Правило Верещагина в расчете центра тяжести

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Центр тяжести тел

1.1 Определение центра тяжести тел

1.2 Координаты центров тяжести неоднородных тел

1.3 Координаты центров тяжести однородных тел

1.4 Способы определения координат центра тяжести

1.5 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести

2. Геометрические характеристики плоских сечений

Заключение

Список используемой литературы



Введение

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы - силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися - линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется центром тяжести тела. геометрический тяжесть координата сечение

Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.



1. Центр тяжести тел

1.1 Определение центра тяжести тел

Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

где - вес каждой точки тела, а - вес всего тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии (рис.1), то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами . И координата по (1), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (1), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (1) - определять как вес соответствующей части и - как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его

где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а - объём этой части тела. Например,

И аналогично



где - объём всего тела.

Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой, малой толщины, то объём каждой пластины

где - площадь пластины, d - толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадей:

где - координаты центра тяжести отдельных пластин; - общая площадь тела.

Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

1.2 Координаты центров тяжести неоднородных тел

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:



где - вес единицы объема тела (удельный вес), - вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:



где - вес единицы площади тела, - вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где - вес единицы длины тела, - вес всего тела.

1.3 Координаты центров тяжести однородных тел

Для однородного тела вес любой его части пропорционален объему этой части: , а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела . Подставив эти значения Р и в предыдущие формулы, мы заметим, что в числителе как общий множитель выносится за скобку и сокращается с в знаменателе. В результате получим:



Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

где S - площадь всей пластины, a - площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:

где L -- длина всей линии, l -- длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 2).



Найдем координату по формуле

Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ' длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ' будет . Подставляя эти значения х и и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 3) прямыми, параллельными AD, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.

Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При этом, как известно

3) Центр тяжести площади кругового сектора.

Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом (рис.4). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа , эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса . Следовательно, центр тяжести сектора ОAB будет совпадать с центром тяжести дуги DE. Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его центральной оси симметрии на расстоянии от начального центра О, равном



Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности) удобно использовать справочные данные.

Таблица 1 - Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

№	Наименование фигуры	Рисунок
1	Дуга окружности: центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc=0). где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
2	Однородный круговой сектор: центр тяжести расположен на оси симметрии (координатауc=0). где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
3	Сегмент: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0). где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
4	Полукруг:
5	Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1, y1, x2, y2, x3, y3 - координаты вершин треугольника
6	Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.
7	Полусфера: центр тяжести лежит на оси симметрии.
8	Трапеция: - площадь фигуры.
9	площадь фигуры;
10	площадь фигуры;

1.4 Способы определения координат центра тяжести

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади). Пример. Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке (рис. 5). Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.



Ответ: xc=17.0см; yc=18.0см

3. Дополнение.Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.Пример. Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6).

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза

,

площадь выреза

Площадь пластины с вырезом



; .

Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1x, следовательно, yc=0.

4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид:

Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

Формулы для определения координат центра тяжести площади:

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике. Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2б (рис. 7).

Дуга окружности симметрична оси Ох, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох, yс = 0.

Согласно формуле для центра тяжести линии:

5. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела. Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 8).

Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.

1.5 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

На основе рассмотренных теорем можно определить положения центров тяжести некоторых симметричных линий, фигур и тел:

1) центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине;

2) центры тяжести окружности, площади круга, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах;

3) центры тяжести периметра и площади параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения их диагоналей;

4) центр тяжести периметра и площади правильного многоугольника находится в центре вписанного (или описанного) круга.

Теорема 3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Теорема 4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести.



2. Геометрические характеристики плоских сечений

Поперечное сечение бруса имеет в системе произвольных взаимно ортогональных осей yz следующие геометрические характеристики:

1. Площадь сечения

F = ?FdF

2. Статические моменты

Sz = ?F ydF, Sy = ?F zdF

Статические моменты имеют размерность длины в третьей степени, например смі. Они могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Статические моменты можно определить по формулам:

Sz = ycF, Sy = xcF

где yc и xc - координаты центра тяжести сечения. Из предыдущих формул следует, что

xc = Sy / F, yc = Sz / F

Статические моменты относительно любых осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю.

3. Осевые моменты инерции

Jz = ?F yІdF, Jy = ?F zІdF



Если полюс совпадает с началом координатных осей, то выполняется условие

Jp = Jz + Jy

Осевые и полярный моменты инерции сечений всегда положительны.

4. Центробежный момент инерции

Jzy = ?Fzy dF.

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Если хотя бы одна из осей координат совпадает с осью симметрии сечения, то центробежный момент инерции относительно такой пары осей равен нулю.

Осевые, полярный и центробежный моменты инерции имеют размерность длины в четвертой степени, например см⁴.

Статические моменты и моменты инерции определяются как интегралы по площади сечения. Следовательно, для одних и тех же осей их можно вычислять раздельно по частям (элементам) сечения, а результаты сложить. Например, для осевых моментов инерции имеем

где i - номер части (элемента) сечения.

5. Радиусы инерции

iz = v(Jz / F) iy = v(Jy / F)



Радиусы инерции не являются интегральными геометрическими характеристиками сечения. Они считаются положительными и имеют размерность длины.

Сумма осевых моментов инерции относительно любой пары ортогональных осей с общим началом является постоянной величиной:

Jzб + Jyб = Jz1 + Jy1 = Jp = const

Ортогональные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения и называются главными моментами инерции. Они определяются по формулам

J1,2 = Jmax,min = (Jz+Jy / 2) ± v(((Jz - Jy / 2)І) + JzyІ)

где - zy произвольные оси. Углы наклона главных осей инерции можно определить по формулам:

tgб1,2 = Jzy / (Jy - J1,2)

где - |б1| + |б2| = 90°.

Главные оси можно провести через любую точку сечения или плоскости, где оно расположено. Однако наибольший интерес представляют главные центральные оси инерции, для которых выполняются условия

Sv = Sх = Jхv = 0.

Частным случаем главных осей инерции являются оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии сечения.

Задача определения моментов инерции при повороте осей может быть решена графически с помощью круга инерции, который строится аналогично кругу Мора для плоского напряженного состояния.

Приведем значения моментов инерции простых сечений



Заключение

В данной работе были рассмотрены теоремы, способы определения центра тяжести тел, координаты центра тяжести однородных и неоднородных тел , геометрические характеристики плоских сечений. Такие понятия относятся к таким дисциплинам, как теоретическая механика и сопротивление материалов.



Список используемой литературы

1. Александров, А.В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, В.П. Державин. - 4-е изд. - М. : Высш. шк., 2009. - 560 с.

2. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. - М. : Высш. шк., 1989. - 624 с.

3. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. - М. : Наука, 1967. - 552 с.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики

5. http://teormech.ru/index.php/lections/lection/7

Размещено на Allbest.ru

...