Руйнування еластомерів в умовах в’язкопружного нелінійного деформування

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. У даний час недостатньо повно досліджена в'язкопружна поведінка еластомерних конструкцій простої і складної геометричної форми в тривимірній постановці при наявності в них тріщин. Практично відсутні роботи, присвячені дослідженню нелінійної в'язкопружної поведінки еластомерних елементів конструкцій із тріщинами, подальша експлуатація яких ще можлива на деяких етапах терміну служби без руйнування. В'язкопружні властивості матеріалу впливають на розподіл напружень і деформацій у конструкції, у тому числі і біля вершини тріщини, і, як наслідок - на параметри механіки руйнування. Тому врахування реологічних характеристик матеріалу дає можливість уточнити значення і характер розподілу параметрів механіки руйнування. Це дозволяє достовірно судити про можливість розповсюдження тріщин у еластомері. За результатами розрахунку можна судити про “слабкі” місця конструкції і давати необхідні рекомендації на стадії проектування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану наукових досліджень, проведених на кафедрі вищої та прикладної математики Луганського державного аграрного університету за держбюджетною темою “Розробка чисельного методу і пакету прикладних програм для PC розрахунку довговічності, тепловиділення та руйнування гумовокордних і еластомерних конструкцій в умовах в'язкопружного нелінійного циклічного деформування” (1996-2000 р.) і на кафедрі прикладної математики Запорізького державного університету за темою “Розробка чисельних методів та пакету прикладних програм для дослідження нелінійних деформацій, температурних полів дисипативного розігріву і параметрів механіки руйнування в умовах нелінійного в'язкопружного деформування гумовокордних та еластомерних матеріалів на основі тривимірної скінчено-елементної моделі” (1999-2000 р.) та за держбюджетною темою №3/2000 “Розробка математичних моделей чисельного аналізу основних характеристик напружено-деформівного стану складних механічних систем” (№ ДР 0100U001722).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є визначення й аналіз значень параметрів механіки руйнування еластомерних конструкцій із тріщинами з врахуванням реологічних характеристик матеріалу. Для досягнення поставленої мети були вирішені такі задачі:

розвиток і застосування моментної схеми скінченого елементу (МССЕ) для визначення напружено-деформованого стану еластомерних конструкцій із тріщинами;

побудова матриць жорсткості лінійного, квадратичного і сингулярного квадратичного трикутного призматичного скінчених елементів для розрахунку еластомерних конструкцій із тріщинами, що враховують слабку стисливість матеріалу;

розробка алгоритму вирішення задачі в'язкопружності і задачі механіки руйнування в лінійній і нелінійній постановці для визначення напружено-деформованого стану і параметрів механіки руйнування, таких як величина розкриття тріщини, величина J-інтегралу та коефіцієнт інтенсивності напружень;

створення комплексу обчислювальних програм для розрахунку еластомерних конструкцій з тріщинами;

розрахунок сучасних машинобудівних конструкцій.

Об'єктом дослідження є процеси руйнування еластомерів з тріщинами.

Предметом дослідження є параметри механіки руйнування еластомерів з тріщинами при нелінійному в'язкопружному деформуванні.

Методи дослідження. Для визначення напружено-деформованого стану та параметрів механіки руйнування еластомерних конструкцій із тріщинами використовувався метод скінчених елементів (МСЕ).

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше розроблено трикутний призматичний скінчений елемент із лінійною і квадратичною апроксимацією переміщень на основі МССЕ для визначення напружено-деформованого стану конструкцій з слабкостисливих матеріалів.

Для опису особливостей напружено-деформованого стану біля вершини тріщини в конструкціях із слабкостисливих матеріалів вперше запропонований сингулярний трикутний призматичний скінчений елемент.

Дістали подальшого розвитку енергетичні методи розрахунку параметрів механіки руйнування для в'язкопружних матеріалів в умовах нелінійного деформування.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблено алгоритм розв'язання задачі в'язкопружності та задачі механіки руйнування в нелінійній постановці. На його базі створений пакет прикладних програм, який дозволяє вирішувати нелінійні задачі в'язкопружності, визначати параметри механіки руйнування еластомерів із тріщинами в тривимірній постановці з врахуванням слабкої стисливості матеріалу.

