Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА НАН УКРАЇНИ

УДК 539.3

Калиняк Богдан Миколайович

Визначення напруженого стану

неоднорідних термочутливих пружних тіл зведенням одновимірних крайових задач до інтегральних рівнянь

01.02.04 механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача Національної Академії наук України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Вігак Василь Михайлович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів, завідувач відділу

Офіційні опоненти -доктор фізико-математичних наук, професор Василенко Анатолій Тихонович, Інститут механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України, м.Київ, головний науковий співробітник кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Попович Василь Степанович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів, старший науковий співробітник

Провідна установа - Львівський національний університет ім.Івана Франка, кафедри механіки та інформаційних систем, Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться 24 грудня 2001 року о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою:

79000, м. Львів-МСП, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79053, м.Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий 23 листопада 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук П. Р. Шевчук

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний розвиток техніки й нових технологій ставлять підвищені вимоги до міцності та надійності конструкцій у широких діапазонах температур. Як відомо, властивості матеріалів суттєво залежать від температури. Тому при дослідженнях міцності та надійності конструкцій під дією заданих силових і температурних навантажень важливим є врахування впливу температурних залежностей характеристик матеріалу на розподіл температури і напружень у них. Не менш важливим є врахування неоднорідності матеріалу. Останнє зумовлене, зокрема, дедалі ширшим практичним застосуванням композитних та функціонально-градієнтних матеріалів, характеристики яких описуються функціями просторових координат на основі характеристики складових.

Проблеми визначення напружено-деформованого стану в неоднорідних або термочутливих (з залежними від температури характеристиками матеріалу) пружних чи термопружних тілах досліджувались у роботах В. В. Болотіна, Я. Й. Бурака, А. Т. Василенка, О. М. Гачкевича, Я. М. Григоренка, Д. В. Гриліцького, В. С. Колєсова, Г. Б. Колчіна, Ю.М. Коляна, Р. М. Кушніра, М. П. Ленюка, В. А. Ломакіна, Ю. В. Немировського, Ю. Н. Новічкова, Н. Д. Панкратової, Я.C. Підстригача, В. П. Плевака, В. С. Поповича, Ю. С. Постольника, Г. Т. Сулима, І. І. Федика, J. R. Barber, N. Noda, Y. Tanigava та інших.

Існуючі методи побудови розв'язків задач пружності і термопружності орієнтованих, в основному, на їх формулювання у переміщеннях не використовують можливість інтегрування рівнянь рівноваги, які завжди є зі сталими коефіцієнтами. Після інтегрування рівнянь рівноваги та визначення співвідношень між компонентами тензора напружень можна значно спростити розрахунок напруженого стану в неоднорідних і термочутливих тілах в порівнянні з розв'язуванням таких задач у переміщеннях за рахунок зменшення кількості або пониження порядку диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, що випливають з рівнянь суцільності у напруженнях для неоднорідних та термочутливих тіл. Крім того, у випадку залежності коефіцієнта температуропровідності від температури визначення квазістатичного термонапруженого стану у термочутливих тілах відомими способами з наперед заданою точністю не можна вважати ефективним, зокрема, при різко нестаціонарних теплових режимах, наприклад, при тепловому ударі.

Швидкі методи обчислень розподілу температури і напружень у термочутливих і неоднорідних тілах є також необхідними для створення комп'ютерного програмного забезпечення, придатного для практичного використання.

Тому є актуальним зведення задач пружності та термопружності для неоднорідних та термочутливих багатошарових тіл до розв'язування інтегральних рівнянь на основі методу інтегрування вихідних диференціальних рівнянь механіки в напруженнях.

Зв'язок роботи з науковими планами й темами. Робота виконана у рамках бюджетних тем: "Оптимізація керування термо-пружно-пластичним напруженим станом та температурними режимами в неоднорідних тілах на основі методу оберненої задачі термомеханіки" (1 липня 1992 р. 31 червня 1997 р., № держреєстрації 0193U009588), "Розробка методів і алгоритмів побудови розв'язків прямих і обернених задач термопружності та гідропружності стосовно оптимізації та відтворення напруженого стану в неодрідних тілах" (1 липня 1997 р. 31 червня 2002 р., № держреєстрації 0197U017671).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є: зведення розв'язування одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних і термочутливих тіл до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду чи системи інтегральних рівнянь такого ж типу; розробка на цій основі методик та програмного забезпечення визначення напруженого стану у багатошарових неоднорідних і термочутливих тілах; розробка методик та програмного забезпечення для визначення нестаціонарних одновимірних температурних полів і квазістатичних температурних напружень у неоднорідних і термочутливих тілах; дослідження впливу неоднорідності та термочутливості матеріалів на температурні поля, напруження і термонапруження у вказаних тілах.

