Изделия из углеродистой стали

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Техническое задание

Изделие из углеродистой стали в форме пластины охлаждается водой в симметричных условиях. Известны температура воды и коэффициент теплоотдачи. В начале процесса температура по толщине пластины распределена равномерно. Теплофизические свойства материала не зависят от температуры.

Выполнить и представить в отчёте все этапы моделирования.

Примем в этапе «Исследование закономерностей»:

- для среднего варианта моделирования построить температурное поле изделия для пяти значений времени включая t=0;

- построить кривые охлаждения оси симметрии; точки, находящейся на ј полной толщины и поверхности.

В этапе «Решение задач исследования»:

- провести расчёты и построить графики влияния коэффициента теплоотдачи (три значения) на продолжительность охлаждение оси изделия от температуры Т0 до температуры 100°С (ТСР = 0);

- аппроксимировать полученную зависимость аналитическим выражением.

В конце отчёта сформулировать выводы по результатам работы.

Таблица 1 Исходные данные

Толщина пластины (S), м	0,1
Коэффициент теплоотдачи (), Вт/м2·к	250; 500; 1000
Критерий Био (Bi)	1

2. Задачи исследования, объект, цель и предмет

Объект: пластина, охлаждаемая водой.

Проблема: пластина не охлаждается к нужному моменты времени.

Цель: определить время охлаждения пластины.

Гипотеза: процесс охлаждения определяется теплофизическими свойствами изделия и условиями охлаждения.

Метод исследования: метод математического моделирования.

Предмет: процесс охлаждения пластины.

Задачи:

1) Разработка компьютерной модели и алгоритма решения.

2) Выбор исходных данных.

3) Тестирование алгоритма.

4) Исследовать температурное поле изделия для трех значений текущего времени при одном варианте коэффициента теплоотдачи.

5) Построить в задаче 2 кривые охлаждения оси симметрии; точки, находящейся на ј толщины и поверхности.

6) Изучить влияние толщины пластины (три значения) на продолжительность охлаждения её оси от температуры Т0 до 100 (ТСР=0).

7) Аппроксимировать полученную зависимость аналитическими выражениями.

3. Описание объекта

Объектом исследования является процесс охлаждения пластины водой. Схема объекта приведена на рисунке 2.1:

теплоотдача пластика охлаждение



Рисунок 2.1 Схема охлаждения стальной пластины: 1 - пластина; 2 - водная среда; 3 - стойки

При составлении модели вводятся следующие допущения:

теплофизические свойства стали в процессе охлаждения не изменяются;

условия охлаждения симметричны;

охлаждение идёт от равномерной начальной температуры;

температура среды постоянна;

4. Построение математической модели

В математическую модель процесса охлаждения входит уравнение теплопроводности. Процесс будем рассматривать одномерно и в неподвижной системе координат. Тогда уравнение теплопроводности примет вид:

, 0 ? х ? S, 0 ?t ? tк (1)

с - теплоёмкость материала, Дж/(кг·К);

с - плотность, кг/м3;

л - коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К);

tк - конечное время;

Т - температура; t - время, с;

Расчетная область для уравнения (1) приведена на рисунке 3.1:

Рисунок 3.1 Схема расчётной области: - начальная температура; - температура поверхности; S - половина толщины поверхности

Задаем начальное и граничные условия для решения уравнения (1):

Начальное условие в момент времени t =0: T(0, х) = Т0,

Граничное условие пластины (условие симметрии):

Граничное условие III рода

где б - коэффициент теплоотдачи

5. Разработка приближенной модели

Для разработки приближённой модели используем численный метод - метод конечных разностей (МКР). В этом методе непрерывное течение времени заменяют дискретным с шагом Дt. Непрерывное изменение координат заменяется дискретными значениями, и вместо непрерывных функций рассматриваются дискретные или сеточные функции. Для этого расчетная область делится на выбранное количество узлов N и определяется:

(2)

где N - количество узлов в расчетной области, Дх - шаг по координатам х.

