Стабілізація та стійкість нелінійних динамічних систем із застосуванням до проблем механіки твердих тіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СТАБІЛІЗАЦІЯ ТА СТІЙКІСТЬ НЕЛІНІЙНИХ

ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ДО ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ ТВЕРДИХ ТІЛ

01.02.01 - ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

ЗУЄВ Олександр Леонідович

Донецьк - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Ковальов Олександр Михайлович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, заступник директора по науковій роботі.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Коробов Валерій Іванович, Харківський національний університет, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та керування;

кандидат фізико-математичних наук, Щербак Володимир Федорович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ прикладної механіки, старший науковий співробітник.

Провідна установа:

Донецький державний університет, м. Донецьк, кафедра теоретичної та прикладної механіки.

Захист відбудеться “ 20 ” вересня 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ 18 ” серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема стабілізації нелінійних динамічних систем займає важливе місце в сучасній теорії керування. Можна виділити два напрямки дослідження цієї проблеми.

Перший напрямок пов'язаний із якісною теорією систем керування, основи якої були закладені Р. Калманом. А саме, для лінійних систем відомо таке співвідношення між якісними властивостями керованості і стабілізовності: якщо система керована (тобто виконаний критерій Калмана), то існує лінійне керування зі зворотним зв'язком, що стабілізує стан рівноваги системи. У зв'язку з цим результатом виникає питання: чи є властивість локальної керованості нелінійної системи достатньою умовою для її стабілізовності? Для різноманітних класів систем і класів зворотних зв'язків співвідношення між властивостями керованості і стабілізовності досліджувалися в роботах Р. Габасова, Є.О. Гальперіна, О.М. Ковальова, В.І. Коробова, М.М. Красовського, Ю.С. Ледяєва, А.І. Субботіна, Z. Artstein, R. Brockett, J.-M. Coron, F.H. Clarke, A. Isidori, M. Kawski, L. Rosier, E.D. Sontag, H.J. Sussmann, E.P. Ryan та інших авторів.

Варто виділити результати R. Brockett ¹¹⁾ Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential Geometric Control Theory (Brockett R.W., Millman R.S. and Sussmann H.J. eds.). - Boston: Birkhauser, 1983. - P. 181-191.⁾ та E.P. Ryan ²²⁾ Ryan E.P. On Brockett's condition for smooth stabilizability and its necessity in a context of nonsmooth feedback // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1994. - Vol. 32. - P. 1597-1604. ⁾, із яких випливає, що на відміну від лінійних систем, для нелінійних систем властивість керованості не є достатньою умовою для асимптотичної стабілізовності за допомогою навіть розривного стаціонарного зворотного зв'язку, якщо розв'язки системи диференціальних рівнянь визначати в узагальненому значенні - за О.Ф. Філіпповим.

Інший підхід до визначення розв'язків системи звичайних диференціальних рівнянь із розривною правою частиною був запропонований у статті F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, E.D. Sontag, A.I. Subbotin ³³⁾ Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Sontag E.D., Subbotin A.I. Asymptotic controllability implies feedback stabilizaton // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1997. - Vol. 42. - P. 1394-1407.⁾. У цій роботі розв'язки системи з розривним зворотним зв'язком визначаються на основі застосування кусково-постійних керувань на інтервалах, що утворюють розбивку часової осі. Доведено, що при такому визначенні розв'язків властивість стабілізовності еквівалентна властивості асимптотичної нуль-керованості.

В роботі J.-M. Coron ⁴⁴⁾ Coron J.-M. On the stabilization in finite time of locally controllable systems by means of continuous time-varying feedback law // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1995. - Vol. 33. - P. 804-833.⁾ доведено, що якщо система нуль-керована за малий час, то при виконанні певної рангової умови існує неперервний стабілізуючий зворотний зв'язок , що залежить від часу.

Аналіз вищезгаданих робіт свідчить, що дослідження достатніх умов cтабілізовності широкого класу нелінійних систем є актуальною проблемою сучасної теорії керування, яка привертає увагу провідних фахівців. Але слід відзначити, що деякі питання залишаються відкритими. Так, наприклад, цікавим для дослідження є питання про існування стаціонарного зворотного зв'язку, що забезпечує неасимптотичну стійкість для довільної керованої системи (відповідь на це питання передбачає визначення класу зворотних зв'язків).

Другий напрямок полягає в розробці методів синтезу стабілізуючих керувань (у тому числі і по частині фазових змінних) для деяких класів нелінійних систем. Цей напрямок інтенсивно розвивається, як для задач стабілізації зі статичними зворотними зв'язками, так і з динамічними. Важливі результати в цьому напрямку були отримані в роботах В.Г. Веретеннікова, В.І. Воротнікова, В.І. Зубова, В.І. Коробова, М.М. Красовського, В.М. Кунцевича, В.В. Румянцева, О.Я. Савченка, В.Д. Фурасова, A. Astolfi, A. Bacciotti, D.F. Delchamps, H. Hermes, V. Jurdjevic, P. Kokotovic, P. Morin, K. Peiffer, L. Praly, E.D. Sontag, J.P. Quinn та ін.