Об'єкт дослідження. Напружено-деформований стан порожнистих та суцільних циліндрів і куль, кільцевого і суцільного дисків.

Предмет дослідження. Розподіли напружень та термонапружень в неоднорідних термочутливих багатошарових пружних тілах, спричинені силовими та температурними навантаженнями.

Методи досліджень. В роботі використані: метод інтегрування диференціальних рівнянь задач пружності та квазістатичної термопружності у напруженнях і зведення цих задач до інтегральних рівнянь, метод простих ітерацій для розв'язування отриманих інтегральних рівнянь, метод малого параметра, чисельна методика для розв'язування нелінійних задач теплопровідності, дослідження впливу різних факторів на розподіл напружень і термонапружень та збіжності ітераційних процедур.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі з використанням методу інтегрування диференціальних рівнянь пружності та термопружності у напруженнях відповідні одновимірні задачі для неоднорідних і термочутливих тіл зведено до розв'язання системи інтегральних рівнянь другого роду типу Вольтерра для визначення напруженого і термонапруженого станів у порожнистих і суцільних циліндрах та кулях, кільцевих і суцільних дисках; розроблено методики визначення одновимірних температурних полів при асимптотичному тепловому режимі у багатошарових порожнистих циліндричних тілах з врахуванням неоднорідності та температурної залежності теплофізичних характеристик матеріалу; розроблено програмне забезпечення та досліджено вплив неоднорідності та термочутливості механічних і теплофізичних характеристик матеріалів на розподіл температури і напружень у порожнистих циліндрах.

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечено використанням математично апробованої моделі термопружності в неоднорідних і термочутливих тілах та строгістю математичної постановки задач; зведенням задач пружності й термопружності до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, що забезпечує існування їх точних розв'язків; швидкою збіжністю ітераційного визначення розв'язків інтегральних рівнянь, що грунтується на конструктивній побудові рівнянь Вольтерра, тобто їх ядрами й виділенням правої частини; узгодженням отриманих результатів у деяких часткових випадках з відомими.

Теоретичне значення роботи полягає у розвитку методу інтегрування диференціальних рівнянь пружності й термопружності у напруженнях стосовно багатошарових неоднорідних та термочутливих у кожному шарі тіл і на цій основі зведенні поставлених одновимірних задач механіки до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду чи системи інтегральних рівнянь цього типу.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати можуть бути використані: при розрахунках і дослідженнях напруженого стану тіл з врахуванням термочутливості та неоднорідності матеріалу для проектування та експлуатації трубопроводів, виробів мікроелектроніки, металокерамічних виробів; для розв'язування задач оптимізації за швидкодією нагрівання тіл у процесі їх експлуатації і технологічних процесах. Швидка збіжність числових алгоритмів і малі часи обчислень дозволяють ефективно використовувати запропонований підхід у задачах САПР.

Особистий внесок здобувача. Серед 11 наукових праць за темою дисертації [1 11] чотири роботи опубліковано без співавторів. Основні результати за темою дисертації отримані здобувачем самостійно.

У роботі [1] здобувач брав участь у розробці методу зведення задач пружності та термопружності до інтегральних рівнянь другого роду. Йому належить методика визначення температурного поля у термочутливому циліндрі. У роботі [2] здобувач стосовно задач пружності для неоднорідних і термочутливих тіл розвинув метод зведення їх до інтегральних рівнянь другого роду. Запропоновано ефективне формування ядер інтегральних рівнянь та виділення нульового наближення. У роботі [3] здобувачеві належать числові розрахунки напружень для неоднорідних циліндричних тіл. У роботі [4] здобувачеві належать участь у постановці задачі та числова перевірка збіжності послідовних наближень розв'язків інтегральних рівнянь другого роду, а також ефективне виділення нульових наближень, які враховують основні залежності модуля зсуву, коефіцієнта Пуассона та коефіцієнта лінійного розширення від радіальної координати чи температури. У роботі [5] здобувач запропонував методику визначення температурного поля у термочутливому циліндрі при асимптотичному тепловому режимі, здійснив числові дослідження впливу залежності коефіцієнта лінійного розширення й модуля пружності від температури на розподіл напружень у порожнистому циліндрі, дослідив збіжність ітераційного процесу. У роботі [6] здобувач здійснив зведення задач пружності й термопружності до розв'язування рівнянь Вольтерра другого роду, дослідив залежність сумарних напружень на поверхнях порожнистого циліндра від температури, обумовлену врахуванням термочутливості модуля зсуву від температури. У роботі [7] здобувач здійснив дослідження напружено-деформованого стану циліндричних тіл з врахуванням неоднорідності матеріалу та термочутливості модуля зсуву при наявності рівномірного силового навантаження на внутрішній поверхні та температурних навантажень.

