Уравнения движения жидкости Л. Эйлера

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнения движения жидкости Л. Эйлера

В соответствии с основным - вторым законом динамики И.Ньютона произведение массы m на ускорение dw/dt равно сумме внешних действующих сил F:

m dw/dt = F. (1)

Л. Эйлер предложил формы этого закона, удобные для исследования движущейся жидкости.

1 Уравнение количества движения для струйки тока

Наиболее простая из этих форм - гидравлическая, применима для стационарного течения несжимаемой жидкости на участке (АB) трубки тока, рисунок 1.

Рисунок 1 - К вопросу об изменении количества движения на участке трубки тока стационарно движущейся несжимаемой жидкости

На массу m жидкости на участке АB трубки тока действуют внешние (поверхностные и объемные) силы F, изменяя скорость на участке АB на величину w = w2 - w1. Но это изменение скорости фактически распределяется на часть массы жидкости dm, которая войдет и выйдет за время dt через сечения f1 и f2 со скоростями w1 и w2 соответственно. Из условия сохранения массы для несжимаемой жидкости следует

dm = w1 f1dt = w2 f2 dt = Qdt.

При этом количество движения остальной части жидкости (на участке A1 - B) не изменяется . В этом смысле можно сказать, что изменение скорости w на участке АB под действием сил F получает за время dt только часть жидкости dm. Поэтому второй закон Ньютона в данном случае можно записать в виде

dm w/dt = Qdt w/dt = F.

Подставляя w = w2 - w1 , получим (после сокращения на dt):

Q(w2 - w1) = F. (2)

Это и есть уравнение количества движения для струйки тока (Л.Эйлер, 1757).

Отметим, что ускорение при установившемся движении в данном случае возникает как бы в результате переноса за время dt массы dm жидкости из начального сечения А, где скорость w1, в конечное B, где скорость w2. Такое ускорение жидкости называют конвективным (в отличие от локального w/t, возникающего в данной точке пространства только при неустановившемся течении).

2. Примеры использования уравнения количества движения

2.1 Сила давления R струи на плоскую стенку, расположенную под углом к оси струи

Выберем сечения потока как показано на рисунке 2. Спроектируем уравнение количества движения (2) на касательное () и нормальное (n) направления к поверхности

Q(w1 - w2) = F,

Q(w1n - w2n) = Fn.

Рисунок 2. Схема натекания струи на плоскую стенку под углом .

Если жидкость невязкая, касательные напряжения раны нулю, и сила в этом направлении отсутствует: F = 0.

В направлении нормали сила воздействия стенки на струю Fn очевидно равна по величине и противоположна по направлению силе давления струи на стенку

R = - Fn = - Q (w1n - w2n) = Q (w1n - 0) =

= Q w1 sin = f1w12 sin, (3)

где f1 - площадь сечения струи.

2.2 Реакция вытекающей струи

Истечение струи жидкости плотностью из бака (см. рисунок 3) происходит под действием перепада давлений

p = p1 - p2 = gh,

где h - глубина расположения насадка (отверстия).

Рисунок 3. Истечение тяжелой (капельной) жидкости из бака.

В баке на значительном расстоянии перед отверстием в сечении f1 жидкость можно считать неподвижной (w1 0). Уравнение (2) принимает вид

F = Qw2. (211)

Величину p = gh можно рассматривать как потенциальную энергию единицы объема жидкости, которая в сечении f2 переходит (без потерь) в кинетическую энергию , т.е.

p = gh = ,

откуда

w2 = = = .

Поскольку сумма сил F, действующих на струю, сонаправлена вектору w2, то уравновешивающая сила ее сила реакции R (действующая на стенки бака и насадки) направлена в противоположную сторону:

R = - F = - Qw2.

Таким образом, реакция R противоположна скорости течения w2, равна удвоенной величине силы статического давления на площадь f2 сечения струи

R = Qw2 = Q= 2gf2 h= 2pf2. (4)

2.3 Давление потока на криволинейные стенки канала

При движении по криволинейному каналу жидкости на его стенки действуют силы давления (см. рисунок 4), а на торцевые(живые) сечения f1 и f2 и сила инерции потока, определяемая по уравнению количества движения.

Рисунок 4- Схема сил, действующих на стенки канала со стороны жидкости

Во входном сечении f1 действует сила R1, динамическая составляющая которой равна секундному количеству движения f1w12, а статическая - силе гидростатического давления p1f1, так что

движение струя давление жидкость

R1 = p1f1 + f1w12.

Аналогично в сечении f2:

R2 = p2f2 + f2w22.

Полная сила R воздействия потока на стенки канала равна геометрической сумме сил R1 и R2 направленных по внутренним нормалям к сечениям f1 и f1), см. рисунок 4:

R = R1 + R2 . (5)

Полученные соотношения лежат в основе прикладных расчетов силового воздействия потока на стенки каналов гидромашин.

2.4 Уравнение момента количества движения для исследования вращательного движения жидкости также предложено Л.Эйлером.

Рассмотрим движение жидкости в рабочем колесе центробежного насоса, рисунок 5.

Рисунок 5 - Схема движения жидкости в рабочем колесе ценробежного насоса

Пусть r1 и r2 - внутренний и внешний радиусы, u1 = r1, u2 = r2 соответствующие окружные скорости колеса, имеющего угловую скорость .

