Динамика вращательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

тема: «Динамика вращательного движения»

Москва 2013

Содержание

Введение

1. Момент инерции

2. Момент силы

3. Основное уравнение динамики вращательного движения

4. Кинетическая энергия вращения

5. Закон сохранения момента импульса

6. Аналогия между поступательным и вращательным движениями

7. Основные формулы динамики вращательного движения

Список использованной литературы и источников

Введение

Движения твердых тел описываются значительно более сложными законами, чем движения материальных точек. Так, например, Луна вращается вокруг своей оси, движется вокруг Земли, вместе с Землей вращается вокруг Солнца, вместе с Солнцем вращается вокруг центра Галактики,… Движение гироскопов, когда они имеют возможность поворота осей вращения под действием внешних сил и моментов сил, описывается очень сложной системой дифференциальных уравнений.

В этой главе мы рассмотрим простейший вариант вращательного движения, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Такое вращательное движение имеет много общего с поступательным движением твердого тела. Между поступательным и вращательным движениями существует большая аналогия как в кинематике, так и в динамике. Большинство параметров, описывающих поступательное движение, имеют аналоги во вращательном движении. Так, в кинематике вращательного движения угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение играют ту же роль, что и пройденный путь, линейная скорость и линейное ускорение при поступательном движении. В динамике вращательного движения роль массы играет момент инерции, а роль силы - момент силы.

1. Момент инерции

Рассмотрим материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r от некоторой оси.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется физическая величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до оси.

.

Понятие момента инерции можно обобщить на систему материальных точек. Рассмотрим совокупность материальных точек с массами т₁, т₂, …, т_п, отстоящих на расстояниях r₁, r₂, …, r_n от некоторой оси z.

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси z называется величина, определяемая выражением

.

При описании динамики вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса при описании поступательного движения. Предыдущее выражение можно использовать для определения моментов инерции твердых тел. Для этого твердое тело разбивают на сумму материальных точек и записывают выражение

.

Выражая массу через плотность

,

Получим

.

Не занимаясь вычислением интегралов, запишем моменты инерции простейших твердых тел относительно некоторых осей.

1. Прямой тонкий стержень длины l и массы m (ось проходит перпендикулярно стержню):

относительно оси, проходящей через середину стержня:

Размещено на http://www.allbest.ru/

;

относительно оси, проходящей через конец стержня:

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

2. Полый цилиндр массы т с внутренним радиусом и внешним :

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

3. Сплошной цилиндр массы т и радиуса :

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

4. Тонкостенный обруч массы т и радиуса :

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

5. Шар массы т и радиуса R:

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Рассмотрим произвольное тело, в котором одна из осей проведена через центр масс, а вторая ось проходит параллельно первой на расстоянии а от нее. Момент инерции такого тела можно найти с помощью теоремы Штейнера.

Теорема Штейнера: Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями

.

Пример 1. Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец, зная что момент инерции стержня относительно параллельной оси, проходящей через центр определяется формулой

.

Решение:

.

Полученная формула совпадает с формулой, приведенной ранее.

2. Момент силы

Рассмотрим силу, приложенную в точке М на расстоянии r от некоторой точки О и действующей так, как показано на рисунке, т.е. сила направлена перпендикулярно вектору F.

Плечом силы F относительно точки О называется кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы .

Моментом силы относительно точки О называется произведение силы на плечо:

.

В более общем случае, когда сила направлена произвольно, проводят линию действия силы и рассматривают кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы

Плечом силы F относительно точки О называется кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. На рисунке - плечо, - момент силы.

Используя аппарат векторной алгебры, можно дать более строгое определение момента силы.

Моментом силы F относительно точки r называется вектор M, который удовлетворяет следующим условиям:

длина вектора M определяется выражением

;

вектор M перпендикулярен к каждому из векторов F и r:

;

векторы r, F и M образуют правую тройку.

Вектор М называют векторным произведением векторов r и F и обозначают символом

.

Аналогично можно ввести другие векторные величины.

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки О называется векторная величина

.

Абсолютная величина момента импульса определяется формулой

.

Продифференцируем момент импульса по времени

.

Полученное уравнение

является аналогом соответствующего уравнения, описывающего динамику поступательного движения

.

В дальнейшем мы отметим более глубокую аналогию между поступательным и вращательным движением.

3. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим вращение материальной точки массы т вокруг оси z под действием силы F.

При этом ось z направлена на нас.

Момент импульса точки относительно оси z

.

Продифференцируем обе части этого уравнения по t:

.

Это основное уравнение динамики вращательного движения. Оно является аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения

.

