Фазово-когерентний транспорт заряду в багатошарових надпровідниках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова

УДК 537.312.62

Фазово-когерентний транспорт заряду в багатошарових надпровідниках

Спеціальність: 01.04.22 - надпровідність

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Шафранюк Сергій Євгенович

КИЇВ 2000

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Інституті Магнетизму Національної Академії Наук України та Міносвіти України

Науковий консультант: Академік Національної Академії Наук України, доктор фізико-математичних наук, професор Баряхтар Віктор Григорович Інститут Магнетизму Національної Академії Наук України, директор

Офіційні опоненти: багатошаровий тунельний анізотропія

доктор фізико-математичних наук, Олександр Маркович Габович, Інститут Фізики Національної Академії Наук України, провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, Гурам Олександрович Гогадзе, Фізико-Технічний Інститут Низьких Температур Національної Академії Наук України, провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, Валерій Зіновійович Лозовський, Інститут Напівпровідників Національної Академії Наук України, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Донецький Державний Університет

Захист відбудеться “25” січня 2001р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.168.02 при Інституті Металофізики Національної Академії Наук України за адресою 03142, Київ, просп. Вернадського 36, актовий зал Інституту Металофізики ім. Г.В. Курдюмова Національної Академії Наук України

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту Металофізики ім. Г.В. Курдюмова Національної Академії Наук України за адресою 03142, Київ, просп. Вернадського 36

Автореферат розісланий “25” грудня 2000р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат фізико-математичних наук Т.Л. Сізова

Загальна характеристика роботи

Дисертацiйна робота присвячена теоретичному аналiзу фазово-когерентного траспорту електричного заряду в шаруватих надпровідниках.

Актуальнiсть теми визначається рiвнем сьогоденних потреб як в областi прикладних результатiв, так i в областi фундаментальних дослiджень. Фазово-когерентний транспорт - це макроскопічне квантове явище. Найбільш відомі його різновидності були відкриті ще в 60-х роках - це еффект Джозефсону, та Андріївське відбиття. Ці макроскопічні квантові еффекти звязані з протіканням електричного струму через контакт двох надпровідників, розділених непровідним проміжком, або надпровідника та нормального металу. Їх почали широко досліджувати останнім часом з використанням технології виготовлення тунельних структур та точкових контактів. Ці явища підтвердили головні положення теорії надпровідністі про існування енергетичної щілини в спектрі збуджень і макроскопічної кореляції, заклали фізичні основи “слабкої” надпровідністі та сучасної надпровідної електроніки, показали можливість широкого використання тунельних структур для вирішення задач фізики твердого тіла. Було встановлено, що фазово-когерентний транспорт (ФКТ) в неоднорідних надпровідних структурах має тісний звязок з явищем Андріївського відбиття (АВ), де електронне збудження перетворюється в дірку з породженням куперовської пари у процесах відбиття від границі розділу нормальний метал-надпровідник.

Суттєвий стимул роботі по дослідженню ФКТ було надано сучасним розвитком нанотехнології. Особливу привабливість з цієї точки зору мають штучні багатобар'єрні туннельні надпровідні гетероструктури (ШБГ) виготовлені та досліджені Клапвійком, Невирковцем. В таких системах, внаслідок квантової хвильової природи, відбувається складна інтерференція між надпровідним конденсатом та електронними і дірковими збудженнями. Внаслідок цього прозорість згаданих гетероструктур зникає при певних енергіях тунелюючих квазичастинок. Тому ці системи фільтрують квазичастинковий струм по напрузі зміщення, прикладеній поперек бар'єрів. Відкриття високотемпературних металооксидних надпровідників, які мають багатошарову внутрішню атомну структуру (т.з., природні багатобар'єрні туннельні надпровідні гетероструктури, або ПБГ), також визвало підвищену цікавість до ФКТ, бо як було з'ясовано, електричний надпровідний струм вздовж с-вісі проявляє Джозефсонівську природу. Найбільш яскраво ФКТ відображується в існуванні Джозефсонівського плазмового резонансу, що є внутрішньою властивістю металооксидних надпровідників. Ці електромагнітні коливання густини надпровідного конденсату куперовських пар були недавно спостережені в далекому інфрачервоному спектральному діапозоні в багатьох оптичних та НВЧ експериментах.

При дослідженні згаданих штучних та природних надпровідних багатобар'єрних тунельних структур очікуються нові фізичні явища та ефекти, які можуть мати широке наукове та практичне застосування. По-перше, детальний мікроскопічний механізм туннельного транспорту в ШБГ до цього часу не був з'ясований. Також роль Андріївських зв'язаних станів у ШБГ була незрозуміла. По-друге, мікроскопічна природа спостереженого експериментально Джозефсонівського плазмового резонансу у ПБГ до часу виконання цієї роботи була невідома. По-третє, структура Джозефсонівських вихорів (флаксонів), які виникають в гетероструктурах під дією постійного магнітного поля до цього часу була невизначена. Розгляд цих явищ став можливий лише шляхом сумісних теоретичних та експериментальних досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. В дисертацiйну роботу увiйшли результати, якi були отримані автором протягом роботи у вiддiлку теоретичної фiзики Iнститута металофiзики Нацiональної Академiї Наук України та вiддiлку теоретичної фiзики Iнститута Магнетизму Нацiональної Академiї Наук та Мiнiстерства Науки та Освiти України в рамках державних бюджетних програм "Релаксацiйнi, нелiнiйнi та прецизiйнi явища в областi фазових переходiв", Державний реєстрацiйний № 0196И008956; "Магнiтнi властивостi низьковимiрних структур", Державний реєстрацiйний № 01974012148; "Електронна теорiя нелiнiйних властивостей неоднорiдних багатошарових систем", Державний реєстрацiйний № 0100U000543; госпдоговiрної тематики, зокрема, по темi "Разработка способов экранирования детекторной головки джозефсоновского спектроанализатора от воздействия мощного электромагнитного излучения радиоэлектронного оборудования реактора типа "Токамак"", Державний реєстрацiйний № 0195V027049, що виконуваласть по замовленню ДержНДЦ "Фонон". Частина роботи фiнансувалася в рамках теоретичного проекту № 342 "Хабор" Державної програми СРСР досліджень високотемпературної надпровiдностi (1990 - 1993 pp.).

