Генерація поверхневих та внутрішніх хвиль локальними неоднорідностями в рідині

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут гідромеханіки

УДК 532.59

ГЕНЕРАЦІЯ ПОВЕРХНЕВИХ ТА ВНУТРІШНІХ ХВИЛЬ ЛОКАЛЬНИМИ НЕОДНОРІДНОСТЯМИ В РІДИНІ

01.02.05 - Механіка рідини, газу та плазми

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

МИРОНЧУК Мирослава Василівна

Київ 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті гідромеханіки НАН України

Науковий керівник: доктор фіз.мат. наук, проф. Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів

Офіційні опоненти: Доктор фіз.-мат. Наук Нікіфорович Євгеній Іванович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу моделювання гідротермічних процесів

кандидат фіз.-мат. наук, с.н.с. Железняк Марк Іосифович, Інститут математичних проблем систем та машин НАН України, завідувач відділу моделювання навколишнього середовища

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ

Захист відбудеться " 5 " жовтня 2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.196.01 при Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03 680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03 680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розісланий “ 1 ” вересня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01

доктор технічних наук, проф. Криль Степан Іванович

Загальна характеристика роботи

Наявність локалізованих неоднорідностей в рідинах різної фізичної природи приводить до генерації поверхневих та внутрішніх хвиль різних типів в залежності від геометричних параметрів самих неоднорідностей та фізичних властивостей розглядуваних рідин. В рамках класичної хвильової теорії більша частина робіт попередників присвячена дослідженню лінійних задач генерації хвиль неоднорідностями, за останні десятиліття появився ряд робіт, присвячених дослідженню нелінійних задач хвилеутворення внаслідок наявності неоднорідностей, зокрема, неоднорідного дна. Тому викликає інтерес подальше дослідження саме нелінійних аспектів генерації хвиль неоднорідностями, а також виявлення впливу таких фізичних параметрів рідини, як намагнічуваність та багатошаровість, на генерацію хвиль.

Деякі аспекти досліджень, що мають відношення як до класичної теорії хвильових процесів, так і до генерації хвиль неоднорідностями, та пов'язані з тематикою даної роботи, відображені в роботах М.Є. Кочіна, М.А. Лаврентьєва, Дж. Лайтхілла, Г. Ламба, Дж. Стокера, Л.М. Сретенського, Дж. Уізема, С.Ф. Доценка, М.І. Железняка, Є.М. Пеліновського, І.Т. Селезова, І.В. Стурової, Л.В. Черкесова, В.В. Яковлєва, T. Havelock., S. Massel, C. Mei, J. Miles, P. Peregrine, S. Shen, G. Stokes, G. Wu та ін.

Актуальність теми. Проблема дослідження генерації та розповсюдження поверхневих та внутрішніх хвиль, визваних наявністю локальних неоднорідностей, викликає науковий інтерес і активно розробляється в останні десятиліття. Водночас вона є складною як у фізичному сенсі, так і з боку розробки відповідного математичного моделювання, тому ця проблема залишає багато перспектив для подальшого розвитку.

З огляду на недостатню дослідженість та математичну складність проблеми дана дисертаційна робота присвячена більшою мірою дослідженню саме нелінійних задач генерації хвиль локальними неоднорідностями в рідині, а також узагальненню моделі на рідини більш складної фізичної природи - магнітну рідину та багатошарові рідини. Ці задачі викликають нетривіальні математичні труднощі при розв'язанні, проте вони є більш точними фізичними моделями. Тому дослідження поширення та генерації поверхневих та внутрішніх хвиль локальними неоднорідностями в рідині є актуальною науковою проблемою, викликаною потребами теорії хвильових процесів. Ці дослідження не тільки дозволяють з деякою мірою точності моделювати реальні фізичні хвильові процеси, вони також є актуальними для розробки та апробації математичних методів, чисельних досліджень, для створення теоретичної бази для експериментів.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботі є побудова фізико-математичних моделей, які якомога точніше наближаються до описання фізичних процесів утворення та розповсюдження хвиль в рідинах під впливом локальних неоднорідностей; узагальнення вже відомих моделей на випадки рідин різної фізичної природи; постановка на основі цих моделей відповідних математичних задач; отримання точних аналітичних чи наближених асимптотичних розв'язків; встановлення закономірностей поверхневої чи інтерфейсної хвильової картини в залежності від параметрів моделі. Для досягнення поставленої мети необхідно:

В рамках моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями в рідині здійснити постановку конкретних математичних задач. Узагальнити модель для випадку магнітної рідини та багатошарових рідин, поставити відповідні математичні задачі. В якості граничних випадків розглянути деякі лінійні задачі, які допомагають оцінити достовірність результатів;

Отримати відповідні точні аналітичні та наближені асимптотичні розв'язки. Для отримання наближених асимптотичних розв'язків застосовується метод степеневих рядів та редукційний метод;

Дослідити отримані розв'язки та реалізувати їх чисельно на ПК;

Побудувати графічні залежності форми вільної поверхні рідини та швидкісних характеристик хвильових процесів від геометричних параметрів неоднорідності та фізичних параметрів рідини;

На основі аналізу графіків виявити характерні особливості впливу неоднорідностей та параметрів рідини на хвильову картину.

Наукова новизна одержаних результатів.

В рамках нелінійної моделі генерації хвиль локалізованою неоднорідністю в рідині розв'язано дві плоскі задачі про набігання однорідного потоку на донну локальну неоднорідність та неоднорідність під вільною поверхнею рідини. На основі стаціонарних солітонних розв'язків виведеного еволюційного збуреного рівняння Кортевега-де-Вріза досліджено вплив параметрів моделі на зміну форми вільної поверхні.

Проведено узагальнення нелінійної моделі генерації хвиль локальною неоднорідністю в рідині скінченої глибини для випадку двошарової рідини з неоднорідністю на поверхні розділу двох рідин. Виведено еволюційне рівняння, досліджено поведінку його стаціонарних солітонних розв'язків в залежності від параметрів моделі.

Вперше проведено детальний математичний та чисельний аналіз залежності кругової частоти, фазової та групової швидкостей від зміни співвідношення густин при розповсюдженні гармонічних хвиль в тришаровій рідині.

Досліджено закономірності зміни форми вільної поверхні при розв'язанні тривимірних лінійних задач про набігання однорідного потоку на виток та два витоки в рідині скінченої глибини в залежності від фізичних параметрів моделі та геометричних параметрів неоднорідності, яку утворює система двох витоків.

Вперше зроблено постановку задачі про поширення поверхневих гравітаційних хвиль в магнітній рідині з донною неоднорідністю, яка узагальнює нелінійну модель розповсюдження поверхневих хвиль в рідині скінченої глибини з локальними неоднорідностями. Виведено еволюційне рівняння, яке включає в себе члени, що відповідають як за наявність неоднорідності, так і за присутність магнітного поля. Розв'язано відповідну лінеаризовану задачу про поширення поверхневих хвиль в магнітній рідині скінченої глибини без неоднорідності. Проведений аналіз для цього граничного випадку дозволив оцінити вплив магнітного поля на зміну фазової та групової швидкостей магнітної рідини.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, які ввійшли в дисертаційну роботу, пов'язані з такими плановими науковими дослідженнями відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки Національної академії наук України: бюджетна тема "Моделювання хвильових та морфодинамічних процесів та екологічного стану берегової зони на акваторіях відкритих водних об'єктів" (1995 - 2000 рр.); за проектом Державного Фонду фундаментальних досліджень 13.3/101 "Исследование распространения волн и течений в МГД, -гидроупругих и магнитоупругих средах с локально неоднородными структурами" (1994 - 1995 рр.), 1.4.105 “Генерація усталених та неусталених хвиль в рідких та пружних середовищах з просторовими неоднорідностями” (1996 - 2000 рр.) (договір від 27 жовтня 1998 р. № Ф4/1623-97 між Міністерством у справах науки і технологій та Інститутом гідромеханіки НАН України).

Практичне значення одержаних результатів. Проведене в дисертаційній роботі дослідження впливу локальних неоднорідностей на розповсюдження та генерацію хвиль доповнює теорію хвильових процесів новими результатами, використання яких дозволяє робити аналіз параметрів моделі на хвильову картину та в подальшому використовувати ці результати для подальших узагальнень, а також для створення теоретичної бази експериментів.