В оглядовій роботі В.І. Воротнікова ¹¹⁾ Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 3. - С. 3-62.⁾ відзначається, що великий теоретичний і практичний інтерес представляє розробка конструктивних засобів побудови зворотних зв'язків, що стабілізують по частині змінних. Це стосується як достатньо загальних, так і конкретних систем.

Відомо ²²⁾ Migliore P.G., Calvert S.D. U.S. Department of energy wind turbine development projects // Proc. European Wind Energy Conference. - Nice (France). - 1999. - P. 64-71.⁾, що в цей час широке використання енергії вітру стримується досить високою вартістю енергії, вироблюваної за допомогою вітрових двигунів. Одним з основних чинників, що впливає на зниження вартості вітрових двигунів, є використання гнучких лопатей із малою жорсткістю для зменшення ваги вітроколеса і навантажень на вал. Таким чином, представляється актуальним дослідження динамічних властивостей вітрових двигунів за допомогою математичних моделей, що враховують пружні властивості конструкції.

Одним з прийнятних засобів урахування пружності об'єктів сучасної техніки виявляється їх моделювання за допомогою систем зв'язаних твердих тіл (СЗТТ). Задачі динаміки СЗТТ досліджувалися в роботах І.О. Болграбської, Й. Віттенбурга, О.Ю. Ішлінського, О.І. Лур'є, В.В. Румянцева, О.Я. Савченка, П.В. Харламова та ін. Представляється доцільним застосування моделей на основі СЗТТ для дослідження робочих режимів вітрових двигунів. Такі моделі дозволять враховувати податливість конструкції, що необхідно у зв'язку з задачами зниження масових (вартісних) характеристик двигунів без шкоди їхньої надійності.

динамічна система стабілізація стійкість

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з Планами наукових досліджень відділу технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 1998-2000 роки.

Мета і задачі дослідження. Однією з головних цілей дослідження є знаходження достатніх умов існування зворотного зв'язку, що розв'язує задачу неасимптотичної стабілізації нелінійної динамічної системи із керуванням. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити дві задачі. По-перше, необхідно знайти таку зручну характеристику властивості локальної керованості, яку можна застосувати у критичних випадках. По-друге, потрібно підібрати клас припустимих керувань із зворотним зв'язком (відповідь на питання про стабілізовність керованих систем істотно залежить від класу зворотних зв'язків, що розглядається).

Наступна задача дослідження - запропонувати ефективні способи побудови законів керування, як для задачі стабілізації по усім змінним, так і для задач стабілізації стосовно частини змінних.

І нарешті, остання мета дослідження полягає у визначенні умов, що забезпечують стійкість робочих режимів вітрового двигуна з пружними лопатями. Для досягнення указаної мети необхідно побудувати таку математичну модель вітрового двигуна, яка відображала б динамічні властивості об'єкта, і в той же час не була б занадто складної, для того, щоб одержати аналітичні результати.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями.

Вперше доведено теорему про неасимптотичну стабілізацію довільної нелінійної системи, що задовольняє властивості локальної керованості поблизу особливої точки. Показано, що в загальному випадку твердження цієї теореми не може бути посилено. Також доведено, що для лінійної по керуванню системи в умовах теореми множина точок розриву зворотного зв'язку міститься в деякій гладкій многостатності, вимірність якій нижче, ніж вимірність фазового простору.

Вперше отримано асимптотичні оцінки розв'язків модельної системи в критичному випадку двох пар суто уявних коренів. Показано, що за допомогою цих оцінок задача про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію зводиться до задачі на мінімум певної величини, що визначається через розв'язки допоміжної системи алгебраїчних рівнянь.

Отримано умови стабілізації неавтономних систем у термінах керованих функцій Ляпунова по частині змінних. Для лінійних по керуванню систем запропоновано конструктивний спосіб побудови стабілізуючого зворотного зв'язку. Ці результати поширюють теорему Артстейна на випадок стабілізації по частині змінних.

Вперше доведено теореми про часткову стабілізацію автономних систем за умов існування функції Ляпунова зі знакосталою нижньою межею похідних. За допомогою цих теорем вирішено задачі про часткову стабілізацію орієнтації твердого тіла за допомогою двох незалежних керуючих моментів.

Вперше запропоновано математичну модель вузла вітрового двигуна в вигляді системи зв'язаних твердих тіл. Отримано умови стійкості режиму рівномірних обертань моделі по лінійному наближенню. При малих кутах ухилення лопатей і досить великих значеннях параметра жорсткості знайдено необхідну умову стійкості, що зв'язує інерціальні характеристики моделі з жорсткістю лопатей і кутовою швидкістю режиму. Встановлено, що при наближенні жорсткості вала до нескінченності має місце асимптотична стійкість режиму рівномірних обертань. При нескінченно великій жорсткості лопатей і при наявності додаткового зв'язку отримана умова стійкості, що зв'язує припустимі значення лобового тиску з іншими параметрами моделі.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати мають в основному теоретичне значення. Вони можуть бути застосовані для подальшого розвитку якісної теорії нелінійних керованих систем. Результати розділу 4 можуть бути рекомендовані до застосування при проектуванні систем керування технічними об'єктами. Результати розділу 5 можуть бути рекомендовані до використання в організаціях, що проектують вітрові двигуни, з метою оцінки впливу параметрів жорсткості матеріалів на надійність функціонування конструкції.