Схема дискретизации расчетной области приведена на рисунке 4.1:

Рисунок 4.1 Схема дискретизации расчётной области

Дискретные моменты времени:

tn = n·Дt,

где n -номер времени момента, n=0,1,2…,[]

Координата узла определяется по формуле:

xi = Дxi - Дx* Ѕ= Дx (i - Ѕ)

Приближенные значения для частных производных:

Рисунок 4.2 Дискретизация расчётной области

n, n+1 - временные слои; - внутренние узлы; - фиктивные узлы;

Дt - шаг по времени; Дx - шаг по координате.

(3)

Введем дополнительные узлы для аппроксимации второй производной по координате (рисунок 4.3):

Рисунок 4.3 Схема аппроксимации второй производной

(4)

Для замены производной второго порядка используем дополнительные промежуточные узлы: i-1, i+1, i+1/2, i-1/2.

Расписывая далее, получим:

(5)

(6)

Подставляем получившееся выражение (3) и выражение (6) в уравнение теплопроводности для пластины (1):

(7)

Вводим обозначение:

(8)

Перепишем уравнение (7) с учётом выражения (8):

= (9)

(10)

Ti0=T0 - распределение температуры по узлам в начальный момент времени. Значение температуры в фиктивных узлах находим из граничных условий: При x=0:

(11)

Следовательно: при x=S:

(12)

(13)

Выразим с учетом обозначения

(14)

Шаг по времени определяется из условия устойчивости:

,

где - коэффициент устойчивости, Ку >2.



6. Разработка компьютерной модели

Рисунок 5.1 Блок-схема алгоритма решения



Программа на языке Turbo Pascal

Program Plastina;

const

s=0.1; lam=29; c=690; p=7500; ky=3; Tsr=0; T0=1000; alfa=500; N=10; tk=1000; dp=100;

var i,k,j:integer;

t,dx,a,cappa,dt:Real;

T1,T2:array[0..N+1] of real;

begin

dx:=S/N;

a:=lam/(c*p);

dt:=(dx*dx)/(a*ky);

writeln('dx= ',dx:7:3,' a=',a:7:7,' dt=',dt:7:3);

for i:=0 to N+1 do begin T1[i]:=T0; T2[i]:=T0; end;

k:=1; t:=0;

while t<=tk do

begin

t:=t+dt;

for i:=1 to N do

T2[i]:=T1[i]+a*dt*((T1[i+1]-2*T1[i]+T1[i-1]))/(dx*dx);

T2[0]:=T2[1];

cappa:=(alfa*dx)/(2*lam);

T2[N+1]:=((1-cappa)*T2[N]+2*cappa*Tsr)/(1+cappa);

for i:=0 to N+1 do T1[i]:=T2[i];

if t>dp*k then

begin

readln;

for i:=0 to N+1 do write(i:5);writeln;

for i:=0 to N+1 do write(T1[i]:5:0);writeln;

writeln('Time= ',t:3:3);

writeln('на оси = ',T2[0]:3:3);

writeln(`температура на поверхности = ', (T2[N+1]+T1[N])/2:3:3);

inc(k);

end;

end;

readln;

end.

7. Тестирование компьютерной модели

Задачи тестирования модели:

1). Проверка правильности работы алгоритма;

2). Исследование сходимости решения;

3). Исследование погрешности решения.

На этапе тестирования сравниваются результаты работы программы с тестом - точным решением при одинаковых исходных данных. Точное решение представляется в виде критериальной зависимости. Критерий - это безразмерный комплекс исходных данных, который позволяет сократить количество переменных в задаче и получить существенные связи между исследуемыми величинами. Введем безразмерные величины:

где - безразмерная температура, F0 -безразмерный критерий времени Фурье, X - безразмерная координата r, Bi - безразмерный критерий Био.

Для проведения тестирования определим исходные данные для программы:

S=1, =1, c=1, =1, =1 =>> ,

Для Bi =1

Решение, получаемое с помощью компьютерной модели, сходится к точному при увеличении количества узлов, если погрешность решения при этом уменьшается. Изучим поведение погрешности при различном количестве узлов.