Апробація роботи. Отримані в дисертаційній роботі результати були представлені на таких міжнародних та українських наукових конференціях, як українська наукова конференція “Моделирование и исследование устойчивости систем” (1996 р., м. Київ, Україна); 27-а Міжнародна конференція з інженерної механіки (1998 р., Ізраїль); 7-а Міжнародна Наукова конференція ім. академіка М.Кравчука (1998 р., м. Київ, Україна); 8-а Міжнародна конференція по магнітних рідинах (1998 р., Румунія); III-я Наукова школа “Импульсные процессы в механике сплошных сред” (1999 р., м. Миколаїв, Україна); на семінарах відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки НАНУ та Республіканському семінарі з гідромеханіки при Інституті гідромеханіки НАНУ.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 робіт, з них 9 робіт написано у співавторстві, 5 робіт (роботи [1] - [5]) опубліковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Особистий внесок здобувача. Робота виконувалась під науковим керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора І.Т. Селезова. В роботах [1]-[10] науковим керівником професором І.Т. Селезовим була здійснена постановка задач та були проведені наукові консультації, а розв'язок та аналіз виконано здобувачем. Співавторам належить співучасть у розв'язанні та деякі попередні результати, які використовувались. Основні результати за темою дисертації було отримано автором самостійно.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури з 126 назв. Вона містить 136 сторінок, 31 рисунок.

Основний зміст роботи

модель хвиля неоднорідність фізичний

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано стан проблеми, сформульовано мету та задачі дослідження.

У розділі 1 подано стислий огляд літератури, присвяченої дослідженню хвиль на воді, зокрема, визваних наявністю неоднорідностей. Також наводиться основна система рівнянь, розглядаються різні типи граничних умов для лінійної та нелінійної постановки задач.

У розділі 2, що складається з чотирьох підрозділів, розглянуто ряд плоских нелінійних задач, в яких досліджується вплив наявності локальних неоднорідностей на генерацію поверхневих хвиль в рідині скінченої глибини та магнітній рідині. В першому підрозділі досліджується вплив локальної донної неоднорідності на генерацію поверхневих хвиль в одношаровій рідині скінченої глибини. В контексті даної роботи ця задача розглядається як модельна для проведення подальших узагальнень. Повсюду в роботі рідина вважається нев'язкою, нестисливою, рухи рідини - безвихровими. Поверхневі хвилі в даній задачі генеруються набіганням потоку на донну неоднорідність, що описується функцією . Вільна поверхня вважається невідомою вільною границею. Постановка задачі в безрозмірному вигляді включає в себе рівняння Лапласа для потенціалу швидкостей та нелінійні граничні умови на дні та вільній поверхні. Параметр дисперсії , де - глибина рідини, - характерний поздовжній маштаб, виступає в якості малого параметру подальшого асимптотичного аналізу. Неоднорідність вважається локальною в асимптотичному смислі, всі члени в рівняннях, пов'язані з неоднорідністю, мають порядок . З огляду на складність розв'язування нелінійної задачі розв'язок будується за допомогою методу асимптотичних розкладів, запропонованого в роботі S.Shen. Отримано асимптотичні наближення трьох порядків. Виведено збурене рівняння Кортевега-де-Вріза, яке описує еволюцію вільної поверхні.

,

Знайдено стаціонарні солітонні розв'язки даного рівняння для випадку неоднорідності виду , де - дельта-функція Дірака. В результаті чисельних обчислень було отримано графіки залежності відхилення вільної поверхні від поздовжньої координати . Вільна поверхня має форму поодинокої хвилі, або солітона. Проведено аналіз залежності відхилення вільної поверхні від параметрів , що визначає амплітуду локального збурення, та - константи, що визначає збурення швидкості однорідного потоку відносно критичної швидкості. Виявлено два режими генерації солітонних хвиль - двомодовий режим (дві солітонні хвилі ) та одномодовий (один солітон). Достовірність результатів забезпечується відповідністю коефіцієнтів рівняння з результатами C. Mei.

В другому підрозділі зроблено узагальнення моделі на випадок, коли локальна неоднорідність знаходиться під вільною поверхнею рідини скінченої глибини. На основі того ж методу (S.Shen) виведено аналогічне попередньому збурене еволюційне рівняння Кортевега-де-Вріза та отримано його стаціонарні солітонні розв'язки. Досліджено вплив параметрів задачі на зміну форми вільної поверхні.