Апробація роботи. Матеріали дисертації доповідались на конференції "Крайові задачі термомеханіки", присвяченій 60-річчю з дня народження Ю. М. Коляна (Львів, 1996), ІІІ та IV Міжнародних симпозіумах українських інженерів механіків (Львів, 1997, 1999), Міжнародній конференції "Математические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997), Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (Львів, 1998), ІІІ Міжнародному конгресі "Thermal Sresses '99" (Краків, 1999), Міжнародній конференції "33rd Solid Mechanics Conference" (Закопане, 2000), V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, (Луцьк, 2000). В цілому дисертаційна робота доповідалася і обговорювалася на спеціалізованому кваліфікаційному семінарі "Механіка деформівного твердого тіла" ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів, 2001), спільному семінарі відділів механіки деформівного твердого тіла та термомеханіки цього ж Інституту (Львів, 2001) та спільному семінарі кафедр механіки та інформаційних систем Львівського національного університету ім.І.Франка (Львів, 2001).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в 11 роботах, з них 5 у рецензованих наукових журналах з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків А і Б (16 сторінок) та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 176 сторінок. В роботі подано 34 рисунки та 17 таблиць, з них 6 рисунків і 6 таблиць у додатках. Весь ілюстративний та табличний матеріал включений в текст. Бібліографія складається із 216 джерел і займає 25 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику проф. Вігакові Василеві Михайловичу за цінні поради і тісну співпрацю.

термонапруження пружні тіла неоднорідні

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень; відзначено наукову новизну, теоретичне та практичне значення результатів, отриманих у роботі; наведено дані про апробацію результатів роботи, її зв'язок з науковими програмами, що виконуються в установі, де працює здобувач; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі подано огляд та аналіз літератури з проблем пружності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл.

У другому розділі викладено основи методу зведення одновимірних задач пружності й квазістатичних задач термопружності для неоднорідних і термочутливих тіл канонічної форми (довгий порожнистий і суцільний циліндри, кільцевий і суцільний диски, порожниста і суцільна кулі) до інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду.

Для пояснення ідеї зведення вказаних задач до відповідних інтегральних рівнянь, достатньо розглянути визначення напруженого стану у довгому порожнистому неоднорідному й термочутливому циліндрі з внутрішнім та зовнішнім радіусами. Циліндр знаходиться під дією сталих внутрішнього і зовнішнього зусиль (тисків) й сили на його торцях; крім того, у циліндрі наявні стаціонарне чи нестаціонарне температурне поле () та масові сили . Введення сумарних напружень дає змогу при цих навантаженнях виразити з рівняння рівноваги радіальні напруження через сумарні:

, (1)

звідки при отримуємо інтегральну умову рівноваги

. (2)

З використанням співвідношення Дюгамеля Ноймана для пружних тіл між деформаціями і напруженнями () диференціальне рівняння суцільності для неоднорідного циліндра подано у вигляді

,

звідки шляхом його інтегрування з врахуванням рівності (1) отримано ключове інтегральне рівняння Вольтерра другого роду для визначення сумарних напружень :

, . (3)

Тут ,, модуль зсуву, коефіцієнт Пуассона і коефіцієнт лінійного розширення неперервні функції від ; стала, яка разом зі сталою осьовою деформацією циліндра визначаються з умови (2) та інтегральної умови рівноваги для осьових напружень

 . (4)

Інтегральне рівняння (3) розв'язується методом послідовних наближень з нульовим наближенням

, (5)

отриманим з рівняння (3) при , тобто, знехтувавши залежністю напружень від похідної . Наступні наближення визначено із рекурентних співвідношень

, (6)

де сталі , , () кожний раз визначаються з умов (2), (4).

З виразів для визначення напружень в -му наближенні (,) випливає, що у нульовому наближенні враховано основні залежності величин , , від координати чи температури T у випадку термочутливих матеріалів, а в наступних наближеннях враховується ще й залежність від похідної . Цим і пояснюється швидка збіжність ітераційного процесу розрахунку згідно з формулами (5), (6). Наприклад, при наявності дії на циліндр лише зусиль (і = 1,2) (P = f = T = 0) у нульовому наближенні сумарні напруження виражаються формулою

, (7)

а при наявності лише температурного поля ( = P = f = 0) температурні напруження матимуть вигляд

, (8)

які з певним наближенням визначають напруження, викликані тиском й температурою в неоднорідному та термочутливому циліндрі. Для порожнистого циліндра, виготовленого з однорідного матеріалу, на основі (7) легко отримати сумарні напруження від тисків на внутрішній та зовнішній поверхнях циліндра, які співпадають з відомим точним розв'язком задачі Ляме. З формули (8) одержується точний розв'язок квазістатичної задачі термопружності для однорідного циліндра.

