Двовимірні задачі теорії пружності для анізотропного півпростору з порожнинами та тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 539.3

ДВОВИМІРНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

ДЛЯ АНІЗОТРОПНОГО ПІВПРОСТОРУ

З ПОРОЖНИНАМИ ТА ТРІЩИНАМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

АВДЮШИНА ОЛЕНА ВОЛОДИМИРІВНА

Донецьк - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Калоєров Стефан Олексійович, Донецький національний університет

Офіційні опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор Камінський Анатолій Олексійович, Інститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України, завідувач відділу механіки руйнування матеріалів

кандидат фізико-математичних наук, Ложкін Володимир Миколайович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу аналітичних методів механіки гірничих порід

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, відділ математичних методів механіки руйнування та контактних явищ, м. Львів

Захист відбудеться “17” травня 2001 р. о 14³⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м.Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд.603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м.Донецьк, вул. Університетська, 24).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м.Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.

Автореферат розісланий “9” квітня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

АНОТАЦІЇ

Авдюшина О.В. Двовимірні задачі теорії пружності для анізотропного півпростору з порожнинами та тріщинами.- Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2001.

Розроблено метод розв'язання двовимірних задач теорії пружності для багатозв'язного анізотропного півпростору, коли його матеріалові властива загальна прямолінійна анізотропія. Основними елементами цього методу є: аналітичне продовження комплексних потенціалів на верхні півплощини всіх узагальнених комплексних змінних; зведення задач для плоскої границі до серії задач лінійного спряження; отримання їх загальних розв'язків; виділення сингулярностей комплексних потенціалів в кінцях тріщин; задоволення граничних умов на контурах отворів та тріщин методом найменших квадратів.

Розв'язано ряд нових задач для анізотропного півпростору та півплощини з отворами і тріщинами. Досліджено вплив параметрів анізотропії, геометричних розмірів та кількості отворів і тріщин, їх близкості до плоскої або прямолінійної границі на значення та розподіл напружень і пружного потенціалу, а також на зміну КІН. Виявлено ряд нових механічних закономірностей.

Ключові слова: аналітичне продовження функції, анізотропне тіло, афінне перетворення, задача лінійного спряження, комплексні потенціали, конформне відображення, концентрація напружень, коефіціенти інтенсивності напружень, крайова тріщина, метод найменших квадратів, механіка руйнування, напружено-деформований стан, багатозв'язне тіло, отвір, півплощина, півпростір, потенціальна енергія, тріщина.

Авдюшина Е.В. Двумерные задачи теории упругости для анизотропного полупространства с полостями и трещинами.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2001.

Рассматриваемая в диссертации проблема выявления влияния анизотропии материала и геометрических характеристик полупространства и полуплоскости с отверстиями и трещинами на их напряженно-деформированное состояние является актуальной фундаментальной и практической задачей механики деформируемого твердого тела.

В диссертационной работе получили дальнейшее развитие методы решения краевых задач теории упругости для многосвязного анизотропного тела при наличии трещин и их приложения к проблеме изучения напряженно-деформированного состояния многосвязного анизотропного полупространства и полуплоскости с отверстиями и трещинами с установлением новых механических закономерностей.

В диссертации разработан метод решения двумерных задач теории упругости для многосвязного анизотропного полупространства, когда его материал обладает общей прямолинейной анизотропией без наличия плоскостей упругой симметрии. Основными элементами этого метода являются: аналитическое продолжение через незагруженные или жестко подкрепленные части плоской границы каждого из обобщенных комплексных потенциалов на верхние полуплоскости всех обобщенных комплексных переменных; приведение условий на остальных участках плоской границы к группе задач линейного сопряжения; решение этих задач с получением общих представлений комплексных потенциалов, точно удовлетворяющих граничным условиям на плоской границе; выделение сингулярностей комплексных потенциалов в концах трещин; приложение метода наименьших квадратов к получению системы линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных, входящих в комплексные потенциалы. Численными исследованиями в работе продемонстрирована высокая эффективность разработанной методики, устойчивость и достоверность получаемых результатов.

Решен ряд новых задач для анизотропного полупространства и полуплоскости с отверстиями и трещинами. Исследовано влияние параметров анизотропии, геометрических размеров и количества отверстий и трещин, их близости к плоской или прямолинейной границе на значения и распределение напряжений и упругого потенциала, а также на изменения КИН. Выявлен ряд новых механических закономерностей.

Установлено, что анизотропия материала существенно влияет на значения и характер распределения напряжений и потенциальной энергии, а также на значения КИН. Это влияние особенно значительно, если нагрузка действует вблизи отверстий и трещин. Увеличение количества отверстий и трещин ведет к росту концентрации напряжений, потенциальной энергии и значений КИН, за исключением, быть может, случаев, когда трещины и отверстия располагаются вдоль границы растягиваемой полуплоскости. Наличие краевой трещины на контуре отверстия приводит к значительному уменьшению концентрации напряжений и упругого потенциала в зоне, близкой к точке выхода трещины на контур, с одновременным ростом концентрации напряжений около контура отверстия вдали от этой зоны и значений КИН.

