Знаходження частот і приєднаних мас рідини в рухомих циліндричних контейнерах із перегородками

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 532.595

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Знаходження частот і приєднаних мас рідини в рухомих циліндричних контейнерах із перегородками

01.02.01 - теоретична механіка

Галіцин Денис Анатолійович

Київ 2001

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Більшість важливих задач динаміки механічних систем, що містять в собі рідкі маси із границями, які змінюються у часі, призводить до необхідності розв'язування проблеми про взаємодію рідини із абсолютно твердими або пружними тілами. Літак, ракета з рідиною, космічний апарат, що має на борту запас рідкого пального, суда-танкери, залізничні цистерни та інші аналогічні об'єкти можна розглядати як тверді тіла із порожнинами, частково заповненими рідиною.

З метою покращення динамічних властивостей системи “тіло-рідина” в інженерній практиці знайшли застосування спеціальні конструктивні пристрої, які обмежують рухомість рідини. Одним із способів усунення небезпечних видів динамічної нестійкості системи є встановлення у порожнинах демпферів коливань рідини у вигляді жорстких або пружних ребер-перегородок, розташованих на їхніх стінках. Такого роду пристрої стали ефективним засобом боротьби із шкідливим впливом рухомості рідини і знайшли широке застосування на практиці. При цьому експериментально було встановлено, що ефективність гасіння коливань рідини при певних пружних характеристиках перегородок може бути суттєво збільшена у порівнянні із жорсткими перегородками. Ця обставина дозволяє не тільки зменшити вагу такого конструктивного набору, але й збільшити його ефективність.

Теоретичне вивчення впливу ребер-перегородок на частоти та приєднані маси рідини раніше проводилось для випадків, коли порожнини мали форму тіла обертання, які широко використовуються в ракетобудуванні. Однак вимоги конструкторської практики призводять до необхідності розв'язування задачі про коливання рідини і в горизонтальних циліндричних порожнинах із вказаними пристроями. Ці ємності можуть бути використані для транспортування великих мас рідких вантажів на судах-танкерах, залізничному та автомобільному транспорті. Тому дослідження в цьому напрямку є актуальними як в теоретичному, так і в прикладному плані.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень дисертації пов'язані з науковими програмами Інституту математики НАН України на 1996-2000 рр. Вони були частково використані та увійшли у звіти науково-дослідної роботи, виконаної у відділі динаміки та стійкості багатовимірних систем за темою “Аналітичні та чисельно-аналітичні методи дослідження нелінійних задач динаміки та стійкості багатовимірних систем” (державний реєстраційний номер 0198U001996).

Мета і задачі дисертаційної роботи полягають у розробці ефективних методів розрахунку частот та приєднаних мас ідеальної рідини у рухомій порожнині у формі прямокутного паралелепіпеда з жорсткими та пружними перегородками і у знаходженні меж застосування наближеного врахування впливу перегородок малої ширини на гідродинамічні характеристики рідини.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:

- запропоновано ефективні методи розв'язування граничних задач гідродинаміки, які дозволяють одержувати повну інформацію про коефіцієнти рівнянь збуреного руху твердого тіла, що має порожнину у формі прямокутного паралелепіпеда з жорсткими перегородками;

- побудовано математичну модель динамічної взаємодії пружних перегородок та ідеальної нестисливої рідини у рухомому прямокутному контейнері та запропоновано метод знаходження параметрів цієї моделі;

- виявлено основні закономірності впливу розглядуваних конструктивних пристроїв на динамічні характеристики рідини та встановлено межі застосування наближеної постановки задачі.

Достовірність результатів та висновків дисертаційної роботи забезпечується коректністю постановок задач в рамках класичних математичних моделей; застосуванням при розв'язуванні задач обгрунтованих математичних методів; дослідженням збіжності на практиці запропонованих алгоритмів розв'язання задач та контрольованою точністю усіх обчислень, виконаних на ПЕВМ.

Практичне значення результатів дисертації визначається розробкою ефективних підходів до розв'язування важливих у практичному значенні нових задач, що пов'язані з дослідженням збуреного руху твердого тіла з порожнинами, які містять конструктивні елементи для обмеження рухомості рідини; можливістю використання одержаних кількісних результатів та розроблених обчислювальних програм у практиці інженерно-конструкторських робіт.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на Всеукраїнській конференції з нелінійних проблем математичної фізики (Кременчук, 25-30 червня 2000 р.), на міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 25-28 січня 2001 р.). Робота в цілому обговорювалась на науковому семінарі “Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика” при Інституті математики НАН України (керівники - академік НАН України І.О.Луковський, член-кореспондент НАН України В.Л.Макаров) (Київ, 2000 р.), на науковому семінарі “Сучасні проблеми механіки” при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (керівники - академік НАН України В.Т.Грінченко, член-кореспондент НАН України А.Ф.Улітко) (Київ, 2001 р.).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано шість робіт: чотири - у наукових журналах, одна - у збірнику наукових праць, одна - у тезах конференцій. В роботах [2,4,5], написаних у співавторстві з науковим керівником, В.А.Троценку належить загальна постановка задач та ідея їхнього розв'язання, здобувачеві - одержання розрахункових формул та проведення чисельної реалізації запропонованої методики.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 150 сторінок, у тому числі 25 рисунків та бібліографічний список із 97 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі наведено загальну характеристику, актуальність і цілі роботи, її наукову новизну та практичну значимість, достовірність результатів, стислий зміст дисертації.