В третьому підрозділі вперше робиться постановка задачі про розповсюдження поверхневих гравітаційних хвиль в магнітній рідині з донною неоднорідністю без набігаючого потоку, що є узагальненням моделі генерації поверхневих хвиль локальними неоднорідностями в рідині скінченої глибини. Під магнітною рідиною розуміється рідина, яка характеризується магнітною проникністю при відсутності електропровідності. Постановка задачі включає в себе рівняння Лапласа для потенціалу швидкостей рідини, потенціалу магнітного поля всередині рідини та потенціалу зовнішнього магнітного поля, граничні умови на вільній поверхні та на дні рідини, умови спряження для магнітних потенціалів та умову спадання на нескінченості для потенціалу зовнішнього магнітного поля. Введено безрозмірні змінні, в якості малих параметрів асимптотичного аналізу використовуються параметр нелінійності та параметр дисперсії . Для розв'язування задачі в рамках довгохвильового наближення застосовується метод степеневих рядів. Отримано еволюційне рівняння - модифіковане рівняння Кортевега-де-Вріза в інтегро-диференційній формі. Встановлено, що наявність двох таких ускладнюючих параметрів моделі, як донна неоднорідність та магнітне поле, суттєво змінює вигляд еволюційного рівняння та ускладнює його розв'язання. Проведено аналіз граничних випадків відсутності неоднорідності та магнітного поля, відсутності тільки неоднорідності.

В третьому підрозділі в якості граничного випадку попередньої задачі розглядається лінеаризова задача про поширення поверхневих хвиль в магнітній рідині скінченої глибини. Її розв'язання дає змогу оцінити вплив наявності магнітного поля на розповсюдження хвиль. Шукаються розв'язки задачі в класі біжучої хвилі. Отримано дисперсійне співвідношення між круговою частотою та хвильовим числом . За допомогою асимптотико-евристичного методу виведено еволюційне рівняння

.

Побудовано графіки залежності фазової та групової швидкостей від довжини хвилі для різних значень магнітних параметрів рідини (коефіцієнт, що включає в себе напруженість магнітного поля) та - магнітної проникності рідини. Аналіз еволюційного рівняння показав, що магнітні ефекти набагато переважують хвильові, а тим більше - дисперсійні ефекти при малих значеннях параметра дисперсії . Також виявлено, що при збільшенні магнітних параметрів рідини фазова та групова швидкості рідини зростають і набувають яскраво виражених екстремумів. Починаючи з групова швидкість приймає від'ємні значення на деякому проміжку коротких довжин хвиль, що свідчить про те, що енергія розповсюджується у напрямку, протилежному напрямкові поширення хвиль.

В розділі 3 робиться спроба узагальнення моделі на тривимірний випадок. Проте з огляду на складність розв'язання задачі розглядаються в лінійній постановці, в якості збурюючої неоднорідності в розглядається виток та система з двох витоків. В першому підрозділі розглядається лінійна тривимірна задача про генерацію поверхневих хвиль набіганням однорідного потоку на виток в рідині скінченої глибини. Постановка задачі в безрозмірних змінних включає в себе рівняння Лапласа для потенціалу швидкостей та лінеаризовані граничні умови на дні рідини та на вільній поверхні рідини. Розв'язування проводиться за допомогою методу мультипольних розкладів. Отримано аналітичні розв'язки в інтегральному вигляді, зокрема, для відхилення вільної поверхні маємо:

,

де - число Фруда, - глибина занурення витоку, - глибина рідини, - потужність витоку. Далі за допомогою чисельної процедури досліджено вплив числа Фруда на форму вільної поверхні рідини.

В другому підрозділі робиться узагальнення попередньої задачі на випадок генерації хвиль набіганням однорідного потоку на два витоки одинакової потужності , розташовані на одинаковій глибині на деякій відстані один від одного в рідині скінченої глибини . Розв'язок отримано у вигляді суперпозиції двох розв'язків для поодиноких витоків, отриманих за методом, що застосовується в попередньому підрозділі. Для вільної поверхні рідини маємо

,

,

.

За допомогою чисельної процедури досліджено вплив параметрів моделі - відстані між витоками та числа Фруда, на зміну форми вільної поверхні, зокрема, на зміну положення екстремумів відхилення вільної поверхні. Для кожного з досліджуваних чисел Фруда при збільшенні відстані між витоками виявлено наступні режими положення максимумів: спочатку для малих відстаней між витоками максимум досягається за системою з двох витоків, далі при збільшенні відстані між витоками максимум досягається між витоками і зміщується в напрямку від першого витоку до другого при зростанні відстані.

В розділі 4 проводиться узагальнення моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями на випадок багатошарових рідин. В першому підрозділі розглядається лінеаризована плоска задача про поширення гармонічних хвиль у системі, яка складається з рідкого шару скінченої товщини, що розташований між двома напівнескінченими рідинами, яка дозволяє дослідити вплив багатошаровості рідини та густин шарів на поширення внутрішніх хвиль. Математична постановка задачі в безрозмірному вигляді включає в себе рівняння Лапласа, умови спряження на поверхнях розділу, умови випромінення та обмеженості розв'язків при віддаленні від шару. Розв'язки задачі шукаються в класі біжучої хвилі. Отримано дисперсійне рівняння

,

де - хвильове число, - кругова частота, - параметр дисперсії, - співвідношення між густинами шарів.