Выявлено, что подкрепление прямолинейной границы полуплоскости приводит к снижению концентрации напряжений и потенциальной энергии. При сближении концентраторов напряжений (отверстий и трещин) с границей полупространства или полуплоскости в случае неподкрепленной границы возникает большая концентрация напряжений в зоне между концентраторами напряжений и границей полупространства (полуплоскости), тогда как для подкрепленной границы распределение напряжений около концентраторов не имеет больших всплесков. При сближении концентраторов напряжений с подкрепленной границей полуплоскости значения КИН уменьшаются, в то время как в случае неподкрепленной границы - увеличиваются.

Результаты представленных в диссертационной работе исследований имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенная методика может использоваться для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: аналитическое продолжение функции, анизотропное тело, аффинное преобразование, задача линейного сопряжения, комплексные потенциалы, конформное отображение, концентрация напряжений, коэффициенты интенсивности напряжений, краевая трещина, метод наименьших квадратов, механика разрушения, напряженно-деформированное состояние, многосвязное тело, отверстие, полуплоскость, полупространство, потенциальная энергия, трещина.

Avdjushina Y.V. The two-dimensional problems of the theory of an elasticity for a anisotropic half-space with cavities and cracks.- The manuscript.

The dissertation for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on a specialty 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body, Donetsk national university, Donetsk, 2001.

The method of a solution of the two-dimensional problems of the theory of an elasticity for a multiconnected anisotropic half-space is developed. The material of a body has a common rectilinear anisotropy. Basic elements of this method are: an analytic continuation of complex potentials on upper half-planes of all generalized complex variables; an reduction of the problems for the flat boundary to a series of the problems of linear conjugate; deriving of their common solutions; selection of singularities of complex potentials in the end of cracks; sufficing to boundary conditions on outlines of holes and cracks by a method of least squares.

The series of the new problems for a anisotropic half-space both half-plane with holes and cracks is decided. The influence of parameters of an anisotropy, geometric sizes both amount of holes and cracks, their proximity to the flat or rectilinear boundary on values and distribution of stresses and elastic potential, and also on modifications stress intensity factors is investigated. The series of new mechanical regularities is detected.

Keywords: an analytic continuation of function, anisotropic body, affine transformation, problem of linear conjugate, complex potentials, conformal mapping, concentration of stresses, stress intensity factors, boundary crack, method of least squares, mechanics of destruction, stress-deformed status, multiconnected body, holes, half-plane, half-space, potential energy, crack.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У сучасному ракето-, машино-, авіа-, суднобудуванні, у будівництві, гірничій справі та інших галузях промисловості широко застосовуються складні конструкції, що експлуатуються в екстремальних умовах під дією різних силових факторів. Елементи багатьох конструкцій з технічних міркувань мають отвори, а з технологічних або експлуатаційних причин у них можуть міститися також концентратори напружень типу тріщин. Ці фактори потрібно враховувати при розрахунку таких конструкцій на міцність. У зв'язку з цим виникає необхідність розробки ефективних методів визначення напружено-деформованого і гранично-рівноважного станів багатозв'язних тіл з отворами і тріщинами, розв'язання на їх основі задач інженерної практики.

До теперішнього часу для ізотропних тіл виконана велика кількість досліджень по визначенню напружено-деформованого стану багатозв'язних тіл з отворами і тріщинами. Однак останнім часом у машино- і суднобудуванні, будівництві, а особливо в авіаційній, космічній, енергетичній техніці все інтенсивніше використовуються нові композиційні матеріали, що за своєю суттю є анізотропними, неоднорідними. Тому розробка високоефективних методів визначення напружено-деформованого і гранично-рівноважного станів багатозв'язних анізотропних тіл з отворами і тріщинами є однією з актуальних проблем теорії і практики розрахунку на міцність елементів різноманітних конструкцій з композиційних матеріалів.

Метою дисертації є вивчення впливу анізотропії матеріалу і геометричних характеристик тіла у вигляді півпростору і півплощини з отворами та тріщинами на його напружено-деформований і гранично-рівноважний стани, встановлення закономірностей їх якісних і кількісних змін. Для досягнення цієї мети необхідно було

- розробити і розвинути математичні методи розв'язання загальної двовимірної задачі теорії пружності для багатозв'язного анізотропного півпростору;

- із застосуванням цих методів одержати теоретичні розв'зки конкретних задач з їх алгоритмізацією;

- скласти комплекси програм по чисельній реалізації розроблених алгоритмів;

- провести чисельні дослідження з метою вияву ефективності розроблених методів і встановлення нових механічних закономірностей, що стосуються напруженого і енергетичного станів розглянутих тіл.

Об'єктом дослідження в роботі є проблема вивчення напружено-деформованого стану (НДС) анізотропного півпростору і півплощини з отворами і тріщинами, яка виникає при розрахунках на міцність.

