти НДС шарової пластини за товщиною;

- одержання основних рівнянь, які забезпечують високу точність визначення внутрішнього НДС шарових пластин несиметричної будови при дії згинаючого та стискаючого навантажень;

- розробка програмного забезпечення для розрахунку прямокутних вільно спертих шарових пластин на дію різних поперечних навантажень;

- проведення досліджень внутрішнього НДС шарових пластин несиметричної будови для оцінювання їх точності та галузі застосування;

- оцінка ефективності запропонованого методу для задач з високим показником змінності внутрішнього НДС.

Об'єктом дослідження є трансверсально ізотропні несиметричні за товщиною шарові пластини з високим показником змінності напружено-деформованого стану.

Предметом дослідження є розробка методу розрахунку шарових пластин на згинаюче і стискаюче навантаження, який дозволяє визначати з високою точністю як внутрішній НДС, так і НДС примежшарів для широкого діапазону змінювання модулів пружності та товщини шарів.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі:

- використано змішаний метод розв'язання задач, коли за основні невідомі приймаються всі компоненти переміщення і поперечні компоненти напруження, що дозволяє точно виконати умови навантаження на лицевих площинах пластини;

- напруження визначаються через основні невідомі за допомогою співвідношень пружності;

- використано метод розкладання компонент НДС у ряди за поперечною координатою, який дозволяє виключити залежність порядку розв'язувальних рівнянь від кількості шарів і одержати регулярний процес уточнення розв'язань;

- переміщення апроксимуються за товщиною ортогональними системами функцій, які для однорідних пластин переходять у поліноми Лежандра;

- апроксимуючі функції для поперечних напружень визначаються з рівнянь рівноваги елемента пластини при його деформації за циліндричною поверхнею;

- такі методи побудови апроксимуючих функцій дозволяють подати загальний НДС у вигляді суми основного (не урівноваженого) і послідовності урівноважених станів із зростаючими показниками їх змінності за товщиною;

- такий підхід дозволяє використовувати комбінований метод розрахунку, який складається із методу зв'язаних рівнянь і енерго-асимптотичного методу (ЕАМ);ЕАМ може бути використаний тільки для визначення урівноважених НДС і приводить до ітераційного процесу;

- для одержання рівнянь рівноваги і умов на контурі використано змішаний варіаційний принцип Рейсснера;

- за методом зв'язаних рівнянь одержано основні рівняння, які дозволяють визначати з високою точністю внутрішній НДС та у відповідному наближенні НДС примежшарів;

- для наступного уточнення НДС примежшарів без підвищення порядку основних рівнянь рекомендується використовувати ЕАМ, який більш ефективний, ніж відомі асимптотичні методи;

- рівняння рівноваги розпадаються на дві незалежні системи рівнянь, які визначають потенційний НДС шарової пластини, що суттєво спрощує розв'язання задач;

- за допомогою методу визначення внутрішнього НДС відокремлено від визначення НДС примежшарів;поділяються також граничні умови;все це суттєво спрощує визначення загального напружено-деформованого стану шарових пластин.

Наукова новизна роботи полягає у розвитку теорії і методів розрахунку несиметричних за товщиною шарових пластин з високим показником змінності НДС:

- запропоновано новий метод визначення НДС шарових пластин несиметричної будови шляхом їх окремого розрахунку на дію згинаючого і стискаючого навантажень, який дозволяє зменшити труднощі їх розрахунку;

- удосконалено розрахункові моделі для визначення НДС шарових пластин суттєво неоднорідної структури при дії згинаючого та стискаючого навантажень;

- запропоновано новий, у порівнянні з відомими, метод побудови послідовності функцій, що апроксимують за товщиною поперечні переміщення;

- отримано основні рівняння, які дозволяють визначати з високою точністю внутрішній НДС та у відповідному наближенні НДС примежшарів для широкого класу задач;для уточнення НДС примежшарів без підвищення порядку основних рівнянь рекомендується використовувати енерго-асимптотичний метод;

- на основі розв'язань різних задач згину і стискання шарових пластин несиметричної будови надані якісні та кількісні оцінки впливу згинаючого і стискаючого навантажень на величини компонент НДС реальних шарових пластин.