Методика, яка містить розроблений алгоритм та пакет прикладних програм, дозволяє на стадії проектування отримати раціональні форму і розміри конструкції та вибрати потрібну марку матеріалу, умови навантаження і закріплення.

Методика передана у відділ механіки еластомерних конструкцій інституту геотехнічної механіки НАН України (м. Дніпропетровськ) і використана при розрахунку і створенні віброізоляторів і поверхонь важких гірничих машин: грохотів, вібраційних живильників, інерційних дробарок, вентиляторів і інших машин і обладнання.

Особистий внесок здобувача. Отримано співвідношення для лінійного, квадратичного і сингулярного трикутного призматичного скінченого елементу для визначення напружено-деформованого стану та параметрів механіки руйнування з врахуванням слабкої стисливості матеріалу;

отримано співвідношення для обчислення параметрів механіки руйнування в'язкопружних матеріалів на основі J-інтеграла;

розроблено алгоритм вирішення задачі в'язкопружності і задачі механіки руйнування в лінійній і нелінійній постановці для дослідження поведінки еластомерних конструкцій із тріщинами;

розроблено комплекс програм VISCRA обчислювального комплексу “МІРЕЛА”, який дозволяє визначати напружено-деформований стан та параметри механіки руйнування в'язкопружних еластомерних елементів складної геометричної форми при наявності в них тріщин;

проведено розрахунок конструкцій транспортного і промислового призначення.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень доповідалися на II та III Міжнародних симпозіумах з механіки еластомерів, м. Дніпропетровськ, 1997 р., 1999 р.; на VIII, IX та X Міжнародних симпозіумах “Проблеми шин і гумовокордних композитів”, м. Москва, 1997 р., 1998р., 1999 р.; на Міжнародній конференції “Композиційні матеріали в промисловості” СЛАВПОЛІКОМ-98, п. Славське, Львівська область, 1998 р.; на Міжнародній науково-технічній конференції “Прогресивна техніка і технологія машинобудування, приладобудування і зварювального виробництва”, м. Київ, 1998 р.; на Міжнародному колоквіумі по застосуванню інформатики і математики в архітектурі і будівництві, м. Веймар, Німеччина, 2000 р; на Міжнародній конференції по нелінійній механіці, м. Ніш, Югославія, 2000 р; на науково-технічних конференціях Луганського державного аграрного університету 1998 р., 1999 р.; на загальноуніверситетській науковій конференції Запорізького державного університету 2000 р.

1. Огляд найбільш поширених параметрів механіки руйнування та підходів до опису процесів руйнування в умовах в'язкопружного деформування

Дослідженню процесів руйнування в'язкопружних тіл, у тому числі полімерів та еластомерів, присвячені роботи М.І. Бобиря, Д.А. Гаврилова, Б.П. Гуменюка, С.І. Димнікова, В.І. Дирди, Б.М. Дохняка, А.О. Камінського, В.Г. Карнаухова, В.В. Киричевського, І.Ф. Киричка, М.А. Колтунова, І.І. Круша, Е.Е. Лавендела, А.А. Павловскіса, В.Н. Потураєва, А.С. Сахарова, І.К. Сенченкова та інших вчених.

При вивченні напружено-деформованого стану та параметрів механіки руйнування еластомерів необхідно описувати такі особливості як слабка стисливість, в'язкопружні властивості, спроможність зазнавати значні деформації без руйнування. Наявність у матеріалі тріщини призводить до необхідності описувати особливості напружено-деформованого стану біля її вершини.

Зважаючи на значні математичні труднощі при розв'язанні задач механіки руйнування об'єктів складної форми із еластомерів, необхідним є застосування чисельних методів. Найбільше поширення серед них знайшов метод скінчених елементів (МСЕ). При розв'язанні нелінійних задач механіки деформівного твердого тіла МСЕ знайшов у роботах В.А. Баженова, П.П. Ворошка, О.С. Городецького, А.І. Гуляра, В.І. Гуляєва, В.В. Киричевського, В.Н. Кислоокого, О.Л. Козака, Ю.І. Немчінова, К.М. Рудакова, О.С. Сахарова, О.Л. Синявського, Н.О. Соловея, В.К. Цихановського, Н.Н. Шапошнікова, Ю.М. Шевченка та інших. У механіки руйнування МСЕ використовується у роботах: С. Атлурі, В.А. Баженова, А.І. Гуляра, Р.В. Киричевського, А.Л. Козака, Ю.Г. Козуба, Т.А. Кушниренко, Є.М. Морозова, Г.П. Нікішкова, В.І. Пожуєва, О.С. Сахарова, М. Сіраторі та інших авторів. Зроблено огляд робіт, де застосуванням інших методів дослідження процесів руйнування в умовах в'язкопружного деформування.

