Обґрунтування і розвиток сингулярної моделі дифракції

На закінчення 3-го розділу проводиться аналіз дійсної природи “граничної” хвилі, що експериментально спостерігається, а також зроблена спроба об'єктивної оцінки реальної значущості підходу Рубіновича для сучасної оптики.

Як відомо, Юнг запропонував свою модель як відповідь на давнє питання “чому світить край екрана”. Дійсно, факт свічення кромки екрана при спостереженні її з області тіні, виявлений ще на початковій стадії вивчення дифракції, досі вважають одним з основних свідоцтв існування граничної хвилі, що розходиться. Не менш наочним доповненням до нього став досвід Калашникова, який в 1912 р. за допомогою набору голок продемонстрував існування прямолінійних тіней, що радіально розходяться від краю екрана в область напівтемряви.

Дійсну ситуацію прояснює чисельний аналіз розв'язку Зоммерфельда. Якби Калашникову вдалося наблизити голки до краю екрана на дистанцію в декілька довжин хвиль, він виявив би по картині тіней, що геометричний центр “граничної” хвилі не тільки зміщений від краю назустріч падаючій хвилі, але і трансформований в ланцюжок точок, кожна з яких є центром своєї хвилі, що розходиться. В результаті в області тіні хвиля виявляється хвилею-привидом, яка при достатньому віддаленні від екрана поводиться подібно хвилі, що розходиться, Юнга, але поблизу краю такою не є. По суті, в цьому і складається значення зауваження Зоммерфельда про асимптотичний характер цієї хвилі.

Вичерпне пояснення ситуації, що розглядається, надає введена хвильова модель [21, 22]. “Фантомний” характер граничної хвилі, що спостерігається, і проблематичність її конкретного джерела є слідством єдиної обставини - ця хвиля являє собою невід'ємну частину суперпозиції двох нескінченних хвиль (d- хвилі і плоскої хвилі Ao/2), існуючих в повній відповідності до вимог електродинаміки і хвильової оптики.

Хвилю Юнга, що спостерігається в області тіні, вважають об'єктом свого дослідження і автори більшості повідомлень про експериментальне виділення граничної хвилі. Це - ще одна помилка, а суть справи і тут допомагає уточнити нова модель. Як правило, експерименти такого роду засновані на оптичній фільтрації дифрагованого поля, що приводить до виключення з його кутового спектра низькочастотних складових.

Результат впливу цієї процедури на поле ілюструє. Одержаний розподіл являє собою реконструйовану d-хвилю, звільнену як від плоскої хвилі Ао/2, так і від власних “параксіальних” компонент. Саме цю “проріджену" d-хвилю через її загальну якісну схожість з граничною (крива 3) і приймають звичайно за шукану хвилю Юнга. Щоб пересвідчитися в цьому, досить звернути увагу на структурні особливості поля, що спостерігається. Основними відмінними ознаками реконструйованої d-хвилі є характерна ширина дублету її центральних смуг і наявність у неї бічної структури, принципово відсутньої у граничної хвилі.

Ще одним свідченням спільності нової моделі може служити пояснення за її допомогою походження широкомасштабної періодичної структури, виникаючою при оптичній фільтрації поля крайової дифракції. Як показав аналіз, поява цієї структури зумовлена особливостями перетворення фільтром d-хвилі, що приводять до низькочастотної модуляції крил кінцевого розподілу. Один з розрахованих варіантів просторового розподілу поля, побудованого вказаним методом.

Сукупність представлених аргументів приводить до однозначного висновку про нездатність граничної хвилі Юнга виконувати функцію самостійної хвилі електромагнітного поля. Даний висновок, однак, ні в якій мірі не поменшує історичного значення самої моделі Юнга, що була важливим логічним рівнем в формуванні сучасних уявлень про дифракцію і що грала навперемінно роль то орієнтира, то подразника для розвитку нових ідей. Більш того, як випливає з розв'язку Зоммерфельда, при виключенні з розгляду границі геометричної тіні (тобто при обмеженні зони аналізу областю тіні або освітленої області) і достатньому віддаленні від екрана, гранична хвиля виявляється максимально простою і математично точною моделлю реального поля.