Проведем тест для N = 5, 10, 20 узлов. Результаты моделирования и данные точного решения занесены в таблицы:

ДT = (T*ОСИ - TОСИ); ,

где Т*ОСИ и Т*ПОВ берутся из справочных данных [1].

Таблица 6.1 №1 (для N=5):

F0	ТОСИ¦Х=0	Т*ОСИ¦Х=0	ДТ	е, %	ТПОВ¦Х=1	Т*ПОВ¦Х=1	ДТ	е, %
0,1	994,858	993,32	-1,538	0,155	737	723,84	-13,16	1,818
0,2	948,386	948,64	0,254	0,027	647,394	643,65	-3,744	0,582
0,3	892,607	892,02	-0,587	0,066	595,581	589,12	-6,461	1,097
0,4	827,39	831,19	3,8	0,457	547,406	544,44	-2,966	0,545
0,5	772,791	774,55	1,759	0,227	510,089	504,79	-5,299	1,05
0,6	714,314	717,93	3,616	0,504	471,083	468,53	-2,553	0,545
0,7	666,661	666,81	0,149	0,022	439,551	435,00	-4,551	1,046
0,8	616,038	619,29	3,252	0,525	406,138	403,98	-2,158	0,534
1,0	531,226	534,11	2,884	0,54	350,212	348,41	-1,802	0,517
				2,557				7,734

Таблица 6.2 №2 (для N=10):

F0	ТОСИ¦Х=0	Т*ОСИ¦Х=0	ДТ	е, %	ТПОВ¦Х=1	Т*ПОВ¦Х=1	ДТ	е, %
0,1	993,114	993,32	0,206	0,0207	725,122	723,84	-1,282	0,177
0,2	950,088	948,64	-1,448	0,1526	644,393	643,65	-0,743	0,115
0,3	893,018	892,02	-0,998	0,1119	591,337	589,12	-2,217	0,376
0,4	832,064	831,19	-0,874	0,105	546,374	544,44	-1,934	0,355
0,5	773,539	774,55	1,011	0,1305	506,54	504,79	-1,75	0,347
0,6	718,602	717,93	-0,672	0,0936	470,136	468,53	-1,606	0,343
0,7	667,405	666,81	-0,595	0,089	436,51	435,00	-1,51	0,347
0,8	618,279	619,29	1,011	0,163	404,338	403,98	-0,358	0,0886
1,0	533,2	534,11	0,91	0,17	348,684	348,41	-0,274	0,079
				1,0367				2,2276

Таблица 6.3 №3 (для N=20):

F0	ТОСИ¦Х=0	Т*ОСИ¦Х=0	ДТ	е, %	ТПОВ¦Х=1	Т*ПОВ¦Х=1	ДТ	е, %
0,1	993,114	993,316	0,202	0,0203	724,851	723,84	-1,011	0,1397
0,2	950,504	948,64	-1,864	0,1965	643,642	643,65	0,008	0,0012
0,3	892,101	892,02	-0,081	0,0091	589,471	589,12	-0,351	0,0596
0,4	831,229	831,19	-0,039	0,0047	544,721	544,44	-0,281	0,0516
0,5	772,779	774,55	1,771	0,2286	505,026	504,79	-0,236	0,04675
0,6	717,908	717,93	0,022	0,00306	468,737	468,53	-0,207	0,04418
0,7	666,769	666,81	0,041	0,00614	435,215	435,00	-0,215	0,0494
0,8	619,222	619,29	0,068	0,011	404,139	403,98	-0,159	0,0394
1,0	534,024	534,11	0,086	0,0161	348,519	348,41	-0,109	0,03128
				0,4955				0,4631

Выберем максимальную погрешность решения для N=5,10,15 узлов (для поверхности и для оси пластинки):

N	еmax,%(поверхн.)	еmax,%(оси)
5	0,54	1,818
10	0,17	0,376
20	0,2286	0,1397

Зависимость Emax от количества узлов выглядит следующим образом:



Рисунок 6.1 Зависимость еmax = f(N)

Зададим допустимую погрешность равной 1%, тогда согласно графика погрешность решения не превысит 1% при NОПТ=7 - 8.