Перший розділ присвячено огляду сучасного стану теорії руху тіл з порожнинами, частково заповненими рідиною.

Задача вивчення взаємодії рухомого тіла із рідиною, яка частково заповнює його порожнини, була розглянута ще М.Є.Жуковським. Він в значній мірі узагальнив і розширив результати, одержані раніше Стоксом, Гельмгольцем та Нейманом. Наявність вільної поверхні рідини при частковому заповненні порожнини істотно ускладнює задачу складання і дослідження рівнянь руху. Вперше лінійні рівняння, що описують загальний випадок збуреного руху тіла з порожниною, частково заповненою ідеальною рідиною, при заданій системі зовнішніх сил, були одержані Г.С.Нарімановим, М.М.Моісеєвим, Д.Є.Охоцимським та Б.І.Рабіновичем. Усі гідродинамічні коефіцієнти рівнянь збуреного руху, за винятком коефіцієнтів гасіння, визначаються з розв'язків основних граничних задач гідродинаміки, які базуються на припущенні про малість хвильових рухів рідини.

Питанню знаходження частот і приєднаних мас рідини в різноманітних порожнинах, що мають форму тіла обертання, включаючи і випадки, коли ці порожнини нахилені під певним кутом до вектора прискорення поля масових сил, присвячено роботи І.Б.Богоряда, М.Я.Барняка, Л.В.Докучаєва, І.О.Дружиніна, О.Н.Комаренка, І.О.Луковського, Г.А.Моісеєва, О.О.Петрова, Б.І.Рабіновича, Є.М.Стажкова, В.М.Сухова, В.А.Троценка, Ф.М.Шклярчука, В.П.Шмакова та інших. При розв'язуванні основних граничних задач теорії збуреного руху твердого тіла з порожнинами, які містять ідеальну рідину, поряд із точними методами найбільш широкого розповсюдження одержав варіаційний метод і деякі його модифікації, що дозволяють враховувати характерні властивості хвильових рухів рідини.

Експериментальне обчислення характеристик рідини в рухомих порожнинах проводилось в роботах Г.Н.Мікішева, М.Я.Дорожкіна, Б.Л.Венедиктова, Г.А.Чурілова, Х.Н.Абрамсона та інших авторів.

У вищезгаданих роботах порожнини із рідиною вважались недеформовними. Посилення вимог до точності розрахунків параметрів руху механічної системи “тіло-рідина” призвели до необхідності додаткового врахування деформацій пружних тонкостінних ємностей. Розвитку загальних методів розв'язування задач взаємодії пружних конструкцій з рідиною присвячені роботи Л.І.Балабуха, Ю.Г.Балакірева, В.В.Болотіна, О.Д.Брусіловського, А.С.Вольміра, М.С.Галкіна, А.Г.Горшкова, Е.І.Григолюка, О.М.Гузя, М.А.Ільгамова, Я.Ф.Каюка, П.С.Ковальчука, В.Д.Кубенка, Р.Е.Лампера, В.С.Павловського, Б.І.Рабіновича, І.М.Рапопорта, І.Т.Селєзова, Ю.Ю.Швейко, Ф.М.Шклярчука, В.П.Шмакова та інших.

Найбільш суттєві результати при дослідженні нелінійних коливань рідини в рухомих порожнинах наведено в роботах Л.В.Докучаєва, М.М.Моісеєва, Г.С.Наріманова, О.С.Лимарченка, І.О.Луковського, В.М.Сухова, О.М.Тімохи, Дж.Майлса та інших.

Таким чином, на сьогоднішній день розроблено достатню кількість методів, що дозволяють в лінійній та нелінійній постановці задачі знаходити гідродинамічні характеристики рідини в жорстких баках довільної геометрії із гладкими стінками. Значного розвитку набули також методи розв'язування задач взаємодії тонкостінних пружних конструкцій з рідиною.

Встановлення у порожнині пристроїв типу жорстких і пружних перегородок значним чином ускладнило теоретичний аналіз динамічних характеристик рідини в таких баках. Таке ускладнення пов'язане, в першу чергу, із складною формою області, яку займає рідина, та наявністю особливостей у розшукуваних розв'язках на вільних кінцях перегородок. Розробці аналітичних методів визначення частот і приєднаних мас ідеальної рідини у вертикальній циліндричній порожнині з жорсткими поздовжніми перегородками присвячені роботи Л.В.Докучаєва та Г.А.Моісеєва. Для знаходження хвильових рухів рідини в осесиметричних порожнинах із кільцевими перегородками в роботі В.М.Морозова застосовувався різницевий метод. В роботах В.А.Троценка розв'язано задачі про коливання рідини в порожнинах, які мають форму тіла обертання і містять жорсткі та пружні кільцеві перегородки. Дослідження задачі Коші про коливання рідини в прямокутному паралелепіпеді з поздовжніми перегородками було проведено в роботі І.П.Гаврилюка, А.Б.Кулика та В.Л.Макарова. Розглядаючи відомий потенціал обтікання пластинки плоскопаралельним потоком рідини як деяке мале збурення до потенціалу зміщень рідини в порожнинах з гладкими стінками, Б.І.Рабінович запропонував розрахункові формули для усіх динамічних характеристик рідини в осесиметричних порожнинах із кільцевими та радіальними перегородками малої відносної ширини. В статтях В.А.Бужинського проводиться теоретичне дослідження ефекту розсіяння енергії малов'язкої рідини жорсткими перегородками. Дослідження коливань в'язкої рідини в прямому круговому циліндрі з кільцевим ребром на основі різницевих методів запропоновано в роботі І.Б.Богоряда та Г.З.Дружиніної.