Предметом дослідження є розробка методів визначення двовимірного НДС анізотропного півпростору (півплощини) з отворами і тріщинами з урахуванням анізотропії матеріалу, взаємодії отворів і тріщин між собою та із плоскою (прямолінійною) границею, способу навантаження і підкріплення цієї границі.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі набули розвитку та використання ряд підходів. Зокрема, з використанням методів теорії функцій комплексної змінної розвинена методика аналітичного продовження стосовно до групи аналітичних функцій, визначених у півплощинах різних узагальнених комплексних змінних, що мають спільну лінію перетину, на якій усі змінні збігаються. У результаті цього задачі теорії пружності для плоскої границі анізотропного півпростору з отворами і тріщинами, коли на плоскій границі задані зусилля або переміщення, зведені до групи задач лінійного спряження. З використанням методики розв'язання задач лінійного спряження для розрізів у багатозв'язній області отримані загальні вирази комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничні умови на плоскій границі. Із застосуванням методів конформних відображень і рядів виділені сингулярності в кінцях тріщин. Розроблено підхід використання ефективного наближеного дискретного методу найменших квадратів для знаходження невідомих функцій, що входять у комплексні потенціали.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними науково-дослідними роботами, що фінансувалися Міністерством освіти і науки України: "Розробка методів досліджень напружено-деформованого стану і крихкого руйнування елементів конструкцій з тріщинами із композиційних матеріалів" (№ держреєстрації 01910054231, 1991-1993 рр.), "Розробка методів дослідження концентрації напружень та руйнування волокнистих композиційних тіл з тріщинами" (№ держреєстрації 01910054231, 1994 р.), "Розробка методів визначення напруженого стану та руйнування композиційних тіл з отворами та тріщинами" (№ держреєстрації 0195U015720, 1995-1997 рр.), "Розробка методів дослідження напружено-деформованого стану композиційних анізотропних тіл з отворами, включеннями і тріщинами" (№ держреєстрації 0198U005565, 1998-2000 рр.). Частина результатів дисертації була використана в звітах по зазначених НДР за 1991-2000 рр.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що

- набув розвитку метод аналітичного продовження стосовно до групи аналітичних функцій, визначених у площинах різних узагальнених комплексних змінних, що мають загальну лінію перетину;

- граничні умови на плоскій границі багатозв'язного півпростору, послабленого отворами і тріщинами, матеріал якого має загальну прямолінійну анізотропію, вперше зведені до групи задач лінійного спряження, в результаті розв'язання яких отримані загальні вирази узагальнених комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничні умови на плоскій границі;

- для задоволення граничних умов на поверхнях отворів і тріщин розроблена методика використання високоефективного дискретного методу найменших квадратів, який забезпечує високий рівень точності відповідності цим умовам;

- розв'язано ряд нових задач із установленням механічних закономірностей пружного й енергетичного станів досліджуваних тіл з отворами та тріщинами.

Вірогідність основних результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використовуваних математичних методів; контролем ступеня задоволення граничних умов у численних точках контурів; узгодженням отриманих результатів для ряду окремих випадків з відомими в літературі даними, отриманими іншими методами.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості застосування розробленої методики розв'язання і програмних засобів для її чисельної реалізації при розрахунках, пов'язаних із проектуванням і визначенням робочих параметрів елементів конструкцій, що містять отвори, тріщини; в одержанні результатів, що дозволяють оцінювати вплив способу підкріплення плоскої (прямолінійної) границі півпростору (півплощини), близькості тріщин до замкнутих контурів і плоскої (прямолінійної) границі, параметрів анізотропії матеріалу на напружений стан двовимірного анізотропного півпростору і півплощини, що містять концентратори напружень типу отворів і тріщин; у можливості визначення напруженого стану в будь-якій точці півпростору і півплощини; у постановці і розв'язанні деяких задач механіки гірничих порід, зв'язаних з дослідженням розподілу напружень у гірничих масивах з виробітками, у тому числі з розвантажувальними щілинами.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені й обговорені на ряді наукових конференцій і семінарів, у тому числі на IV Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (м.Тернопіль, 1995 р.), III регіональній науково-технічній конференції (м.Маріуполь, 1995 р.), Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми концентрації напружень" (м.Донецьк, 1998 р.), Міжнародній конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (м.Львів, 2000 р.), X Міжнародній науковій школі "Деформування і руйнування матеріалів з дефектами і динамічні явища в гірничих породах і виробітках" (м.Сімферополь, 2000 р.), наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького державного університету (м.Донецьк, 1995, 1997).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, теоретичної і прикладної механіки Донецького національного університету і відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м.Донецьк); науковому семінарі по механіці руйнування Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України (м.Київ); науковому семінарі по механіці деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України (м.Львів).

Публікації й особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в 15 наукових работах [1-15], з яких одна монографія [1], 7 статей в наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [2-8], 7 тез і матеріалів наукових конференцій [9-15].

Основні результати були отримані автором самостійно. У роботах [1-4, 7-15] співавтор С.О.Калоєров брав участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження й обговоренні отриманих результатів. У роботах [4, 11, 13] автору належать результати, що стосуються анізотропної півплощини, співавтору О.С.Горянській - анізотропної пластинки. У роботі [15] автору належать результати, що відносяться до анізотропної півплощини, співавтору С.В.Вакуленко - до ізотропної півплощини.