Вірогідність основних положень та результатів дисертації обґрунтована узгодженістю тестових розв'язань з точними розв'язаннями, що отримані на основі рівнянь теорії пружності. Як тестові використовувалися розв'язання задач про дію синусоїдальних навантажень для вільно спертих шарових пластин при деформації за циліндричною поверхнею і для квадратних вільно спертих шарових пластин. Теоретичне та практичне значення роботи полягає в тому, що:

- розроблено ефективний метод розрахунку шарових пластин несиметричної будови з високим показником змінності НДС на дію згинаючого і стискаючого навантажень, який дозволяє визначати з високою точністю як внутрішній НДС, так і у відповідному наближенні НДС примежшарів для широкого діапазону змінювання модулів пружності та товщини шарів;

- одержані результати надані у вигляді таблиць, графіків та програмного забезпечення у математичному пакеті MathCAD 7.0 Professional, що дозволяє використовувати їх при проектуванні шарових пластин симетричної та несиметричної структур.

Особиста участь здобувача при отриманні наукових результатів полягає:

- у запропонуванні нового, у порівнянні з відомими, методу побудови послідовності функцій, які апроксимують за товщиною поперечні переміщення;

- в отриманні основних рівнянь, які визначають з високою точністю внутрішній НДС та у відповідному наближенні НДС примежшарів для шарових пластин несиметричної будови;

- у розроблянні програмного забезпечення в математичному пакеті MathCAD 7.0 Professional;

- у розв'язуванні задач згину і стискання шарових пластин несиметричної будови при дії різних поперечних навантажень та аналізі отриманих результатів;

- в отриманні на основі рівнянь теорії пружності точного розв'язання для квадратних вільно спертих шарових пластин несиметричної будови при дії синусоїдальних згинаючого і стискаючого навантажень.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися:

- на 5 та 7-му Українсько-Польських семінарах з проблем будівельної механіки (Дніпропетровськ - 1997, 1999);

- на Міжнародній конференції "Стародубовские чтения" (Дніпропетровськ-1999);

- на Міжвузівському науковому семінарі "Проблеми нелінійної механіки" (Дніпропетровськ - 1999, 2000).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 7 наукових робіт, 2 роботи опубліковані у співавторстві з науковим керівником О.П. Прусаковим.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, п'яти додатків та списку використаних літературних джерел (114 найменувань). Загальний обсяг роботи становить 215 сторінок, в тому числі 6 таблиць і 20 рисунків;обсяг, що займає список використаних літературних джерел - 11 сторінок;обсяг, що займають додатки - 60 сторінок.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ. Визначено сутність і сучасний стан теорії та методів розрахунку шарових пластин. Обґрунтовано вибір теми роботи, її актуальність. Сформульовано мету і задачі дослідження. Наведено відомості щодо наукової новизни, теоретичного та практичного значення одержаних результатів.

В першому розділі проведено огляд літератури за темою дослідження, в якому окреслено основні етапи розвитку теорії та методів розрахунку шарових пластин і обґрунтовано необхідність проведення досліджень для шарових пластин несиметричної будови з високим показником змінності напружено-деформованого стану.

В другому розділі розроблена загальна методика окремого розрахунку шарових пластин несиметричної будови на дію згинаючого та стискаючого навантажень. Концептуально викладені методи побудови апроксимуючих функцій за товщиною для всіх компонент НДС. Метод розрахунку базується на розкладанні компонент НДС у ряди за поперечною координатою. При цьому загальний НДС подається у вигляді суми основного (не урівноваженого) і послідовності урівноважених НДС із зростаючими показниками їх змінності за товщиною. Такий підхід дозволяє використовувати комбінований метод розрахунку, що складається з методу зв'язаних рівнянь та енерго-асимптотичного методу (ЭАМ). Останній може бути використаний тільки для визначення урівноважених НДС і приводить до ітераційного процесу.

За методом зв'язаних рівнянь враховуються тільки НДС із індексами k = 1, 2, 3, останні два з котрих є урівноваженими.