Дійсно, визначивши в якості граничної хвилі в області тіні (світла) суму з d-хвилі і плоскої хвилі з амплітудою Ао/2, ми в межах вказаної області отримуємо реальну електромагнітну хвилю, що розходиться, що задовольняє всім необхідним вимогам електродинаміки, хвильової оптики, строгому розв'язку Зоммерфельда і дифракційній моделі Юнга. Як бачимо в результаті, ідея Юнга знаходить вельми конструктивне відродження в рамках строгої теорії дифракції, надаючи якісно просту і кількісно точну модель реального поля в будь-якій з вказаних областей простору.

Як вже було продемонстровано у 2-му розділі дисертації, з використанням моделі граничної хвилі точність опису може бути дуже високою (навіть в умовах параксіального наближення), а процедура розрахунку - надзвичайно простою. До теперішнього часу перелік повідомлень, присвячених конструктивному використанню уявлень про граничну хвилю в різних розділах оптики, обчислюється десятками. Областями найбільш плідного використання цього поняття сьогодні можна назвати оптичну голографію (починаючи з вже згаданої основоположної роботи Габора) і оптику відкритих резонаторів.

Подальшому розвитку сингулярної моделі дифракції з побудовою більш загальної картини явища присвячено четвертий розділ дисертації.

Одним з найважливіших результатів, отриманих Зоммерфельдом при розв'язку задачі про дифракцію плоскої хвилі на напівплощині, став точний опис структури поля біля краю цієї напівплощини, тобто в області, яка завжди викликала найбільші ускладнення для розуміння поведінки тут вільної хвилі і конкретизації для неї граничних умов. Як відомо, невизначеність характеристик поля в області безпосереднього контакту падаючої хвилі з екраном і складає одну з основних проблем теорії дифракції. Тому, 4-й розділ починається з детального аналізу структури поля, що створюється біля краю напівплощини [13].

Принципово важливу деталь цього поля має трьохмірний розподіл відбитої напівплощиною компоненти. Мова йде про невелике “затікання” поля останньої за границю напівплощини. Як показує аналіз, не дивлячись на скромний питомий внесок цього поля в загальний розподіл, з ним пов'язано цілий ряд неочевидних властивостей цього явища. Ідентичний для всіх випадків розподіл “затікаючої” на напівплощину частини поля представлено. Приймаючи до уваги швидке спадання амплітуди цієї компоненти при віддаленні від напівплощини, що втрачає приблизно два порядки при віддаленні від краю на сто довжин хвиль, а також локалізацію найбільшої амплітуди (А0/2) на самому краї, ми назвали її “притиснутим” полем (за аналогією зі схожим терміном з теорії антен). Відмітимо, що для двовимірного розподілу “притиснутого” поля в площині z=0 повним кількісним аналогом є комбінація з двох симетричних крил граничної хвилі Юнга (5).

В загальній картині поля, що описується строгим розв'язком за лінією напівплощини, виділяються, по меншій мірі, три області простору, що розрізняються показником впливу на характеристики інтегрального поля:

1. Простір, безпосередньо прилеглий до краю екрана в межах декількох десятків довжин хвиль, де швидко спадаюча амплітуда “притиснутого” поля залишається сумірною з амплітудами інших присутніх тут хвильових компонент;

2. Параболічний сектор, орієнтований вздовж границі геометричної тіні і що вміщає з кожної сторони від неї до 2000 бічних максимумів поля, що утворюються при крайовій дифракції плоскої хвилі, де при видаленні від краю екрана на декілька сотень довжин хвиль строгий розв'язок носить чітко виражений скалярний характер (при дифракції на обмеженій апертурі дана область трансформується в кутовий сектор з розтином в 10о-15о);

3. Інша частина кутового простору (в межах радіан) з відліком безпосередньо від краю екрана, де строгий розв'язок виявляє векторний характер, тим більше сильно виражений, чим більший кут відділяє напрям спостереження від границі геометричної тіні.

Прокоментуємо коротко особливості кожної з цих областей. Наявність поля “притиснутого” до апертурного краю, проявляється при надмірному зближенні двох або більше апертурних границь (при неповному змиканні паралельних напівплощин, при використанні малого отвору тощо). У цьому випадку розв'язок, що отримується на основі розвинутого тут підходу, перестає задовольняти граничним умовам Зоммерфельда і для відновлення його точності необхідна відповідна поправка, тобто введення деякого “узгоджуючого” поля. При не дуже складній формі апертури розрахунок такої поправки може бути з необхідною точністю здійснено аналітичним шляхом (розділ 5).