За отриманим з формул (6) значенням сумарних напружень із співвідношення (1) визначається радіальна компонента . Тоді колові напруження легко визначити на основі рівності , а з одного із фізичних співвідношень пружності осьові напруження .

Аналогічним способом побудовано розв'язки одновимірних задач пружності й термопружності для неоднорідних кільцевого й суцільного дисків та порожнистої й суцільної куль.

Отримані формули для визначення напруженого стану від вище згаданих факторів навантажень у вказаних неоднорідних тілах справджуються також і для термочутливих і неоднорідних тіл. У випадку слід всюди добуток величин замінити на і похідну від 1/G згідно з рівністю

Отже, сформульовані одновимірні задачі пружності й квазістатичної термопружності для вказаних неоднорідних і термочутливих тіл зведено до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, що забезпечує існування точних розв'язків вказаних задач. Їх розв'язки визначено з наперед заданою точністю методом швидкозбіжних простих ітерацій.

У третьому розділі задачі пружності та квазістатичні задачі термопружності для багатошарових неоднорідних і термочутливих у кожному шарі циліндрі, диску, кулі зведено до розв'язування системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Для цього використано метод інтегрування рівнянь пружності й термопружності у напруженнях. Показано, що для випадку кусково-однорідних тіл з побудованих інтегральних рівнянь можна отримати знайдені іншими авторами точні розв'язки.

Щоб проілюструвати отримані інтегральні рівняння для багатошарових неоднорідних і термочутливих у кожному шарі тіл, досить розглянути неоднорідний у кожному шарі циліндр під дією таких самих навантажень, як і в попередньому розділі. Вихідні рівняння рівноваги і суцільності записано для кожного шару окремо і при їх інтегруванні використовуються граничні умови з заданими сталими нормальними зусиллями на внутрішній та зовнішній поверхнях, а також умови ідеального механічного контакту між шарами. Тоді, як і в попередньому розділі, для визначення сумарних напружень (j = 1, 2 ... N) в неоднорідному чи термочутливому циліндрі, який складається з N неоднорідних шарів, які відрізняються механічними характеристиками в місцях їх контактів, отримано систему N інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду:

, j = 1,2, ...,N. (9)

Тут нумерація шарів починається з внутрішнього шару,

, (10)

одна з величин ,,,,; , невідомі сталі, які визначаються з системи N + 1 алгебричних рівнянь, одержаних з N 1 умов ідеального механічного контакту між шарами (рівності радіальних переміщень та радіальних компонент тензора напружень) та інтегральних умов (2) і (4); S(x) - одинична функція.

Розв'язок системи інтегральних рівнянь (9) будується методом простих ітерацій з нульовим наближенням

, (11)

що забезпечує швидку збіжність ітераційного процесу за рахунок ефективного визначення нульового наближення (11), з якого при сталих значеннях параметрів ,, в кожному -му шарі випливають розв'язки задач пружності та термопружності для кусково-однорідного циліндра.

Аналогічно виведено системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду для визначення відповідних сумарних напружень, а, по суті, першого інваріанту напружень у кільцевому диску та порожнистій кулі, що складається з N неоднорідних і термочутливих шарів.

Отже, розв'язування одновимірних задач пружності й термопружності для N-шарових неоднорідних і термочутливих тіл зведене до системи N інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду для визначення першого інваріанту напружень. При цьому інші компоненти тензора напружень визначаються аналогічно як і в попередньому розділі.

У четвертому розділі досліджується вплив неоднорідності та температурної залежності теплофізичних і механічних характеристик матеріалів на розподіл напружень в одношарових і тришарових порожнистих циліндрах, спричинених силовими і температурними навантаженнями при відсутності масових сил.