Для шарових пластин симетричної будови загальний НДС розподіляється: члени з непарними індексами відносяться до згинаючої деформації, член з парними індексами - до стискаючої.

Для шарових пластин несиметричної будови неможливий суворий розподіл згинаючої і стискаючої деформацій. У зв'язку з цим пропонується використовувати два види наближень. Як основне наближення в одному випадку враховуються тільки згинаючі складові компонент НДС, в другому - тільки стискаючі. Уточнені наближення враховують взаємний вплив обох видів деформацій.

Використано змішаний метод розрахунку, коли за основні невідомі приймаються переміщення u v w та напруження уxz, уyz, уz. Переміщення u v апроксимуються за товщиною ортогональною системою базових функцій, при цьому НДС із індексом k відповідає функція k-го ступеня. Коефіцієнти у функціях визначаються з умов дорівнює функцій одиниці на нижній лицевій площині пластини та умов їх ортогональності з вагою до всіх попередніх функцій за товщиною пластини. Як вага приймаються модулі пружності шарів у площині ізотропії.

Запропоновано новий, у порівнянні з відомими, метод побудови послідовності функцій, що апроксимують поперечні переміщення w за товщиною. Цей метод аналогічний до методу побудови функцій, що апроксимують тангенційні переміщення, проте НДС із індексом k відповідає функція (k-1)-го ступеня. У цьому випадку при ортогоналізації функцій за товщиною пластини як вага приймаються модулі пружності шарів у поперечному напрямку.

Для однорідної пластини базові функції для переміщень переходять у поліноми Лежандра.

При апроксимації переміщень для шарових пластин із суттєво неоднорідною структурою у відношенні модулів пружності шарів запропоновано використовувати функції, які змінюються у межах товщини кожного шару за лінійним законом і за законом ламаної лінії для усього пакету шарів. Постійні у цих функціях визначаються з умов їх ортогональності із відповідною вагою за товщиною пластини та умов мінімуму їх середньоквадратичного відхилення від відповідної базової функції. Для НДС із індексами k ? 4, внаслідок високої змінності апроксимуючих функцій за товщиною, доцільно використовувати тільки базові функції.

Функції, що апроксимують за товщиною напруження уxz, уyz, уz, визначаються з рівнянь рівноваги елемента шарової пластини при його деформації за циліндричною поверхнею так, щоб точно виконувалися умови навантаження на лицевих площинах пластини і умови сполучення шарів.

Напруження уx, уy, уxy визначаються через основні невідомі, при цьому для згинаючої і стискаючої деформацій використовуються дві різні, проте еквівалентні системи співвідношень пружності.

В третьому розділі розглянута згинаюча деформація шарових пластин.

В четвертому розділі розглянута стискаюча деформація шарових пластин.

Рівняння рівноваги і умови на контурі пластини, а також залежності між зусиллями і переміщеннями одержані на основі змішаного варіаційного принципу Рейсснера. Рівняння рівноваги і умови на контурі надані у формі методу переміщень. Основні системи надані у вигляді систем однорідних рівнянь, що визначають НДС, і систем неоднорідних рівнянь, що визначають потенційний НДС пластини.

Вихоревий НДС за допомогою операторного методу зведено до одного однорідного рівняння, що описує вихоревий примежшар.

Потенційний НДС за допомогою операторного методу зведено до:

- однорідного рівняння, що описує внутрішній НДС від крайових навантажень;

- однорідного рівняння, що описує потенційний примежшар;

- неоднорідних рівняння, частинними розв'язками яких описується внутрішній НДС від навантажень на лицевих площинах пластини.

В роботі надані рівняння, які описують згинаючу деформацію в основному і уточненому наближенні, та стискаючу деформацію тільки в уточненому наближенні.

Згинаюча деформація в основному наближенні (з урахуванням НДС k = 1, 3) описується системою 12-го порядку. Загальний розв'язок задачі визначається розв'язками трьох окремих однорідних рівнянь 4, 4 и 4-го порядків, що описують внутрішній НДС від крайових навантажень, потенційний і вихорцеві примежшари, а також частинними розв'язками двох неоднорідних рівнянь 8-го порядку, що описують внутрішній НДС від навантажень на лицевих площинах пластини.