Особисто О.В.Авдюшиній належать такі, включені в дисертаційну роботу і публікації наукові результати:

- розроблена методика розв'язання крайових задач для багатозв'язного анізотропного півпростору і побудований розв'язок, що точно задовольняє граничні умови на плоскій границі півпростору [1, 2, 13];

- загальний розв'язок двовимірних задач теорії пружності для анізотропного півпростору з еліптичними порожнинами і тріщинами, якщо на його плоскій границі задані зусилля або переміщення [7, 8, 10];

- складені комплекси програм для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв'язків;

- чисельні дослідження напруженого й енергетичного станів багатозв'язного півпростору з порожнинами і тріщинами з виявленням різноманітних механічних закономірностей [3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 278 джерел, і двох додатків. У роботі 49 таблиць і 64 рисунки. Загальний обсяг дисертації складає 259 сторінок, з яких 27 сторінок займає список літератури, 88 сторінок - додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета роботи й основні наукові результати, що виносяться на захист; наведена коротка анотація роботи та її зв'язок з науковими програмами, планами, темами; охарактеризовані наукова новизна, вірогідність та практична значимість отриманих результатів, особистий внесок автора в спільні публікації з теми дисертаційної роботи; наведені дані про опублікування та апробацію результатів роботи.

У першому розділі викладено аналітичний огляд відомих у літературі критеріїв руйнування деформівного твердого тіла, методів визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) і розв'язання основних крайових задач теорії пружності для багатозв'язних нескінченних і півнескінченних середовищ. Тут наведений огляд літератури по дослідженню напруженого і гранично-рівноважного станів багатозв'язних тіл з отворами та тріщинами у випадку скінченних і нескінченних тіл і пластинок, півпростору і півплощини. Аналізом охоплені численні роботи вітчизняних і закордонних авторів. Відзначено ведучу роль робіт В.М.Александрова, Л.Т.Бережницького, І.І.Воровича, Л.А.Галіна, Д.В.Грилицького, О.М.Гузя, С.О.Калоєрова, А.О.Камінського, Г.С.Кіта, О.С.Космодаміанського, М.Я.Леонова, С.Г.Лехницького, Є.М.Морозова, М.Ф.Морозова, В.І.Моссаковського, М.І.Мусхелішвілі, В.А.Осадчука, В.В.Панасюка, В.З.Партона, Г.Я.Попова, В.С.Проценка, І.О.Прусова, В.Л.Рвачова, К.М.Русинка, Г.М.Савіна, М.П.Саврука, Г.Т.Сулима, Л.А.Фільштинського, М.В.Хая, Л.П.Хорошуна, Г.П.Черепанова, В.П.Шевченка, Д.І.Шермана, Вільямса, Ву, Ірвіна, Ісіди, Койтера, Орована, Райса, Сі, Снеддона, Эрдогана і багатьох інших вітчизняних і закордонних вчених на розвиток загальних методів розв'язання задач теорії пружності ізотропних і анізотропних тіл, теорії тріщин. За допомогою аналізу методів досліджень і розв'язання задач, яким охоплено біля 270 робіт, виявлені області теорії і практики, що внаслідок наявності математичних труднощів до даного часу залишалися мало дослідженими. Встановлено, що розроблені і використовуються при розв'язанні різних окремих задачах досить ефективні методи визначення НДС для пластин, послаблених отворами з гладкими контурами. Для пластин із тріщинами, і насамперед багатозв'язних анізотропних, через серйозні математичні та обчислювальні труднощі широких досліджень немає. Численні дослідження проведені лише для пластинки з однією прямолінійною тріщиною. Окремі результати для двовимірного напруженого стану багатозв'язних анізотропних тіл із тріщинами й отворами, що зустрічаються у літературі, відносяться до скінченних і нескінченних тіл і пластинок. Актуальні задачі для анізотропних багатозв'язних півплощини і півпростору при наявності тріщин, отворів і тріщин не розглядалися.

Виходячи з наведеного огляду літератури, в дисертаційній роботі відзначена актуальність розробки ефективних чисельно-аналітичних методів дослідження загального двовимірного НДС і визначення КІН для багатозв'язного анізотропного півпростору, а також півплощини з отворами і тріщинами, розв'язання на основі цих методів важливих практичних задач із проведенням чисельних досліджень по виявленню нових механічних закономірностей.

В другому розділі на базі основної системи рівнянь двовимірної теорії пружності для тіла, матеріал якого має загальну прямолінійну анізотропію без площин пружної симетрії, отримані вирази узагальнених комплексних потенціалів, основні співвідношення для їх знаходження і використання в дослідженнях напружено-деформованого і гранично-рівноважного станів. При виведенні основних співвідношень для півпростору проводиться аналітичне продовження комплексних потенціалів на верхні півплощини узагальнених комплексних змінних, формулюється і розв'язується серія задач лінійного спряження для розрізів на лінії перетину багатозв'язних площин узагальнених комплексних змінних.

Розглядається півпростір, ослаблений циліндричними порожнинами і плоскими тріщинами, матеріалові якого властива загальна прямолінійна анізотропія. У поперечному перерізі півпростору маємо багатозв'язну нижню півплощину S^- з прямолінійною границею L₀ й отворами (і тріщинами) з контурами . Півпростір завантажений зусиллями так, що напружений стан уздовж твірних циліндричних порожнин не змінюється. Зовнішні зусилля діють на нескінченності, а також на поверхнях порожнин і у внутрішніх точках півпростору. Смужки плоскої границі півпростору, паралельні твірним порожнин, завантажені зусиллями або на них задані переміщення. У поперечному перерізі цим смужкам відповідають відрізки [c_n, d_n] границі L₀. Інша частина плоскої границі вільна від зусиль.