Особистий внесок здобувача. Стаття [1] містить результати досліджень, виконаних спільно з членом-кореспондентом НАНУ О.Я. Савченко, якому належить постановка задачі (модель, що досліджується). Особистий внесок здобувача в результати статті [1] полягає в проведенні усіх необхідних перетворень, спрямованих на одержання рівнянь руху в скалярному вигляді та характеристичного многочлена, а також у чисельно-аналітичному дослідженні умов стійкості по лінійному наближенню. Стаття [4] опублікована спільно з професором О.М. Ковальовим, якому належить ідея використання методу орієнтованих многостатностей в задачах стабілізації нелінійних керованих систем. Здобувачу належить доведення основної теореми і приклад 1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на:

- Міжнародних конференціях “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”, Донецьк, 1996 та 1999 роки;

- Міжнародній конференції “Математика в индустрии”, Таганрог, 29 червня - 3 липня 1998 р.;

- Українській конференції “Автоматика 99”, Харків, 10-13 травня 1999 р.;

- European Control Conference ECC'99, Karlsruhe, Germany, 31.08-03.09.1999;

- II Всеукраїнській молодіжній конференції “Людина i Космос”, Дніпропетровськ, 12-14 квітня 2000 р. (доповідь відзначено дипломом конференції);

- Семінарах відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1997 - 2000 р. (керівники член-кор. НАНУ П.В. Харламов і проф. О.М. Ковальов);

- Семінарі кафедри диференціальних рівнянь та керування Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, 2000 р. (керівник проф. В.І. Коробов).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 роботах, з яких 4 - статті у збірниках наукових праць, 2 - статті в матеріалах міжнародних конференцій, 2 - тези доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 155 сторінках і містить вступ, основну частину з п'яти розділів, висновки, список літератури і один додаток, розташований на шести сторінках. Дисертація також містить п'ять ілюстрацій, які займають дві сторінки. Список використаної літератури складається з 105 джерел і розташований на 11 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, а також апробація результатів роботи.

В першому розділі подається огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації. В підрозділі 1.1 перелічено основні результати робіт щодо проблем стабілізації керованих динамічних систем. В підрозділі 1.2 наведено огляд робіт з питань стійкості та стабілізації по частині змінних. В підрозділі 1.3 викладено деякі результаті, що стосуються задачі стабілізації руху твердого тіла навколо центру мас. В підрозділах 1.4, 1.5 наведено огляд робіт з питань математичного моделювання СЗТТ, а також з питань моделювання вітрових двигунів.

В другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень. В підрозділі 2.1 викладено метод орієнтованих многостатностей, який було запропоновано О.М. Ковальовим для дослідження глобальної керованості нелінійних автономних систем. В підрозділі 2.2 описано методи теорії звичайних диференціальних рівнянь із розривною правою частиною за О.Ф. Філіпповим ¹¹⁾ Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985. - 224 с.⁾. В підрозділі 2.3 викладено метод дослідження несуттєво особливих критичних випадків теорії стійкості, сформульовано критерії асимптотичної стійкості Г.В. Каменкова та О.М. Молчанова, що використаються надалі. В підрозділі 2.4 введено поняття стійкості по частині змінних і сформульовано основні твердження методу функцій Ляпунова про часткову стійкість і часткову обмеженість розв'язків.

В третьому розділі розглядається нелінійна динамічна система з керуванням:

, (1)

де xDRⁿ - фазовий вектор, uUR^m - вектор керування. Припускається, що f C ¹ (D U), 0int D, 0U, f (0,0) = 0. Позначимо - окіл точки xD через B (x, ).

В підрозділі 3.1 доведено леми про необхідні, а також достатні умови для локальної досяжності та локальної керованості системи (1) в термінах орієнтованих множин і многостатностей. Ці леми розповсюджують результати О.М. Ковальова ²²⁾ Ковалёв А.М. Уравнения инвариантных и ориентированных многообразий динамических систем // Доповіді НАН України. - 1998. - № 9. - С. 21-25.⁾ на локальний випадок.

За допомогою результатів підрозділу 3.1, в підрозділі 3.2 доведено наступну теорему [4].

Теорема 1. Нехай U - компактна множина, та нехай при деякому >0 кожна точка множини B (0, )\{0} є точкою локальної досяжності системи (1). Тоді існує керування зі зворотним зв'язком u: B (0, )U, u(0) = 0 (взагалі кажучи, розривне), що забезпечує стійкість тривіального розв'язку x = 0 замкненої системи:

. (2)

При цьому розв'язки системи (2) визначаються за О.Ф. Філіпповим.

Оскільки властивість досяжності є більш слабкою, ніж керованість, то теорема 1 вірна у випадку, коли система (1) задовольняє властивості локальної керованості в кожній точці множини B (0, )\{0}.

Слід відзначити, що теорема 1 стикається з основним результатом статті F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, E.D. Sontag, A.I. Subbotin, згаданої вище на с. 1. У цій статті встановлено, що для кожної асимптотично нуль-керованої системи існує розривний стабілізуючий зворотний зв'язок. Проте, визначення розв'язків системи (так званих “ - траєкторій”) в згаданій роботі не еквівалентно визначенню за О.Ф. Філіпповим.