На основі аналізу співвідношень в'язкопружності показано, що найбільш доцільним при дослідженні поведінки еластомерних матеріалів є використання інтегральних рівнянь на основі спадкової теорії Больцмана-Вольтерра. В якості параметрів механіки руйнування найбільше поширення здобули розкриття тріщини та коефіцієнти інтенсивності напружень при розв'язанні задачі у лінійній постановці та розкриття тріщини та величина J-інтегралу при розв'язанні задачі у нелінійній постановці.

2. Вихідні співвідношення в'язкопружності на основі спадкової теорії Больцмана-Вольтерра та основні залежності механіки руйнування

Щоб отримати як можна точніше розподілення напружень та деформацій застосуємо біля вершини тріщини сингулярні скінчені елементи у вигляді трикутної призми.

При дискретизації конструкції на паралелепіпедні скінчені елементи біля вершини тріщини використовуємо замість одного паралелепіпедного скінченого елемента два трикутних призматичних. Це не приводить до збільшення кількості розв'язувальних рівнянь, але дозволяє підвищити точність обчислень і одержати достовірну картину напружено-деформованого стану біля вершини.

При розрахунку методом скінчених елементів конструкцій із слабкостисливих матеріалів від дією значних згинних напружень виникають похибки. Для того щоб уникнути цих похибок застосуємо моментну схему скінченого елементу для слабкостисливих матеріалів, запропоновану В.В. Киричевським, яка заключається у потрійній апроксимації полів переміщень:

, (1)

компонент деформацій:

, (2)

функції зміни об'єму:

, (3)

де - набір функцій ступеневого виду, , , - коефіцієнти розвиття полів переміщень, компонент деформацій та функції зміни об'єму відповідно.

Розглянувши варіацію пружної енергії деформації отримаємо матрицю жорсткості скінченого елементу (СЕ) у вигляді:

, (4)

де , - матриці пружних постійних, - матриця перетворень координат, - матриця зв'язку між коефіцієнтами розвиття компонент деформацій та коефіцієнтами розвиття полів переміщень:

, (5)

- матриця зв'язку між коефіцієнтами розвиття функції зміни об'єму та коефіцієнтами розвиття полів переміщень:

. (6)

Функцію переміщень просторового ізопараметричного скінченого елемента можна представити через функції форми Ni:

, (7)

де k - кількість вузлових точок СЕ.

Для ізопараметричного СЕ параметричне відображення між локальними Xi і глобальними Zis' координатами записується з використанням тих же функцій форми:

. (8)

З аналітичних рішень відомо, що розподіл напружень та деформацій біля вершини тріщини пропорційний , де r - відстань від точки конструкції до вершини тріщини. Цю особливість полів напружень та деформацій змоделюємо зміщенням проміжних вузлів на 1/4 довжини СЕ у напрямку фронту тріщини (рис.1.) у базисній декартовій системі координат:

. (9)

Зміщення проміжних вузлів СЕ призводить до зміни коефіцієнтів:

, (10)

які входять до матриць та у співвідношенні (4).

Отримані рівняння для визначення методом еквівалентного об'ємного інтегрування компонент J-інтеграла та коефіцієнтів інтенсивності напружень у разі, якщо матеріал підкорюється спадковій теорії Больцмана-Вольтерра.

Розв'язано низку тестових задач механіки деформівного твердого тіла з використанням запропонованого скінченого елементу. Отримано рішення для консольної балки під дією зосередженого навантаження на кінці, круглої та квадратної плити, затисненої по контуру, під дією розподіленого поверхневого навантаження. Розглянуто в'язкопружну поведінку порожнистого циліндру, затисненого по зовнішній поверхні, під внутрішнім тиском. Отримані результати показують гарну збіжність розв'язків при використанні запропонованого СЕ на основі МССЕ у порівнянні з іншими аналогічними елементами.