Для визначення НДС розглянутого півпростору використовуються узагальнені комплексні потенціали , що повинні задовольняти граничні умови на L₀ і . Кожна з функцій визначена у своій нижній півплощині , що одержана з заданої S^- афінним перетворенням , де - корені характеристичного алгебраїчного рівняння шостого ступеня. У цих півплощинах контурам відповідають контури , які одержані з зазначеними афінними перетвореннями. Виходячи з однозначності напружень і переміщень у півпросторі й обмеженості напружень на нескінченності, у роботі встановлені загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язного півпростору, що містять логарифмічні особливості і невідомі функції, які голоморфні в півплощинах поза контурами . У дисертаційній роботі, виходячи з виразів для напружень і того, що на лінії L₀ афікси точок z_k=t=x, похідні шуканих комплексних потенціалів, визначених у півплощинах , через незавантажені частини границі L₀ аналітично продовжені у верхні півплощини за формулами

(1)

Тут - сталі, що залежать від параметрів , причому значення індексів k+1, k+2, коли вони перевищують 3 і дорівнюють 3+j (j >0), усюди формально покладаються рівними j. Як випливає з (1), кожна з функцій , визначена у своій нижній півплощині , через незавантажені частини їхньої загальної границі L₀ продовжується на верхні півплощини всіх інших комплексних змінних. Похідні в такий спосіб довизначених функцій будуть голоморфні кожна у своій багатозв'язній розширеній площині , крім, можливо, кінців відрізків [c_n, d_n] на прямій L₀, що є лінією перетину цих розширених площин . При такому аналітичному продовженні контурам півплощини в будуть відповідати контури , одержані з їх дзеркальним відображенням щодо границі L₀. У півплощині виникають також контури , , які одержані з , півплощин , їх паралельним переносом в . Для аналітично продовжених у верхні півплощини функцій граничні умови на [c_n, d_n] зводяться до задач лінійного спряження

на , (2)

де g - комплексна стала, що не залежить від індексу k; - функції, що характеризують завантаження і підкріплення відрізків [c_n, d_n] та задовольняють умову Гельдера. Розв'язанням задач лінійного спряження (2) для розширених багатозв'язних площин з розрізами уздовж прямої L₀ отримані наступні загальні вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничні умови на плоскій границі півпростору,

, (3)

де

;

;

- інтеграл типу Коші з густиною ; - головна частина розкладу функції в точках площини , що є для неї полюсами першого порядку; - невідома функція, голоморфна поза контурами отворів півплощини ; , , - функції, голоморфні відповідно поза контурами , , півплощини ; - поліном степеня не вище N - кількості відрізків [c_n, d_n], коефіцієнти якого визначаються з умов на нескінченності і того, що головний вектор внутрішніх зусиль під відрізками [c_n, d_n] дорівнює головним векторам зовнішніх сил, що діють на цих відрізках. Невідомі функції визначаються з граничних умов на контурах отворів і тріщин . анізотропія деформований півпростір

Після визначення комплексних потенціалів за відомими формулами обчислюються значення напружень, густини потенціальної енергії, а у випадку тріщин - також і коефіцієнти інтенсивності напружень.

В другому розділі також наведені розв'язки для окремого випадку розглянутої задачі, коли в кожній точці півпростору існує площина пружної симетрії, перпендикулярна до осей твірних порожнин, а отже, і до границі півпростору. У цьому випадку розглянута задача розпадається на дві: на плоску задачу (плоска деформація анізотропного півпростору або узагальнений плоский напружений стан півплощини) і антиплоску деформацію.

Третій розділ присвячений розв'язанню першої основної задачі двовимірної теорії пружності для багатозв'язного анізотропного півпростору з еліптичними порожнинами і тріщинами, коли його плоска границя вільна від зусиль, крім відрізків [c_n, d_n] її скінченної частини, де можуть бути задані зовнішні зусилля. Зовнішні зусилля також діють на контурах отворів і на нескінченності. Поверхні порожнин можуть торкатися, перетинатися, утворювати плоскі тріщини й отвори складної форми. Функції (3) у цьому випадку подаються у вигляді

, (4)

де - функції, що залежать від навантаження півпростору;

;

- змінні, що обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів і відповідно; a_kln - невідомі сталі, що знаходяться з граничних умов на контурах отворів . Для задоволення умов на цих контурах у роботі використовується дискретний метод найменших квадратів, що приводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь для сталих a_kln і дозволяє задовольнити граничні умови з високим ступенем точності.

У цьому розділі наведені також чисельні дослідження з виявлення ефективності і вірогідності одержуваних розробленим методом результатів, наведені розв'язки великої кількості задач з докладними чисельними дослідженнями розподілу напружень, густини потенціальної енергії і зміни КІН у залежності від анізотропії матеріалу, геометричних характеристик середовища. Отримані результати наведені в численних таблицях і на рисунках. Встановлені нові механічні закономірності.