Для ілюстрації необхідності застосування розривних зворотних зв'язків в дисертації наведено наступний приклад [4]:

(3)

де xD = (-e^-1, e^-1), uU = [-2, 2], f C (D U). Показано, що кожна точка області D є точкою локальної керованості, проте для системи (3) не існує неперервного зворотного зв'язку, що забезпечує стійкість тривіального розв'язку за Ляпуновим.

З іншого боку, із згаданого на с. 1 результату E.P. Ryan випливає, що в умовах теореми 1 не для кожної системи існує зворотний зв'язок u(x), що забезпечував би рівномірну асимптотичну стійкість тривіального розв'язку автономної системи (2). Отже, в загальному випадку твердження теореми 1 не може бути посилено.

В підрозділі 3.3 досліджується характер множини точок розриву стабілізуючого зворотного зв'язку. Основним результатом цього підрозділу є наступна теорема.

Теорема 2. Припустимо, що U - опуклий компакт, і при деякому >0 кожна точка множини B (0, )\{0} є точкою локальної досяжності системи (1). Припустимо також, що функція f (x, u) аналітична і лінійна по керуванню. Тоді існує зворотний зв'язок uС ( B (0, )\M ), u(0) = 0, що забезпечує стійкість тривіального розв'язку замкненої системи (2). При цьому множина M є гладкою многостатністю, вимірність якої не вище, ніж n-1.

Підрозділ 3.4 присвячено проблемі про оптимальну асимптотичну стабілізацію системи (1) з аналітичною правою частиною в несуттєво особливому критичному випадку. Припустимо, що при кожному аналітичному зворотному зв'язку u(x) із деякого класу U₀ для відповідної системи (2) має місце критичний випадок q пар суто уявних коренів. За допомогою принципу зведення, питання про асимптотичну стійкість замкненої системи (2) зводиться до дослідження наступної нормалізованої укороченої системи:

s = 1,2,...,q, (4)

де F_s - однорідні функції по відношенню до r₁, r₂,..., r_q, їх степінь дорівнює N 3. Число N характеризує найменший порядок нелінійних членів, що входять у нормальну форму укороченої системи. Права частина системи (4) містить параметри - коефіцієнти розкладу функції зворотного зв'язку uU₀ в ряд Тейлора.

З теореми М.М. Красовського ¹¹⁾ Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. - С. 114-115.⁾ випливає, що необхідною та достатньою умовою асимптотичної стійкості тривіального розв'язку системи (4) є обмеженість значень функціонала

(5)

на розв'язках системи (4), де |r(t)| - евклідовa норма вектора r(t). Позначимо через r (t; r₀, u) розв'язок системи (4), що відповідає зворотному зв'язку uU₀ та початковій умові r (0; r₀, u) = r₀. Введемо наступне означення.

Означення 1. Будемо говорити, що зворотний зв'язок u^*U₀ вирішує задачу про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію, якщо u^*(x) забезпечує асимптотичну стійкість тривіального розв'язку відповідної системи (4), і якщо для кожного зворотного зв'язку uU₀ виконана нерівність:

. (6)

Умова оптимальності (6) означає, що при використанні оптимального керування u^*(x) розв'язки відповідної системи (4) із найбільшою евклідовою нормою згасають при t + найшвидшим із припустимих способів. Подібна мінімаксна постановка задачі про оптимальну стабілізацію (проте без конкретного завдання функціоналів) розглядалася в роботі К. Пайффера та О.Я. Савченка ²²⁾ Peiffer K., Savchenko A.Ya. On the asymptotic behavior of a passively stabilized system with one critical variable. - Lovain-la-Neuve (Belgium): 1998. - 12 p. (Rapport 280 / Seminaire Mathematique, Inst. de Math. Pure et Appliquee).⁾ для задач пасивної стабілізації в критичному випадку однієї пари суто уявних коренів.

У пункті 3.4.2 за допомогою функції Ляпунова доведено лему про верхню та нижню оцінки функціонала (5) в критичному випадку q пар суто уявних коренів при виконанні умов критерію стійкості О.М. Молчанова ³³⁾ Молчанов А.М. Устойчивость в случае нейтральности линейного приближения // Докл. АН СССР. - 1961. - Том 141. - № 1. - С. 24-27.⁾, N =3. У пунктах 3.4.3, 3.4.4 розглянуто випадок двох пар суто уявних коренів, N 3. У цьому випадку за допомогою заміни _s = r_s² 0 система (4) приводиться до наступного вигляду:

, _s 0, (s=1,2, ). (7)

Основним результатом підрозділу 3.4 є наступне твердження [2, 5].

Теорема 3. Припустимо, що має місце асимптотична стійкість тривіального розв'язку модельної системи (7) в квадранті ₁ 0, ₂ 0. Тоді для кожного розв'язку r(t) відповідної системи (4) існує скінчена границя:

. (8)

При цьому

, (9)

де верхня межа в правій частині рівності (9) береться по усіляким розв'язкам , наступної системи алгебраїчних рівнянь:

, (s=1,2, ). (10)

Для окремого випадку N =3 у пункті 3.4.3 знайдено границю (8) в залежності від початкових умов та коефіцієнтів модельної системи (7).