На відміну від роботи Селезова І.Т., Хука П., тут проаналізовано точні розв'язки дисперсійного рівняння для довільних значень . Побудовано графіки залежності фазової та групової швидкостей від довжини хвилі , а також хвильові моди по осях та . В результаті аналізу залежності фазової та групової швидкостей від співвідношення густин виявлено, що як фазова, так і групова швидкості зростають при збільшенні густини нижнього шару. Також виявлено, що для деяких значень довжини хвилі групова швидкість приймає від'ємні значення, що означає, що в цьому випадку енергія розповсюджується в напрямку, протилежному напрямкові розповсюдження хвиль.

В другому підрозділі розглядається плоска нелінійна задача про генерацію поверхневих та внутрішніх хвиль набіганням потоку на тонку локальну неоднорідність на поверхні розділу двох рідин скінченої глибини та різної густини. Постановка задачі в безрозмірному вигляді включає в себе рівняння Лапласа для відповідних потенціалів швидкостей, а також нелінійні граничні умови на поверхні розділу двох рідин, вільній поверхні та на дні. В якості малого параметра подальшого асимптотичного аналізу використовується параметр дисперсії . Локальна неоднорідність описується за допомогою функції та має порядок малості . Через складність розв'язання, викликану нелінійністю задачі, застосовується метод асимптотичних наближень (S.Shen). В результаті розв'язання отримано задачі першого, другого та третього порядку. Далі з них виведено збурене еволюційне рівняння Кортевега-де-Вріза

,

,

,

,,.

Отримано та проаналізовано стаціонарні солітонні розв'язки даного рівняння для збурюючої функції , де -функція Дірака. Побудовано графіки залежності форми відхилення вільної поверхні від поздовжньої координати. В результаті аналізу залежності відхилення вільної поверхні від параметрів системи виявлено такі режими поширення солітонних хвиль, як одномодовий режим, режим двох солітонів, а також режим здвоєного солітона.Досліджено вплив густин на форму солітонних хвиль

У висновках коротко сформульовано результати дисертаційної роботи.

Висновки

В даній дисертаційній роботі в рамках лінійної та нелінійної хвильової теорії хвильових процесів проведено дослідження впливу локальних неоднорідностей на процеси генерації та поширення внутрішніх та поверхневих хвиль в рідинах різної фізичної природи, серед них магнітна рідина та багатошарові рідини.

Основні результати роботи такі:

В рамках нелінійної хвильової теорії дано постановки плоских задач, що моделюють процеси генерації поверхневих гравітаційних хвиль набіганням потоку на локальну неоднорідність на дні та під вільною поверхнею рідини скінченої глибини. Вперше зроблено узагальнення даної нелінійної моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями на випадок генерації поверхневих гравітаційних хвиль локальною донною неоднорідністю в магнітній рідині. В якості граничного випадку, що дозволяє оцінити вплив магнітного поля на хвильові процеси, розглянуто лінійну плоску задачу про поширення поверхневих гравітаційних хвиль в магнітній рідині. Для тривимірного випадку дано постановки лінійних задач про генерацію поверхневих гравітаційних хвиль набіганням однорідного потоку на локальні неоднорідності, в якості яких виступають одиничний точковий виток та система з двох витоків в рідині скінченої глибини. Розглянуто плоскі задачі, в яких досліджується вплив багатошаровості рідин на генерацію та поширення внутрішніх та поверхневих локальними неоднорідностями. Для оцінки впливу параметрів багатошарової рідини розглянуто плоску лінійну задачу про поширення внутрішніх хвиль в тришаровій рідині. Зроблено узагальнення моделі генерації нелінійних хвиль набіганням потоку на локальну неоднорідність в рідині скінченої глибини для випадку локальної неоднорідності, розташованої на поверхні розділу двох рідин.

За допомогою асимптотичного редукційного методу в рамках теорії довгохвильового наближення, запропонованого S.Shen; методу степеневих рядів; методу мультипольних розкладів; асимптотико-евристичного методу отримано розв'язки відповідних нелінійних та лінійних задач, виведено деякі еволюційні рівняння.

На основі отриманих точних аналітичних та наближених асимптотичних розв'язків поставлених задач та їх чисельної реалізації на ПК досліджено вплив параметрів неоднорідностей та параметрів рідин різної фізичної природи на генерацію та поширення внутрішніх та поверхневих хвиль.