Згинаюча деформація в уточненому наближенні (з урахуванням НДС k = 1, 3, 2) описується системою 18-го порядку. Загальний розв'язок задачі визначається розв'язками трьох окремих однорідних рівнянь 4, 8 и 6-го порядків, що описують внутрішній НДС від крайових навантажень, потенційний і вихоревий примежшари, а також частинними розв'язками трьох неоднорідних рівнянь 12-го порядку, що описують внутрішній НДС від навантажень на лицевих площинах пластини.

Стискаюча деформація в уточненому наближенні (з урахуванням НДС k = 2.3) описується системою 12-го порядку. Загальний розв'язок задачі визначається розв'язками трьох окремих однорідних рівнянь 4, 4 и 4-го порядків, що описують внутрішній НДС від крайових навантажень, потенційний і вихоревий примежшари, а також частинними розв'язками двох неоднорідних рівнянь 8-го порядку, що описують внутрішній НДС від навантажень на лицевих площинах пластини.

Граничні умови для внутрішнього НДС і примежшарів також поділяються. При визначенні внутрішнього НДС вплив урівноважених станів не виключається, та на контурі у цьому випадку треба виконувати тільки умови для не урівноваженого стану, тобто більш “м'які” умови. Примежшарам відповідають граничні умови для урівноважених НДС.

Побудова примежшарів проводиться шляхом розкладання навантаження, що докладене до бічної поверхні пластини, у ряди за поперечною координатою. Задані крайові навантаження розподіляються між згинаючою і стискаючою деформаціями автоматично в узгодженні з прийнятими виразами для переміщень та напружень.

Порядок рівнянь, що описують вихоревий та потенційний примежшари, залежить від кількості врахованих урівноважених НДС. Потрібна їх кількість визначається шляхом оцінювання точності виконання граничних умов на бічній поверхні пластини.

Подальше уточнення примежшарів рекомендується проводити без підвищення порядку основних рівнянь за допомогою енерго-асимптотичного методу.

За допомогою одержаних рівнянь було розглянуто задачі про дію синусоїдальних згинаючого і стискаючого навантажень для вільно спертих трьохшарових пластин при деформації за циліндричною поверхнею, а також для квадратних вільно спертих трьохшарових пластин.

Розглядалися пластини з великою геометричною та жорсткою не симетрією будови за товщиною.

Результати розв'язань цих задач було порівняно з їх точними розв'язаннями, що отримані на основі рівнянь теорії пружності.

На основі запропонованого методу також було розглянуто дію різних поперечних навантажень на квадратні вільно сперті трьохшарові пластини. Поперечні навантаження наведено у вигляді подвійних тригонометричних рядів. Для розрахунку трьохшарових пластин на дію різних поперечних навантажень було розроблено програмне забезпечення в математичному пакеті MathCAD 7.0 Professional.

В додатках наведено:

- точне розв'язання для квадратних вільно спертих шарових пластин при дії синусоїдальних згинаючого та стискаючого навантажень;

- аналітичні вирази апроксимуючих функцій із індексами 1, 2, 3 для всіх компонент НДС;

- програмне забезпечення, розроблене в математичному пакеті MathCAD 7.0 Professional, для розрахунку прямокутних вільно спертих шарових пластин на дію різних поперечних навантажень.

ВИСНОВКИ

1. В дисертації розроблено метод розрахунку несиметричних за товщиною трансверсально ізотропних шарових пластин з високим показником змінності НДС окремо на дію згинаючого та стискаючого навантажень із наступним підсумовуванням результатів їх розрахунку.

2. В роботі наведені основні рівняння для розрахунку шарових пластин несиметричної будови на дію згинаючого і стискаючого навантажень, що дозволяють визначати з високою точністю внутрішній НДС та у відповідному наближенні НДС примежшарів. Подальше уточнення НДС примежшарів рекомендується проводити за допомогою енерго-асимптотичного методу.