З наведених розв'язків видно, що при дослідженні в'язкопружної поведінки конструкцій моментна схема дає кращі результати в порівнянні зі стандартним методом скінчених елементів.

Отримані параметри механіки руйнування для ряду тестових задач у плоскій постановці: для плити з крайовою тріщиною під дією навантажень, що розтягують, для згину шарнірно опертої балки з крайовою тріщиною під дією зосередженого навантаження.

З отриманих результатів видно, що найкращий результат дає використання біля фронту тріщини сингулярних скінчених елементів у вигляді трикутної призми. В'язкопружне рішення показує, що розкриття тріщини залежить від реологічних характеристик матеріалу, а коефіцієнт інтенсивності напружень не залежить від них, це погоджується з теоретичними висновками А.О. Камінського.

3. Алгоритм розв'язання задачі в'язкопружності у геометрично лінійній та нелінійній постановці

На основі варіаційного принципу Лагранжа та скінчено-елементного підходу отримано систему лінеаризованих розв'язувальних рівнянь спадкової в'язкопружності:

(11)

де - матриця жорсткості об'єкта у момент часу ; - вектор переміщень; - вектор додаткового навантаження; - вектор розподілених поверхневих навантажень у момент часу ; - вектор нелінійних добавок.

Нелінійні задачі зводяться до послідовності лінійних за допомогою так званих крокових ітераційних алгоритмів. Для розв'язання системи (11) скористаємося одним із таких методів - модифікованим методом Ньютона-Канторовича. При розв'язанні геометрично і фізично нелінійних задач у сполученні з модифікованим методом Ньютона-Канторовича використовують метод інтегрування по параметру навантаження, параметру переміщення характерних точок конструкції або параметру часу з перевіркою рівнянь рівноваги на кожному кроці.

Для нелінійних задач основними параметрами механіки руйнування є значення J-інтеграла та величина розкриття тріщини. Розроблено алгоритм визначення параметрів механіки руйнування на основі енергетичного метода при розв'язанні нелінійних задач кроковими ітераційними алгоритмами. Компоненти J-інтеграла та інтенсивність вивільнення пружної енергії поперечного зсуву на n-ому кроці знайдемо у вигляді:

, (12)

, (13)

де - компоненти J-інтеграла на (n-1)-ому кроці та - добавка до J-інтеграла на n-ому кроці, що визначаються співвідношеннями:

(14)

(15)

- інтенсивність вивільнення пружної енергії поперечного зсуву на (n-1)-ому кроці та - добавка на n-ому кроці, що визначаються за формулами:

, (16)

(17)

Отримані співвідношення для матриці жорсткості трикутного призматичного скінченого елементу та запропонована методика визначення параметрів механіки руйнування в умовах лінійного та нелінійного в'язкопружного деформування реалізована у вигляді пакета прикладних програм “VISCRA” для PC IBM. Розроблений пакет прикладних програм дозволяє розраховувати конструкції довільної геометричної форми і розмірів з любими умовами навантаження та закріплення. Для розрахувати конструкцію необхідно задати вихідну інформацію, яка включає в себе відомості про геометрію, силові впливи, топологію дискретної моделі, граничні умови, фізико-механічні характеристики і реологічні параметри матеріалу, режими керування, обробки і видачі результатів розрахунку.

При розв'язанні нелінійних задач механіки деформівного твердого тіла ітераційними методами можливе зменшення швидкості збіжності процесу розв'язку. Для уникнення цього недоліку у програмі передбачене “аварійне” зменшення шагу параметру інтегрування.

4. Розрахунок параметрів механіки руйнування для ряду конструкцій промислового призначення

Розглянемо резонуюче стрічково-струнне сито, що представляє собою просіваючу поверхню, яка складається з окремих елементів - стрічок-струн із періодичними виступами-зубцями з одного боку стрічки. Розміри стрічки-струни: l=0,382 м, l1=0,186 м, l2=0,016 м, h=0,013 м, h1=0,005 м, h2=0,001 м, t=0,026 м. Марка гуми - 2959. В якості ядра релаксації використовуємо ядро Ю.Н. Работнова з реологічними параметрами: = - 0,6; = 1,062 ; ч = 0,64 . Модуль зсуву G0 = 1,76 Па, =0,49.