Мета i задачi дослiдження. Актуальнiсть теми дисертацiйної роботи зумовлює мету i задачi дослiдження. Метою роботи є теоретичний аналіз фазово-когерентного траспорту у штучних та природних надпровідниках. Для досягнення цієї мети були поставлені такі задачі:

- описати нерівноважні властивості багатошарових туннельних структур створених тонкими шарами надпровідників, діелектриків, та нормальних металів

- збудувати теорію ефекту анізотропії параметру порядку високотемпературних надпроводників та його вплив на I-V характеристики туннельних контактів нормальний метал-ізолятор- високотемпературний надпровідник

- вивчити нелінійну електродинаміку гранулярних надпровідників

- описати електронний транспорт в багатошарових туннельних структурах в умовах Андріївського відбиття

- дослідити Андріївські звязані стани, які виникають в дво-барєрних S-I-S-I-S переходах

- вивчити природу Джозефсонівського плазмового резонансу в високотемпературних надпровідниках

- описати високочастотні властивості багатошарових надпровідників з анізотропним спарюванням в електродах

- дослідити затухання Джозефсонівської плазмової моди (JPM) в багатошарових надпровідниках за рахунок квазичастинкового розсіювання

- вивчити високочастотні властивості купратних надпровідників у змішаному стані.

Наукова новизна результатiв, отриманих в дисертацiйнiй роботi. Всi вищеназвані задачi є оригiнальними науковими проблемами, що були сформульованi вперше та розв'язанi в тому виглядi, який наведено в дисертацiї. Зокрема, результатами, якi представленi в дисертацiйнiй роботi, є:

- Теорія I-V характеристик туннельних контактів нормальний метал-ізолятор- високотемпературний надпровідник з анізотропним параметром порядку;

- рівняння типу Гінзбурга-Ландау, що описує високочастотні властивості надпровідника;

- теорія Андріївського розсіювання на просторово-періодичному потенціалі спарювання купратного надпровідника;

- мікроскопічна модель електромагнітних властивостей купратних надпровідників з врахуванням їх мікроскопічної шарової структури;

- теорія Джозефсонівського плазмового резонансу в високотемпературних надпровідниках;

- модель проникнення високочастотних полів в багатошарові надпровідники з анізотропним спарюванням, що враховує залежність від взаємної орієнтації орбітального моменту в сусідніх атомних прошарках;

- механізм емісії плазмонів, яка визвана нерівноважною інжекцією квазичастинок у високотемпературний надпровідник.

Практичне значення одержаних в дисертації результатiв. Результатом виконаної роботи було стимулювання досліджень в галузі дослідження фазово-когерентного транспорту заряду в ШБГ, внутрішнього ефекту Джозефсону, та високочастотних властивостей шаруватих надпровідників. Певна кількість прогнозованих в роботі нових ефектів була пізніше підтверджена експериментально в дослідних групах Японії та Німеччини, в той час як розроблені в роботі теоретичні моделі добре пояснюють експериментальні результати отримані раніше. З точки зору практичних застосувань важливою є модель емісії Джозефсонівських плазмонів, на основі якої створено тунельний прилад, що генерує електромагнітні хвилі у важкодоступному раніше THz-діапозоні. Запропонований в роботі механізм виникнення сегнетоелектричних доменів також є дуже перспективним з точки зору практичних застосувань.

Особистий внесок автора в отримані результати полягав у постановці наукових задач, побудові теоретичних моделей, проведенні аналітичних та компютерних розрахунків, обробці отриманих результатів (шляхом аналізу), їх інтерпретації та написанні статей. Це стосується всіх результатів, описаних в дисертації, крім означених нижче.

В дисертації використані наступні результати, отримані співавторами або спільно із співавторами спільних публікацій (див. список публікацій за темою дисертації):

- у роботах, опублікованих спільно з В. Костуром ([A4], [A6] та [A8]), він виконував частину розрахунків;

- у публікації [A12] автор виконував теоретичну частину роботи, в той час як екперимент виконувався J.G.A. Dubois, J.W. Gerritsen, E.J.G. Boon, G. Schmid, and H. van Kempen;

- у cпільній публікації [A17] авторові належить теоретична модель, в той час як експеримети описані у відповідній роботі [A17] проводились співавторами A. Arai, K. Nakajima, T. Yamashita, а зразки металооксидних монокристалів було виготовлено I. Tanaka, H. Kojima;

- у роботі [A25] автору належить лише теоретична модель явища, яке спостерігається, а екперимент був проведений I.P. Nevirkovets, J.B. Ketterson;

- у всіх публікаціях, де співавторами виступають M. Tachiki та T. Yamashita вони брали участь в обговоренні результатів та підтримці роботи.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Головні матеріали дисертації доповідались на: Українсько-Французському Симпозиумі по Фізиці Конденсованого Стану (Львів, Україна, 1994), Щорічній зустрічі Голландського Фонду по Питаннях Фундаментальних Досліджень (Ейндховен, Нідерланди, 1992-1994 рр.), 2-гій Міжнародній Конференції по Контактній Спектроскопії (Ніймеген, Нідерланди, 1995), Дослідній Конференції Гордона по Надпровідністі (Лес Діаблеретс, Швейцарія, 1995), Міжнародному симпозиумі: Досягнення Високої Tc в Надпровідністі (Моріока, Японія, 1995), Прикладній Конференції по Фізиці (Токіо, Фукуока, Акіта, Японія, 1996-1998), 8,9,10,11-й Міжнародних Симпозіумах по Надпровідністі (Моріока, Сапоро, Гіфу, Фукуока, Японія, 1995-1998), 1997 Міжнародному Симпозіумі по властивостям Джозефсоновських Плазмових THZ Коливань у Надпровідниках з Високою Tc (Сендай, Японія, 1997), 16-ій та 17-ій Загальних Конференціях по Питаннях Конденсованого Стану (Льойвен, Бельгія, 1997 та Гренобль, Франція, 1998), 3-ій Конференції Університету Маямі по Високотемпературній Надпровідності (Корал Гейблс, Маямі, США, 1999), 100-річній Ювілейній Зустрічі Американського Фізичного Товариства (Атланта, США, 1999), Зустрічі Американського Фізичного Товариства в Мінеаполісі (США, 2000), Міжнародному Симпозиумі по Внутрішньому Ефекту Джозефсону, та ТНz коливанням (Сендай, Японія, 2000).

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'ятьох розділів та висновків, містить 271 сторінку, включаючи 61 малюнок, у списку цитованої літератури 289 найменувань.

