Уравнения Навье-Стокса
Тензорная запись уравнений Эйлера и тензор плотности потока импульса для вязких течений. Уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах. Граничные условия к уравнениям движения жидкости. Расчет функций давления и температуры для движения жидкости.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.03.2014 |
| Размер файла | 30,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ТЕМА: Уравнения Навье-Стокса
Содержание
1. Тензорная запись уравнений Эйлера. Тензор плотности потока импульса
2. Тензор плотности потока импульса для вязких течений
3. Уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах
4. Течение по трубе
1. Тензорная запись уравнений Эйлера. Тензор плотности потока импульса
Определим скорость изменения импульса единицы объема жидкости . Воспользуемся тензорными обозначениями
.
Из уравнения неразрывности имеем .
Воспользуемся уравнениями Эйлера, записанными в тензорной форме
.
Таким образом получаем
Член с давлением запишем в виде .
Уравнения количества движения принимают вид
,
где тензор определяется как
.
Выясним физический смысл тензора . Проинтегрируем уравнение количества движения по некоторому объему
.
Преобразуем интеграл в правой части в интеграл по поверхности
.
Слева стоит изменение в единицу времени i - той компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому интеграл по поверхности в правой части есть количество импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность.
Следовательно, есть i - тая компонента импульса, протекающая через элемент поверхности.
Тензор называют тензором плотности потока импульса.
2. Тензор плотности потока импульса для вязких течений
Плотность потока импульса, определяемая соотношением
,
представляет собой обратимый процесс переноса импульса, связанный с механическим передвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления.
Вязкость ( внутреннее трение ) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.
Поэтому уравнения движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к "идеальному" потоку импульса дополнительный член , определяемый необратимый, "вязкий" перенос импульса в жидкости.
Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде
.
Тензор
называют тензором напряжений, а - вязким тензором напряжений. определяет ту часть потока импульса, которая не связана с непосредственным переносом импульса вместе с массой передвигающейся жидкости.
Процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому должно зависеть от производных скорости по координатам. Если градиенты скорости по координатам не очень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости.
Зависимость от производных можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от члены должны отсутствовать в выражении для, поскольку должно обращаться в нуль при . должно обращаться в нуль также в том случае, когда вся жидкость как целое совершает равномерное вращение, поскольку при таком движении внутреннее трение не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью скорость равна векторному произведению . Линейными комбинациями производных , обращающимися в нуль при , являются суммы .
Поэтому должно содержать именно эти симметричные комбинации производных .
Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетворяющего этим требованиям, является
,
с не зависящими от скорости коэффициентами и . Величины и называются коэффициентами вязкости ( причем часто называют второй вязкостью ).
3. Уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах
Уравнения движения вязкой жидкости можно получить путем прибавления выражения к правой части уравнений Эйлера
.
Получаем,
.
Величины и являются в общем случае функциями давления и температуры. Поэтому они не постоянные в объеме и не могут быть вынесены из-под знака производной.
При постоянных значениях коэффициентов вязкости уравнения Навье-Стокса в векторной форме имеют вид
.
Уравнения были впервые сформулированы Навье в 1827 году, вывод уравнений близкий к современному, был дан Стоксом в 1845 году.
Если жидкость считать несжимаемой, то и последний член исчезает
.
Тензор напряжений в несжимаемой жидкости принимает более простой вид
.
Отношение называют кинематической вязкостью, - динамической вязкостью.
Граничные условия жидкость тензорный декартовый
Между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы межмолекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающие к твердой стенке слой жидкостью как бы прилипает к ней.
Граничные условия к уравнениям движения вязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях .
В общем случае движущейся поверхности скорость должна быть равна скорости этой поверхности.
4. Течение по трубе
Известно несколько точных решений для уравнений Навье-Стокса. Рассмотрим одно из них - для случая стационарного течения жидкости в трубе произвольного сечения ( одинакового вдоль всей длины трубы ).
Ось трубы выберем в качестве оси . Очевидно, что скорость жидкости направлена везде по оси и является функцией только от и .
Уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а проекции на оси и из системы уравнений Навье-Стокса дают
.
То есть давление постоянно вдоль сечения трубы. Уравнение в проекции на ось х дает
.
Откуда имеем, что , градиент давления можно записать в виде , где - разность давлений на концах трубы, а - ее длина.
Распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа .
Уравнение должно быть решено при граничном условии на контуре сечения трубы.
Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре трубы кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии .
Воспользуемся выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем
.
Интегрируя, находим
.
Постоянную a надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая ее центр.
Постоянную b определим из требования , при r = R ( где R - радиус трубы ) и получаем
.
Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону.
Определим расход жидкости в трубе - количество ( массу ) жидкости Q, протекающей в 1 секунду, через поперечное сечение трубы.
Через кольцевой элемент площади сечения трубы проходит в 1 секунду количество жидкости .
Поэтому
.
Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнение неразрывности потока жидкости. Дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. Силы, возникающие при движении реальной жидкости. Уравнение Навье - Стокса. Использование уравнения Бернулли для идеальных и реальных жидкостей.