Для визначення температурного поля, необхідного для розв'язування відповідних задач, запропоновано методики розв'язування задач теплопровідності при асимптотичному тепловому режимі з врахуванням неоднорідності та термочутливості характеристик матеріалу для одношарових та багатошарових тіл. У циліндричній системі координат одновимірне температурне поле в таких тілах описується рівнянням теплопровідності

, j = 1,2, ... , N, (12)

граничними умовами

, , (13)

й умовами ідеального теплового контакту між шарами

де температурне поле в -му шарі, безрозмірна швидкість нагрівання, безрозмірний час, коефіцієнт теплообміну N-го шару, температура внутрішньої поверхні циліндра у момент часу ; , ; , безрозмірні коефіцієнт теплопровідності та теплоємність j-го шару (j = 1,2, ..., N), які є неперервними функціями або координати , або температури у вигляді полінома другого степеня відносно температури, віднесені до відповідних їх сталих фізичних величин. Точний аналітичний розв'язок задачі (12) (14) в сенсі асимптотичного теплового режиму у випадку залежності теплофізичних характеристик матеріалів від координати має вигляд

, (16)

де

,

, , k = 1,2. (17)

Для визначення розв'язку нелінійної задачі теплопровідності у термочутливому порожнистому циліндрі, коли теплофізичні характеристики матеріалу залежать від температури у вигляді полінома другого степеня відносно температури (15), введемо малий параметр в ролі якого вибирається один з коефіцієнтів або . Тоді з метою лінеаризації розв'язок задачі (12) (14) подамо у вигляді рядів

, j = 1,2, ..., N. (18)

Таке подання розв'язку після прирівнювання виразів при однакових степенях малого параметра дає змогу звести цю задачу до розв'язування сукупності лінійних задач теплопровідності для визначення складових , де функції визначаються через функції , отримані з попередніх наближень. Розв'язок згаданих лінійних задач теплопровідності для асимптотичного теплового режиму одержано у вигляді залежностей

. (19)

Тут

, (20)

, сталі, що визначаються з граничних умов і умов ідеального теплового контакту між шарами; функції визначаються через відомі функції попереднього наближення.

Далі наведено дослідження впливу неоднорідності та залежності від температури теплофізичних і механічних властивостей матеріалу на розподіл напружень і термонапружень у порожнистих циліндрах. При цьому температурне поле у всіх розрахунках визначено за наведеними вище формулами при , , в момент часу , який потрібний для нагрівання внутрішньої поверхні циліндра при швидкості нагрівання від кімнатної температури до заданої температури внутрішньої поверхні циліндра.

На основі інтегрального рівняння (3) досліджено розподіл напружень, викликаний дією внутрішнього тиску в неоднорідному циліндрі в залежності від параметра q степеневої залежності модуля зсуву ( ) і безрозмірного внутрішнього радіуса циліндра при . Розрахунки показали, що кількість ітерацій для досягнення відповідної точності визначення напружень більше залежить від параметра , ніж від величини q. При зменшенні , особливо при <0,4, кількість ітерацій зростає порівняно з . На рис. 1 для = 0,7 наведено значення безрозмірних напружень у нульовому і першому наближеннях для різних значень параметра q. Для і нульові наближення напружень відрізняються від перших не більше, ніж на 5 %, а для перше наближення описує напруження з похибкою менше 1% порівняно з точним розв'язком цієї задачі при . При цьому друге наближення порівняно з точним розв'язком дає змогу визначити напруження для з точністю 0,3%.

На рис.2 наведено напруження і від внутрішнього тиску з врахуванням залежності модуля зсуву від температури за лінійним законом при різних коефіцієнтах і для двох швидкостей нагрівання =10oC/хв (363) і =20oC/хв (726). При цьому температурне поле визначено без врахування залежності теплофізичних характеристик матеріалу циліндра від температури, тобто, за їх середнім значенням у заданому діапазоні температур. Розрахунки проведено для труби зовнішнього діаметру 325 мм з товщиною стінки 60 мм (=0,63), виготовленої зі сталі 15Х1М1Ф. Такі труби застосовують у теплоенергетиці як паропроводи свіжої пари. Як видно на рис. 2, напруження від тиску в трубі суттєво залежать від швидкості її нагрівання. Для вказаної марки сталі в діапазоні температур 20oC 570oC, на який проектується паропровід, коефіцієнт 1/oC. У цьому випадку значення сумарних напружень , викликаних внутрішнім тиском, при швидкостях нагрівання <10 oC/хв відхиля-

ється від їх значень при = 0 не більше ніж на 5% і термочутливістю модуля зсуву матеріалу паропроводу можна знехтувати. Однак при швидкостях нагрівання >10 oC/хв і напруження, викликані внутрішнім тиском, суттєво зростають порівняно з їх значеннями при = 0 і їх необхідно враховувати при розрахунках паропроводів на міцність.

Проведені дослідження показують, що для реальних термочутливих матеріалів при розрахунках термонапружень у порожнистому циліндрі достатньо нульового наближення у ключовому інтегральному рівнянні. При цьому радіальні напруження від внутрішнього тиску слабо залежать від неоднорідності та термочутливості модуля зсуву.