Численні результати експериментальних досліджень частот і приєднаних мас рідини в порожнинах з розглядуваними конструктивними елементами наведені в роботах Б.Л.Венедиктова, М.Я.Дорожкіна, І.М.Мельникової, Г.Н.Мікішева, Г.А.Чурілова, Х.Н.Абрамсона. При цьому було зроблене якісне пояснення ефекту різкого зростання гасіння коливань рідини, яке спостерігається в дослідах із пружними перегородками.

Наведений огляд літератури свідчить про те, що на даний час вивчено питання руху рідкого наповнення в порожнинах, які мають форму тіла обертання з жорсткими та пружними перегородками. Однак недостатньо уваги було приділено циліндричним порожнинам із горизонтальною твірною, які містять розглядувані конструктивні елементи.

Другий розділ роботи присвячений розробці наближених методів знаходження гідродинамічних коефіцієнтів рівнянь збуреного руху твердого тіла з порожниною, що має форму прямокутного паралелепіпеда із конструктивними пристроями у вигляді жорстких ребер-перегородок.

Розглядається абсолютно тверде тіло з порожниною, яка має форму прямокутного паралелепіпеду довжини l і ширини 2b і містить ідеальну нестисливу рідину густини . На поздовжніх бокових стінках порожнини жорстко защемлено перегородки у формі прямокутних пластин однакової ширини в площині, паралельній незбуреній вільній поверхні рідини; при цьому відстані перегородок до вільної поверхні рідини та до днища порожнини дорівнюють h₁ і h₂ відповідно, а віддаль між вільними кінцями перегородок дорівнює 2a. Зв'язану з тілом систему координат Oxyz обрано у такий спосіб, щоб її координатні площини Oxz та Oyz співпадали із площинами геометричної симетрії порожнини, вісь Oz співпадала із лінією перетину цих площин, а вісь Oy була спрямована вздовж порожнини. У початковий момент часу система координат Oxyz співпадає із нерухомою системою координат O^*x^*y^*z^*.

Центральною проблемою при розв'язуванні задач динаміки твердого тіла з порожниною, частково заповненою рідиною, є побудова розв'язків двох задач математичної фізики. Перша задача, яка описує малі коливання рідини в нерухомій порожнині, відноситься до класу спектральних задач із параметром у граничній умові і має вигляд

(1)

де Q - область, яку займає рідина, S - змочувана поверхня порожнини (включаючи і поверхні перегородок), - незбурена вільна поверхня рідини, - орт зовнішньої нормалі до границі області Q. Друга задача відноситься до класу неоднорідних граничних задач Неймана для векторної гармонійної функції вигляду

(2)

де - радіус-вектор довільної точки поверхні S.

Компоненти ₁, ₂, ₃ векторної функції , які носять назву потенціалів Стокса-Жуковського, описують зміщення рідини при малих обертових рухах порожнини відносно осей Ox, Oy, Oz відповідно. Оскільки область, яку займає рідина, має дві площини симетрії з лінією перетину , то система розв'язків граничної задачі (1) розпадається на три підсистеми функцій _n1, _n2, _n3, взаємно ортогональних на поверхні . При цьому функції _n1 є парними по y і непарними по x, _n2 - непарними по y і парними по x, _n3 - непарними по x і y. В свою чергу, потенціал ₁ є непарним по y і парним по x, ₂ - парним по y і непарним по x, ₃ - непарним по x і y.

В рамках лінійної теорії та за умови, що тверде тіло також має дві площини симетрії, які співпадають із Oxz та Oyz, рівняння руху механічної системи “тіло-рідина” розщеплюються на рівняння руху її як твердого тіла у напрямку осі O^*z^*, рівняння обертання навколо вісі O^*z^* та рівняння руху в двох головних площинах O^*x^*z^* і O^*y^*z^*. Гідродинамічні коефіцієнти цих рівнянь визначаються формулами

(3)

де j- проекція уявного прискорення на вісь O^*z^*.

Ці рівняння вперше було отримано в роботах М.М.Моісеєва та Г.С.Наріманова. Вони дозволяють визначати збурений рух розглядуваної механічної системи при дії на неї заданих зовнішніх сил і моментів.

Далі проводиться зведення основних граничних задач (1), (2) до двовимірних задач в області поперечного перетину порожнини.

Форма області, що розглядається, і граничні умови задачі дозволяють представити функції _{n i} у вигляді

(4)

Функції _mk (x, z) є розв'язками однорідних граничних задач

(5)

де G - область поперечного перетину порожнини координатною площиною Oxz; L₀, L- лінії перетину площини Oxz із поверхнями та S відповідно.

Розв'язуючи граничну задачу (5) при фіксованому значенні числа k, для кожного з них одержуємо послідовність власних чисел і власних функцій, для нумерації яких застосовується індекс m. Під індексом n у функцій _{n i} розуміємо одну із можливих комбінацій індексів m та k.