Зокрема, чисельні дослідження проведені для півплощини і півпростору з еліптичним отвором або тріщиною. З наведених у дисертації численних результатів на рис.1 подані лише графіки зміни КІН (p - інтенсивність прикладених зусиль) для верхнього кінця вертикальної тріщини довжини 2l в півплощині з трьох різних анізотропних матеріалів у залежності від відношення c/l, де c - відстань між верхньою вершиною тріщини і границею півплощини. Суцільні лінії відносяться до випадку дії рівномірного тиску на відрізку [-l, l] границі півплощини, пунктирні - до розтягу на нескінченності. Як показано в роботі, зокрема на рис.1, "ступінь" анізотропії матеріалу (значення відношень E₁/E₂, G₁₂/E₂, де E₁, E₂ і G₁₂ - модулі Юнга і модуль зсуву для головних напрямків пружності) суттєво впливає на значення напружень і пружного потенціалу. Для значень же КІН цей вплив вагомий, якщо навантаження прикладене на границі півплощини і незначний у випадку розтягу на нескінченності (а також внутрішнього тиску на берегах тріщини). При зближенні тріщини з границею півплощини значення максимальних напружень, пружного потенціалу і КІН суттєво зростають. При цьому підсилюється і вплив “ступеня” анізотропії. З досліджень для нахиленої тріщини в півплощині встановлено, що при збільшенні кута нахилу тріщини до границі півплощини значення КІН k₁ також ростуть. Максимальні значення КІН досягаються, коли тріщина перпендикулярна до границі півплощини. Як показано в роботі, отримані в дисертації результати для ізотропної півплощини з вертикальною тріщиною відрізняються від відомих менш ніж на 0,5%.

Проведено дослідження і для анізотропного півпростору з одним отвором або тріщиною. При цьому матеріал тіла має загальну прямолінійну анізотропію без площини пружної симетрії, що перпендикулярна до плоскої границі. У цьому випадку в півпросторі присутні усі компоненти тензора напружень. За матеріал такого півпростору вибирався ортотропний матеріал, коли головні напрямки пружності складали деякі кути з координатними площинами, що перпендикулярні до плоскої границі. Чисельно досліджено вплив цих кутів на напружений стан і значення КІН.

Детальні дослідження зміни напруженого стану і КІН проведені для півплощини з круговим отвором і тріщиною (між отвором і границею півплощини або крайовою, що виходить з контура отвору). Тут на рис.2 представлені лише графіки зміни КІН (p- інтенсивність прикладених зусиль) для півплощини з різних анізотропних матеріалів із круговим отвором радіуса a і верхньою крайовою тріщиною довжиною 0,5a у залежності від відношення c/a, де c - відстань між вершиною тріщини і границею півплощини. Суцільні лінії відносяться до випадку дії рівномірного тиску на відрізку границі півплощини, пунктирні - до розтягу на нескінченності, штрих-пунктирні - до внутрішнього тиску на контурі отвору.

Як показують дослідження впливу “ступеня” анізотропії матеріалу і геометричних характеристик півплощини, закономірності зміни НДС і КІН у даному випадку аналогічні наведеним вище для півплощини з одним отвором (тріщиною). Також встановлено, що “ступінь” анізотропії матеріалу істотно впливає на значення КІН для навантаження, що прикладене як на границі півплощини, так і на контурі отвору. Причому концентрація напружень і значення КІН у даному випадку набагато більші, ніж у півплощині з однією тріщиною. При переході тріщини в крайову відбувається розвантаження в зоні, що прилягає до точки виходу тріщини з контура отвору; значення напружень у цих зонах з ростом довжини тріщини зменшуються, а в найбільш віддалених від тріщини точках контуру отвору, навпаки, збільшуються; при цьому збільшуються і значення КІН. У роботі встановлено, що результати, отримані для ізотропної півплощини з круговим отвором і внутрішньою тріщиною, для ізотропної площини з круговим отвором і крайовою тріщиною, відрізняються від відомих у літературі менш ніж на 1%.

Наведені також розв'язки з докладними чисельними дослідженнями для півплощини з двома тріщинами (уздовж або упоперек границі, що перетинаються), з періодичним рядом еліптичних отворів або тріщин уздовж границі, із криволінійним (квадратним, трикутним, ромбічним, склепінним) отвором, криволінійним отвором і тріщиною, у тому числі крайовою. У результаті цих досліджень встановлено, що для тріщин уздовж границі збільшення їхньої кількості і зближення одна з одною приводить до зменшення значень КІН. При зближенні тріщин із прямолінійною границею і збільшенні кута нахилу до границі значення КІН ростуть. У випадку півплощини з криволінійним отвором виявлено, що поява тріщини приводить до зміни розподілу напружень і пружного потенціалу. Отримані в дисертації результати для випадку ізотропної півплощини з нескінченним рядом тріщин і для ортотропної півплощини з криволінійним отвором відрізняються від відомих у літературі менш ніж на 1%.

У третьому розділі також дано розв'язок задачі про напружений стан гірничого масиву з виробіткою, близько розташованою до денної поверхні. Показано, що коли на денній поверхні діють зусилля, то найбільш ефективною є форма виробки у формі склепіння. Для одночасного розвантаження зон високої концентрації напружень поблизу кутів необхідно провести горизонтальні і похилі розвантажувальні щілини.

Четвертий розділ роботи присвячений розв'язанню двовимірної задачі теорії пружності для анізотропного півпростору з отворами і тріщинами, коли на відрізках [c_n, d_n] задані переміщення як функції, інша частина плоскої границі жорстко підкріплена. Зовнішні зусилля діють на поверхнях порожнин.