Таким чином, за допомогою теореми 3 задачу про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію зведено до пошуку припустимого зворотного зв'язку u^*U₀, що мінімізує значення (9), яке визначається через розв'язки алгебраїчної системи (10). У пункті 3.4.4 дисертації наведено приклад розв'язання задачі про оптимальну стабілізацію за допомогою такого зведення.

В четвертому розділі досліджується проблема стабілізації нелінійних систем відносно частини фазових змінних. У підрозділі 4.1 розглянуто наступну неавтономну систему:

, , (11)

(t 0, , , uUR^m, 0U, Y (t, 0, z, 0) 0, Z(t, 0, 0, 0) 0)

де Rⁿ - фазовий вектор системи (n=n₁+n₂), u - вектор керування. Припускається, що права частина системи (11) неперервна на множині D U, де

, (H=const>0).

Також будемо припускати, що розв'язки системи (11) є z-продовжуваними ¹¹⁾ Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - С. 15.⁾, тобто для кожної вимірної функції u(t): [0,+)U будь-який розв'язок x(t) = (y(t), z(t)) системи (11) визначено при усіх значеннях t 0, для яких |y(t)| H.

Нехай V(t,x) - функція класу C¹ (D). Позначимо через її похідну в силу системи (11):

.

Введемо наступні означення.

Означення 2. Функція V(t,x)C¹ (D) зветься керованою функцією Ляпунова по змінним y для системи (11), якщо вона задовольняє наступним умовам:

c₁(|y|) V(t,x) c₂(|y|), c₁,c₂ K,

(t,x)D , K, (12)

де K - клас функцій Хана (тобто K складається з усіх неперервних строго зростаючих функцій a: [0,+)[0,+), що задовольняють умові a(0)=0).

Означення 3. Будемо говорити, що функція Ляпунова V(t,x)C¹ (D) задовольняє властивості мализні керування, якщо для будь-яких > 0, t₀ 0, x₀ {x: y=0} знайдеться такий окіл B(t₀,x₀) точки (t₀,x₀), що

(t,x) B(t₀,x₀)D , K. (13)

У підрозділі 4.1 доведено наступну теорему [3].

Теорема 4. Нехай U - компакт, і нехай для системи (11) існує керована функція Ляпунова V(t,x) по змінним y. Тоді існує (взагалі кажучи, розривний) зворотний зв'язок u: DU, u(t, 0, z)=0, що забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини M ={x: y=0}. При цьому розв'язки системи визначаються за О.Ф. Філіпповим. Якщо, крім того, D =[0,+) Rⁿ та V(t,x) при |y| рівномірно по , то згаданий зворотний зв'язок забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини M в цілому.

Далі розглянуто випадок, якщо права частина системи (11) лінійна по керуванню, тобто якщо система (11) може бути записана в наступному вигляді:

. (14)

Теорема 5. Нехай для системи (14) існує керована функція Ляпунова V(t,x) по змінним y, що задовольняє властивості мализні керування, і нехай U=R^m. Тоді існує зворотний зв'язок u()C(D), u(t, 0, z)=0, що забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини M ={x: y=0}. Указаний зворотний зв'язок задається наступним виразом:

, (15)

де K - будь-яка функція Хана, що задовольняє нерівностям (12), (13),

, b(t,x) = (b₁(t,x), b₂(t,x), ..., b_m(t,x)),

, . (16)

Якщо, крім того, D =[0,+) Rⁿ та V(t,x) при |y| рівномірно по , то керування (15) забезпечує рівномірну асимптотичну стійкість множини M в цілому.

Теорема 5 поширює результат Z. Artstein ¹¹⁾  Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications. - 1983. - Vol. 7. - № 11. - P. 1163-1173.⁾ на випадок стабілізації по відношенню до частині змінних.

У підрозділі 4.2 розглянуто проблему про часткову стабілізацію автономних систем за умов існування функції Ляпунова зі знакосталою нижньою межею похідних [7]. Основними результатами цього підрозділу є наступні дві теореми.

Теорема 6. Припустимо, що система (14) автономна (тобто функції f_i(t,x), не залежать від t). Нехай U=R^m, і нехай існує функція V(x) C¹(Rⁿ), що задовольняє наступним умовам:

1. c₁(|y|) V( x) c₂(|y|), c₁,c₂ K;

2. Для кожного x із замкненої області

, (H=const>0)

виконано нерівність на нижню межу похідних в силу системи (14): ;

3. Система не містить цілих півтраєкторій при t 0 на множині M₀,

;

4. Для будь-яких x₀: b(x₀)=0, >0 існує таке (x₀, )>0, що

;

5. Існує таке число ₀ >0, для якого кожний розв'язок x(t) = (y(t), z(t)) системи (14) із зворотним зв'язком

при b(x) 0; u_i (x)=0 при b(x) = 0, , (17), що задовольняє початковій умові

| y(0)| < ₀ , є обмеженим при усіх t 0.

Тоді зворотний зв'язок (17) є неперервним в D_H та забезпечує асимптотичну стійкість множини M={x: y=0} (функції a(x),b(x) визначаються формулами (16)).