Аналіз отриманих в роботі результатів дозволив зробити такі висновки:

Проведений аналіз залежності стаціонарних солітонних розв'язків збуреного еволюційного рівняння Кортевега-де Вріза, яке описує еволюцію вільної поверхні рідини, отриманого в результаті розв'язування плоскої задачі про генерацію поверхневих нелінійно-дисперсійних хвиль набіганням однорідного потоку на локальну донну неоднорідність в одношаровій рідині скінченої глибини, від фізичних параметрів задачі, які визначають амплітуду збурюючої неоднорідності та збурення швидкості однорідного набігаючого потоку відносно критичної, виявив існування двох режимів генерації солітонних хвиль - режиму наявності однієї хвильової моди та двомодового режиму. Крім того, виявлено, що при двомодовому режимі при збільшенні амплітуди збурення амплітуда однієї солітонної хвилі спадає, а іншої - зростає до тих пір, поки вони не зливаються в один солітон, амплітуда якого спадає при зростанні локального збурення. При збільшенні збурюючої компоненти швидкості зростає амплітуда та зменшується ширина солітона як в одномодовому, так і в двомодовому режимі.

В результаті узагальнення попередньої задачі на випадок набігання однорідного потоку на неоднорідність, що розташована під вільною поверхнею рідини скінченої глибини, було виведено аналогічне еволюційне рівняння та отримано його стаціонарні солітонні розв'язки, що вказує на те, що в рамках даного асимптотичного підходу та при даному способі локалізації неоднорідності є несуттєвим вплив її місцезнаходження на поверхневу хвильову картину.

При розв'язанні нової задачі про генерацію поверхневих гравітаційних хвиль над локальною донною неоднорідністю в рідині, що намагнічується, яка узагальнює попередню модель на випадок магнітної рідини, виведено модифіковане еволюційне збурене рівняння типу Кортевега-де Вріза в інтегро-диференційному вигляді, в якому присутні члени, що відповідають як за наявність неоднорідності, така і за вплив магнітного поля. Можна зробити висновок про те, що наявність магнітного поля значно посилює вплив неоднорідності на генерацію хвиль та ускладнює розв'язання задачі. Розглянуті граничні випадки еволюційних рівнянь підтверджують достовірність результату.

Для граничного випадку - лінеаризованої задачі про поширення поверхневих хвиль в магнітній рідині скінченої глибини без неоднорідності виведено дисперсійне співвідношення та еволюційне рівняння. Проведений аналіз залежності фазової та групової швидкостей магнітної рідини від впливу магнітних параметрів рідини виявив, що як фазова, так і групова швидкості зростають при збільшенні магнітного поля. Для деяких проміжків коротких довжин хвиль групова швидкість приймає від'ємні значення.

При аналізі лінійних тривимірних задач про генерацію поверхневих хвиль набіганням однорідного потоку на один виток та систему із двох точкових витоків виявлено режими досягання максимумів та мінімумів відхилення вільної поверхні в залежності від відстані між витоками для кожного з розглянутих чисел Фруда, що задають швидкість набігаючого потоку. Зокрема, для малих відстаней між витоками максимум досягається за системою з двох витоків, при збільшенні відстані між витоками максимум досягається між витоками і зміщується в напрямку від першого витоку до другого при подальшому зростанні відстані.

Детальний математичний та чисельний аналіз задачі про поширення гармонічних хвиль в тришаровий рідині дозволив виявити залежність фазової та групової швидкостей рідини від співвідношення густин досліджуваних рідин, а саме зростання значень як фазової, так і групової швидкостей при збільшенні густини нижнього шару. Також виявлено, що на деякому проміжку коротких довжин хвиль групова швидкість приймає від'ємні значення.

Аналіз стаціонарних солітонних розв'язків збуреного еволюційного рівняння Кортевега-де-Вріза, що відображають форму вільної поверхні рідини при узагальненні моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями на випадок двошарової рідини показує, що збільшення кількості параметрів моделі тепер, на відміну від одношарової рідини, приводить до наявності двох критичних швидкостей набігаючого потоку, для кожної з яких існує дві хвильових моди - швидка та повільна. Для кожної з цих мод в залежності від параметрів моделі, серед яких суттєвою є амплітуда збурення, можуть існувати режим наявності однієї солітонної хвилі, режим двох солітонів різної амплітуди та режим наявності здвоєного солітона. При зменшенні відношення густин, тобто при збільшенні густини нижнього шару у кожному з наборів параметрів для швидкої моди спадають амплітуди як здвоєного солітона, так і поодинокої хвилі, для повільної моди відбувається перехід від режиму одної солітонної хвилі до режиму двох поодиноких хвиль, амплітуди яких зростають.