За аналогією з другим розділом, аналітичним продовженням комплексних потенціалів через жорстко підкріплені частини границі у верхні півплощини отримана серія задач лінійного спряження, розв'язки яких знову представляються у вигляді (3), де і - відомі, але інші, ніж у першій основній задачі для півпростору, сталі і функції.

За аналогією з методами досліджень третього розділу в четвертому розділі роботи також розв'язані численні задачі з докладними чисельними дослідженнями НДС і КІН. Зокрема, розглянуті задачі для жорстко підкріпленої по прямолінійній границі півплощини з еліптичним отвором або тріщиною, із круговим отвором і тріщиною (внутрішньою або крайовою), із двома тріщинами, з нескінченним періодичним рядом еліптичних отворів або тріщин уздовж границі. Виявлено вплив геометричних розмірів отворів і тріщин, їхнього взаємного розташування, "ступеня" анізотропії матеріалу на значення напружень, пружного потенціалу і КІН. Також дано порівняння отриманих результатів з аналогічними даними для півплощини з непідкріпленою границею (третій розділ). Для анізотропної півплощини з круговим отвором та ізотропної півплощини з тріщиною дано порівняння отриманих результатів з відомими в літературі. Вони відрізняються один від одного менш ніж на 1%.

Дослідженнями встановлено, що зближення отворів і тріщин із границею півплощини приводить спочатку до збільшення концентрації напружень біля контурів отворів, а потім, починаючи з деяких відстаней між ними і границею півплощини, - до її зменшення. При цьому значення КІН зменшуються увесь час. Анізотропія матеріалу істотно впливає на характер розподілу і концентрацію напружень, а також на значення КІН. Зближення отворів і тріщин одне з одним приводить до росту концентрації напружень і значень КІН. Збільшення кількості тріщин уздовж границі півплощини і їх зближення одна з одною приводять до зменшення КІН. Значення напружень у відповідних точках при жорсткому підкріпленні прямолінійної границі значно нижче, ніж у випадку непідкріпленої границі. При цьому для непідкріпленої границі концентрація напружень зосереджена в зоні між контуром отвору і границею півплощини, а для підкріпленої границі розподіл напружень біля контуру отвору не має великих сплесків.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У результаті проведених у дисертаційній роботі досліджень одержали подальший розвиток методи розв'язання крайових задач теорії пружності анізотропного тіла і їх застосування до проблеми вивчення напружено-деформованого стану багатозв'язного анізотропного півпростору з отворами і тріщинами.

Основні наукові результати і висновки, отримані в роботі, полягають в наступному:

1) Розроблено метод розв'язання крайових задач двовимірної теорії пружності у випадку багатозв'язного анізотропного півпростору, коли його матеріалові властива загальна прямолінійна анізотропія без наявності площин пружної симетрії. Основними елементами цього методу є аналітичне продовження через незавантажені або жорстко підкріплені частини плоскої границі кожного з узагальнених комплексних потенціалів на верхні півплощини всіх узагальнених комплексних змінних, приведення крайових умов на інших ділянках до групи задач лінійного спряження, розв'язання цих задач з одержанням загальних виразів узагальнених комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничні умови на плоскій границі.

2) Застосуванням конформних відображень і розкладів у ряди Лорана отримані загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язного анізотропного півпростору, що містять невідомі функції з відповідними сингулярностями в кінцях тріщин. Ці функцції знаходяться з граничних умов на контурах отворів і тріщин методом найменших квадратів.

3) Алгоритмічною мовою Фортран розроблені програмні комплекси по чисельній реалізації отриманих теоретичних розв'язків.

4) Чисельними дослідженнями продемонстрована висока ефективність розробленої методики і стійкість отриманих результатів.

5) Для раніше розв'язаних іншими методами задач показане задовільне узгодження одержаних результатів з відомими. Це разом із застосуванням строгих математичних методів підтверджує вірогідність одержаних результатів.

6) Розв'язаний ряд нових задач двовимірної теорії тріщин для багатозв'язного анізотропного півпростору і півплощини з отворами і тріщинами (це все задачі, коли існує хоча б одна тріщина), що дозволило виявити вплив геометричних розмірів і кількості отворів і тріщин, параметрів анізотропії на значення і розподіли напружень, пружного потенціалу, а також на зміни КІН. Виявлено ряд нових механічних закономірностей.

7) Установлено, що анізотропія матеріалу істотно впливає на значення і характер розподілу напружень і потенціальної енергії, а також на значення КІН. Цей вплив особливо значний, якщо навантаження діє поблизу отворів і тріщин. Збільшення кількості отворів і тріщин веде до росту концентрації напружень, потенціальної енергії і значень КІН, за винятком, можливо, випадків, коли тріщини й отвори розташовуються уздовж границі півплощини, що розтягується. Наявність крайової тріщини на контурі отвору приводить до значного зменшення концентрації напружень і пружного потенціалу в зоні, близької до точки виходу тріщини на контур, з одночасним ростом значень КІН і концентрації напружень біля контура отвору удалині від цієї зони.

