Умови стійкості руху нелінійних систем з неточними параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія Наук України

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

Умови стiйкостi руху нелiнiйних систем з неточними значеннями параметрiв

Спеціальність 01.02.01 - теоретична механіка

Мартинюк-Чернієнко Юлія Анатоліївна

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Ларін Володимир Борисович, завідувач відділу динаміки складних систем Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України (м.Київ).

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Хусаінов Денис Ях'євич, професор кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м.Київ);

кандидат фізико-математичних наук Гончаренко Володимир Іванович, провідний інженер АНТК ім.О.Антонова (м.Київ).

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м.Донецьк).

Захист відбудеться " 11 " вересня 2001р. о 1230 години на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ, вул.Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м.Київ, вул.Нестерова, 3.

Автореферат розісланий "7" серпня 2001р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

АНОТАЦІЯ

нелінійний механічний стійкість рух

Мартинюк-Чернієнко Ю.А. Умови стійкості руху нелінійних систем з неточними параметрами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2001.

Дисертація присвячена якісному аналізу руху нелінійних механічних систем зі скінченним числом ступенів вільності та з неточно заданими параметрами. В ній узагальнено прямий метод Ляпунова дослідження стійкості руху відносно рухомого інваріантного многовиду. Вперше запропоновано та обґрунтовано застосування канонічної матричної функції Ляпунова при дослідженні динаміки квазілінійної системи з неточними значеннями параметрів у функціях взаємозв'язку. Встановлено нові ознаки стійкості руху велико-маштабних систем відносно рухомих інваріантних множин. Вперше встановлено умови збіжності рухів твердого тіла в середовищі з неточно заданим опором до рухомої еліпсоїдної поверхні.

Ключові слова: система з неточними параметрами; рухома інваріантна множина; стійкість руху; матрично-значна функція Ляпунова; велико-маштабна система.

АННОТАЦИЯ

Мартынюк-Черниенко Ю.А. Условия устойчивости движения нелинейных систем с неточными параметрами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена развитию прямого метода Ляпунова в нелинейной динамике систем с неточными значениями параметров. А именно, в ней исследовано поведение решений механических систем с конечным числом степеней свободы и с неточно заданными параметрами относительно подвижного множества A(r), которое предполагается непустым при любых неточностях. Обобщен прямой метод Ляпунова, который основан в диссертации на применении матрично-значной функции, при исследовании устойчивости движения систем с неточно заданными параметрами относительно подвижного инвариантного множества. При этом установлены достаточные условия устойчивости, равномерной асимптотической устойчивости, экспоненциальной устойчивости и неустойчивости движений системы относительно подвижного множества A(r) и установлены условия его инвариантности.

Для всех приведенных теорем сформулированы следствия, которые основаны на скалярной функции Ляпунова. Применение полученных следствий иллюстрируется примерами систем второго порядка.

Предложенное обобщение прямого метода Ляпунова применяется в диссертации при исследовании динамики:

(а) квазилинейной автономной системы с неточными значениями нелинейностей;

(б) крупно-масштабной системы с неточно заданными связями подсистем;

(в) обобщенной колебательной системы Г.В.Каменкова;

(г) гамильтоновой системы с неточными значениями параметров;

(д) твердого тела в среде с неточным значением сопротивления.

Конструктивность предложенных условий основана на канонической матрично-значной и векторной функциях Ляпунова. При этом развита техника оценок для систем приводимых к диагональному виду либо жордановой форме. Условия устойчивости движения относительно подвижных инвариантных множеств сформулированы в терминах ограничений на знакоопределенность специальных матриц, которые выполняют роль мажорантных (минорантных) оценок вспомогательных функций и их производных в соответствующих областях

фазового пространства. Исследовано влияние неавтономности в неточных функциях связи подсистем при анализе устойчивости движения крупно-масштабных систем.

Все основные утверждения диссертации снабжены полными доказательствами и иллюстративными примерами.

Ключевые слова: система с неточными параметрами; подвижное инвариантное множество; устойчивость движения; матрично-значная функция Ляпунова; крупно-масштабная система.

SUMMARY

Martynyuk-Chernienko Ju.A. Motion stability conditions for nonlinear systems with uncertain parameters. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2001.