презентация [220,4 K], добавлен 28.09.2013Конвективный теплообмен - распространение тепла в жидкости (газе) от поверхности твердого тела или к ней. Смысл закона Ньютона, дифференциального уравнения Фурье - Кирхгофа и критериального уравнения Навье – Стокса. Теплоотдача при конденсации паров.
реферат [208,1 K], добавлен 15.10.2011Уравнение теплового баланса. Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией, к элементарному объему. Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа. Применение ряда Тейлора. Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса.
презентация [197,5 K], добавлен 18.10.2013Силы и коэффициент внутреннего трения жидкости, использование формулы Ньютона. Описание динамики с помощью формулы Пуазейля. Уравнение Эйлера - одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.
курсовая работа [531,8 K], добавлен 24.12.2013Выведение уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости - уравнения Стокса. Рассмотрение основных режимов движения жидкости в горизонтальных трубах постоянного поперечного сечения - ламинарного и турбулентного. Определение понятия профиля скорости.
презентация [1,4 M], добавлен 14.10.2013Модели сплошной среды–идеальная и вязкая жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Силы, действующие в атмосфере. Уравнение движения свободной атмосферы. Геострофический ветер. Градиентный ветер. Циркуляция атмосферы. Образование волновых движений в атмосфере.
реферат [167,4 K], добавлен 28.12.2007Идеальная жидкость как жидкость без внутреннего трения. Безнапорное движение - движение жидкости в канале. Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Преобразование Лапласа для временных и преобразование Фурье для пространственных переменных.
курсовая работа [220,9 K], добавлен 09.11.2011Сущность метода Стокса по определению коэффициента вязкости. Определение сил, действующих на шарик при его движении в жидкости. Оценка зависимости коэффициента внутреннего трения жидкостей от температуры. Изучение ламинарных и турбулентных течений.
лабораторная работа [1001,4 K], добавлен 15.10.2010Теория движения жидкости. Закон сохранения вещества и постоянства. Уравнение Бернулли для потока идеальной и реальной жидкости. Применение уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики. Измерение скорости потока и расхода жидкости.
контрольная работа [169,0 K], добавлен 01.06.2015Экспериментальная проверка формулы Стокса и условий ее применимости. Измерение динамического коэффициента вязкости жидкости; число Рейнольдса. Определение сопротивления жидкости, текущей под действием внешних сил, и сопротивления движущемуся в ней телу.
лабораторная работа [339,1 K], добавлен 29.11.2014Анализ и особенности распределения поверхностных сил по поверхности жидкости. Общая характеристика уравнения Бернулли, его графическое изображение для потока реальной жидкости. Относительные уравнение гидростатики как частный случай уравнения Бернулли.
реферат [310,4 K], добавлен 18.05.2010Особенности вывода дифференциальных уравнений осесимметрических движений круглой цилиндрической оболочки. Построение частного волнового решения основной системы уравнений гидроупругости вещества. Метод решения уравнения количества движения для жидкости.
курсовая работа [125,7 K], добавлен 27.11.2012Создание модели движения жидкости по сложному трубопроводу с параллельным соединением труб и элементов. Уравнения механики жидкости и газа для подсчета потерь на трение. Определение числа Рейнольдса. Система уравнений Бернулли в дифференциальной форме.
контрольная работа [383,5 K], добавлен 28.10.2014Закон движения груза для сил тяжести и сопротивления. Определение скорости и ускорения, траектории точки по заданным уравнениям ее движения. Координатные проекции моментов сил и дифференциальные уравнения движения и реакции механизма шарового шарнира.
контрольная работа [257,2 K], добавлен 23.11.2009Математическая модель невозмущенного движения космических аппаратов. Уравнения, определяющие относительные движения тел-точек в барицентрической системе координат. Исследование системы уравнений с точки зрения теории невозмущенного кеплеровского движения.
презентация [191,8 K], добавлен 07.12.2015Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации газа. Основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона. Исследование прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте.
курсовая работа [550,5 K], добавлен 29.10.2014Постоянство потока массы, вязкость жидкости и закон трения. Изменение давления жидкости в зависимости от скорости. Сопротивление, испытываемое телом при движении в жидкой среде. Падение давления в вязкой жидкости. Эффект Магнуса: вращение тела.
реферат [37,9 K], добавлен 03.05.2011Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Локальный критерий Нуссельта. Влияние физических свойств жидкости на теплоотдачу. Плотности потоков теплоты и импульса при турбулентном режиме течения вдоль плоской стенки. Конвективный теплообмен шара.
лекция [3,1 M], добавлен 15.03.2014Изучение механики материальной точки, твердого тела и сплошных сред. Характеристика плотности, давления, вязкости и скорости движения элементов жидкости. Закон Архимеда. Определение скорости истечения жидкости из отверстия. Деформация твердого тела.
реферат [644,2 K], добавлен 21.03.2014Определение вязкости биологических жидкостей. Метод Стокса (метод падающего шарика). Капиллярные методы, основанные на применении формулы Пуазейля. Основные достоинства ротационных методов. Условия перехода ламинарного течения жидкости в турбулентное.
презентация [571,8 K], добавлен 06.04.2015