Для переважної більшості практичних задач основний інтерес представляє друга з перерахованих областей, де структура поля, що формується, з вичерпною точністю розраховується за допомогою першої половини загального розв'язку (7), що не залежить від поляризації падаючої хвилі. Будемо далі для визначеності називати цю область хвильовою зоною, аналогічно з поняттям, введеним для поля осцилюючого диполя і що визначає область простору, де вплив електростатичного поля самого диполя стає знехтувано малим. Як очевидно, в нашому випадку в ролі електростатичного поля виступає “притиснуте” поле. Конкретні границі хвильової зони, отримано усередненням даних відповідних експериментальних вимірювань.

Самостійний фізичний інтерес має третя область - область великих кутів дифракції, де завдяки присутності “притиснутого” поля задача набуває переважно векторного характеру, який досягає максимального прояву на тіньовій стороні екрана. Помітна присутність “притиснутого” поля на великому віддаленні від екрана в цьому випадку пояснюється тим, що при значному відхиленні хвильового вектора дифрагуючої хвилі від початкового напряму поширення швидкість просторового спадання її амплітуди виявляється сумірною зі зменшенням амплітуди “притиснутого” поля, що зберігає їх енергетичний паритет незалежно від абсолютних значень самих цих амплітуд (які тут, природно, вельми малі).

Першим дослідником дифракції при великих кутах відхилення вважають Гуї, який виявив в області тіні виразну залежність інтенсивності поля від поляризації падаючої хвилі, від матеріалу, з якого виготовлений екран, і від форми його краю. Зокрема, інтенсивність поля, що спостерігалося ним, зростала зі збільшенням гостроти апертурної кромки. На жаль, спостереження, зроблені більше за століття тому, дозволили Гуї дати лише якісний опис вказаних особливостей.

Судячи з літератури, зроблене нами експериментальне дослідження цих залежностей (перші результати яких представлено в дисертації), стало другою після праці спробою їх кількісного уточнення. Самі ж описані Гуї закономірності знайшли просте фізичне пояснення в рамках моделі, що використовується тут. Дійсно, поле в тіньовій області, будучи суперпозицією “притиснутого” і дифрагуючого полів, чутливе до будь-якої зміни їх енергетичного балансу. На інтенсивність цього поля, зокрема, впливають:

а) зміна поляризації падаючої хвилі, що міняє знак “притиснутого” поля;

б) зміна коефіцієнта відображення екрана, що міняє амплітуду “притиснутого” поля;

в) зміна товщини (гостроти) апертурного краю, що приводить до часткового або повного екранування “притиснутого” поля з відповідною зміною його присутності в тіньовій зоні.

Перші дві залежності стали в роботі предметом детального кількісного аналізу (в третьому випадку це ускладнювалося відсутністю необхідних експериментальних даних). Результати виконаних далі експериментальних вимірювань в межах похибки однозначно підтвердили достовірність запропонованого пояснення. Ця обставина стала ще одним підтвердженням загальності застосованої моделі, яка має характерні кількісні ознаки (з можливістю їх експериментальної перевірки) практично в любій частині дифракційного простору.

Для розповсюдження нової моделі на більш складні апертури принципово важливим є розв'язок з її допомогою двох ключових задач: про дифракцію плоскої хвилі на щілині і довільного хвильового пучка на прямому краї екрана. Аналіз обох задач проведено в п'ятому розділі дисертації.

Перша задача певним чином зводиться до дифракції на двох спряжених на півплощинах [20]. Як відомо, її строгий розв'язок поки ще не знайдено. В зв'язку з цим розгляд проводиться в два етапи: спочатку встановлюється загальний розв'язок для поля в хвильовій зоні, а потім він використовується в якості базового для побудови строгого розв'язку. В основу аналізу покладено очевидну вимогу: при спрямуванні відстані між напівплощинами до нескінченності шуканий розв'язок повинно асимптотично перейти в розв'язок Зоммерфельда.