З аналізу напружено-деформованого стану тріщина моделювалася в місці дії найбільших розтягуючих напружень. З умов роботи еластомерних елементів сит спочатку моделюємо монтажне розтягання еластомерної струни на 20 %, потім прикладаємо експлуатаційне поверхневе навантаження.

Для лінійних задач механіки руйнування розподіл напружень та деформацій навколо вершини тріщини контролюється коефіцієнтом інтенсивності напружень і знаходиться за формулами з особливістю . При розв'язанні задач механіки руйнування у нелінійній постановці за цими формулами вже не можна описувати напружено-деформований стан навколо вершини тріщини. Тому, аналогічно роботі С. Атлурі, для нелінійних задач енергетичним методом будемо знаходити умовний коефіцієнт інтенсивності напружень. Розрахунок параметрів механіки руйнування для стрічки-струни в лінійній постановці дає завищений результат у порівнянні з в'язкопружним лінійним і нелінійним розв'язком. Нелінійний в'язкопружний розв'язок і нелінійний пружний розв'язок розрізняються в незначній мірі за величиною, хоча характер розподілу дещо змінюється.

Розглянемо порожнистий циліндр із напівеліптичною тріщиною на зовнішній поверхні, який знаходиться під внутрішнім тиском (рис.5).

Розміри циліндра: внутрішній радіус - 0,05 м, зовнішній радіус - 0,1 м, висота -0,6 м. Розміри тріщини: a = 0,05 м, b = 0,025 м. Реологічні параметри ядра Ю.Н. Работнова: = - 0,6; = 1,062 ; ч = 0,64 . Модуль пружності E = 2,1 Па, = 0,4999. Внутрішній тиск P=0,2 Па.

За рахунок повзучості матеріалу параметри механіки руйнування отримані у в'язкопружній постановці на 5-20 % перевищують параметри механіки руйнування, отримані в пружній постановці. Лінійний розв'язок дає дещо занижений результат у порівнянні з нелінійним.

Отримано параметри механіки руйнування трапецієподібного амортизатора із квадратним отвором. До гумового амортизатора зверху привулканізована металева пластина. Внизу амортизатор спирається на абсолютно жорстку основу; при розрахунку тертя між основою і нижньою площиною амортизатора не враховувалося.

Марка гуми - 2959. Модуль зсуву гуми , коефіцієнт Пуассона гуми , модуль пружності металу , коефіцієнт Пуассона металу . Реологічні характеристики ядра релаксації Ю.Н. Работнова для даної марки гуми: .

З наведених розв'язків видно, що врахування реологічних характеристик матеріалу знижує величину параметрів механіки руйнування. Значення J1, отримане в нелінійній постановці, менше за значення J1, отримане в лінійній постановці. З графіків можна помітити, що характер розподілу J2 при розв'язанні нелінійної задачі значно змінюється в порівнянні з лінійною.

Існує цілий ряд конструкцій, розрахунок яких некоректно виконувати в лінійній постановці. До числа таких відносяться конструкції, у процесі експлуатації яких порушується лінійний характер залежності між прикладеними навантаженнями і переміщеннями в силу значних деформацій матеріалу.

До таких конструкцій відноситься гумовий циліндричний амортизатор, який встановлюється на грохотах. У процесі деформування даного амортизатора змінюється зона контакту циліндра з площиною нижнього ложемента, а також збільшується площа поверхні, до якої прикладається поверхневе навантаження. При розв'язку задачі у нелінійній постановці на кожному кроці за навантаженням необхідно перераховувати вузлові навантаження і коректувати граничні умови, беручи до уваги зміну зони контакту гумового амортизатора і нижнього металевого ложемента.

Розміри амортизатора: H=0,175м, RH=0,1м, RВ=0,035м, . Розміри тріщини: a=(RH-RВ)/2, b=(RH-RВ)/4. Марка гуми - 1224. Реологічні параметри ядра Ю.Н. Работнова для даної марки гуми: , , . Модуль зсуву , . Навантаження .