Публікації. По темi дисертацiї автором опублiковано бiльше 40 робiт. Основнi матерiали дисертацiйної роботи представленi в 25 статтях, якi надрукованi в мiжнародних наукових журналах.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальность дисертаційної роботи, коротко викладено зміст роботи, приведено головні досягнення та положення, які виносяться на захист.

У першому розділі розглянуто властивості електронного транспорту в багатошарових структурах, де провідність вдовж шарів є металічною (або надпровідною), в той час як поперечна провідність є туннельною (Джозефсонівською). Типовим прикладом таких структур є, наприклад, металооксиди, або різноманітні штучно виготовлені структури [1-3]. Підвищений інтерес до таких систем [1-3] в останні роки головним чином викликаний вивченням нормальних властивостей високотемпературних надпровідників та питаннями їх практичного використання у мікроелектроніці. Нормальні багатошарові провідники (або надпровідники), що є системою однакових слабкозвязаних (над)провідних прошарків, звичайно мають природну шарову атомну структуру, або створюються за допомогою методик інтеркалювання, пошарового напилення, або эпітаксії. При цьому елементи електронних схем, створені на основі таких (над)провідників, часто знаходяться під впливом різноманітних інтенсивних полів. Зрозуміло, що в даному випадку вони самі, як правило, стають джерелами вторинних випромінювань. В цьому розділі, методом діаграмної техніки для нерівноважних процесів [4] розглянуто явище вторинного випромінювання (нелінійної генерації) нерівноважних акустичних фононів [A1] зразком багатошарового провідника, який знаходиться під впливом зовнішнього інтенсивного електромагнітного поля частоти . Обчислення спектрів генерації нерівноважних фононів, проведені в роботі з застосуванням діаграмної техніки Келдиша для нерівноважних процесів [4] показують, що такі багатошарові структури стають джерелом майже монохроматичного випроміннювання значної інтенсивності.

Далі вивчається вплив інтенсивного розсіювання електронів на немагнітних домішках високої концентрації на кінетику фононів у шаруватих нормальних провідників [A2]. Тут теж використано підхід, оснований на діаграмній техніці Келдиша для нерівноважних процесів [4]. В рамках згаданого підходу отримано інтеграл зіткнень нерівноважних фононів з електронами у таких шаруватих системах. Показано (див. [A2]), що інтерференція процесів розсіювання електронів на домішках з процесами непружних перескоків електронів між прошарками призводить до посилення аномалій дифузійного типу в ефектах електронного загасання фононів та динамічного екранування.

У роботі отримано квантове кінетичне рівняння для нерівноважної функції розподілу об'ємних акустичних фононів, яке описує кінетику фонон-електронних зіткнень у невпорядкованих багатошарових провідниках. Показано, що в довгохвильовому та низькочастотному випадку (qli<<1, , де q-хвильовий вектор фонону; li=-довжина вільного пробігу; vF - фермієвська швидкість; i- час розсіювання на немагнітних домішках; -частота фонону) коефіцієнт електронного загасання фононів та діелектрична функція містять особливості дифузійного типу, зумовлені інтерференцією процесів непружних міжшарових перескоків електронів, фонон-електронних і електрон-домішкових розсіювань. При цьому вважається, що поділ об'ємних та поверхневих мод досягнуто відповідним вибором товщин прошарків.

Зв'язок між електронними станами прошарків описано в термінах гамильтоніану перескоків (формально еквівалентного тунельному гамильтоніану, придатність якого обмежена другим порядком теорії збурень):

де - матричні елементи пружних перескоків, узяті між електронними станами р і р' у прошарках відповідно з індексами i та j, це оператор народження (анігіляції) електрону в шарі i. Квантове кінетичне рівняння отримано діаграмним методом для нерівноважних процесів [4]. В рамках цього методу повна ефективна фонон-електронна вершина визначається замкнутим діаграмним рівнянням, яке безпосередньо випливає з явного виду гамильтоніану задачі. Діаграмний вираз враховує ефекти кулонівської міжелектронної взаємодії та екранування, а заштриховані в клітину трикутники містять внесок від суми всіх можливих процесів багатократного розсіювання на домішках та внесок другого порядку від процесів перескоку електронів між прошарками. У згаданих діаграмних рівняннях суцільні лінії позначають електронні функції Гріна-Келдиша , хвилясті - функції Гріна-Келдиша фононів , штрих-пунктирні - фурьє-компоненту міжелектронної неекранованої кулонівської взаємодії , біле кільце, що зєднує фононну лінію з двома електронними - це “гола” фонон-електронна вершина. Хрестами на малюнку позначені вершини электрон-домішкового розсіювання, пунктирними лініями - усереднення по розташуваннях домішок, у кружках проставлені индекси прошарків. Діаграми необхідно просумувати по всім можливим перестановкам індексів Келдиша та функцій G і D:

Цей діаграмний метод дав можливість отримати квантове кінетичне рівняння для функцій розподілу нерівноважних фононів та електронів та вивчити кінетику фонон-електронних зіткнень в шаруватих а також однорідних масивних “брудних” (із високою концентрацією точкових дефектів) зразках та в умовах нерівноважного стану електронної і фононної підсистем. Проведений в даній роботі [A2] розгляд показує, що кінетика фонон-електронної взаємодії у гранично “брудних” шаруватих провідниках визначається інтерференцією великої кількості елементарних процесів розсіювання електронів на домішках та процесів перескоків електронів між провідними прошарками. В результаті виникають аномалії дифузійного типу, які посилюються за рахунок внеску міжпрошаркових перескоків електронів, що в таких умовах стають непружними.