Згідно із М.Є.Жуковським до розгляду вводяться нові гармонійні функції F₁, F₂, F₃, пов'язані із функціями ₁, ₂, ₃ співвідношеннями

₁ = F₁ - yz ; ₂ = F₂ + xz ; ₃ = F₃ - xy (6)

Тоді граничні умови для функцій F_i (i = 1,2,3) мають вигляд

(7)

Із цих граничних умов випливає, що функція F₂ не залежить від координати y і знаходження її пов'язане із розв'язанням двовимірного рівняння Лапласа в області G. В свою чергу, функція F₃ не залежить від координати z і її вираз буде співпадати із розв'язком відповідної граничної задачі для порожнини у формі прямокутного паралелепіпеда без перегородок. Функцію F₁ представимо у вигляді ряду

(8)

де функції _k (x,z) визначаються із розв'язків неоднорідних задач Неймана для рівняння Гельмгольця

(9)

Таким чином, знаходження гідродинамічних коефіцієнтів рівнянь руху (3) зведено до розв'язання однорідних задач із спектральним параметром у граничній умові та неоднорідних задач Неймана для рівняння Гельмгольця в області G поперечного перетину розглядуваної порожнини. Одним із ефективних методів розв'язування подібних граничних задач є модифікований метод спряження розв'язків, який широко використовувався в роботах В.А.Троценка. Ідея цього методу викладається на прикладі побудови наближеного розв'язку неоднорідної граничної задачі Неймана для рівняння Гельмгольця

(10)

де - контур області G, включаючи контури перегородок. Область G розбивається відрізком ₀: {-a x a; z=0 } на дві підобласті G₁ та G₂ і покладається, що

Припускаючи, що розв'язок граничної задачі (10) існує, похідна від функції у напрямку осі Oz на суміжній лінії ₀ областей G₁ та G₂ представляється у вигляді

(11)

де X_p - невизначені сталі; {f_p (x)} _{p = 1} - поки довільна повна система функцій на відрізку [-a; a]; f₀ (x) - функція, що вводиться для покращення збіжності розв'язків і яка є деяким аналітичним продовженням граничної умови на розрізах на всю границю {-b x b; z=0 } областей G₁ та G₂ .

Вираз (11) розглядається далі як додаткова гранична умова Неймана на ₀ для функцій ⁽¹⁾(x,z) та ⁽²⁾(x,z) в областях G₁ та G₂ . Тоді, в силу лінійності вихідної задачі, розв'язок для функцій ⁽¹⁾(x,z) і ⁽²⁾(x,z) може бути поданий як

(12)

де ₀^(j)(x,z) та _p^(j)(x,z) - розв'язки граничних задач Неймана для рівняння Гельмгольця в областях G_j при граничних умовах

Умови неперервності функцій ⁽¹⁾(x,z) і ⁽²⁾(x,z) на відрізку ₀ дозволяють одержати співвідношення

В результаті, вихідну задачу зведено до задачі про розвинення функції (x) по заданих функціях T_p(x). Розв'язування її відомими методами зводиться до розв'язування нескінченної алгебраїчної системи відносно сталих X_p :

(13)

де ; .

Аналогічний підхід із незначними змінами може бути застосований і при розв'язуванні однорідної задачі з параметром у граничній умові.

При побудові наближеного розв'язку у вказаний вище спосіб великого значення набуває вибір координатних функцій f_p (x) на відрізку ₀, оскільки від цього суттєво залежить розмірність алгебраїчної системи (13). Для встановлення властивостей координатних функцій f_p (x) вважається, що

де M(x) - невідома функція. Формально записуючи розв'язки для підобластей G₁ і G₂ за допомогою функцій Гріна, попередньо виділивши їхню сингулярну частину, задача зводиться до інтегрального рівняння першого роду відносно функції M(x) з нерегулярним ядром, яке містить рухому логарифмічну особливість. Такі рівняння в достатній мірі вивчені і виникають при дослідженні широкого класу лінійних контактних задач теорії пружності. У працях І.Я.Штаєрмана, В.О.Бабешка, Г.Я.Попова показано, що розв'язок такого інтегрального рівняння існує і має наступну структуру:

(14)

де (x) - достатньо гладка функція. При цьому, якщо шукати розв'язок інтегрального рівняння у вигляді розкладу по поліномах Чебишова першого роду T_n()

(15)

і застосувати до нього процедуру Бубнова-Гальоркіна, то нескінченна алгебраїчна система, що одержується при цьому, буде мати єдиний розв'язок, який можна одержати методом послідовних наближень.

Для знаходження у вказаний вище спосіб фактичних розв'язків граничних задач (5), (7) та (11) в роботі побудовано явні вирази функцій Гріна K_j(P, P₀) задач Неймана для рівняння Гельмгольця в канонічних підобластях G_j і параметричної функції Гріна K(P, P₀) для області G₁, яка на лінії L₀ задовольняє граничну умову з (5). При цьому вони мають наступний вигляд:

(16)

де P - поточна точка з координатами (x, z), яка розташована всередині області; P₀ - точка з координатами (x₀, z₀), яка лежить на границі області G₁;

Використовуючи інтегральні представлення розв'язків за допомогою функцій Гріна (16), в роботі одержано явні вирази розв'язків граничних задач для функцій _n2 і ₁, _n1 і ₂, _n3 і ₃ та формули відповідних гідродинамічних коефіцієнтів рівнянь руху твердого тіла із розглядуваною порожниною в площинах O^*y^*z^*, O^*x^*z^* та при обертанні навколо осі O^*z^*.