3. На основі програмного забезпечення, розробленого в математичному пакеті MathCAD 7.0 Professional, проведено розрахунок вільно спертих шарових пластин несиметричної будови на дію різних згинаючих та стискаючих навантажень. Розв'язання задач наведено у вигляді подвійних тригонометричних рядів.

4. Досліджено вплив відносної товщини на внутрішній НДС шарових пластин при дії синусоїдальних згинаючого та стискаючого навантажень. Встановлено, що при розрахунку шарових пластин суттєво несиметричної будови на дію згинаючого навантаження розв'язання задачі в уточненому наближенні виправдовує себе лише для товстих плит. Напружено-деформований стан тонких пластин визначається з високою точністю навіть в основному наближенні. При розрахунку шарових пластин несиметричної будови на дію стискаючого навантаження внутрішній НДС як товстих, так і тонких пластин визначається з достатньою точністю тільки в уточненому наближенні. несиметричний навантаження примежшар

5. Досліджено вплив виду та ступеня локальності навантаження на НДС шарових пластин несиметричної будови при згинаючій та стискаючій деформаціях. Показано, що для шарових пластин з суттєво різними геометричними параметрами шарів розподіл напружень і переміщень за товщиною пакету шарів носить суттєво нелінійний характер. При локальному навантаженні товстих плит розподіл напружень набуває також не лінійність за товщиною кожного шару.

6. Досліджено взаємний вплив згинаючої та стискаючої деформацій, їх внесок у загальний НДС шарових пластин несиметричної будови при дії поперечного навантаження на одну з лицевих площин, коли р = ± q. Встановлено, що при розрахунку шарових пластин несиметричної будови внесок стискаючої дефомації у загальний НДС товстих плит досягає 15% для тангенційних напружень і 90% для поперечних переміщень. При локальному навантаженні товстих плит внесок стискаючої деформації у загальний НДС зростає до 40-45% и 97% відповідно. Для тонких пластин внесок стискаючої деформації у загальний НДС в середньому складає 1% для тангенційних напружень і 10% для поперечних переміщень.

7. В роботі методами трьохмірної теорії пружності на основі рівнянь Ламе отримано точне розв'язання для квадратних вільно спертих шарових пластин при дії синусоїдальних згинаючого і стискаючого навантажень.

8. Оцінка точності одержаних результатів заснована на співставленні розв'язань задач про дію синусоїдальних навантажень з точними розв'язаннями, одержаними на основі рівнянь теорії пружності для вільно спертих шарових пластин при деформації за циліндричною поверхнею, а також для квадратних вільно спертих шарових пластин.

9. Добра відповідність результатів розрахунку і точних розв'язань дозволяє зробити висновок про ефективність запропонованого методу для шарових пластин із суттєво різними геометричними параметрами шарів та високим показником змінності НДС.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА

1. Прусаков А.П., Копытько О.А. Расчет слоистых пластин на изгибную и обжимающую нагрузки // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - Warsaw. - 1997. - №5. - C. 199-204. (Особиста участь здобувача полягає в отриманні розв'язувальих рівнянь і проведенні розрахунків).

2. Копытько О.А. К теории изгиба слоистых несимметричного строения // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - Warsaw. - 1998. - №6. - C. 477-480.

3. Копытько О.А. Об одном методе расчета слоистых пластин на обжимающую нагрузку // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ. - 1999. - №1. - С. 29-32.

4. Копытько О.А. О расчете слоистых пластин несимметричного строения // Проблемы современного материаловедения. Материаловедение, строительство и отраслевое машиностроение. - Днепропетровск. - Вып. 8. - Часть 2. - 1999. - С. 21-23.

5. Копытько О.А. Изгиб слоистых пластин несимметричного строения // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ. - 1999. - №4-5. - С. 50-56.

6. Копытько О.А. Об одной задаче изгиба слоистых пластин несимметричного строения // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - Warsaw. - 1999. - №7. - C. 109-117.

7. Прусаков А.П., Копытько О.А. Об одном способе расчета слоистых пластин // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ. - 1999. - №11. - С. 55-62. (Особиста участь здобувача полягає в отриманні розв'язувальних рівнянь, розроблянні розрахункових програм і проведенні розрахунків).

Размещено на Allbest.ru