Іншим важливим та цікавим питанням електронного туннельного транспорту, що активно вивчається в останні роки [6,7] експериментально та теоретично, є природа туннелювання між надпровідниками з анізотропним параметром порядку (p) (де p це електронний імпульс). Оскільки цей процес тісно звязаний з внутрішньою симетрією надпровідного стану, то його вивчення дає змогу глибше зрозуміти як природу високотемпературної надпровідності, так і закономірності переносу електричного заряду в таких системах. У цій роботі, туннельний транспорт вивчається з врахуванням властивостей симетрії анізотропного надпровідного параметру порядку : (р) = <cp c-p >, де cp це оператор знищення частинки, що утворить надтекучую пару, р - імпульс частинки, - індекс її спіну [A4,A5]. Розглянуто випадок фермієвської статистики цих частинок (назвемо їх умовно електронами), коли вони утворюють синглетні (s = 0) пари. Трансформаційні властивості хвильової функції пари частинок в надпровідному конденсаті, які співпадають за змістом із параметром порядку (р), під дією різних перетворень симетрії визначають особливості надпровідної фази. При цьому інваріантість параметра порядку щодо всіх можливих підгруп звязана з симетричними станами конденсату. У цій роботі тип базисних хвильових функцій конденсату знайдено при кінцевих значеннях орбітального моменту куперовской пари l = 0, 1 і 2 для різноманітних уявлень точкових груп D4 (квадратна симетрія), D4h (I4/mmm, тетрагональна симетрія в La2CuO4), D2h (Abma для La2-x Srx CuO4 та Pnunm для Yba2Cu3O7- , що мають орторомбічну симетрію). Останні дві сполуки, які відповідають групі точкової симетрії D2h , у свій час досліджувались найбільше докладно [2,3]. Для D2h кожному типу спарювання (синглетному або триплетному) відповідає по чотири одномірних уявлення. У звичайних позначеннях це будуть:

де це повний спін пари, та l - це її орбітальне квантове число. Звичайно, для випадку куперовського спарювання в присутності спин-орбітальної взаємодії або неоднорідності, спін пари виявляється "поганим" квантовим числом і тому правильніше говорити про парність.

Домовимось далі стани з парним l називати синглетними, а з непарним - триплетними. У випадку, що розглядається, повна група складається з точкової групи кристала G, операції инверсії часу R та групи каліброваних перетворень U(1). Використовуючи зазначені симетричні властивості надпровідного параметру порядку (р), ми обчислюємо електронну функцію Гріна, та відповідну густину одноелектронних станів N(). Цей підхід, якщо потрібно, дає змогу врахувати також ефекти запізнення, та зсуву електрохімічного потенціалу. Результати обчислень N() показані тут на малюнках для парного надпровідного параметру порядку (а), для аксіально-симетричного парного параметру порядку (б), та непарного надпровідного спарювання (в).

Як видно з приведених малюнків, функція N() сильно залежить від симетрії параметру порядку (р), що є досить суттєвим фактором для визначення траспортних влативостей багатошарових металооксидних надпровідників. Так різноманітні характерні особливості на кривих N() знаходять своє відображення у вольтамперних характерестиках [6,7] надпровідних туннельних контактів I(V), у провідності монокристалів з малим числом атомних шарів вздовж с-вісі c(V), та в їх електромагнітних характеристиках.

У другому розділі викладено результати вивчення механізмів високочастотного транспорту носіїв електричного заряду у багатошарових надпровідниках з туннельним звязком між шарами. Показано, що ці механізми визначаються взаємодією між зовнішнім електромагнітним (EM) полем та надпровідним параметром порядку (р). Знайдено, що згадана взаємодія у загальному випадку визначається двома головними чинниками. Перший чинник є звичайним і діє через нерівноважні нормальні збудження, в той час як другий чинник пов'язаний із високочастотними діамагнітними надструмам, наведеними зовнішнім полем.

Спочатку методом функцій Гріна-Келдиша [4] для нерівноважних процесів розглянуто канали взаємодії між надвисокочастотним електромагнітним полем (НВЧ) та надпровідним конденсатом в одиночній надпровідній плівці [A6]. Отримано просте рівняння типу Гінзбурга-Ландау, яке описує цю взаємодію при (Tс-T)/Tc << 1, T>> включаючи особливості придушення та стимуляції надпровідності. Розвязок спрощується в ситуації, де зовнішня електромагнітна хвиля падає перпендикулярно до тонкої надпровідної плівки, та коли d<< (d - це товщина плівки, - це глибина проникнення поля). Тоді можна припустити, що поле є однорідним всередині плівки, коли хвильовий вектор є перпендикулярним до її поверхні, а векторний потенціал A паралельним. Концентрація атомів немагнітних домішок у надпровідній плівці вважається такою, що Fi>>1(F це енергія Фермі, i це час взаємодії електронів з домішками). З рівняння для квазикласичної електронної функції Гріна-Келдиша ми отримуємо квантове кінетичне рівняння для нерівноважної функції розподілу електронів f. Це рівняння описує звичайний нерівноважний канал взаємодії між НВЧ та надпровідним станом, та спрощується у квазістаціонарному випадку (вплив зовнішнього змінного поля з постійною амплітудою). Коли i >>1 ( це частота поля) згадане рівняння співпадає з відомим квантовим кінетичним рівнянням Еліашберга. У нашій роботі, крім відомого нерівноважного опосередкованого впливу зовнішнього поля на надпровідник, знайдено новий суттєвий канал впливу, який визначається безпосередньою взаємодією поля з надпровідним конденсатом. Цей новий канал описується рівняннями для запізнюючих R (випереджуючих A) функцій Гріна-Келдиша gR(A)(,-), проінтегрованих по p (де p це кінетична енергія електрону). Для простого випадку монохроматичної хвилі ми маємо

У стаціонарному випадку =const розгляд спрощується, і у випадку слабкого зовнішнього поля можна отримати просте рівняння типу Гінзбурга-Ландау де Tc це критична температура надпровідного переходу, N() - густина електронних станів, f - нерівноважна добавка до електронної функції розподілу, (3)- функція Рімана, =(e/m)pFA, pF - імпульс Фермі. Останній член в рівнянні (3) описує вплив нерівноважності, а безпосередня пряма взаємодією поля з надпровідним конденсатом описується членом який містить функцію

Де n = 2n+1, n=2n+1+0/l, 0/l=1/2Tc, =/2Tc. Додаткове рівняння Гінзбурга-Ландау для надструму записується як

+ нерівноважний член,

Де N(0) це електронна щільність держав на рівні Фермі, і vs - надтекуча дрейфова швидкість конденсату. Вплив НВЧ на критичний струм у динамічному каналі показано на малюнку

Далі в роботі розглянуто механізми взаємодії між зовнішнім НВЧ полем та системою слабко звязаних малих надпровідних зерен [A9]. Така система є адекватною до штучних гранулярних надпровідників, та до гранулярних металооксидних надпровідників. Показано, що інтенсивні поля можуть істотно змінювати характер джозефсонівської взаємодії, приводячи до додаткового залишкового опору та відсутності когерентного піку в гранульованих надпровідниках. Перші експерименти по взаємодії між зовнішнім НВЧ полем та метало-оксидними надпровідниками (MOS), які часто мають гранульовану структуру, показали їхні незвичайні властивості в порівнянні зі звичайними однорідними надпровідниками. Наприклад, температурна залежність високочастотного поверхневого опору Rs(T) не є активаційною з енергетичною щілиною (T) і показує залишковий опір при низьких температурах, в той час як дійсна частину НВЧ провідності не відображає когерентного піку.