Із врахуванням структури розв'язків (14) в околі вільних кінців перегородок координатна система функцій f_p (x) на відрізку ₀ при русі тіла в повздовжній площині вибиралась у вигляді

Для функцій _n1 , ₂ та _n3 , ₃ вона вибиралась у формі

Одержана у такий спосіб форма представлення для похідних у напрямку осі Oz від шуканих функцій на відрізку ₀ має цілий ряд переваг у порівнянні із представленням (15). Так, вибрані координатні системи дозволяють обчислювати в явному вигляді всі визначені інтеграли, що зустрічаються при побудові розв'язків розглядуваних граничних задач. Окрім цього, розрив у граничних умовах для складових потенціалів зміщень рідини в областях G₁ та G₂ на границі :{- b x b; z=0 } буде зумовлений лише першою координатною функцією f₁ (x) і ця обставина в подальшому дасть позитивний вплив на швидкість збіжності рядів для коефіцієнтів алгебраїчних рівнянь типу (13). Коефіцієнти числових рядів для елементів матриць мають порядок збіжності

.

Тому при обчисленні елемента ₁₁ використовувався метод, який базується на виділенні повільно збіжної частини ряду із подальшим сумуванням її із застосуванням відомих рядів. Корисним для цієї цілі виявилось нелінійне перетворення часткових сум за схемою Шенкса:

,

де S_n - значення n-ї часткової суми.

За запропонованими формульними схемами було проведено розрахунок безрозмірних гідродинамічних характеристик рідини в порожнині з геометричними параметрами b=1,0; l=2,0; h₂=0,5. Висота рідини над перегородками h₁ та параметр a (половина віддалі між вільними кінцями перегородок) змінювались. В табл.1 наведено результати розрахунків перших трьох значень частотних параметрів _n1 в залежності від порядку m розв'язуваної алгебраїчної системи при двох значеннях параметра h₁ . При цьому значення параметра a покладалось рівним 0,7.

Таблиця 1

	h1 = 0,1	h1 = 0,5
m	11	21	31	11	21	31
1	0,95576	1,25381	3,85876	1,39744	3,31108	6,45765
2	0,96912	2,32635	4,21080	1,40190	3,43334	6,45993
3	0,96963	2,32719	5,60906	1,40191	3,43724	6,46908
4	0,96963	2,32720	5,68129	1,40191	3,43725	6,46978
5	0,96963	2,32720	5,68163	1,40191	3,43725	6,46979
6	0,96963	2,32720	5,68163	1,40191	3,43725	6,46979

Аналогічні залежності одержано для усього комплексу гідродинамічних коефіцієнтів рівнянь руху порожнини в площинах O^*y^*z^* та O^*x^*z^* . Швидка збіжність коефіцієнтів пояснюється в першу чергу тим, що при побудові наближених розв'язків граничних задач враховувались диференціальні властивості поблизу особливих точок границі.

В роботі наведено численні графічні залежності коефіцієнтів рівнянь збуреного руху твердого тіла з розглядуваною порожниною при його русі в площинах O^*y^*z^* та O^*x^*z^* . При цьому показано, що збільшення ширини перегородок призводить до суттєвої зміни динамічних характеристик рідини у порівнянні з цими ж характеристиками для порожнини без конструктивних пристроїв. В той же час наявність навіть вузької щілини у суцільній перегородці призводить до різкої зміни інерційних характеристик рідини при русі порожнини в площині O^*y^*z^*. Цей факт узгоджується з якісного боку з відомими результатами теоретичного обчислення коефіцієнтів приєднаних мас рідини для двох пластинок, розташованих вздовж однієї прямої. Вплив перегородок на динаміку рідини проаналізовано і при русі порожнини в площині O^*x^*z^*. В обох випадках усі динамічні характеристики рідини знаходяться між відповідними характеристиками для порожнини без перегородок і для порожнини із суцільною перегородкою в місці розташування ребер. Вплив перегородок на динаміку рідини особливо сильний в тому випадку, коли вони розташовані поблизу її вільної поверхні. При русі рідини в площині O^*x^*z^* невелика щілина суттєво не впливає на величини коефіцієнтів рівнянь у порівнянні із значеннями цих коефіцієнтів для порожнини із суцільною перегородкою.

За допомогою методу збурень одержано розрахункові формули для гідродинамічних характеристик рідини, яка частково заповнює порожнину у формі прямокутного паралелепіпеда із жорсткими перегородками малої відносної ширини. Сутність цього методу полягає в тому, що за породжуючий рух приймається рух ідеальної рідини у тій самій порожнині, але без перегородок, а збурення знаходять через гідродинамічні сили, які виникають при русі рідини відносно перегородок. Одержані формули є досить простими, але вони справедливі лише для ребер малої відносної ширини. Тому в роботі проведено порівняння чисельних даних, одержаних модифікованим методом спряження розв'язків і методом збурень, і, таким чином, встановлено геометричні параметри порожнини, при яких метод збурень може бути ефективно застосований.

В останньому підрозділі другого розділу одержано формули для обчислення гідродинамічних коефіцієнтів рівнянь руху рідини в поперечній площині Oxz в тому випадку, коли порожнина має форму горизонтально розташованого циліндра з перегородками малої відносної ширини та твірною, що описується довільною кривою, симетричною відносно осі Oz. При цьому для знаходження гідродинамічних параметрів породжуючого руху для порожнини без перегородок було застосовано варіаційний метод Трефтца, а потім методом збурень одержано формули для порожнини з конструктивними елементами. Як частинні випадки було розглянуто порожнину у формі прямокутного паралелепіпеда та циліндричну порожнину, твірна якої співпадає із частиною півкола.