Вместо материальной точки можно рассматривать твердое тело, обладающее моментом инерции J и вращающееся вокруг оси z с угловым ускорением е под действием момента сил М. Движение этого тела также будет описываться уравнением

Или

.

Рассмотрим работу, совершаемую при вращательном движении:

.

Формула является аналогом соответствующей формулы . В более общем случае можно рассматривать векторные величины и записать для работы выражение

.

При повороте тела на конечный угол необходимо проинтегрировать выражение для работы по соответствующему углу

.

4. Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки определяется формулой инерция динамика кинетический энергия

.

Найдем аналогичное выражение для кинетической энергии вращательного движения. Для материальной точки, движущейся по окружности, учитывая формулу , получим

,

где - момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

Итак, кинетическая энергия материальной точки, вращающейся вокруг некоторой оси, определяется формулой

.

Для твердого тела, совершающего вращательное движение, можем записать аналогичную формулу

,

где J - момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное.



.

Если разделить обе части этого выражения на и ввести обозначения

,

то получим разложение скорости материальной точки тела на поступательную и вращательную компоненты

.

Полученная формула называется формулой Эйлера и широко используется при изучении динамики твердого тела. С этой формулой мы встретимся в курсе механики сплошных сред.

Если тело совершает вращательное и поступательное движения, то его полная кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы энергий поступательного и вращательного движений



где - скорость центра масс, - момент инерции, относительно оси, проходящей через центр масс тела.

5. Закон сохранения момента импульса

Аналогично закону сохранения импульса при поступательном движении в механике вращательного движения можно доказать закон сохранения момента импульса. Для этого рассмотрим замкнутую систему, для которой момент внешних сил равен нулю:

.

Тогда из основного уравнения вращательного движения

следует

.

Закон сохранения момента импульса: Момент импульса замкнутой системы сохраняется. В рамках курса теоретической физики можно показать, что закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства, т.е. с инвариантностью основных физических законов относительно выбора направлений осей координат системы отсчета.

Закон сохранения момента импульса часто используется при решении различных задач.

Пример 1. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в вытянутых руках гантели массой т. Расстояния от каждой гантели до оси вращения - l. Определить скорость вращения скамьи Жуковского, если человек согнет руки и расстояние от каждой гантели до оси вращения станет равным l/2. Начальная скорость вращения , момент инерции человека и скамьи относительно оси . Найти также работу, совершаемую человеком.

Решение. Сделаем рисунок

Из закона сохранения момента импульса следует:

.

Моменты инерции человека с гантелями и скамьи Жуковского до и после изгиба рук

.

Найдем угловую скорость вращения после изгиба рук:

.

Работа, совершенная человеком, равна разности энергий вращения

.

6. Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Законы поступательного и вращательного движений имеют много общего, большинство формул кинематики и динамики отличаются только обозначениями. Составим таблицу основных обозначений и формул поступательного и вращательного движений.

№	Поступательное движение	Вращательное движение
1	- координата (вектор), - пройденный путь	- угол поворота (вектор), - угол поворота
2	- линейная скорость	- угловая скорость
3	- линейное ускорение	- угловое ускорение
4	- масса	- момент инерции
5	- сила	- момент силы
6	- импульс	- момент импульса
7	, - уравнения поступательного движения	- уравнения вращательного движения
8	- работа при поступательном движении	- работа при вращательном движении
9	- кинетическая энергия поступательного движения	- кинетическая энергия вращательного движения

Аналогичные формулы можно записать при анализе равноускоренного поступательного и вращательного движений.

Аналогии такого рода встречаются в естествознании довольно часто. Причина такой аналогии заключается в том, что математические соотношения, описывающие, казалось бы, различные процессы, оказываются одинаковыми с точностью до обозначений. Фактически, это подобные процессы, которые происходят с различными физическими объектами.

При изучении процессов колебаний мы увидим, что колебания маятника, пружины, излучение радиоволн, распространение звука и многие другие колебательные процессы имеют общую природу и описываются одинаковыми математическими уравнениями.

7. Основные формулы динамики вращательного движения

1. Момент инерции материальной точки

.

2. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину

.

3. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец

.

4. Момент инерции полого цилиндра

.

5. Момент инерции сплошного цилиндра

.

6. Момент инерции тонкостенного цилиндра

.

7. Момент инерции шара

8. Теорема Штейнера

9. .

10. Момент силы

M=[rF].

11. Момент импульса

L=[rp].

12. Основное уравнение динамики вращательного движения

.

13. Работа при вращательном движении

.

14. Кинетическая энергия вращательного движения

.

Список использованной литературы и источников

1. Трофимова Т.И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с

3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

4. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.

Размещено на Allbest.ru

...