Врахування в'язкопружних властивостей матеріалу приводить до збільшення параметрів механіки руйнування на 10-15 % у порівнянні з пружним розв'язком. Для даного циліндричного амортизатора з тріщиною максимальні значення параметрів механіки руйнування досягаються при ц=740.

Висновки

1. Запропоновано основану на МССЕ методику чисельного визначення напружено-деформованого стану і параметрів механіки руйнування, таких, як величина J-інтеграла, коефіцієнт інтенсивності напружень та величина розкриття тріщини в умовах лінійного та нелінійного в'язкопружного деформування.

2. Виведені рівняння для сингулярного квадратичного трикутного тривимірного скінченого елемента з врахуванням слабкої стисливості.

3. Розроблено алгоритм розв'язання задач в'язкопружності і механіки руйнування для визначення напружено-деформованого стану і параметрів механіки руйнування еластомерних конструкцій із тріщинами в лінійній та нелінійній постановці.

4. Створено пакет прикладних програм для розв'язання задач в'язкопружності і механіки руйнування еластомерних конструкцій із тріщинами для PC IBM.

5. За допомогою запропонованого пакету прикладних програм досліджено величину J-інтеграла, коефіцієнт інтенсивності напружень та величину розкриття тріщини еластомерних елементів конструкцій: робочих поверхонь грохотів, порожнистого циліндра, трапецієподібного і циліндричного амортизатора.

6. Встановлено, що:

під час розрахунку конструкцій у плоскій постановці розкриття тріщини змінюється в залежності від реологічних характеристик матеріалу, а коефіцієнт інтенсивності напружень не залежить від них;

величина і характер розподілу параметрів механіки руйнування при розрахунку конструкцій у тривимірній постановці залежить від геометрії конструкції, початкових і граничних умов;

під час розрахунку просторових конструкцій в умовах релаксації напружень нелінійні параметри руйнування, як правило, менші за лінійні;

при розрахунку просторових конструкцій в умовах повзучості нелінійні параметри руйнування, як правило, більші за лінійні.

7. Розроблена методика, яка містить алгоритм розв'язання задач в'язкопружності і механіки руйнування та пакет прикладних програм, передана у відділ механіки еластомерних конструкцій інституту геотехнічної механіки НАН України (м. Дніпропетровськ) і використана при розрахунку і створенні віброізоляторів і поверхонь важких гірничих машин: грохотів, вібраційних живильників, інерційних дробарок, вентиляторів і інших машин і обладнання.

8. Результати роботи використовуються під час вивчення спецкурсів за фахом "Прикладна математика" у Запорізькому державному університеті.

моментний деформований еластомерний нелінійний

Література

Термомеханические параметры разрушения вязкоупругих элементов сит грохотов / Гребенюк С.Н., Дохняк Б.М., Киричевский Р.В., Киричевский В.В. // Вісник Східноукраїнського державного університету. - 1999. - №3. - С.76-81.

Киричевский В.В., Гребенюк С.Н., Киричевский Р.В. Численное исследование параметров механики разрушения и полей диссипативного разогрева трапециевидного амортизатора в нелинейной постановке // Вісник Східноукраїнського державного університету. - 2000. - №5. - С.89-94.

Киричевський В.В., Дохняк Б.М., Гребенюк С.М. Трикутні скінчені елементи у механіці руйнування еластомерів // Опір матеріалів і теорія споруд. - К.: КДТУБА. - 2000. - №67. - С.75-86.

Киричевский В.В., Гребенюк С.Н. Сингулярный квадратичный конечный элемент треугольной формы в задачах механики разрушения эластомеров // Вісник Східноукраїнського державного університету. - 2000. - №5. - С.82-88.

Киричевський В.В., Толок В.О., Гребенюк С.М. Визначення параметрів механіки руйнування ціліндричного амортизатора в умовах нелінійного в'язкопружнього деформування // Вісник Запорізького державного університету. - 2000. - №1. - С.60-66.

Киричевський В.В., Дохняк Б.М., Гребенюк С.М. Чисельне дослідження в'язкопружнього руйнування еластомірних конструкцій // Вісник Запорізького державного університету. - 1999. - №2. - С.60-63.

Размещено на Allbest.ru