На рис. 3 наведено залежність сумарних температурних напружень від радіальної координати у тришаровому термочутливому порожнистому циліндрі з зовнішнім діаметром 5 мм і товщиною стінки 1,25 мм (=0,5), виготовленому з корундової кераміки (94% Al2O3), з тонким, товщини0,01 мм, шаром вольфраму (=0,748,=0,752) при відсут-

ності силових навантажень і масових сил. Такі циліндри можуть застосовуватись як термочутливі елементи термометрів опору. Напруження у циліндрі викликані температурним полем, яке визначається формулами (18) (20) при швидкості нагрівання = 205 з врахуванням термочутливисті механічних і теплофізичних характеристик складових циліндра. Температурні напруження визначались за допомогою системи інтегральних рівнянь (9) при температурі внутрішньої поверхні 500оС. Експериментальні температурні залежності характеристик всіх матеріалів у певних діапазонах температур апроксимовані поліномами другого степеня відносно температури. Для випадків, зображених лініями 1 6 коефіцієнт теплопровідності матеріалу зовнішнього і внутрішнього шарів залежить від температури за лінійним законом. Лінія 7, яка відповідає розподілові напружень з врахуванням температурних залежностей всіх характеристик матеріалів циліндра, вказує на необхідність їх повного врахування.

У додатках А, Б виписані явно вирази правих частин рівнянь теплопровідності (12) і наведені значення коефіцієнтів теплопровідноті, теплоємностей, модулів пружності, коефіцієнтів Пуассона, коефіцієнтів лінійного розширення деяких матеріалів, графіки їх залежностей від температури та апроксимація цих залежностей поліномами другого степеня відносно температури з зазначенням відповідних коефіцієнтів кореляції.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У роботі при вирішенні основного завдання зведення одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл канонічної форми до інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду і дослідження впливу неоднорідності та термочутливості матеріалів на розподіли температури, напружень та термонапружень з використанням одержаних інтегральних рівнянь отримані такі результати:

1. Для тіл простої форми (циліндра, диска, кулі), виготовлених з неоднорідних і термочутливих матеріалів, запропоновано спосіб зведення одновимірних задач пружності й термопружності до інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно першого інваріанта тензора напружень.

На основі розробленого способу розв'язки вказаних задач механіки для багатошарових неоднорідних і термочутливих в кожному шарі тіл зведено до системи інтегральних рівнянь типу Вольтерра другого роду.

2. Для побудови розв'язків отриманих ключових інтегральних рівнянь й системи інтегральних рівнянь використовується метод простих ітерацій, який забезпечує швидку збіжність ітераційного процесу за рахунок вигідно виділеного нульового наближення та сформованих ядер інтегральних рівнянь. Для окремих матеріалів з реальними температурними залежностями модуля зсуву й коефіцієнта Пуассона показано, що достатньо нульового чи першого наближення для обчислення з відповідною точністю напружень у циліндрі від внутрішнього тиску чи температурного поля. Останнє пояснюється також тим, що у часткових випадках однорідного й кусково-однорідного тіла з ключових інтегральних рівнянь в нульових наближеннях отримуються точні розв'язки відповідних задач пружності й термопружності.

3. Для багатошарових неоднорідних і термочутливих тіл запропоновано методики визначення асимптотичних одновимірних нестаціонарних температурних режимів. При цьому, у випадку залежностей теплофізичних характеристик матеріалів від температури, для розв'язання нелінійної задачі теплопровідності використовується лінеаризація на основі методу малого параметра. Останній вибирається в процесі квадратичної апроксимації експериментальних температурних залежностей коефіцієнтів теплопровідності й теплоємностей матеріалів. Методика визначення теплових режимів для термочутливих циліндричних тіл дозволяє дослідити окремо і в сукупності вклади температурних залежностей коефіцієнтів теплопровідності та теплоємностей матеріалів у розподіл температурного поля.

4. При врахуванні термочутливості модуля зсуву напруження в тілі, викликані силовими факторами навантажень і температурою, залежать не лише від температурного поля, але й від його градієнтності, тобто, чим більша градієнтність температурного поля, тим більший вплив термочутливості модуля зсуву на напружений стан.

5. Проведені прикладні дослідження напружень від внутрішнього тиску у трубі, яка використовується в теплоенергетиці як паропровід, вказують на необхідність при певних нестаціонарних теплових режимах врахування впливу на напружений стан залежності модуля зсуву від температури, який може бути суттєвим.

6. Для достовірного визначення термонапружень у термочутливому тілі слід враховувати у комплексі залежності всіх механічних і теплофізичних властивостей матеріалу від температури.