На основі загальної теорії хвильових рухів та теорії мілкої води побудовано точні та наближені асимптотичні розв'язки ряду задач генерації та поширення хвиль в рідинах під впливом локальних неоднорідностей. Після проведеного аналізу аналітичних та чисельних розв'язків виявлено характер впливу самої наявності неоднорідностей та їх параметрів, а також фізичних параметрів досліджуваних рідин на зміну форми вільної поверхні та швидкісні характеристики хвильових процесів. Також знайдено нові режими утворення солітонних хвиль в залежності від вищезгаданих параметрів.

Отримані результати можуть застосовуватись для подальших узагальнень та створення теоретичної бази для експериментів, причому особливо цікавими є випадки магнітної рідини та багатошарових рідин. Достовірність результатів забезпечується використанням адекватних моделей, коректністю постановок задач та відповідністю деяких граничних випадків відомим результатам.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Мирончук М.В., Звонарева О.В., Щепец Н.Н. Распространение поверхностных волн в жидкости и в упругой оболочке, заполненной жидкостью// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: Ин-т математики НАНУ. 1998. С. 156-159.

Selezov I.T., Mironchuk M.V., Huq P. Evolution equation for waves forced by a slender obstacle in a two-layer fluid// Доповіді НАН України. 1999. №4. С. 77-82.

Селезов И.Т., Мирончук М.В. Распространение внутренних волн в трехслойной жидкости// Теоретическая и прикладная механика. Харьков: Основа. 1999. вып. 30. С. 170-174.

Селезов И.Т., Мирончук М.В. Генерация поверхностных гравитационных волн двумя движущимися заглубленными источниками // Прикладна гідромеханіка. - 2000. -т.2 (74), №1. - С.59-63.

Селезов И.Т., Мирончук М.В. Распространение волн в слое магнитной жидкости // Теоретическая и прикладная механика. Харьков: Основа. 2000. вып. 31. С. 157-161.

Zvonareva O.V., Fateeva I.V., Mironchuk M. V. Investigation of wave generation and propagation on the basis of integral transform// Тез. докладов укр. конф."Моделирование и исследование устойчивости систем " (прикладная механика). Киев. 1996. С. 62.

Selezov I.T., Korsunsky S.V., Mironchuk M.V. The effect of localized inhomogeneity on nonlinear wave propagation in magnetic fluid layer// Proc. of 8-th International Conf. Of Magnetic Fluid. Timisoara, Romania. 1998. P. 355 - 356.

Selezov I., Huq P., Mironchuk M. Evolution equation for waves forced by a thin obstacle in a two-layer fluid // Proc. 27-th Israel Mechanical Engineering Conf. Haifa, Israel. 1998. P. 325-326.

Мирончук М.В. Поширення поверхневих гравітаційних хвиль в рідині скінченої глибини // 7-а Міжнародна конф. ім. акад. М. Кравчука. Київ. 1998. С. 335.

Мирончук М.В., Щепец Н.Н. Распространение поверхностных волн, генерируемых источником и подвижной донной поверхностью // Материалы III Научной школы “Импульсные процессы в механике сплошных сред”. Николаев. 1999. С. 44.

Анотації

Мирончук М.В. Генерація поверхневих та внутрішніх хвиль локальними неоднорідностями в рідині. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05- механіка рідини, газу та плазми.- Інститут гідромеханіки Національної академії наук України, Київ, 2000.

Дисертація містить результати теоретичних досліджень впливу наявності локальних неоднорідностей на процеси поширення та генерації поверхневих та внутрішніх хвиль в рідинах різної фізичної природи. Узагальнено нелінійну модель генерації хвиль локальними неоднорідностями в рідині скінченої глибини для випадку багатошарових рідин та рідини, що намагнічується (двовимірний випадок). Проведено аналіз впливу магнітних параметрів на поширення лінійних поверхневих хвиль в магнітній рідині скінченої глибини без неоднорідності. Отримано розв'язок тривимірної лінійної задачі про генерацію поверхневих хвиль набіганням однорідного потоку на два витоки, що дало змогу дослідити вплив числа Фруда та відстані між витоками на зміну форми вільної поверхні. Проведено детальне дослідження впливу фізичних параметрів моделі на розповсюдження гармонічних хвиль в тришаровій рідині.