Теорема 7. Припустимо, що система (14) автономна. Нехай U=R^m, і нехай існує функція V(x) C¹(Rⁿ), що задовольняє наступним умовам:

1. c₁(|y|) V( x) c₂(|y|), c₁,c₂ K;

2. Рівняння

має неперервний в D_H розв'язок u⁰(x), для якого множина

M₁={xD_H : b(x)=0, y0}

не містить додатних півтраєкторій системи (14) з керуванням u= u⁰(x);

3. Існує така функція hC(D_H), h(x) >0, для якої усякий розв'язок системи (14) із зворотним зв'язком

u_i(x) = - h(x) b_i(x), , (18)

що починається в достатньо малому околі стану рівноваги x=0, є обмеженим по змінним z.

Тоді зворотний зв'язок (18) забезпечує асимптотичну y-стійкість розв'язку x=0 системи (14).

Результати підрозділу 4.2 застосовано у підрозділі 4.3 для розв'язання проблеми про часткову стабілізацію орієнтації твердого тіла за допомогою двох незалежних керуючих моментів [6-8].

У пункті 4.3.1 розглянуто модельну задачу про рух супутника як абсолютно твердого тіла навколо центру мас в обмеженій постановці під дією реактивних керуючих моментів без урахування зміни маси. Рівняння руху тіла записано у формі Ейлера - Пуассона:

; ; ; (19)

(123), (20)

де _i - координати вектора кутової швидкості; _i - координати нерухомого орта орієнтації; A_i - головні центральні моменти інерції тіла; u₁, u₂ - керуючі моменти, що реалізовані реактивними двигунами орієнтації. Система (19), (20) при u₁=u₂=0 має наступний розв'язок:

₁=₂=₃=0, ₁=₂=0, ₃=1. (21)

Розв'язок (21) відповідає стану рівноваги, при якому третя головна вісь інерції тіла спрямована по вектору орієнтації. Слід зазначити, що не існує такого керування, яке забезпечувало би асимптотичну стійкість розв'язку (21) по відношенню до усіх фазових змінних, оскільки в системи (19), (20) існує інтеграл. У пункті 3.4.1 розглядається задача про стабілізацію розв'язку (21) по відношенню до наступних змінних:

( ₁, ₂, ₁, ₂ ). (22)

Такий вибір змінних відповідає задачі про одноосьову стабілізацію твердого тіла. При цьому граничними рухами є обертання тіла навколо нерухомого орта орієнтації. За допомогою застосування результатів підрозділу 4.2, у пункті 4.3.1 знайдено керування, що вирішує задачу про часткову стабілізацію:

;

, (23)

де - довільна додатна константа.

Таким чином, зворотний зв'язок (23) забезпечує асимптотичну стійкість розв'язку (21) системи (19), (20) по змінним (22). Крім того, при використанні зворотного зв'язку (23) має місце неасимптотична стійкість розв'язку (21) по усім фазовим змінним.

У пункті 4.3.2 розглянуто випадок, коли керуючі моменти реалізуються парою маховиків. Динамічні рівняння системи записано у наступному вигляді:

;

;

;

; , (24)

де _i - координати вектора кутової швидкості тіла-носія; ₁, ₂ - відносні кутові швидкості першого та другого маховиків, відповідно; I₁, I₂ - осьові моменти інерції маховиків (передбачається, що A₁ > I₁, A₂ > I₂); u₁, u₂ - керуючі моменти сил, що прикладені до маховиків. Система (24), (20) при u₁=u₂=0 має такий розв'язок:

₁=₂=₃=0, ₁=const, ₂=const, ₁=₂=0, ₃=1. (25)

У пункті 4.3.2 збудовано зворотний зв'язок, що стабілізує стан рівноваги (25) системи (24), (20) по відношенню до змінних (22):

; , (26)

де >0 - довільна константа.

Ефективність знайдених законів керування (23), (26) проілюстровано в підрозділі 4.3 також за допомогою чисельного інтегрування рівнянь руху методом Рунге - Кутта.

В п'ятому розділі досліджується математична модель вузла вітрового двигуна на основі системи зв'язаних твердих тіл (СЗТТ) [1]. Розглянута модель має п'ять ступенів волі і складається з трьох твердих тіл: двох лопатей і вала, що має нерухому точку. Кожна з лопатей може чинити незалежні обертання в пружному циліндричному шарнірі, вісь якого спрямована перпендикулярно подовжній осі вала. Такі циліндричні шарніри введено в модель для урахування пружних деформацій лопатей. Пружні властивості вала моделюються за допомогою уведення жорсткості в сферичний шарнір, який розміщено у нерухомій точці. У підрозділі 5.1 отримано систему рівнянь руху розглянутої моделі:

, i=1, 2;

; , (27)

де ₁, ₂ - кути відхилення першої та другої лопаті відносно площини, що перпендикулярна осі вала; Т - кінетична енергія системи; - потенціал сил лобового тиску та сил пружності циліндричних шарнірів; L - кінетичний момент системи відносно нерухомої точки; = (₁, ₂, ₃) - вектор кутової швидкості вала; M - момент сил відносно нерухомої точки; = (₁, ₂, ₃) - нерухомий вектор, колінеарний вектору швидкості повітряного потоку. У скалярному вигляді система (27) являє собою систему з восьми нелінійних звичайних диференціальних рівнянь із вісьма невідомими функціями ₁, ₂, ₁, ₂, ₃, ₁, ₂, ₃.

