Кинематика течений жидкости
Лагранжевый и эйлеровый подходы к описанию движения сплошной среды. Выражение скорости жидкой частицы через производную радиус-вектора. Геометрическое место точек пространства, через которое частица последовательно проходит во времени. Кинематика вихрей.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.03.2014 |
| Размер файла | 45,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тема 3
КИНЕМАТИКА ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ
План
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды. Переменные Эйлера и Лагранжа
2. Траектория. Линия (поверхность) тока
3. Кинематика вихрей. Циркуляция скорости
Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематические величины, характеризующие движение твёрдого тела и движение отдельных точек (расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как функции времени.
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды. Переменные Эйлера и Лагранжа
Для описания движения сплошной среды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым, другой - эйлеровым.
Лагранжев метод описания движения относится к типу отсчётных. В некоторый (начальный) момент времени t0 каждая из жидких частиц маркируется путём присвоения ей значения координат в данный момент времени.
В трёхмерном пространстве введём обозначения
.
В дальнейшем прослеживается движение каждой частицы индивидуально. При таком подходе положение частицы в каждый момент времени будет зависеть от параметров a, b, c и t, которые называются переменными Лагранжа. Можно записать, что вектор положения жидкой частицы равен
.
Скорость жидкой частицы выразится через производную радиус-вектора
,
а ускорение через производную скорости
В последних двух формулах при дифференцировании параметры a, b, c являются постоянными, и являются только функционалами времени и в этом случае энергии дифференцирования и тождественны.
Эйлеров метод описания движения относится к типу пространственных. В каждой точке пространства с координатами x,y,z изучаются параметры движения в различные моменты времени t. Таким образом, скорость жидкости в различных точках пространства должна быть функцией четырёх переменных x, y, z, t, называемых переменными Эйлера,
,
а её дифференциал
.
В движущейся среде приращения не являются независимыми, а соответственно равны
.
Поэтому справедливо равенство
,
Где
.
Это означает, что полное ускорение индивидуальной жидкой частицы, находящейся в момент времени t в точке пространства с координатами x,y,z, состоит из двух частей: локального ускорения , обусловленного изменением скорости во времени в данной точке, и конвективного ускорения, обусловленного неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса.
Производная носит название индивидуальной или субстанциональной производной.
Если =0, поле скоростей стационарно, однако это ещё не означает, что в жидкости отсутствуют ускорения. Стационарность или нестационарность поля скоростей зависит от выбора системы координат.
Если = 0, то поле скоростей однородно.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока
Траекторией жидкой частицы называется геометрическое место точек пространства, через которое частица последовательно проходит во времени.
В переменных Лагранжа траекторию определяет уравнение
.
Если задача решена в переменных Эйлера, то известно поле скоростей и траекторию следует находить путём решения дифференциального уравнения
,
с начальным условием: при .
Линией тока называется линия, в каждой точке которой в каждый момент времени скорость направлена по касательной к этой линии.
В векторной форме условие тангенциальности можно записать в виде
.
В проекциях на оси координат получим систему уравнений
,
которую можно переписать также в виде
Время здесь является фиксированным параметром.
В стационарном случае траектория и линия тока совпадают. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока.
Поверхность тока определяется как поверхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости лежит в касательной плоскости. Такую поверхность можно образовать, например, путём проведения через замкнутую кривую непрерывной совокупности линий тока. В этом случае говорят о трубке тока.
лагранжевый эйлеровый жидкость кинематика
3. Кинематика вихрей
Рис. 10
Рассмотрим вектор вихря скорости, который определяется соотношением
Линии в потоке жидкости, в каждой точке которой вектор вихря скорости является касательным к данной линии, называются вихревыми линиями.
Обобщение данного понятия на поверхность (вектор вихря в каждой точке поверхности должен лежать в касательной плоскости) даёт понятие вихревой поверхности или вихревого слоя.
Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую поверхность, а жидкость, заключённая внутри вихревой поверхности, - вихревую трубку.
Интенсивность вихревой трубки удобнее выразить через циркуляцию вектора скорости .
В общем случае Г определяется как
,
где - вектор перемещения вдоль произвольного контура, соединяющего точки А и В.
Если контур замкнут, то
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Методы изучения движения жидкости. Основная теорема кинематики (Гельмгольца). Уравнение движения сплошной среды в напряжениях. Понятия и определения потенциальных течений. Моделирование гидрогазодинамических явлений, ламинарное и турбулентное движение.
шпаргалка [782,6 K], добавлен 04.09.2010Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.