Ключові слова: локальна неоднорідність, багатошарові рідини, магнітна рідина, генерація хвиль, асимптотичні методи, довгохвильове наближення, нелінійна модель, збурене еволюційне рівняння Кортевега-де Вріза, солітон, еволюційне рівняння.

Мирончук М.В. Генерация поверхностных и внутренних волн локальными неоднородностями в жидкости. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05- механика жидкости, газа и плазмы.- Институт гидромеханики Национальной академии наук Украины, Киев, 2000.

Диссертация содержит результаты теоретических исследований влияния наличия локальных неоднородностей на процессы распространения и генерации поверхностных и внутренних волн в жидкостях различной физической природы. Обобщена нелинейная модель генерации волн локальными неоднородностями в жидкости конечной глубины для случая многослойных жидкостей и намагничиваемой жидкости (двумерный случай). Проведен анализ влияния магнитных параметров жидкости на распространение линейных поверхностных волн в магнитной жидкости конечной глубины. Получено решение трехмерной линейной задачи о генерации поверхностных волн набеганием однородного потока на два источника, что позволило исследовать влияние числа Фруда и расстояния между источниками на изменение формы свободной поверхности жидкости. Проведено подробное исследование влияния физических параметров модели на распространение гармонических волн в трехслойной жидкости.

Ключевые слова: локальная неоднородность, многослойные жидкости, магнитная жидкость, генерация волн, асимптотические методы, длинноволновое приближение, нелинейная модель, возмущенное эволюционное уравнение Кортевега-де Вриза, солитон, эволюционное уравнение.

Mironchuk M.V. Generation of surface and internal waves by local inhomogeneities in fluid.- Manuscript.

Ph. D. dissertation (speciality 01.02.05 - mechanics of fluid, gas and plasma).- Institute of Hydromechanics NAS of Ukraine, Kiev, 2000.

The dissertation contains the results of theoretical investigations of the influence of local inhomogeneities on the surface and internal wave generation in fluids of different physical nature.

Some nonlinear plane problems concerning the effects of local inhomogeneities on the surface wave generation in the fluid of finite depth are considered. The forced Korteveg-deVries equation is derived on the basis of long wavelength asymptotic expansions theory by the asymptotic methods. The stationary solutions of this equation are found. The influence of structural parameters and inhomogeneity on changing solitary wave forms is investigated. It is shown that the vertical location of inhomogeneity is unessential for the solitary wave generation within the bounds of exactness of the third order asymptotic approximation.

The statement of a new problem of surface wave generation due to a local bottom inhomogeneity in magnetic fluid of finite depth is presented. The modified Korteveg-de-Vries evolution equation is derived on the basis of asymptotic expansions in powers of the small dispersion parameter.

The corresponding linearized problem of the surface wave propagation in magnetic fluid of finite depth without inhomogeneity is solved in the class of traveling waves. The evolution equation is derived on the basis of the asymptotic-heuristic approach. The influence of magnetic fluid parameters on the phase and group velocities is analyzed.

The 3-D linear problems of the surface gravity wave generation by the uniform upstream running up both on a single source and on the system of two sources are solved to investigate the influence of physical and geometric parameters on a system behaviour. Certain regimes of extremum free surface elevations are discovered.

The problem of linear harmonic wave propagation in the three-layer fluid consisting of two half-infinite fluids and the fluid layer between them is solved to investigate the influence of the density ratio on the frequency, phase and group velocities. It is found that the group velocities can be of negative values for some values of wavelengths.

The nonlinear model of wave generation due to local inhomogeneities in the fluid of finite depth is generalized to the case of two-layer fluid with inhomogeneities on the interface between the fluids of different densities. The forced Korteveg-deVries equation is derived by using the asymptotic methods based on the long wavelength asymptotic expansions theory. The influence of the magnitude disturbance and the disturbed component of upstream uniform velocity on the solitary wave propagation is investigated. Some different regimes of changing form of the free surface elevation with structure parameters are found.

Investigations presented in this dissertation demonstrate the influence of inhomogeneities and the other complicating physical parameters in fluids of finite depth and layered fluids on the free surface elevation and phase and group velocities. In particular the some new regimes of solitary wave generation are discovered.

Key words: local inhomogeneity, multilayer fluid, magnetic fluid, wave generation, asymptotic methods, long wavelength approximation, nonlinear model, forced Korteveg-deVries equation, soliton, evolution equation.

Размещено на Allbest.ru

...