У підрозділі 5.2 збудовано систему лінійного наближення системи (27) в околі стаціонарного розв'язку:

₁ = ₂ = ₀ = const, ₁ = ₂ = 0, ₃ = ₀ = const 0, ₁=₂=0, ₃=1. (28)

Розв'язок (28) відповідає режиму рівномірних обертань вітрового двигуна. У підрозділі 5.2 також отримано зображення характеристичного многочлена лінеаризованої системи у вигляді добутку многочленів першої, третьої та шостої ступенів.

У підрозділі 5.3 досліджено умови стійкості розв'язку (28) за лінійним наближенням. За допомогою використання ЕОМ збудовано області виконання умов стійкості у площині основних механічних параметрів.

У пункті 5.3.1 розглянуто окремий випадок, коли коефіцієнти демпфірування дорівнюють нулю. Для цього випадку проведене дослідження необхідних умов стійкості при достатньо малих значеннях безрозмірних параметрів ₀ і /, де >0 - жорсткість сферичного шарніра, >0 - жорсткість циліндричних шарнірів. У результаті встановлено, що необхідні умови стійкості зводяться до наступної нерівності:

,

де A₁ - момент інерції лопаті відносно осі циліндричного шарніра; J_xx, J_zz - екваторіальний та осьовий моменти інерції вала; m - маса лопаті; l - довжина вала.

У пункті 5.3.2 досліджуються достатні умови Льєнара - Шіпара асимптотичної стійкості режиму рівномірних обертань для моделі з демпфіруванням. Розглянуто два граничних випадки, що відповідають досить великим значенням параметрів жорсткості матеріалів конструкції.

1. Параметр жорсткості >0 є скінченим, 1/ є малим параметром. Доведено, що в цьому випадку має місце асимптотична стійкість режиму (28).

2. Жорсткість скінчена, проте 1/ є малим параметром. В цьому випадку при наявності додаткового зв'язку отримано наступну умову асимптотичної стійкості, що зв'язує припустимі значення лобового тиску з іншими параметрами:

,

q = A₁ + A₂ + J_zz - J_xx - 2ml², ^* = ( + 2Pl)/(Pr),

де P - аеродинамічна сила лобового тиску на лопать; ₁, - додатні коефіцієнти демпфірування; A₂ - момент інерції лопаті; - коефіцієнт, що характеризує відношення обертального моменту та моменту сил лобового тиску; r - відстань від осі вала до центру тиску лопаті.

В додатку А наведено формули для коефіцієнтів характеристичного многочлену лінеаризованої системи із підрозділу 5.2.

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджено питання про достатні умови стабілізовності нелінійних керованих систем, запропоновано методи побудови законів керування із зворотним зв'язком для задач стабілізації по відношенню до частини змінних. Розв'язано задачі стабілізації та стійкості для деяких систем твердих тіл. В процесі дослідження одержано такі основні результати:

1. Вперше доведено, що для кожної локально керованої системи існує зворотний зв'язок (взагалі кажучи, розривний), що забезпечує неасимптотичну стійкість особливої точки. При цьому зворотний зв'язок не залежить від часу, а розв'язки розривної системи визначаються за О.Ф. Філіпповим. Цей результат є остаточним. Для лінійної по керуванню системи доведено, що множина точок розриву зворотного зв'язку міститься в деякій гладкій многостатності, вимірність якій нижче, ніж вимірність фазового простору.

2. Вперше отримано асимптотичні оцінки розв'язків модельної системи в критичному випадку двох пар суто уявних коренів. Показано, що за допомогою цих оцінок задача про оптимальну по швидкості згасання стабілізацію зводиться до задачі на мінімум певної величини, що визначається через розв'язки допоміжної системи алгебраїчних рівнянь.

3. Отримано достатні умови стабілізовності неавтономних систем у термінах керованих функцій Ляпунова по частині змінних. Для лінійних по керуванню систем запропоновано конструктивний спосіб побудови стабілізуючого зворотного зв'язку. Цей результат поширює теорему Артстейна на випадок стабілізації по відношенню до частини змінних.

4. Вперше доведено теореми про часткову стабілізацію автономних систем за умов існування функції Ляпунова зі знакосталою нижньою межею похідних. За допомогою цих результатів розв'язано задачі про часткову стабілізацію орієнтації твердого тіла двома незалежними керуючими моментами. Розглянуто два випадки: у першому керуючі моменти реалізуються реактивними двигунами орієнтації; у другому - парою маховиків. Ефективність знайдених законів керування проілюстровано за допомогою чисельного інтегрування рівнянь руху.

5. Вперше збудовано математичну модель вузла вітрового двигуна у вигляді СЗТТ. Отримано умови стійкості режиму рівномірних обертань моделі по лінійному наближенню. При малих кутах ухилення лопатей і досить великих значеннях параметра жорсткості знайдено необхідну умову стійкості, що зв'язує інерціальні характеристики моделі з жорсткістю лопатей і кутовою швидкістю режиму. При нескінченно великій жорсткості лопатей і при наявності додаткового зв'язку отримано достатню умову стійкості, що зв'язує припустимі значення лобового тиску з іншими параметрами моделі. Встановлено, що при наближенні жорсткості вала до нескінченності має місце асимптотична стійкість режиму рівномірних обертань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Зуев А.Л., Савченко А.Я. Об устойчивости равномерных вращений модели узла ветроэнергетической установки // Механика твердого тела. - 1997. - Вып. 29. - С. 30-38.