У третьому розділі дисертації викладено результати теоретичних досліджень по постановці та розв'язанню задачі, пов'язаної з вивченням поведінки рідини у рухомій порожнині у формі прямокутного паралелепіпеда із конструктивними пристроями у вигляді поздовжніх пружних пластин.

Спочатку розглянуто задачу про вільні коливання рідини і пружних перегородок в нерухомій порожнині. При цьому вивчаються антисиметричні коливання рідини і перегородок в площині Oxz, для яких головний вектор гідродинамічних сил, які діють на стінки порожнини, відмінний від нуля. В цьому випадку вихідна просторова задача гідропружності зводиться до плоскої задачі в області , яка є симетричною половиною області поперечного перетину порожнини:

динаміка тверде тіло рідина

(17)

де w(x, t)- прогин перегородки; g - прискорення земного тяжіння; D, ₀, ₀ - відповідно циліндрична жорсткість, густина та товщина пластинок; ⁺ і ^-- значення потенціалу зміщень рідини на верхній та нижній сторонах перегородки,

L: { (x = b; -h₂ z h₁) (0 x b; z = -h₂) }; L₀:{ 0 x b; z = h₁}; :{a x b; z = 0}.

Побудова точного розв'язку задачі (17) не вбачається можливою. Тому за допомогою методу Бубнова-Гальоркіна ця задача зводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь, незалежною змінною в яких є час. Зведення задачі (17) до системи звичайних диференціальних рівнянь не є однозначним (у сенсі структури рівнянь) і в значній мірі залежить від вибору узагальнених координат, які характеризують в сукупності взаємозв'язані рухи рідини та перегородок. З точки зору практики слід прагнути такої системи диференціальних рівнянь, коефіцієнтна матриця якої характеризується малістю її елементів у порівнянні із елементами, що розташовані на головній діагоналі. Такого роду системи з механічної точки зору є сукупністю осциляторів із слабкими взаємними зв'язками. Тому представимо потенціал зміщень рідини та переміщення пружної пластинки у напрямку до її серединної площини у вигляді

(18)

де _n(x,z), _m(x,z), w_m(x) - власні функції задач

(19)

(20)

_i⁺, _i^-- значення функцій _i на верхній та нижній сторонах відрізка відповідно. Однорідні задачі (19), (20) описують несиметричні власні коливання в площині Oxz рідини в нерухомій порожнині з жорсткими перегородками і, відповідно, пружних перегородок в порожнині з рідиною при її защемленій вільній поверхні. Ці задачі мають зліченну множину власних значень і функцій з властивістю повноти та ортогональності в певному сенсі на лініях L₀ і відповідно. В результаті застосування методу Бубнова-Гальоркіна задачу (17) зведено до системи звичайних диференціальних рівнянь відносно узагальнених координат p_n(t) та q_m(t):

(21)

.

Розв'язок задачі (19) побудовано у другому розділі роботи. Для розв'язання гідропружної задачі (20), яка відповідає парціальній системі “пружна пластинка-рідина”, власні функції w_m(x) та _m(x,z) представляються у вигляді розкладів

де функції V_k(x,z) є розв'язками наступних задач:

(22)

а функції u_k(x) - власні функції задачі про вільні коливання балки із защемленим кінцем при x=b і вільним при x=b.

Одержано однорідну алгебраїчну систему рівнянь відносно частотних параметрів _m² та сталих y_l^(m). Побудову наближених розв'язків неоднорідних граничних задач (22) реалізовано на основі модифікованого методу спряження розв'язків, описаного у другому розділі роботи, із використанням функцій Гріна (16) в підобластях G₁ та G₂ . В результаті, знаходження функцій V_k(x,z) звелось до розв'язування k неоднорідних алгебраїчних систем з однаковою матрицею при невідомих і з k правими частинами.

На основі одержаних розрахункових схем досліджено вільні коливання рідини в розглядуваній порожнині з пружними перегородками. Наведено результати розрахунків нормальних частот системи в залежності від товщини перегородок. Знайдено параметри системи, при яких відбувається максимальна взаємодія пружних перегородок та рідини.

Розв'язано задачу Коші, для якої в початковий момент часу перегородки знаходились у положенні рівноваги, а вільна поверхня рідини мала форму, яка відповідає першій формі власних коливань рідини при абсолютно жорстких перегородках. При цьому показано, що зростання відносної швидкості рідини за період часу T біля вільного кінця перегородки в порожнині з пружною пластиною у порівнянні з жорсткою перегородкою має місце при таких параметрах системи, коли її перші парціальні частоти близькі між собою. Для такого випадку настройки системи природно очікувати більш інтенсивне розсіювання енергії рідини, що коливається, по відношенню до її розсіювання в порожнині з абсолютно жорсткими перегородками.

Вивчено вимушені коливання гідропружної системи при заданому нестаціонарному русі порожнини. За своїм змістом розглядувана задача відноситься до першої задачі динаміки системи “тіло-рідина”, яка полягає у знаходженні зв'язаних рухів рідини та пружних перегородок, які викликані рухом порожнини, а також гідродинамічних сил і моментів, що діють при цьому на ємність.