Оскільки параболічне рівняння є окремим випадком хвильового, при невеликому відхиленні від напрямку розповсюдження початкової хвилі (параксіальна область) і відступу від щілини на декілька десятків довжин хвиль (хвильова зона) їх розв'язки співпадають. Але розв'язок параболічного рівняння ускладнень не викликає (розділ 2): поле, що утворюється за щілиною, є суперпозицією двох d-хвиль, що породжуються кожною з напівплощин. Єдиною відмінністю цих хвиль від хвиль, що відповідають строгому розв'язку, є їх параксіальна обмеженість. Останнє легко усувається, як і у випадку однієї напівплощини, заміною хвильового параметра (верхня границя інтегралу Френеля) = на.

Таким чином, поле, що формується при дифракції плоскої хвилі на щілині, є суперпозицією двох d-хвиль, що зв'язані з кожним з її країв. При довільному нахилі падаючої хвилі цей розв'язок має вигляд:

Ця комбінація повністю задовольняє сформульованому вище асимптотичному критерію: при нескінченому віддаленні однієї половини щілини (разом з центром відповідної d-хвилі), розподіл поля біля напівплощини, що залишається, є суперпозицією d-хвилі, що збереглася, і плоскохвильової компоненти, в яку трансформується крило “віддаленої” d-хвилі. В цьому “парадоксі” і є фізична загадка шуканого розв'язку: при спрямуванні інтервалу між напівплощинами до нескінченності, кожна з d-хвиль починає все в більшій мірі грати роль плоскої хвилі для дальньої напівплощини.

В силу викладеного при аналізі задачі про щілину дифракцію на напівплощині логічно розглядати як дифракцію на щілині з нескінченно віддаленою половиною. В цьому випадку процес крайової дифракції при зближенні двох напівплощин плавно трансформується в дифракцію на щілині.

Звернемо увагу на істотну деталь: як виходить з викладеного, ні при яких умовах розв'язок задачі, що розглядається, не може бути зведено до адитивної суми розв'язків для двох напівплощин, що здавалося б природним припустити для досить широкої щілини.

З використанням в контрольному експерименті щілини шириною 1 мм і добре колімованого пучка одномодового He-Ne-лазера розраховані по формулі (12) і реально зареєстровані картини дифракції виявилися повністю ідентичними до гранично малих - ковзаючих кутів падіння пучка на щілину (min = 1,7o) включно, в той час, як сама картина, що спостерігалася, зазнавала істотної деформації. Хоча розв'язок (12) є більш точним, ніж розв'язок параболічного рівняння, однак, на поверхні екрана навіть в цьому випадку граничні умови Зоммерфельда (що приводилися вище для розв'язку (7)) задовольняються не строго. Основними причинами цього є взаємне перекриття “притиснутих” полів від протилежних країв щілини і збурення кожної з d-хвиль, пов'язане з присутністю другого краю. В результаті, суперпозиція хвиль, що пройшли і відбилися щілиною d-хвиль задовольняє граничним умовам на поверхні щілини з деякою похибкою E, яка прямує до нуля при збільшенні ширини щілини.

Таким чином, задача побудови строгого розв'язку для щілини звелася до встановлення виду додаткового поля “що виправляє” інтегральний розподіл d-хвиль біля самої щілини, і тим самим, забезпечує відповідність загального поля граничним умовам на поверхні щілини. Такий розв'язок одержано в даній роботі для випадку нормального падіння хвилі на щілину (із-за економії місця сам розв'язок тут не приводиться). Для побудови необхідного розподілу поля використовувався спосіб, запропонований Ф.Горі [19*] (який дійшов до строгого розв'язку Зоммерфельда практично “елементарним” шляхом). Спосіб складається в підборі необхідної комбінації елементарних розв'язків рівняння Гельмгольца.

Завдяки відсутності у хвилі (13) випромінювання в зворотному напрямку, вона не порушує граничних умов на протилежній напівплощині, тому побудова шуканого розв'язку для довільної половини щілини не вносить додаткових збурень для поля другої половини.

Наступною стала задача про дифракцію на напівплощині - екрані довільного хвильового пучка. Оскільки такий пучок можна представити сукупністю плоских хвиль, кожна з яких дифрагує на вказаному краї незалежно, спосіб розв'язку цієї задачі в загальних рисах був зазначений раніше і справа складалася лише в подоланні конкретних математичних труднощів [14].