Звичайно таке аномальне залишкове поглинання описується двох-компонентною моделлю або моделлю анізотропного спарювання, яка опирається на існування вузлів та ліній нулів параметру порядку (р) вздовж поверхні поверхні Фермі. Такі нульові особливості передбачають існування квазичастинок навіть при T = 0. В роботі знайдено, що надпровідна гранульована структура може безпосередньо створити додатковий значний внесок у залишковий опір Rs(T), який пов'язаний з особливостями транспорту електричного заряду. Оскільки у гранульованому надпровіднику опір між зернами є набагато вищим порівняно з опором самого надпровідного зерна, то поле в такій системі сконцентроване всередині проміжків між зернами. Тому нелінійні ефекти зявляються навіть при досить малих інтенсивностях зовнішнього поля та спричиняють незастосовніть звичайної теорії лінійного відгуку. Це викликає необхідність застосування нелінійних підходів [8] до розгляду електромагнітних властивостей гранулярних надпровідників.

Вплив зовнішньої електромагнітного поля описується діаграмами

Рис. 1 Головні елементарні нелінійні процеси, що дають вклад в залишковий опір.

У роботі [A10], як основні елементарні процеси, що відповідають за механізм переносу електричного заряду в гранулярному надпровіднику, розглянуто міжгранульне електронне тунелювання з участю фотонів. Умовно їх можна розділити на два типи: s-типу, коли електрон тунелює з однієї гранули в іншу, та r-типу, коли народжуються (анігілюють) два електрони з енергіями та внаслідок розвалу (створення) куперівської пари (КП) з участю n фотонів частоти

Згідно проведених у роботі розрахунків, які були виконані методом функцій Гріна-Келдишу, поява кінцевого залишкового опору Rs(T) в даній системі зумовлена тим, що поряд з лінійним одноквантовим поглинанням у цьому нелінійному випадку є відчутній вклад багатоквантових процесів, які розвалюють куперовські пари навіть при низьких інтенсивностях зовнішнього поля.

У третьому розділі розглядається фазово-когерентний транспорт електричного заряду у провідних та надпровідних шаруватих та тунельних системах [A11]. Аномалії такого типу, наприклад, виникають внаслідок ефекту близькості в шарі “брудного” провідника N, що знаходиться у контакті з шаром надпровідника S. Внаслідок взаємної дифузії носіїв заряду між N та S (куперовські пари дифундують із S в N, а нормальні збудження рухаються в протилежну сторону), електронний спектр в шарах змінюється, і в ньому зявляються яскраво виражені сингулярні аномалії. Ці аномалії спостерігались в експерименті по Андріївському відбиттю [A11], з використанням точкового контакту, приєднаного до N шару. Андріївська контактна спектроскопія [A11] була виконана на двохшаровому контакті Si/Nb, де товщина шару кремнію становила 50 нм. Спостерігались два виразних піки в диференційній провідності точкового контакту. Запропонована теоретична інтерпретація цих піків основана на можливості Андріївського відбиття від неоднорідного потенціалу спарювання, що має два краї різної величини. Існування цих різних країв викликане скачком параметру порядку (х) на границі між “брудним” нормальним кремнієм та надпровідним Nb завдяки існуванню потенційного барєру. Теоретична модель основана на аналітичному розвязку рівнянь Боголюбова, де використано модельну поведінку надпровідного параметру порядку (х) поблизу границі між кремнієм та ніобієм. Порівнюючи відстань між піками Андріївського відбиття знайденими з експерименту з даними теоретичної моделі, вивчено вплив барьєру на границі розділу. Знайдено розходження між отриманими даними, та широко вживаною моделлю ДеЖена.

Інший тип когерентного траспорту було досліджено в прошаркуватих надпровідниках, які в останні роки є предметом посиленої уваги в звязку з дослідженням високотемпературних надпровідників, що теж мають прошаркову мікроскопічну атомну структуру[1-3]. Незвичайні властивості прошаркуватих надпровідників були помічені відносно давно. Наприклад, транспортні та термодинамічні властивості структур, створених із чередуванням нормальних N та надпровідних S прошарків [20,21], показували особливі відмінності порівняно із звичайними однорідними надпровідниками. Ще у ранній експериментальній роботі [9] виразно спостерігались серії незвичайних періодичних піків у диференційному опорі Rd=(dI(V)/dV)-1 тунельних контактів In-I-Y1.3Ba0.8CuO4 та Sn-I-Y1.3Ba0.8CuO4 (де І це діелектричний бар'єр), але походження цього явища було невиясненим. В даній роботі було знайдено[A13,], що в електронних спектрах таких систем, де надпровідний параметер порядку (x) залежить періодичним чином від координати х поперечної до прошарків, виникають мінізони, що можуть бути спостережені експериментально [A14].

Виникнення мінізон в шаруватих надпровідниках з анізотропним куперовським спарюванням в даній роботі розглядається на основі розвязку рівнянь Боголюбова, які описують спектр квазичастинкових збуджень у системі з неоднорідним параметром порядку (x).

Для опису прошаркуватих періодичних надпровідних систем в даній роботі застосовувалась модель в якій припускалось, що амплітуда надпровідного параметру порядку (x) є однорідною вздовж кожної атомної площини, в той час як періодично змінюється від координати в перпендикулярному напрямку х. Рух електронних та діркових збуджень у періодичному потенціалі спарювання (x) призводить до суттєвих особливостей в електронному спектрі. Цей спектр обчислено в даній роботі із самоузгодженого розвязку рівняння Боголюбова, враховуючи періодичні граничні умови.

Диференційний туннельний опір, що вимірюється в екперименті [9,A14], має вигляд зубців на фоні звичайної густини електронних станів для надпровідника. Вказані зубці відповідають мініщілинам в густині електронних станів. Ці мініщілини виникають завдяки елементарним мікроскопічним процесам Андріївського розсіювання електронних та діркових збуджень на періодичному потенціалі спарювання (x), створюючи мінізони в електронному спектрі. Такі сингулярні особливості були спостережені в екперименті, проведеному в роботі [A14].