The thesis deals with qualitative analysis of motion of nonlinear mechanical systems with finite number of degrees of freedom and uncertain parameters. Generalized is the direct Lyapunov method of investigation of motion stability with respect to a moving invariant manifold. For the first time it is proposed and well-founded to apply the canonical matrix Lyapunov function in the study of dynamic of quasilinear system with uncertain parameter values in the interconnection functions. New motion stability conditions are established for the large scale systems with respect to the moving invariant sets. The motions convergence conditions are found out for the first time for a solid in the medium with uncertainly given resistance to a moving ellipsoidal surface.

Keywords: uncertain systems; moving invariant set; stability of motion; matrix-valued Lyapunov function; large-scale system.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Один з напрямків сучасної нелінійної динаміки систем об'єднує коло проблем, що пов'язані з аналізом та синтезом механічних систем, параметри яких задані неточно. Динамічні властивості систем повинні забезпечувати можливість багаторежимності функціонування системи та досить високий рівень її стійкості. В найбільш загальному випадку мова може йти про стійкість руху механічної системи в умовах невизначеності. Фактично, моделі такого роду систем, відображають реальну ситуацію, при якій про параметри відомо лише те, що вони набувають значення з деяких допустимих діапазонів їх зміни з апріорі відомими межами.

В залежності від способу формалізації неточності в досліджуваній системі методи їх аналізу можна розділити на кілька умовних груп. Зокрема, для інтервальних систем головним є напрям, що пов'язаний з теоремою В.Л.Харитонова та її узагальненнями.

При наявності керувань важливу роль в теорії неточних систем відіграє метод -керування.

В останні роки розглядаються нові постановки задач теорії стійкості для систем з неточними значеннями параметрів.

Таким чином, актуальність теми даної дисертації зумовлена з одного боку відсутністю досліджень стійкості руху механічних систем, відносно рухомих інваріантних множин, а з іншого - потребою адекватного розвитку прямого методу Ляпунова для систем, що описуються рівняннями з неточними значеннями параметрів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились згідно з темою “Встановлення умов біфуркації, стійкості та хаосу в нелінійних динамічних системах з симетрією та неточними значеннями параметрів” плану наукових досліджень Інституту

механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України (тема № ДР 0197U001308).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є постановка нових задач стійкості для систем з неточними значеннями параметрів та побудова достатніх ознак стійкості руху нелінійних систем з неточними значеннями параметрів відносно рухомої інваріантної множини. Розробка способу побудови канонічних функцій Ляпунова та їх застосування для дослідження стійкості руху квазілінійної та велико-маштабної систем, які містять параметри “неточності” у функціях зв'язків підсистем. Аналіз узагальненої коливної системи Г.В.Каменкова та дослідження руху твердого тіла у середовищі з невідомим опором.

Наукова новизна одержаних результатів полягає:

в узагальненні прямого методу Ляпунова при дослідженні стійкості руху систем з неточно заданими параметрами відносно рухомої інваріантної множини. При цьому встановлено достатні ознаки стійкості, рівномірної асимптотичної стійкості, експоненціальної стійкості та нестійкості руху систем розглядуваного типу;

в формулюванні наслідків основних теорем узагальненого прямого методу Ляпунова на основі скалярної допоміжної функції для систем з неточно заданими параметрами та розгляді відповідних систем другого порядку;

в розробці нового способу побудови канонічної векторної та матричної функцій Ляпунова, які застосовуються при встановленні умов стійкості руху відносно рухомих множин;

в побудові достатніх умов рівномірної асимптотичної стійкості руху квазілінійної та велико-маштабної систем з неточними значеннями параметрів у функціях зв'язку підсистем;

в дослідженні умов притягання розв'язків рівнянь руху твердого тіла в середовищі з неточно заданим опором до рухомої еліпсоїдної поверхні.

Обгрунтованість і достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів забезпечується коректною постановкою нових задач стійкості руху для систем з неточними значеннями параметрів та повними доведеннями всіх основних тверджень узагальненого прямого методу Ляпунова, який викладено у роботі.