Як було встановлено, основним процесом, що визначає еволюцію пучка по мірі його віддалення від напівплощини, є послідовний вихід “з гри” крайніх екстремумів його дифракційної структури з відповідним спрощенням загальної картини поля. Для пояснення механізму цього процесу досить врахувати, що просторове розпливання пучка (дифузія хвильової амплітуди) та вказаної структури (масштабна інваріантність D-хвилі) відбуваються з різними швидкостями, причому остання, як не важко оцінити, перевищує першу. Вказана обставина робить послідовний вихід дифракційних екстремумів за межі пучка неминучим.

Найбільш характерною властивістю дальньопольного розподілу дифрагованого пучка (зокрема, в фокальній площині лінзи) є його стійка симетрія, що зберігається при будь-якій величині зміщення пучка відносно краю екрана. Для пояснення цієї властивості дальнього поля досить представити його сукупністю дифрагованих плоских хвиль, розподіл полів яких в фокальній площині лінзи, як було встановлено раніше (розділ 3), принципово симетричний.

У заключному шостому розділі дисертації зроблена спроба узагальнення досвіду, накопиченого при розробці і розвитку сингулярної моделі, що розглядається, і його поширення на плоскі апертури довільної форми.

При переході до задачі про дифракцію довільно орієнтованого пучка на довільній апертурі істотною перешкодою для аналізу став двовимірний характер розв'язку Зоммерфельда (7), знайденого для площини, нормальної до дифракційного краю. Ця обставина поставила на порядок денний питання про перехід до трьохвимірного варіанту цього розв'язку.

Розв'язок (17) дозволив перейти до розгляду більш складних варіантів явища, найважливішим з яких стала дифракція нахиленої плоскої хвилі на прямокутному отворі (відомостей про подібні дослідження в літературі знайти не вдалося). Надалі розв'язок даної задачі став базовим для розрахунку полів, що утворюються при більш складних варіантах апертурної дифракції.

Спроби розрахунку дифракції плоскої хвилі на найпростішій з “криволінійних” апертур - круглому отворі - колишнім способом, тобто з виділенням з дифрагованого поля D-хвилі, залишилися безрезультатними. Дана обставина підштовхнула до пошуку інших, більш гнучких підходів до розв'язку подібних задач. Підсумком зробленого пошуку стала розробка досить загального за своїми можливостями методу інтегрального розрахунку поля дифракції, що формується двохвимірною апертурою довільної форми. З урахуванням існування в теорії дифракції і інших інтегральних методів розрахунку, розроблений метод для конкретності був названий “інтегрально-сингулярним”. Суть його полягає в наступному.

Розглянемо дифракцію плоскої хвилі на прямокутній апертурі. Умовно розділимо її на дві довільні прямокутні ділянки і знайдемо суму полів Е, що породжуються ними, виразивши для простоти амплітуди dj-хвиль через відповідні ним координати:

Е1=(X2-X1)(Y2-Y1)+(X3-X2)(Y2-Y1)=(X3-X1)(Y2-Y1) (18)

Як бачимо, сумарне поле тотожно співпадає з полем самої апертури, що пов'язано з взаїмоусунених внутрішніх dj-хвиль, які знаходяться в протифазі. Даний результат демонструє загальну властивість таких апертур: при об'єднанні полів довільного числа прямокутних ділянок хвильові компоненти, відповідні до їх суміжних границь, зазнають взаємне інтерференційне гасіння, що автоматично виключає їх з подальшого розгляду.

Ускладнимо приклад, взявши довільну комбінацію таких ділянок. Їх сумарне поле

Е2=(X1Y1+X2Y3+X3Y2)-(X1Y3+X2Y2+X3Y1) (19)

являє собою різницю двох однотипних сум, що об'єднують dj-хвиль від зовнішніх границь, за простим правилом: однакові по черзі слідування доданки в круглих дужках являють собою комбінацію хвилі Хi з ортогональними їй хвилями Уk, сусідніми з нею, відповідно, “ліворуч” і “праворуч”.

Як бачимо, початкова ідея не нова - розбивка складного поля на прості складові лежить в основі всіх інтегральних методів розрахунку. Однак, в нашому випадку, на відміну від традиційного підсумовування елементарних (наприклад, повторних) хвиль, мова йде про підсумовування вельми складних дифракційних полів, кожне з яких об'єднує по чотири dj-хвилі. Після обгрунтованого вище виключення з розгляду внутрішніх перегородок апертури в полі аналізу залишаються лише хвилі, пов'язані з вцілілими фрагментами зовнішніх прямокутників.