В цьому розділі також досліджено інший тип когерентного транспорту електричного заряду між слабко звязаними провідниками. Було розглянуто систему, де розміри електродів та області контакту між ними є наноскопічно малими, що приводить до суттєвого вкладу ефектів кулонівської блокади [A12]. Такі системи є перехідними між фізикою твердого тіла та атомною фізикою. Крім того, ці малі наноскопічні системи мають велике прикладне значення, наприклад в області хімічного каталізу. Недавно подібні системи також розглядаються як кандидати на роль базового елементу квантового компютеру (кубіту). Цікавою особливістю малих наноскопічних кристалічних часток є можливість квантування електронних станів всередині них. Це відбувається завдяки квантовому розмірному ефекту, бо число електронів N у малій частці є достатньо малим, щоб спричинити розчеплення одноелектронних станів, яке в свою чергу було спостережено в експерименті. Теоретична трактовка цього результату, яка запропонована в цій роботі, основана на ефекті одно-електронного туннелювання в умовах кулонівської блокади. Було враховано, що при малих розмірах контакту, ємність контакту С теж мала, тому кулонівська енергія дає відчутній влад в енергію електрону при туннелюванні, призводячи до східців на вольтамперних характеристиках цих наноскопічних контактів. Існування цих східців дає можливість підвищити роздільну здатність екперименту, так що на фоні кулонівської драбини спостерігаються окремі електронні енергетичні рівні, відстань між якими є мВ. Такі рівні були експериментально спостережені в роботі [A12], і їх положення та інтенсивність добре узгоджується з запропонованою теоретичною моделлю.

У цьому розділі також досліджується резонансне джозефсонівське тунелювання в багатошарових S-I-S-I-S переходах [15,16,A25]. Наша мета полягає в тому, щоб вивчити природу струму Джозефсону в тунельних переходах з подвійним бар'єром з дуже тонким середнім електродом, коли два переходи розділені відстанню порядку довжини когерентності . У цьому випадку очікується додаткова взаємодія між переходами порівняно зі звичайним випадком, коли переходи в стеку розділені відстанню менше ніж Лондонівська глибина проникнення L, але більше . Тут вивчено тунельні контакти типу S-I-S'-I-S та S-I-S'-I-N/S, де критична температура S'-прошарку є нижчою ніж Tс S-прошарків. Аналізуючи І-V характеристики цих приладів [15,16] знайдено, що максимум щільністі критичного струму Джозефсону Jс через S-I-S'-I-S устрій виявляється вище ніж Jс для одного окремого S'-I-S переходу із стеку.

З метою теоретичної інтепретації явищ, що спостерігаються в експерименті, побудовано теоретичну модель [A25], в рамках якої досліджується внесок резонансу ЗС в результуючий Джозефсонівський струм для S-I-S'-I-S устроїв. Обчислюємо енергетичний спектр, Ер та електричний струм багатошарової системи. У Джозефсонівській системі, надструм залежить від зміни фази хвильової функції конденсату між електродами і може бути записана у загальній формі як

де f це електронна функція розподілу, Фо = /2е - квант потоку, e - електронний заряд, - постійна Планка. Наші обчислення свідчать, що порівняно з S-I-S випадком, в електронному спектрі S-I-S-I-S системи можуть зявлятися додаткові гілки ЗС.

Для S-I-S'-I-S переходу з бар'єрами у вигляді -функцій на границях розділу, неможливо отримати явний вираз для Джозефсонівського струму, але можна отримати числові результати. Найбільш дивовижні контурні графіки D(E,)=0, що визначають криві Еп(), було знайдено для малих Z. Залежності D(E,)=0 показані на Рис. 9 для фіксованих величин а, та різноманітні сили бар'єру Z.

У четвертому розділі викладені результати вивчення електромагнітних властивостей металооксидних надпровідників (МОН). Загальна увага до цих властивостей МОН в далекій інфрачервоній області визвана відкриттям незвичайного електромагнітного резонансу для полів, поляризованих вздовж с-вісі з частотою щ набагато нижче значення енергетичної щілини Д [5]. Феноменологічна теорія [17] описувала це явище в термінах змінного ас-струму Джозефсону, який має місце між слабко сполученим Cu-0 прошарками. Проте така проста модель [17] не брала до уваги специфіку динамічного характеру взаємодії між зовнішнім електромагнітним полем та прошаркуватими надпровідниками (SC). Ця взаємодія може суттєво залежати від електронного спектру низькоенергетичних електронних збуджень та властивостей надпровідного конденсату подібно до того, як це має місце для анізотропного однорідного надпровідника, а також для окремого Джозефсонівського переходу. Електродинаміка прошаркуватого SC близько зв'язана також з іншою проблемою, що інтенсивним обговорюється відносно металооксидних надпроводників. Це відноситься до незвичайної симетрії надпровідного параметра порядку Д(р) (де р це електронний імпульс) у цих матеріалах, що було підтвержено недавнім прямим експериментальним спостереженням напів-цілого кванта потоку на три-кристалі МОН. Згаданий результат було отримано завдяки можливості створити Джозефсонівський перехід між слабко звязаними надпровідними електродами, в яких досягнута антифазна взаємна орієнтація анізотропного параметру порядку [7]. Оскільки надпровідний Джозефсонівський струм є надзвичайно чутливим до фази параметру порядку, а струм квазичасток навпаки визначається щільністю електронних станів, то можна очікувати, що високочастотні властивості прошаркуватого SC визначаються також симетрією Д(р). Це дає можливість встановити звязок між незвичайним типом куперівського спарювання та електромагнітними властивостями МОН [A15]. Окреме питання відноситься до фізичного походженням вищезгаданого резонансу Щps [5,17]. Цей резонанс за своїми властивостями нагадує плазмовий резонанс у провідниках (тобто в металах та напівпровідниках), бо діелектрична функція е(щ)=0 при щ= Щps. Проте у звичайних металах, або в напівпровідниках плазмова частота щpl досить висока, тобто становить щpl 1014-16 с-1 , в той час як Щps 1011-13с-1 , і є на кілька порядків меншою. Тому виникає питання про природу цього резонансу [5,17]. Задовільне пояснення надається в рамках моделі штабельованих мікроскопічних Джозефсонівських переходів, створених суміжними атомними надпровідними площинами Cu-O та звязаних тунелюванням через непровідні міжатомні проміжки [A15]. Проте феноменологічні моделі Булаєвського та Коями-Тачікі-Такахаші не дають задовільного пояснення багатьом експериментам по відбиттю та поглинанню електромагнітного поля. Особливо явні розходження виникають при порівнянні феноменологічних моделей (Булаєвський та Тачікі-Кояма-Такахаші [17]) із частотною залежністю коефіцієнта відбиття для тонких плівок МОН (Учіда), та температурною залежністю Щps(Т), або ширини лінії Джозефсонівського плазмового резонансу. Це мотивує розробку мікроскопічної моделі, яка враховує механізм мікроскопічного електронного транспорту вздовж с-вісі та незвичайний тип симетрії надпровідного параметру порядку. У цьому розділі ми викладаємо мікроскопічну теорію ac властивостей слабко зв'язаної надпровідної прошаркуватої системи в далекому інфрачервоному діапозоні для електромагнітних полів поляризованих вздовж с-вісі монокристалів МОН [A15,A16]. Ми виводимо повний набір необхідних формул, що складаються з рівнянь для електронного спектру (рівняння само-узгодження) та виразів для кінетичних джерел. Отримані рівняння потім використовуються для обчислення електричного струму між атомними Cu-0 прошарками. Ці рівняння можна спростити використовуючи певні наближення для матричного елементу туннелювання між надпровідними площинами Cu-O в двох граничних випадках: (і) коли електронний імпульс зберігається в елементарних процесах туннелювання (когерентні процеси); (іі) та коли він не зберігається (некогерентні процеси).