Практичне значення одержаних результатів. Викладені у дисертації результати є новими і такими, що роблять внесок в теорію стійкості руху систем з неточними значеннями параметрів. Запропоновані способи побудови канонічних функцій Ляпунова та достатні ознаки стійкості доступні для використання при дослідженні конкретних механічних, електромеханічних та іншої природи систем.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати роботи одержані особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу динаміки складних систем Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України; на семінарі секції “Теорія коливань та стійкість руху” Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України; на міжнародній конференції “Modelling and Investigation of Systems Stability” (травень 1997р., Київ); на міжнародній математичній конференції “Еругинские чтения - V'' (травень 1998р., Могилів); на четвертій кримській міжнародній математичній школі “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (вересень 1998р., Алушта); на міжнародній математичній конференції “Еругинские чтения - VI'' (травень 1999р., Гомель); на міжнародній конференції “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” (травень 1999р., Київ).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у 6 статях у фахових наукових журналах та 5 тезах наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 122 сторінки, список використаних джерел із 111 найменувань на 13 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, розкрито її наукову новизну та відзначено практичне значення. Крім того наведено короткий зміст розділів дисертації та стисло сформульовано основні результати дослідження.

У першому розділі наведено огляд досліджень виконаних в останні роки і присвячених динаміці систем з неточними значеннями параметрів. Відзначено, що специфічні особливості такого роду систем зумовили необхідність розвитку адекватних способів їх аналізу. При цьому класичні результати О.М.Ляпунова, К.П.Персидського, М.Г.Четаєва, Є.О.Барбашина, В.І.Зубова, М.М.Красовського, Ю.О.Митропольського та інших вчених, стали основою розробки нових підходів при дослідженні динаміки такого роду систем. Важливу роль при розробці якісної теорії систем з неточними значеннями параметрів відіграли роботи Ю.М.Гусева, В.Н.Ефанова, А.П.Жабко, В.Г.Кримського, В.Ю.Рутковського, Є.Я.Смірнова, В.Л.Харитонова, Н.А.Хлебаліна, B.R.Barmish, G.Leitmann, Y.-H.Chen, M.Corless, V.I.Ivanenko та інших. Зазначено, що разом з ідеями методу функцій Ляпунова інтервальні системи (неперервні та дискретні) досліджувалися в роботах Д.Я.Хусаїнова, А.В.Шатирко, Р.Мустафаєвої, J.Heinen, D.Xu, C.-L.Giang та інших. Вказано також на розробку напрямку пов'язаного з дослідженням динаміки систем при наявності керувань. При цьому важливим є метод -керування який розроблявся наступними авторами: В.Б.Ларін, Ф.А.Алієв, Н.І.Велієва, Б.А.Бордюг, I.R.Petersen, B.D.O.Anderson, C.V.Hollot, C.Kenney, A.J.Laub, A.E.Jonckheere, J.D.Gardiner та інші.

Перший розділ закінчено коротким резюме стосовно необхідності проведення досліджень динаміки систем з неточними значеннями параметрів.

У другому розділі дисертації викладено узагальнення прямого методу Ляпунова для аналізу систем, параметри яких задані неточно.

Зокрема, у параграфі 2.1 розглядається механічна система, рух якої описується диференціальними рівняннями

(2.1)

де та

Параметр є параметром “неточності” системи (2.1), S - компактна множина.

Для заданої функції const) при та при сформульована задача про стійкість розв'язків системи (2.1) відносно рухомої множини

(2.2)

При цьому припускається, що при будь-яких множина непорожня.

Зауважимо, що у випадку коли неточна система (2.1) не має лінійного наближення, функція може спадати до нуля при умові .

Множина називається рухомою інваріантною множиною системи (2.1), якщо для кожного та для всіх непродовжуваних розв'язків системи (2.1), що визначені на деякому інтервалі та таких що при всіх виконується включення при кожному

Для системи (2.1) у дисертації використовується таке означення.

Рухома множина A(r) стійка відносно тоді і тільки тоді, коли для заданих , та існує таке, що при початкових умовах

розв'язок системи (2.1) задовольняє оцінку

при всіх та при всіх

Вираз “відносно ” в означенні опускається тоді коли

У параграфі 2.2 розглядаються допоміжні матрично-значні функції на рухомих множинах та обговорюються їх властивості.

Для системи (2.1) застосовується двоіндексна система функцій

(2.3)

елементи якої i, j = 1,2,…,s.

За допомогою вектора побудована псевдоквадратична форма

(2.4)

для якої права верхня похідна Діні функції (2.4) вздовж розв'язків системи (2.1)

(2.5)

Де

обчислюється поелементно.