Вводячи в (20) явний вираз для d-хвилі, використовуючи теорему про середнє і здійснюючи граничний перехід, що згладжує ступінчастий рельєф апертурної границі, приходимо до шуканого представлення поля в хвильовій зоні.

Як бачимо, структура ядра отриманого виразу вельми проста, об'єднуючи як співмножники дві ортогональні d-хвилі і похідну від профілю отвору zo. Аналогічно знаходиться розв'язок і для нахиленого (кут ) падіння плоскої хвилі.

Отримані розв'язки (21) і (22) для довільного отвору з використанням принципу Бабіне, легко перетворюються в розв'язок для аналогічного за формою непрозорого диска: :

.

І, нарешті, з розкладанням світлового пучка по плоских хвилях і залученням в якості опорного виразу розв'язку (22) виявилося неважким знайти загальний розв'язок для поля в хвильовій області, що утворюється при дифракції довільного пучка, нормально падаючого на довільний за формою плоский отвір.

У дисертації представлено як чисельні розв'язки перерахованих задач для апертур з нетрадиційними конфігураціями, так і результати їх “натурного” моделювання. Практично повний збіг тих і інших дозволяє вважати апробацію нового підходу цілком задовільною.

Висновки

У дисертації обґрунтовано і успішно апробовано оригінальний кількісний підхід до дифракції електромагнітних хвиль на двохвимірних апертурах, що має ряд практично важливих переваг перед іншими існуючими підходами до цього явища. До основних переваг нового підходу відносяться:

1. Фізично ясне і наочне трактування хвильового явища, що розглядається;

2. Простота експериментального виділення введених компонент дифракційного поля;

3. Висока точність розрахунку характеристик поля, що утворюється;

4. Спільність моделі для всіх областей дифракційного простору;

5. Можливість розв'язку дифракційних задач підвищеної складності.

Основні результати роботи полягають в наступному

1. Обґрунтовано і розвинено новий підхід до дифракції електромагнітних хвиль, що базується на фізично коректній хвильовій інтерпретації строгого розв'язку Зоммерфельда для плоскої хвилі, дифрагуючій на напівплощині. В основі цієї інтерпретації лежить представлення поля навколо екрана у вигляді суперпозиції 4-х самостійних і фізично реалізуємих хвиль, що попарно розповсюджуються назустріч одна одній. У хвильових же областях перед і за екраном результуюче поле формується внаслідок інтерференції лише двох хвиль, причому в зоні тіні ця інтерференція деструктивна.

2. Показано, що при дифракції плоскої хвилі на апертурі з прямолінійними границями (напівплощина, щілина, смуга, прямокутний отвір тощо) основну інформацію про поле, що формується, містить одна або більше (по числу границь) однотипних d-хвиль, кожна з яких характеризується половинною по відношенню до початкової хвилі амплітудою і містить крайову дислокацію, просторово співпадаючу з границею геометричної тіні. При більш складних формах апертури або характері дифрагуючої хвилі аналогічну роль грає D-хвиля, інтегруюча елементарні сингулярні компоненти від всіх точок апертурної границі.

3. Експериментально встановлено правомірність поширення розв'язку Зоммерфельда на екран з довільною провідністю і гострим (меншим за ) краєм, якщо доданок цього розв'язку, що представляє амплітуду відбитої хвилі, домножити на комплексний коефіцієнт відбиття екрана, що враховує додатковий фазовий набіг хвилі у відбиваючому шарі. Для поля в хвильовій зоні розв'язок Зоммерфельда залишається справедливим незалежно від оптичних і геометричних особливостей екрана, що використовується.

4. На основі запропонованої моделі знайдено просте кількісне пояснення залежності дифракції Гуї від поляризації початкової хвилі, матеріалу екрана і форми його краю, яке повністю узгоджується з результатами експериментальних спостережень.

5. З використанням сингулярної моделі знайдено строгий розв'язок задачі про дифракцію плоскої хвилі (Е-поляризація), що падає нормально на ідеально провідну щілину, а також побудовано і експериментально випробувано точні розв'язки для поля, що формується в хвильовій зоні при дифракції довільно орієнтованої плоскої хвилі на довільному по формі плоскому отворі, і довільного пучка, що падає нормально на аналогічний отвір.

Список публікацій автора