презентация [8,5 M], добавлен 13.02.2016Кинематика точки. Способы задания движения. Определение понятия скорости точки и методы ее нахождения. Выявление ее значения при естественном способе задания равномерного движения. Способ графического представления скорости в декартовой системе координат.
презентация [2,3 M], добавлен 24.10.2013Механика, ее разделы и абстракции, применяемые при изучении движений. Кинематика, динамика поступательного движения. Механическая энергия. Основные понятия механики жидкости, уравнение неразрывности. Молекулярная физика. Законы и процессы термодинамики.
презентация [2,0 M], добавлен 24.09.2013Основные положения и постулаты кинематики – раздела теоретической механики. Теоретические основы: определения, формулы, уравнения движения, скорости и ускорения точки, траектории; практические примеры в виде решения наиболее типичных задач кинематики.
методичка [898,8 K], добавлен 26.01.2011Составление расчетной схемы установки. Нахождение уравнения траектории движения точки. Построение траектории движения в соответствующих координатах и участка ее в интервале времени. Линейные скорости звеньев и передаточные числа зубчатых зацеплений.
задача [1020,9 K], добавлен 27.12.2010Исследование особенностей движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Установление функциональной зависимости радиуса траектории от свойств частицы и поля. Определение угловой скорости движения заряженной частицы по круговой траектории.
лабораторная работа [1,5 M], добавлен 26.10.2014Кинематика вращательного и динамика поступательного движения тела. Определение инерциальных систем отсчета как таких, которые находятся в покое или движутся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы. Описание законов Ньютона.
курс лекций [936,6 K], добавлен 14.12.2011Теоретическая механика (статика, кинематика, динамика). Изложение основных законов механического движения и взаимодействия материальных тел. Условия их равновесия, общие геометрические характеристики движения и законы движения тел под действием сил.
курс лекций [162,2 K], добавлен 06.12.2010Кинематика как раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Способы определения координат центра тяжести. Статические моменты площади сечения. Изменение моментов инерции при повороте осей координат.
презентация [2,0 M], добавлен 22.09.2014Построение траектории движения тела, отметив на ней положение точки М в начальный и заданный момент времени. Расчет радиуса кривизны траектории. Определение угловых скоростей всех колес механизма и линейных скоростей точек соприкосновения колес.
контрольная работа [177,7 K], добавлен 21.05.2015Изучение основных задач динамики твердого тела: свободное движение и вращение вокруг оси и неподвижной точки. Уравнение Эйлера и порядок вычисления момента количества движения. Кинематика и условия совпадения динамических и статических реакций движения.
лекция [1,2 M], добавлен 30.07.2013Нахождение тангенциального ускорения камня через секунду после начала движения. Закон сохранения механической энергии. Задача на нахождение силы торможения, натяжения нити. Уравнение второго закона Ньютона. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей.
контрольная работа [537,9 K], добавлен 29.11.2013Понятие и характерные свойства геометрического вектора. Правило сложения векторов по треугольнику. Сущность и методика исследования траектории движения. Скорость и ускорение движения, их оценка и относительность. Система координат и точки в ней.
реферат [141,3 K], добавлен 24.12.2010Характеристика движения объекта в пространстве. Анализ естественного, векторного и координатного способов задания движения точки. Закон движения точки по траектории. Годограф скорости. Определение уравнения движения и траектории точки колеса электровоза.
презентация [391,9 K], добавлен 08.12.2013Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.
шпаргалка [1,5 M], добавлен 02.12.2014Основные понятия и определения теоретической механики. Типы и реакции связей. Момент силы относительно точки, ее кинематика и виды движения в зависимости от ускорения. Динамика и колебательное движение материальной точки. Расчет мощности и силы трения.
курс лекций [549,3 K], добавлен 17.04.2013Изучение движения свободной частицы. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными внешними стенками. Гармонический осциллятор. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект. Качественный анализ решений уравнения Шредингера.
презентация [376,0 K], добавлен 07.03.2016Расчет емкости конденсатора, расстояния между его пластинами, разности потенциалов, энергии и начальной скорости заряженной частицы, заряда пластины. График зависимости тангенциального ускорения иона от времени полета между обкладками конденсатора.
контрольная работа [94,6 K], добавлен 09.11.2013Характеристика движения простейшего тела и способы его задания. Определение скорости и ускорение точки при векторном, координатном, естественном способе задания движения. Простейшие движения твердого тела, теоремы о схождении скоростей и ускорений.
курс лекций [5,1 M], добавлен 23.05.2010