При русі порожнини у площині O^*x^*z^* її поступальні і обертові рухи характеризуються заданими векторами та . Шуканий потенціал зміщень рідини і переміщення пластинки w представляються у вигляді

(23)

де _n , _m і w_m - власні функції граничних задач (19) і (20) відповідно, а функція визначається із розв'язку неоднорідної граничної задачі Неймана

(24)

В результаті вихідну задачу зведено до розв'язування неоднорідної системи диференціальних рівнянь відносно параметрів p_n(t) та q_m(t):

(25)

де ,

а інші коефіцієнти співпадають із коефіцієнтами з (21).

Наведено вирази для гідродинамічної сили P_x* та гідродинамічного моменту M_y відносно осі Oy, які діють на порожнину.

У припущенні, що розглядувана порожнина виконує гармонійні коливання за законом u(t)=Fsint, побудовано амплітудно-частотні характеристики вимушених коливань. При цьому показано, що при певних параметрах механічної системи пружні ребра можуть зіграти роль динамічного гасника першої форми хвильових рухів рідини.

Наприкінці третього розділу розглянуто другу задачу динаміки твердого тіла з розглядуваною порожниною. Припускається, що на тверде тіло діє в напрямку осі O^*x^* сумарна зовнішня сила P_x*⁽⁰⁾ і сумарний поперечний момент M_Oy⁽⁰⁾ зовнішніх сил відносно осі Oy. Треба знайти рух механічної системи в припущенні малості параметрів руху твердого тіла, рідини та перегородок. Із використанням теорем про зміну кількості руху та кінетичного моменту одержано рівняння поперечних рухів тіла з порожниною, яка частково заповнена рідиною та містить пружні перегородки. Ці рівняння є певним узагальненням відомих рівнянь на випадок горизонтально розташованих циліндричних порожнин із поздовжніми пружними перегородками.

Основні результати і висновки роботи

Розроблено алгоритм знаходження динамічних характеристик рідини у рухомій порожнині, що має форму прямокутного паралелепіпеда із конструктивними пристроями у вигляді жорстких ребер-перегородок. Ефективність запропонованого підходу розв'язування розглядуваної задачі зумовлена, в першу чергу, тією обставиною, що при побудові наближених розв'язків основних граничних задач теорії руху тіл із рідиною були враховані сингулярності в їхніх похідних на вільних кінцях перегородок.

Виявлено закономірності зміни частот та приєднаних мас рідини в залежності від геометричних характеристик порожнини і перегородок. Одержані результати розрахунків гідродинамічних коефіцієнтів можуть бути вихідною інформацією для аналізу збуреного руху твердого тіла із розглядуваною порожниною.

Встановлено межі застосування методу збурень при врахуванні впливу ребер малої відносної ширини на динамічні характеристики рідини. При цьому показано, що цей метод дає задовільні результати при ширині перегородок, що не перевищує 20 % від половини ширини порожнини.

Побудовано математичну модель руху твердого тіла з порожниною у формі прямокутного паралелепіпеда, яка містить ідеальну рідину та пружні перегородки, у поперечній площині її симетрії. Розроблено методику розв'язування граничної задачі гідропружності, яка дозволяє визначати параметри цієї моделі.

При дослідженні вільних антисиметричних коливань рідини в нерухомій порожнині показано, що максимальне зростання швидкості потоку відносно вільних кінців перегородок за період часу має місце тоді, коли перша частота вільних коливань перегородок у порожнині при защемленій вільній поверхні рідини близька до відповідної частоти коливань рідини в порожнині з жорсткими перегородками. При таких параметрах розглядуваної механічної системи слід очікувати зростання гасіння коливань рідини у порівнянні із гасінням у порожнині з жорсткими перегородками.

Розв'язано задачу про вимушені коливання розглядуваної гідропружної системи при нестаціонарному русі ємності в поперечній площині її симетрії. При цьому встановлено, що у випадку вимушених поступальних гармонійних коливань порожнини в горизонтальній площині пружні перегородки можуть виступити в якості динамічного гасника антисиметричних хвильових рухів рідини по її основному тону, якщо перша частота вільних коливань перегородок в порожнині при защемленій вільній поверхні рідини співпадає із частотою збурення порожнини.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Галицын Д.А. Свободные колебания жидкости в прямоугольном параллелепипеде с перегородками // Вопросы аналитической механики и ее применений. - К.: Інститут математики НАН України, 1999. - С. 53-59.

Галицын Д.А., Троценко В.А. К расчету частот и присоединенных масс жидкости в прямоугольном контейнере с перегородками в поперечной плоскости его симметрии // Прикладна гідромеханіка. - 2000. - 2, № 1. - С. 20-27.

Галицын Д.А. Применение метода возмущений к определению гидродинамических характеристик жидкости в подвижной полости в форме прямоугольного параллелепипеда с перегородками // Нелінійні коливання. - 2000. - 3, № 4. - С. 458-468.

Галицын Д.А., Троценко В.А. Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками // Прикладна гідромеханіка. - 2000. - 2, № 4. - С. 11-23.

Галицын Д.А., Троценко В.А. Определение частот и присоединенных масс жидкости в подвижной полости в форме прямоугольного параллелепипеда с перегородками // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2001. - № 2. - С. 175-192.

Галицын Д.А. Анализ взаимодействия жидкости и упругих перегородок в полости в форме прямоугольного параллелепипеда // Праці Міжнар. конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС - 2001). - Т. 2. - К.: ВПЦ “Київський університет”, 2001. - С. 87-88.