8) Виявлено, що підкріплення плоскої (прямолінійної) границі півпростору (півплощини) приводить до зниження концентрації напружень і значень пружного потенціалу. При зближенні концентраторів напружень (отворів і тріщин) із границею півпростору (півплощини) у випадку непідкріпленої границі виникає велика концентрація напружень у зоні між концентраторами напружень і границею півпростору (півплощини), тоді як, у випадку підкріпленої границі розподіл напружень біля концентраторів напружень не має великих сплесків. При зближенні концентраторів напружень з підкріпленою границею півпростору (півплощини) значення КІН зменшуються, у той час як у випадку непідкріпленої границі - збільшуються.

9) Результати представлених у дисертаційній роботі досліджень, мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропонована методика може використовуватися для розв'язання різноманітних інженерних задач.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

Калоеров С.А., Авдюшина Е.В. Основные задачи для полуплоскости и полосы // Концентрация напряжений / Под ред. А.Н.Гузя, А.С.Космодамианского, В.П.Шевченко.- К.: "А.С.К.", 1998.- С.92-113. (Механика композитов: В 12 т. Т.7).

Калоеров С. А., Авдюшина Е. В. Решение основных задач теории упругости для многосвязной анизотропной полуплоскости // Теорет. и прикладная механика.- 1997.- Вып. 27.- С.44-63.- Перев. на англ.- Kaloerov S.A., Avdjushina E.V. Solution of the fundamental problems of elasticity theory for a multiconnected anisotropic half-plane // J. of Math. Scien.- 1998.- V.90.- № 1.- P.1829-1839.

Калоеров С. А., Авдюшина Е. В. Концентрация напряжений в анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 1997.- Вып. 27.- С.63-72.- Перев. на англ.- Kaloerov S.A., Avdjushina E.V. Stress concentration in an anisotropic half-plane with holes and cracks // J. of Math. Scien.- 1998.- V.90.- № 1.- P.1840-1845.

Калоеров С.А., Горянская Е.С., Авдюшина Е.В. Периодические задачи для анизотропной плоскости и полуплоскости с эллиптическими отверстиями или трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер.А. Природничі науки.- 1997.- Вып.1.- С.61-66.

Авдюшина Е.В. Напряженное состояние анизотропного полупространства с эллиптическими полостями и трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер.А. Природничі науки.- 1998.- Вып.1.- С.49-53.

Авдюшина Е.В. Распределение напряжений в анизотропной полуплоскости с двумя эллиптическими отверстиями или трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 1998.- Вып. 28.- С.57-61.- Перев. на англ.- Avdjushina E.V. The stress distribution in an anisotropic half-plane with two elliptic holes or cracks // J. of Math. Scien.- 1998.- V.92.- № 5.- P.4157-4160.

Калоеров С.А., Авдюшина Е.В. Концентрация напряжений в анизотропном полупространстве с цилиндрическими полостями и плоскими трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 2000.- Вып. 31.- С.63-75.

Калоеров С.А., Авдюшина Е.В. Вторая основная задача для анизотропного полупространства с цилиндрическими полостями и плоскими трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 2001.- Вып.32.- С.177-188.

Калоеров С.А., Повалий (Авдюшина) Е.В. Напряженное состояние анизотропной полуплоскости с эллиптическими отверстиями и трещинами // Тез. докл. вуз. конф. проф.-препод. состава по итогам науч.-исслед. и метод. работы: физика, математика. Донецк, апрель 1995 г.- Донецк: ДонГУ, 1995.- С.217-218.

Калоеров С.А., Повалий (Авдюшина) Е.В. Напряженное состояние анизотропного полупространства с системой эллиптических полостей и трещин // Тез. докл. III региональной науч.-техн. конф. Мариуполь, 1995 г.- Мариуполь, 1995.- Т.2. Машиностроение.- С.62.

Калоеров С.А., Горянская Е.С., Повалий (Авдюшина) Е.В. Новый метод определения напряженного состояния анизотропных тел с отверстиями, трещинами и включениями // IV Мiжнародна конференцiя з механiки неоднорiдних структур: Тез. доповiдей. Тернопіль, 17-20 вересня 1995 р.- Тернопiль, 1995.- С.108.

Калоеров С.А, Авдюшина Е.В. Приложение задачи сопряжения к определению напряженно-деформированного состояния многосвязной анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Матер. вуз. наук. конф. проф.-викл. складу за пiдсумками наук.-дослiд. роботи: математика, фiзика, екологiя.- Донецьк: ДонДУ, 1997.- С.75.

Калоеров С.А., Горянская Е.С., Авдюшина Е.В. Действие сосредоточенных сил в анизотропной пластинке и полуплоскости с отверстиями // Соврем. пробл. концентрации напряжений: Тр. междунар. науч. конф. Донецк, 21-25 июня 1998 г.- Донецк, 1998.- С.104-108.

Калоеров С.А., Авдюшина Е.В. Напряженное состояние горного массива с выработкой вблизи дневной поверхности // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: Сб. науч. трудов X межд. научной школы. Алушта, 18-24 сентября 2000 г.- Симферополь, 2000.- С.60-62.

Калоеров С., Авдюшина Е., Вакуленко С. Растяжение полуплоскости с отверстием и краевой трещиной // Математичнi проблеми механiки неоднорiдних структур: В 2-х т.- Львiв, 2000.- Т.2.- С.27-30.

Размещено на Allbest.ru

...