7. Запропонований спосіб зведення задач пружності та термопружності для неоднорідних і термочутливих тіл до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду разом з методикою визначення температурного поля у вигляді розкладів у ряди за степенями малого параметра є ефективним методом розрахунків напруженого стану в тілі завдяки швидкій збіжності ітераційних процесів визначення температурного поля та напружень.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.Вігак В. М., Калиняк Б М. Термонапружений стан неоднорідного термочутливого циліндра у випадку одновимірного температурного поля //Нелинейные краевые задачи математической физики и их применения. - К.: Інститут Математики НАН України, - 1996. - C. 63 - 64.

2.Вігак В. М., Калиняк Б. М., Юзвяк М. Метод розв'язування задач пружності й термопружності з врахуванням інтегральних умов рівноваги та суцільності // Тези доповідей 3-го Міжнародного симпозіуму

українських інженерів механіків.-Львів, 21 - 23 травня 1997.-С. 77 - 78.

3.Вигак В. М., Калыняк Б. Н. Сведение решений одно- и двумерных задач упругости и термоупругости для неоднородных тел к интегральным уравнениям Фредгольма с вырожденными ядрами. //Тезисы докладов Междунар. конф. "Математические модели физических процессов и их свойства". - Таганрог (Россия). - 1997. - С. 98.

4.Вігак В. М., Калиняк Б. М. Зведення одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл до інтегральних рівнянь другого роду //Доповіді Національної академії наук України. -1998, №11. -С. 60 - 67.

5.Вігак В.М., Калиняк Б.М. Дослідження напружень у термочутливих циліндричних тілах //Машинознавство. - 1999. - № 9. - С. 10 -14.

6.Vihak V.M., Kalyniak B.M. Reduction of one-dimensional elasticity and thermoelasticity problems in inhomogeneous and thermal sensitive solids to the solution of integral equation of Volterra type //Proceedings of the Third International Congress on Thermal Stresses "Thermal Stresses' 99", June 13 -17, Cracow, Poland, 1999. - P. 457 - 460.

7.Vihak V., Kalyniak B., Rychagivsky A. A. Method of Direct Integration of One- and Two-Dimensional Elasticity and Thermoelasticity Equations for Orthotropic and Inhomogeneous Materials //Proceedings of the 33rd Solid Mechanics Conference. - 2000, September 5-9, Zakopane, Poland. - P.415- 416.

8.Калиняк Б. М. Термопружний стан довгого неоднорідного циліндра з врахуванням залежностей фізико-механічних властивостей матеріалу від температури // Крайові задачі термомеханіки. - К.: Інститут Математики НАН України, 1996. - С. 148 - 153.

9.Калиняк Б. М. Розв'язок одновимірних задач пружності та термопружності у напруженнях для багатошарового неоднорідного і термочутливого циліндра //Матеріали Міжнародної наукової конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" - Львів (Україна): НАНУ, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача, 25 - 28 травня 1998. - С. 65.

10.Калиняк Б. М. Інтегрування рівнянь одновимірних задач пружності та термопружності для неоднорідних циліндричних тіл // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1998. - т. 41, № 2. С. 124 - 131.

11.Калиняк Б. М. Вплив температурної залежності теплофізичних характеристик на термонапружений стан неоднорідних циліндричних тіл //Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. Т. 1. Львів.: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. - 2000. - С. 232 -235.

АНОТАЦІЯ

Калиняк Б. М. Визначення напруженого стану неоднорідних термочутливих пружних тіл зведенням одновимірних крайових задач до інтегральних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2001.

Одновимірні задачі пружності та квазістатичні задачі термопружності для неоднорідних і термочутливих тіл (порожнисті і суцільні циліндри та кулі, кільцевий і суцільний диски) зведено до розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду чи системи інтегральних рівнянь такого ж типу на основі інтегрування вихідних рівнянь механіки в напруженнях. Розроблено методики та програмне забезпечення для визначення напруженого стану в одношарових та багатошарових неоднорідних і тер-мочутливих у кожному шарі циліндричних тілах. Досліджено напружений стан у неоднорідному порожнистому циліндрі, викликаний внутрішнім тиском.

Розроблено методики та програмне забезпечення для визначення нестаціонарних одновимірних температурних полів у неоднорідних або термочутливих циліндричних тілах при асимптотичних теплових режимах. Досліджено розподіл температурних полів, напружень і термонапружень в одношарових і багатошарових порожнистих циліндричних тілах з врахуванням залежностей у кожному шарі фізико-механічних характеристик матеріалів від радіальної координати та температури.

Ключові слова: напруження і термонапруження, термочутливі і неоднорідні пружні тіла, циліндр, диск, куля, нелінійна задача, інтегральні рівняння, метод ітерацій.