Анотації

Галіцин Д.А. Знаходження частот і приєднаних мас рідини в рухомих циліндричних контейнерах із перегородками. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка, Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

У дисертації розроблено методи розрахунку частот та приєднаних мас ідеальної рідини в рухомій порожнині у формі прямокутного паралелепіпеда, яка містить конструктивні пристрої у вигляді жорстких та пружних ребер-перегородок. За допомогою модифікованого методу спряження розв'язків основні граничні задачі гідродинаміки зведено до алгебраїчних систем невеликої розмірності. Ефективність запропонованої обчислювальної схеми зумовлена врахуванням диференціальних властивостей хвильових функцій та потенціалів Стокса-Жуковського на вільних кінцях перегородок. Встановлено межі застосування методу збурень при врахуванні впливу жорстких ребер малої відносної ширини на динамічні характеристики рідини. Побудовано математичну модель плоскопаралельного руху твердого тіла з порожниною у формі прямокутного паралелепіпеда, яка містить пружні поздовжні перегородки. Досліджено вільні антисиметричні коливання рідини в розглядуваній порожнині та знайдено параметри системи, при яких слід очікувати збільшення гасіння коливань рідини у порівнянні з гасінням в порожнині з жорсткими перегородками. Побудовано математичну модель вимушених коливань гідропружної системи при нестаціонарному русі порожнини (перша задача динаміки системи “тіло-рідина”) та встановлено, що у випадку вимушених поступальних гармонійних коливань порожнини в горизонтальній площині пружні перегородки можуть виступити в якості динамічного гасника антисиметричних хвильових рухів рідини по її основному тону. Побудовано математичну модель рухів твердого тіла з розглядуваною порожниною, коли задано систему сил і моментів (друга задача динаміки).

Ключові слова: динаміка твердого тіла з рідиною, частоти та приєднані маси рідини, ребра-перегородки, метод спряження розв'язків, потенціали Стокса-Жуковського, гідропружна система.

Галицын Д.А. Определение частот и присоединенных масс жидкости в подвижных цилиндрических контейнерах с перегородками. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика, Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

В диссертации разработаны методы расчета частот и присоединенных масс идеальной жидкости в подвижной полости в форме прямоугольного параллелепипеда, содержащей конструктивные устройства в виде жестких и упругих ребер-перегородок. С помощью модифицированного метода сопряжения решений основные краевые задачи гидродинамики сведены к алгебраическим системам небольшой размерности. Эффективность предложенной вычислительной схемы обусловлена учетом дифференциальных свойств волновых функций и потенциалов Стокса-Жуковского на кромках перегородок. Установлены границы применимости метода возмущений при учете влияния жестких ребер малой относительной ширины на динамические характеристики жидкости. Построена математическая модель плоскопараллельного движения твердого тела с полостью в форме прямоугольного параллелепипеда, содержащей упругие продольные перегородки. Исследованы свободные антисимметричные колебания жидкости в рассматриваемой полости и установлены параметры системы, при которых следует ожидать увеличение демпфирования колебаний жидкости по сравнению с демпфированием в полости с жесткими перегородками. Построена математическая модель вынужденных колебаний гидроупругой системы при нестационарном движении полости (первая задача динамики системы “тело-жидкость”) и установлено, что в случае вынужденных поступательных гармонических колебаний полости в горизонтальной плоскости упругие перегородки могут сыграть роль динамического гасителя антисимметрических волновых движений жидкости по ее основному тону. Построена математическая модель движений твердого тела с рассматриваемой полостью при заданной системе сил и моментов (вторая задача динамики).

Ключевые слова: динамика твердого тела с жидкостью, частоты и присоединенные массы жидкости, ребра-перегородки, метод сопряжения решений, потенциалы Стокса-Жуковского, гидроупругая система.

Galitsyn D.А. Determination of frequences and assosiated masses of liquid in moving cylindrical containers with partitions. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.01 - theoretical mechanics, Institute of Mathematics NAS of Ukraine, Kyiv, 2001.

In the dissertation methods of computation of frequences and assosiated masses of ideal liquid in moving cavity of rectangular parallelepiped shape with constructional devices in the form of hard and elastic partitional ribs are worked out. The main hydrodynamic boundary problems are reduced to solving algebraic systems of small dimension with use of the modified method of solution cojugation. The effectiveness of this calculation scheme is caused by the fact that differential properties of wave functions and Stokes-Zhukovsky potentials on the edges of cuts were taken into account. Limits of applicability of the perturbation method for account an influence of hard ribs of small per-unit width on the liquid dynamic characteristics are established. Mathematical model of plane-parallel motion of solid with cavity of rectangular parallelepiped shape which contains elastic longitudinal partitions is carried out. Free antisymmetric liquid vibrations in the considered cavity are investigated, and the system parameters by which the increase of liquid vibration damping in comparison to the damping in cavity with hard partitions should be expected are found. Mathematical model of forced vibrations of hydroelastic system in the case of nonstationary cavity movement (the first problem of “solid-liquid” system dynamics) is carried out, and, in the case of forced harmonic vibrations of the cavity in horizontal plane, it is shown that elastic partitions can function as dampers of antisymmetric liquid wave motions by its first tone. Mathematical model of movement of solid with the considered cavity affected by given system of forces and moments (the second problem of dynamics) is constructed.

Key words: dynamics of solid with liquid, frequences and assosiated masses of liquid, partitional ribs, solution cojugation method.

Размещено на Allbest.ru

...