Выбор исходных данных

№ п/п	Наименование	Обозначение	Значение	Единицы измерения
1	Коэффициент теплопроводности	л	29	Вт/(м·К)
2	Теплоемкость	c	690	Дж/(кг·К)
3	Плотность	с	7500	кг/м3
4	Коэффициент устойчивости	Ку	3	_
5	Начальная тем-ра	Т о	1000	оС
6	Температура среды	TСР	0	оС
7	Толщина пластины	S	0,1	м
8	Коэффициент теплоотдачи	б	250 500 1000	Вт/(м2·К)

8. Исследование процесса охлаждения пластины

С помощью компьютерной модели охлаждения пластины определили температуры для различных точек пластины в различные моменты времени. На основе полученных данных построили графики:

Рисунок 8.1 Распределение температуры по пластине

Рисунок 8.2 Кривые охлаждения различных точек пластины



9. Определение времени охлаждения пластины до 100 оС.

Рисунок 9.1 Кривые охлаждения точки в плоскости симметрии пластины

Находим точки пересечения прямой, проведенной от значения температуры 100°С параллельно оси времени, с полученными кривыми. Ординаты пересечения соответствуют продолжительности охлаждения пластины до 100°С.

Запишем данные по продолжительности охлаждения в таблицу 8.1:

Таблица 8.1 Продолжительность охлаждения пластин при различных коэффициентах теплоотдачи

б, Вт/(м2·К)	Время охлаждения, с	Время охлаждения, ч
250	6453,879	1,793
500	4104,31	1,14
1000	2950,345	0,8195

По данным таблицы строим график зависимости времени охлаждения пластины от коэффициента теплоотдачи.

Рисунок 9.2 График зависимости tОХЛ=f(б) по результатам расчета, найденным с помощью компьютерной модели

Уравнение аппроксимирующей кривой описывается общим уравнением:

где - время охлаждения оси цилиндра до 100°С; а - безразмерный коэффициент; б - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К).

С помощью графического метода выявили линейное уравнение зависимости времени охлаждения пластины (tОХЛ) от коэффициента теплоотдачи (б):

tОХЛ = -0,4868·х + 2,2243, при R2 = 0,9626.

Коэффициенты a и n определим исходя из системы двух уравнений:



Получили следующее выражение:



Выводы

В ходе выполнения данной курсовой работы был промоделирован процесс охлаждения изделия из углеродистой стали в форме пластины для граничных условий третьего рода, при котором температура пластины понижается от начальной температуры до температуры среды путем охлаждения в воде.

Разработали компьютерную модель на языке программирования Pascal в среде программирования Borland Pascal 7.0.

Провели тестирование и установили оптимальное количество узлов NОПТ. = 7-8.

Выполнили исследования тела в форме пластины. В результате получилось, что пластина с меньшим коэффициентом теплоотдачи охлаждается медленнее.

Определили время охлаждения пластины до температуры 100°С при задании различного коэффициента теплоотдачи. В, частности, пластина толщиной 100 мм. Вычислили время охлаждения оси пластины до 100°С при трех значениях б = 250; 500; 1000:

б, Вт/(м2·к)	Время охлаждения, с	Время охлаждения, ч
250	6453,879	1,793
500	4104,31	1,14
1000	2950,345	0,8195

Также определили уравнение аппроксимирующей кривой данной зависимости:

,

где - время охлаждения оси пластины до 100°С, час;

б - коэффициента теплоотдачи, Вт/(м2·К).



Литература

1. Кабаков З.К., Пахолкова М.А. Технология математического моделирования металлургических процессов. - ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», Череповец, 2012. - 132с.

2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. - М.: Металлургия, 1976. - 552с.

3. Максимов Ю.М. - Математическое моделирование металлургических процессов. - М.: Мир: ООО «Изд-во АСТ», 2003. - 528с.

4. Варгафтик Н.Б. - Теплофизические свойства веществ: Справ. - М.; Л.: Госэнергоиздат, 1956. - 287с.

5. Чиркин В.С. - Теплопроводность промышленных материалов. - 2-е изд. - М.: Машгиз, 1962. - С.245.

Размещено на Allbest.ru

...