Абсолютная скорость жидкости на входе и выходе межлопаточного канала c1 и c2. Скорость w движущейся частицы жидкости массой m относительно колеса равна векторной разности соответствующих абсолютных c и окружных u скоростей

wi = ci - ui (i = 1,2)

Если i - угол между векторами ci и ui (ui всегда направлена по касательной), то момент количества движения относительно оси вращения колеса

mi ci ri cosi

Применяя теорему об изменении количества движения (второй закон Ньютона для вращательного движения) - "изменение (во времени) момента количества движения относительно оси вращения равно моменту внешних сил M":

= M,

или

=M. (.6)

Это и есть уравнение Эйлера.

Замечая, что = Q [кг/c] - секундный массовый расход жидкости, последнее уравнение можно переписать в виде (после умножения обеих частей на угловую скорость ):

Q (с2 r2 cos2 - c1r1cos1) = P, (7)

где P = M - мощность.

Полученное уравнение (7) используется для расчета лопастных роторных машин - насосов, турбин (для турбин векторы с2 и с1 имеют противоположные направления, т.к. поток входит в сечение "2", а выходит из сечения "1").

Мощность будет максимальной при cos1 = 0 (радиальный вход потока для насоса и радиальный выход для турбины). В этом случае:

P = Pmax = Q с2u2cos2 . (71)

3. Уравнение движения жидкости Эйлера в частных произведениях

Это уравнение описывает наиболее общий случай (установившегося и неустановившегося) движения идеальной (сжимаемой и несжимаемой) жидкости. Его можно получить, если, в соответствии со вторым законом Ньютона (4.1), сумму всех действующих на частицу жидкости сил, отнесенных к единице массы F/m, приравнять ее ускорению dw/dt. Но величина уже подсчитана при выводе дифференциальных уравнений гидростатики Эйлера:

(R - p) - для объемных и поверхностных сил давления. Поэтому эти уравнения легко обобщаются на искомые уравнения, описывающие движущуюся идеальную жидкость:

dw/dt = R - p (8)

- в векторной записи;

= Rx - ;

= Ry - ; (81)

= Rz - ;

- в проекции на оси координат;

= Rz - , i = 1,2,3 (811)

- в тензорных обозначениях.

В этих уравнениях Л. Эйлера w(x,y,z) - скорость жидкой частицы, координаты которой сами изменяются во времени: x(t); y(t); z(t). Поэтому входящие в уравнение (8) полные производные по времени для каждой из проекций скорости можно записать в виде

= , (9)

где = wx; = wy; = wz .

Или более кратко: в тензорных обозначениях:

, (91)

где i = 1; 2; 3; ( по немому индексу "к" предполагается суммирование) к = 1,2,3.

В векторных обозначениях:

dw/dt = w/t + (w)w. (911)

Здесь первые слагаемые - частные произведения по времени от скорости w/t показывают изменение скорости w во времени в данной точке пространства (локальные ускорения), а остальные слагаемые (w)w отражают изменение скорости w при перемещении частицы из одной точки пространства в другую (конвективное ускорение).

Таким образом, уравнения Эйлера можно записать в развернутом виде в проекциях на оси координат

= Rx - ;

= Ry - ; (10)

= Rz - ;

в векторном виде:

w/t + (w)w = R - gradp (101)

в тензорных обозначениях

= Ri = - , (i = 1,2,3; (1011)

k = 1,2,3)

Дифференциальные уравнения Эйлера совместно с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости ( = const) жидкости образуют систему четырех уравнений, содержащих четыре неизвестных wx; wy; wz; p.

В случае сжимаемой ( const (p)) жидкости (газа) к уравнениям Эйлера и неразрывности необходимо добавить еще одно, определяющее связь между давлением и плотностью

= f(p), (11)

где f(p) - заданная функция.

Это уравнение называется условием баротропности и, являясь предположением*), во многих случаях хорошо оправдывается опытом.

Интегрируя эти замкнутые системы уравнений (для несжимаемой или сжимаемой жидкостей) при заданных граничных и начальных (для неустановившихся течений) условиях, можно в принципе определить вектор скорости и давление (а для сжимаемой жидкости и плотность) в любой точке потока и в любой момент времени.

Обычно выделяют два рода задач: внешние и внутренние задачи. К внешним относятся задачи обтекания тел, находящихся в потоке (например, обтекание крылового профиля): к внутренним - исследование течений внутри проточных систем (течение в трубе).

Граничные условия при обтекании тел задают распределение скоростей и давлений вдали от тела. Поскольку внешние задачи обычно рассматриваются в системе координат, связанных с обтекаемым телом, задаются:

во-первых, условие "на бесконечность" - в удалении перед обтекаемым телом давление p, направление и величина скорости w невозмущенного набегающего потока;

во-вторых, условие "непроницаемости" обтекаемых стенок: нормальная (перпендикулярная) к стенке компонента скорости равна нулю wn.ст = 0. Скорость у стенки может иметь только касательную составляющую.

Граничные условия при исследовании течения в канале задаются, во-первых, на входе в канал(поле скоростей, давлений) и на выходе (обычно давление); во-вторых, на смачиваемых стенках каналов - то же условие непроницаемости (wn.ст = 0).

Начальные условия характеризуют состояние потока в некоторый момент времени t при неустановившемся течении. Для установившегося течения начальные условия не задаются.

Размещено на Allbest.ru