Як свідчить недавній експеримент Латишева [18], на практиці в електронний транспорт МОН вздовж с-вісі дають вклад обидва типи електронного тунелювання між прошарками (і) та (іі). Тому в роботі враховано обидва типи згаданих процесів в обчисленні тунельного електронного транспорту в цій слабкозв”язаній системі. Для відбивання та проходження електромагнітної хвилі, поляризованої вздовж с-вісі, через монокристал МОН, як показано на малюнку, із рівнянь Максвела можна вивести такі вирази:

де

() це діелектрична функція, d це товщина зразку. Як видно з приведених рівнянь, електромагнітні властивості тонких плівок МОН визначаються діелектричною функцією, що в свою чергу виражається через тунельну провідність вздовж с-вісі ()

Ця тунельна провідність () обчислюється в рамках діаграмної техніки [4] для нерівноважних процесів. Таким чином в роботі запропоновано використати виміри відбивання та проходження електромагнітних хвиль через тонку плівку МОН кінцевої товщини для перевірки типу симетрії Д(р) в високотемпературних надпровідниках. З отриманих результатів випливає, що електромагнітні характеристики є якісно різноманітними для s-хвилі, анізотропної s-хвилi, та d-хвилi у прошаркуватому SC. Знайдено явну відповідність між ac властивостями прошаркуватого надпровідника та симетрією параметра порядку МОН, та показано, що експерименти такого типу дають однозначну можливість розрізнити різноманітні типи симетрії надпровідного параметру порядку, як було підтвержено пізніше в експериментах групи S. Uchida, Tokyo University.

Також у цьому розділі вивчалось проникнення змінних електромагнітних полів в анізотропні прошаркуваті надпровідники [A16] де струм вздовж с-вісі визначається внутрішнім ефектом Джозефсону на атомному масштабі [19]. Знайдено, що у відклик на поперечне зовнішнє поле, така система поводиться резонансним чином, який теж суттєво залежить від симетрії параметра порядку. Інший важливий фактор, який визначає ці резонансні властивості, відноситься до взаємної орієнтації орбітальних моментів конденсату куперовських пар l у сусідніх атомних прошарках. Якщо l у сусідніх прошарках Cu-O орієнтовано антипаралельно, то критичний струм Джозефсону Ic є негативним (Ic<0) і в системі виникає послідовність так званих атомних Джозефсонівських -переходів.

В залежності від тунельної взаємодії, такі -переходи можуть формувати кластери з числом переходів n (де 1<n<N, та N це загальна кількість переходів у зразку), або незізмірні структури з різним періодом для l “вгору” та “вниз”. У роботі [A16] показано, що вимірювання температурної залежності глибини проникнення електромагнітного поля в МОН може також дати детальну інформацію про інтерференційні властивості прошаркуватих надпровідників та тип симетрії надпровідного параметру порядку.

Ефективним знаряддям для вивчення природи Джозефсонівського плазмового резонансу може стати dc магнітне поле H, прикладене до зразку МОН. Це спричиняється тим, що мікроскопічний Джозефсонівський струм JJos, який тече між атомними прошарками Cu-O є дуже чутливим до величини та орієнтації H. Навпаки, інша компонента електричного струму - струм квазичастинкових збуджень Jqp, досить сильно залежить від температури. Тобто при температурах близьких до критичної Тс, компонента Jqp домінує, в той час як при низьких температурах Т<<Tc основним є Джозефсонівський вклад JJos. Оскільки Джозефсонівський плазмовий резонанс формується завдяки балансу між Jqp та JJos, то змінюючи тепературу та магнітне поле, можна впливати на поведінку Щps [A19]. Плазмова частота штабелю переходів визначається з рівнянь [A19]

Функції 1 та 2 відносяться до вкладів від різних компонент туннельного струму, в той час як фактори <cos>s та <sin>s визначають вплив зовнішнього магнітного поля, та вклад від -переходів. Розрахунки проведені в цьому розділі на основі розвинутого в цій роботі формалізму дають залежності для поглинання електромагнітної хвилі від частоти в одиницях та від приведеної температури t=T/ (див. вставку на Рис. 12.). Як видно, ця залежність має різкий максимум (криві В, С, D, та Е) при =Щps, який зсувається в область низьких частот при наближенні температури до Тс. При Т=Тс, цей максимум майже зникає, і від нього залишається тільки невеликий “хвіст” (крива А).

Цікаво наголосити, що ширина згаданого максимуму майже не змінюється аж поки Т=Тс.