2. Зуев А.Л. Об асимптотических оценках решений в случае устойчивости по формам третьего порядка // Труды ИПММ НАН Украины. - 1998. - Т. 2. - C. 63-71.

3. Зуев А.Л. Построение стабилизирующей обратной связи с помощью управляемой функции Ляпунова относительно части переменных // Труды ИПММ НАН Украины. - 1999. - Т. 4. - C. 70-76.

4. Зуев А.Л., Ковалев А.М. Неасимптотическая стабилизация управляемых систем с помощью разрывной обратной связи // Вестник Харьковского государственного политехнического университета. - 1999. - Вып. 70. - C.76-81.

5. Зуев А.Л. Об оптимальной асимптотической устойчивости системы по критическим переменным // Труды Межд. конф. “Математика в индустрии” (ICIM-98). - Таганрог: Изд-во Таганр. гос. пед. ин-та. - 1998. - С. 147-149.

6. Zuiev A.L. On Brockett's condition for smooth stabilization with respect to a part of the variables // Proc. European Control Conference ECC'99. - Karlsruhe (Germany). - 1999. - CD-ROM file f0608.pdf.

7. Зуев А.Л. Применение функции Ляпунова со знакопостоянной производной для стабилизации по части переменных // Тез. докл. VII Межд. конф. “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (ICSCD-99). - Донецк: ИПММ НАН Украины. - 1999. - C. 23-24.

8. Зуев А.Л. Частичная стабилизация ориентации спутника с помощью двух управляющих моментов // Збірн. тез II Всеукраїнської молодіжної науково-практичної конференції з міжнародною участю “Людина і Космос”. - Дніпропетровськ: НЦАОМУ. - 2000. - С. 63.

АНОТАЦІЇ

Зуєв О.Л. Стабілізація та стійкість нелінійних динамічних систем із застосуванням до проблем механіки твердих тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2000.

Дисертацію присвячено проблемам стабілізації нелінійних керованих динамічних систем у критичних випадках. Доведено, що для кожної локально керованої системи існує розривне керування зі зворотним зв'язком, яке забезпечує стійкість особливої точки за Ляпуновим. При цьому розв'язки системи диференціальних рівнянь із розривною правою частиною визначаються за О.Ф. Філіпповим. Для критичного випадку двох пар суто уявних коренів отримано асимптотичні оцінки розв'язків модельної системи. На основі цих оцінок запропоновано підхід до розв'язання задачі про оптимальну стабілізацію. Доведено теорему про стабілізацію неавтономних систем по відношенню до частини змінних. Для лінійних по керуванню систем запропоновано конструктивний спосіб побудови зворотного зв'язку за умов існування керованої функції Ляпунова відносно частини змінних. За допомогою цих результатів розв'язано задачі про часткову стабілізацію орієнтації твердого тіла двома керуючими моментами. У дисертації збудовано математичну модель вузла вітрового двигуна, досліджено умови стійкості режиму рівномірних обертань моделі.

Ключові слова: стабілізація, стійкість, локальна керованість, зворотний зв'язок, розв'язок за Філіпповим, функція Ляпунова, стабілізація по відношенню до частини змінних, вітровий двигун.

Зуев А.Л. Стабилизация и устойчивость нелинейных динамических систем с приложением к задачам механики твердых тел. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2000.

Диссертация посвящена задачам стабилизации нелинейных управляемых динамических систем в критических случаях. Доказано, что для всякой локально управляемой системы существует разрывное управление с обратной связью, обеспечивающее устойчивость особой точки по Ляпунову. При этом решения системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью определяются по А.Ф. Филиппову. Для критического случая двух пар чисто мнимых корней получены асимптотические оценки решений модельной системы. На основе этих оценок предложен подход к решению задачи об оптимальной стабилизации. Доказана теорема о стабилизации неавтономных систем по части переменных. Для линейных по управлению систем предложен конструктивный способ построения обратной связи при условии существования управляемой функции Ляпунова относительно части переменных. С помощью этих результатов решены задачи о частичной стабилизации ориентации твердого тела двумя управляющими моментами. В диссертации построена математическая модель узла ветродвигателя, исследованы условия устойчивости режима равномерных вращений модели.

Ключевые слова: стабилизация, устойчивость, локальная управляемость, обратная связь, решение по Филиппову, функция Ляпунова, стабилизация по части переменных, ветродвигатель.

Zuyev A.L. Stabilization and stability of nonlinear dynamical systems with application to the problems of rigid bodies mechanics. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2000.

The dissertation is devoted to stabilization problems of nonlinear control systems in the critical cases. It has been proved, that any locally controllable (reachable) system is nonasymptotically stabilizable by means of discontinuous time-invariant feedback law provided that the solutions of closed-loop system are defined in the sense of A.F. Filippov. In addition, the set of discontinuity points of stabilizing feedback law is investigated for affine control system. Such investigation is based on selection of continuous branch from set-valued feedback control, defining stable system of differential inclusions.

...