Анализ и применение уравнения Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема

Анализ и применение уравнения Бернулли



Содержание

1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход

2. Анализ уравнения Бернулли

3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

4. Предел применимости уравнения Бернулли

5. Примеры применения уравнения Бернулли

5.1 Расходомер Вентури

5.2 Измерение скорости (Трубка Пито)

5.3 Кавитация

5.4 Формула Торичелли



1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход

Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями.

Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости

где - площадь живого сечения 2, - средняя скорость в сечении 2.

Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости должен равняться объему вытекающему . гидравлика уравнение бернулли

Поэтому можно записать

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Из уравнения неразрывности следует, что .

Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.



2. Анализ уравнения Бернулли

Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности () в поле массовых сил

,

проинтегрировав имеем

.

Для потенциального течения константа уравнения Бернулли постоянна для всей области течения.

При вихревом движении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняет постоянное значение только для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при безвихревом течении.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения - давления, скорости и высоты положения жидкости.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2



.

Интеграл выражает работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 с давлением р₁ в область 2 с давлением р₂.

Значение интеграла изменяется зависимости от типа процесса (термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости . Рассмотрим изобарный процесс ( рис. 1 ) . При изохорном процессе .

Рис. 1

Для несжимаемой жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при из уравнения Бернулли

,

или умножив на



,

или разделив на g

,

где константы имеют следующий физический смысл:

С - полная механическая энергия килограмма жидкости или полный напор, , - полная механическая энергия массы жидкости объёмом в кубический метр или полный напор, или Па. - полная механическая энергия или полный напор в метрах столба данной жидкости.

Все три величины имеют одинаковый физический смысл любой из них присваивают название полного напора.

Составляющие полной механической энергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости, gz,gz, z - потенциальная энергия положения жидкости, отсчитываемая от произвольно выбранной горизонтальной нивелирной плоскости, или геометрический напор, , - потенциальная энергия давления жидкости или пьезометрический напор,, -потенциальная энергия жидкости или гидростатический напор,, - кинетическая энергия жидкости или скоростной напор, .

Пьезометрический напор р может измеряться от полного вакуума р=0 или, например, от давления окружающей среды. В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточное давление.

Начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.

Рис. 2



3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости

а) при потенциальном течении для любой точки пространства,

б) при вихревом - только вдоль вихревой линии тока и элементарной струйки.

Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот.

В приведенных условиях сумма трех высот - геометрической, пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение.

При этом составляющие полной энергии могут взаимопревращаться.

Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения каналаь .

Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в соплах двигателей. Запишем уравнение Бернулли при z=const

.

Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости - увеличением давления вплоть до при v=0. Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.

В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении - увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.



4. Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли

При течении жидкости по каналу при постоянстве , и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что

.

Однако по уравнению Бернулли при

,

Давление

должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.

Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.



5. Примеры применения уравнения Бернулли

Рассмотрим примеры применения уравнения Бернулли.

5.1 Расходомер Вентури

Для определения скорости и расхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическое давление p₁ и p₂ в поперечных сечениях с различными площадями.

Рис. 3

Интеграл Бернулли для сечений 1 и 2 принимает вид

,

.

Из уравнения равенства расходов для двух сечений 1 и 2 имеем

или .

Для вычисления показания дифференциального манометра запишем условие равновесия

.

Собирая все результаты, получаем

.

Формула используется для определения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводят эмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические потери в трубке Вентури.

5.2 Измерение скорости

Для измерения кинетической энергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точке измерения открытым концом против потока жидкости. Струйка жидкости, подтекающая к открытому концу трубки, полностью замораживается и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения в данной точке, и называется полным давлением

.

Таким образом измерение скорости жидкости или "несжимаемого" газа (M<a) основано на сопоставлении давления торможения с давлением в невозмущенном потоке. Последнее еще называется статистическим давлением. Приемником давления служит Г-образная трубка, или трубка Пито. Давление обычно измеряют с помощью U-образной трубки, куда залита жидкость манометрическая (спирт, вода, ртуть).

Приемное отверстие статического давления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы не случилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишком близко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.

5.3 Кавитация

На практике оказывается, что в жидкости давление, равное нулю, недостижимо. Если давление p₂, снижаясь, достигает давления паров этой жидкости, насыщающих пространство при данной температуре p₂=p_t>0, то начинается процесс образования пузырьков пара (кипение), и неразрывность течения капельной жидкости нарушится.

Рис. 4

Далее смесь капельной жидкости и пузырьков пара попадает в расширяющийся канал, давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.

Кавитацией называется совокупность процессов образования пузырьков пара и их конденсация.

Кавитация может возникать не только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в областях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин, гребные винты.

Конденсация пузырьков пара происходит на твердых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим ударом, при котором развивается местное ударное давление на твердых поверхностях, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому кавитация сопровождается тряской, шумом, снижением КПД насосов и турбин, эрозией твердых поверхностей, а иногда и выходом из строя агрегатов.

Обычно работа гидравлических систем в условиях кавитации не достигаются. Для предотвращения кавитации минимальное давление жидкости в системе должно быть больше давления паров, насыщающих пространство.

Одним из способов предотвращения кавитации является снижение температуры жидкости. Это приводит к снижению давления паров, насыщающих пространство.

Например, вода при 373К кипит при давлении, а при 193К -. При кавитации многокомпонентных жидкостей (керосин, бензин и т.д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем тяжелые. Конденсация происходит в обратном порядке.

Для оценки возможности возникновения кавитации используется безразмерный критерий - число кавитации



.

Значение, числа кавитации при котором она возникает, называется критическим .

Явление используется в кавитационных регуляторах расхода.

5.4 Формула Торричелли

Применим интеграл Бернулли для определения скорости истечения тяжелой несжимаемой жидкости из большого открытого сосуда через малое отверстие( рис. 5).

Р

Рис. 5.

Здесь S₁- площадь свободной поверхности, S₂ - площадь отверстия, v₁ и v₂ - скорости на поверхности и в отверстии.

Уравнение неразрывности принимает вид

Считая движение жидкости установившимся и безвихревым, применим интеграл Бернулли



.

Откуда

.

Из уравнения неразрывности

,

.

Если отношение мало, то пренебрегая членом, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торричелли.

.

Используя уравнение Бернулли можно объяснить принцип действия :

1) работы струйного насоса, в котором высоконапорный поток G₁ используется для подачи жидкости G₂ из резервуара ( рис. 6).



Рис. 6

2) принцип наддува топливного самолетного бака для предотвращения кавитации в топливной системе при полетах на большой высоте ( рис. 7 )

Рис. 7

3) причину повышения подъемной силы крыла при заданной картине линий тока ( рис. 8 )

Рис. 8

Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе их трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объект, из него можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.

Размещено на Allbest.ru

...