Плазмова частота також сильно залежить і від постійного магнітного поля, прикладеного до зразку МОН [A19]. Таке поле створює вихрову гратку в прошарковому надпровіднику. Коли зовнішнє поле орієнтовано паралельно до атомних Cu-O площин, то вихори створено Джозефсонівськими струмами, які замикаються через непровідні міжатомні прошарки. Якщо ця гратка періодична, то можна досягти інтерференції Фраунгофера для індукованих полем Джозефсонівських струмів, оскільки густина надпровідного струму розподіляється по зразку регулярно, хоча сама по собі є неоднорідною. Така інтерференція Фраунгофера проявляється також і в польовій залежності Щps(Н), як це видно з Рис. 13.

У цьому розділі також показано [A23,A24], що в умовах інтенсивної тунельної інжекції квазичастинок в купратний надпровідник S з нормального металу-інжектору N через тунельний бар'єр (у так званому N-I-S переході), за рахунок рекомбінації квазичастинок у надтекучий конденсат і завдяки елементарним електрон - плазмонним розсіювальним процесам збуджуються Джозефсонівські плазмові коливання в S. Збуджені JPM плазмони перетворюються в електромагнітну хвилю у вакуумі, чия ширина лінії визначена шириною плазмового резонансу, і тому виявляється надзвичайно вузькою. Збудження плазмонів квазичастинковою тунельною інжекцією розглядається таким чином. Інтенсивна інжекція квазичастинок спричиняє відхилення їхньої функції розподілу f від рівноваги. Нерівноважна f розраховується із квантового кінетичного рівняння, отриманого в цьому ж розділі. Використовуючи отриману функцію розподілу, та приймаючи до уваги Джозефсонівську взаємодію між CuO2 площинами в S електроді, обчислюється поперечна нерівноважна діелектрична функція (). Плазмова частота р1 визначається з умови, що Re() = 0. Комплексний хвильовий вектор к поперечної плазмової хвилі всередині S визначається як . Уявна частина, к2 = Imк, дає затухання JPM, що як правило, є малим та позитивним. Ми демонструємо, що завдяки фазовому переходу, k2 може стати негативним для окремих значень частоти электрон-плазмонних зіткнень, частоти тунелюванания, та напруги зміщення, вказуючи на генерацію плазмової електромагнітної хвилі, поляризованої вздовж c-вісі. Потужність EM емісії в останньому випадку, по нашим оцінкам, є досить сильною. Передбачене в роботі явище плазмонної емісії було експериментально спостережено групою I. Iguchi в пізнішій роботі [22].

У пґятому розділі розглянуто аc властивості шаруватих надпровідників у вихровому стані, коли зовнішнє магнітне поле H прикладено паралельно до атомних ab-площин. Підвищений інтерес до цього питання визвано тим, що іноді спостерігається кілька резонансних мод, які є надзвичайно чутливими до прикладеного поля. Можна було очікувати, що Джозефсонівський плазмовий резонанс (ДжПР) грає ключову роль у формуванні згаданих мод. Фактично, феноменологічна модель Булаєвського-Тачікі [17] прогнозує, що з ростом магнітного вектора індукції Н частота ДжПР повинна зменшуватись. Проте, при обчисленні ac властивостей, спрощений феноменологічний підхід [17] працює з декількома припущеннями, які не очевидні для згаданого випадку. Наприклад, припускається, що повний електричний струм у надпровідному зразку МОН повністю визначається тільки Джозефсонівським струмом JJos, в той час як вкладом квазичастинок Jqp нехтується. Більше того, для JJos використовується стаціонарний вираз, в той час як частотною дисперсією струму Джозефсону було знехтувано також. Ці припущення, проте, не узгоджуються з загальними властивостями електронного ас транспорту у слабко звязаних системах, оскільки загальний струм повинен залежати від деталей низькоенергетичного електронного спектру (котрий, очевидно, має місце в зразках МОН). У dc магнітному полі, прикладеному до монокристалу МОН, може створюватись змішаний стан, який має складну структуру, та впливає на Джозефсонівську компоненту повного електронного транспорту вздовж c-вісі, і в результаті, на ac властивості шаруватих надпровідників (SC).

У цьому розділі, розвязуючи систему нелінійних рівнянь для різниці Джозефсонівських фаз [A18], аналізується вплив dc магнітного поля Н на ac властивості шаруватого надпровідника у вихровому стані для випадку паралельної орієнтації dc магнітного поля [яке створює так звану флаксонну гратку]. Для вивчення спектру малих коливань цієї гратки [A20], приймаються до уваги всі згадані вище компоненти електричного ac струму при кінцевих температурах. Знайдено, що з ростом Н, частота Щps поперечних колективних коливань у загальному випадку знижується. Проте характер поведінки Щps(Н) сильно залежить від типу флаксонної гратки, яка створена зовнішнім магнітним полем. Вплив зовнішнього поля на колективну моду відбувається резонансним чином - через реактивні властивості навколишнього флаксонного середовища.

Розгляд коливань флуксонної гратки здійснюється на основі зв'язаних рівнянь синуса-Гордона для міжпрошаркової Джозефсонівської різниці фаз n,n-1

Де n = 0…N позначає індекс прошарку, N - загальне число прошарків у кристалі; та J - статичні глибини проникнення по с-вісі та ab-площинах, відповідно. Таким чином, малі зміщення флаксонів наведених зовнішнім dc магнітним полем за рахунок слабкого ac поля описується як малий додаток до основного рівноважного стану флаксонної гратки

Ac поле визначається через співвідношення Джозефсону

де db - це усереднена товщина перехідних областей, і Ez(t) - це компонента електричного вектора вздовж с-вісі. Звязані рівняння синус-Гордона для розвязуються в роботі [A21,A22] при N = 50 Джозефсонівських переходів (ми також виконали обчислення для штабелю N = 100 переходів, і вони показують ті ж самі тенденції). Знайдений розвязок використовується [A17,A18] для обчислення електромагнітних характеристик. Тут ми використали періодичні граничні умови та припустили, що локальна магнітна індукція Н є періодичною функцією від координати х вздовж атомних ав-площин.

Вищезгадане рівняння синус-Гордона дає змогу обчислити польові фактори, що визначають ac характеристики шаруватого надпровідника в dc магнітному полі. Найбільше цікаві питання відносяться до Джозефсонівського плазмового резонансу та до ac глибини проникнення. Для спрощення, dc магнітне поле вважається спрямованим вздовж у-вісі, у той час як вектор поперечного електричного ac поля - вздовж x осі. При кінцевих температурах та у випадку анізотропного спарювання, яке тут розглядається, колективні коливання визначаються балансом різних компонент електричного струму. Нулі діелектричної функції