АННОТАЦИЯ

Калыняк Б. Н. Определение напряженного состояния неоднородных термочувствительных упругих тел сведением одномерных краевых задач к интегральным уравнениям. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львив, 2001.

Предложен способ решения одномерных задач упругости и квазистатических задач термоупругости для неоднородных и термочувствительных (механические и теплофизические свойства материалов зависят от температуры) однослойных и многослойных полых и сплошных цилиндров и шаров, кольцевого и сплошного дисков, который заключается в сведении их к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода либо к системе уравнений такого же типа относительно первого инварианта напряжений. Остальные компоненты тензора напряжений определяются из полученных соотношений. Предполагается, что тело находится под воздействием постоянного нормального усилия на его границе, а внутри него заданы массовые силы и температурное поле. Для решения ключевых интегральных уравнений использован метод простых итераций, обеспечивающий быструю сходимость итерационной процедуры вследствие выгодного выделения нулевого приближения и формирования ядер интегральных уравнений. Показано, что для отдельных материалов с реальными зависимостями модуля сдвига и коэффициента Пуассона от температуры достаточно нулевого либо первого приближения для определения с определенной точностью напряжений. Последнее, в частности, объясняется тем, что для однородных тел точные решения соответствующих задач упругости и термоупругости легко получить из нулевых приближений решений упомянутых интегральных уравнений. В термочувствительных телах напряжения от силовых факторов нагружения и температурные зависят не только от температурного поля, но и от распределения его градиентов вдоль координаты и с увеличением градиентности температурного поля влияние термочувствительности модуля сдвига усиливается.

Температурные поля в неоднородных и термочувствительных многослойных цилиндрических телах найдены при асимптотическом тепловом режиме, зависящим лишь от условий теплообмена на границе, и идеальном тепловом контакте между слоями. В случае зависимостей коэффициентов теплопроводности и теплоемкости от температуры одномерная нелинейная задача теплопроводности решается с помощью метода малого параметра, который определяется в процессе аппроксимации температурных зависимостей упомянутых теплофизических характеристик материала полиномами второй степени относительно температуры.

Проведенные прикладные исследования напряжений от внутреннего давления в термочувствительной трубе указывают на необходимость при определенных температурных режимах учета влияния на её напряженное состояние зависимости модуля сдвига от температуры, которое может оказаться существенным. Показано также, что для достоверного определения термонапряжений в термочувствительных телах следует учитывать весь комплекс зависимостей механических и теплофизических свойств материала от температуры. Предложенный метод решения одномерных задач упругости и термоупругости с помощью интегральных уравнений Вольтерра второго рода вместе с методом малого параметра для определения температурного поля является весьма эффективным методом определения термонапряжений в неоднородных термочувствительных телах вследствие быстрой сходимости итерационных приближений.

Ключевые слова: напряжения и термонапряжения, термочувствительные неоднородные упругие тела, многослойные тела, нелинейная задача, интегральные уравнения, метод итераций

ABSTRACT

Kalyniak B. M. The Determination of the Stressed State in Inhomogeneous Thermal Sensitive Elastic Bodies by Reducing the One-Dimensional Boundary Problem to Integral Equations. - Manuscript.

Dissertation presented for Degree оf Candidate of Science in Physics and Mathematics on the speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. - Institute for Applied Problems in Mechanics and Mathematics named after Ya. S. Pidstrygach, Ukrainian National Academy of Sciences, L'viv, 2001.

The one-dimensional elasticity and quasi-static thermoelasticity problems in inhomogeneous and thermal sensitive bodies (hollow and continuous cylinder and full-sphere, ring- and continuous thin disk) have been reduced to the solving of the Volterra integral equations of the second kind or the system of ones by using the integration of the constitutive equations of mechanics in terms of stresses. The methodology and software to determine the stresses in one-layer and multi-layer inhomogeneous and thermal sensitive in each layer cylinders have been developed. The stressed state in inhomogeneous hollow cylinder caused by internal pressure has been investigated.

To determine the nonsteady one-dimensional temperature fields at asymptotic thermal regimes in inhomogeneous and thermal sensitive cylinder bodies the technic methods and software have been developed. The changes of the temperature field, of the stresses and of the thermal stresses in one-layer and multi-layer hollow cylinders, caused by material characteristics dependencies in each layer on radial coordinate and on temperature have been investigated.

Key words: stresses, thermal stresses, inhomogeneous thermal sensitive elastic bodies, cylinder, disk, full-sphere, nonlinear problem, integral equations, iteration procedure.

Размещено на Allbest.ru

...