У параграфі 2.3 встановлено ознаки стійкості та рівномірної асимптотичної стійкості розв'язків системи (2.1) відносно множини (2.2). Ці ознаки одержані на основі застосування функції (2.3) та її похідної (2.5) при належному розвитку ідей прямого методу Ляпунова. А саме, умови на допоміжну функцію (2.4) та її похідну (2.5) накладаються в областях int A(r) та ext A(r), відповідно.

Зауважимо, що фактична перевірка умов теореми про стійкість здійснюється в залежності від способу формалізації “неточностей” у системі (2.1).

Ознаки рівномірної асимптотичної стійкості руху відносно множини (2.2) одержано при деякій зміні умов теореми про стійкість. Застосування одержаних ознак здійснюється на прикладах систем першого та другого порядку з неточними значеннями параметрів.

У випадку використання скалярної функції Ляпунова ознака рівномірної асимптотичної стійкості руху спрощується.

У параграфі 2.4 встановлені ознаки експоненціальної стійкості руху системи (2.1) відносно рухомої множини (2.2) .

В параграфі 2.5 встановлені умови нестійкості руху системи (2.1) відносно рухомої множини (2.2). Ці умови, як і умови стійкості та рівномірної асимптотичної стійкості руху системи (2.1) зводяться до перевірки знаковизначенності спеціальних матриць в упорядкованих конусах.

Всі результати викладені в параграфах 2.3 ? 2.5 проілюстровані на модельних прикладах рівнянь руху.

У третьому розділі дисертації досліджуються задачі стійкості руху квазілінійної неточної системи, що складається з двох підсистем та велико-маштабної системи з неточними функціями зв'язку.

У параграфі 3.1 досліджуються моделі механічних систем, які описуються квазілінійними системами з заданим лінійним наближенням та неточними значеннями нелінійностей

 (3.1)

де ? параметр, що характеризує неточність нелінійностей Q та G; P та H - постійні матриці відповідних розмірів.

За допомогою лінійного неособливого перетворення z = Tx та w = Ry (det T ? 0, det R ? 0) лінійна частина системи (3.1) зведена до діагонального вигляду

(3.2)

де

Для компонент та векторів x та y розглядаються змінні

(3.3)

Систему рівнянь (3.2) перетворимо до наступної

(3.4)

Для системи (3.4) рухома множина к) визначається за формулою

(3.5)

Тут припускається, що та крім того const) при та при

Дослідження системи (3.4) засновано на матрично-значній функції

(3.6)

елементи i, j = 1,2 якої визначаються за допомогою змінних r та системи (3.4) у вигля

де деякі додатні сталі, - довільна стала.

На основі допоміжної функції V

(3.8)

та нерівностей встановлено достатні ознаки рівномірної асимптотичної стійкості розв'язків системи (3.1) відносно рухомої інваріантної множини .

Далі у параграфі 3.2 встановлено умови рівномірної асимптотичної стійкості рухів велико-маштабної системи

(3.9)

з неточними значеннями параметрів у функціях зв'язку підсистем. Тут

Отримані умови пов'язані з існуванням допоміжних функцій для підсистем

що мають спеціальні властивості, та якісних властивостей функцій зв'язку i = 1,2,…,s, заданих неточно.

У параграфі 3.3 продовжено аналіз стійкості розв'язків квазілінійної системи (3.1) на основі канонічної векторної функції Ляпунова.

За допомогою лінійних неособливих перетворень лінійна частина системи

У параграфі 3.4 розглядається задача про стабілізацію обертальних рухів твердого тіла в середовищі з неповною інформацією про сили опору. Припускається, що тверде тіло керується трьома обмеженими силами при трьох невідомих компонентах (але з відомими межами зміни) сил опору.

Обертальний рух твердого тіла описується динамічними рівняннями Ейлера в наступному вигляді

де головні моменти інерції тіла відносно його центру мас. Якщо то обертання тіла відсутнє.

Припускається, що при всіх функції, що описують невідомий опір середовища, підпорядковані умові

(3.13)

Пошук керувань здійснюється в класі обмежених функцій для яких виконуються нерівності

За допомогою канонічної функції Ляпунова

показано, що керування

стабілізують рух системи відносно рухомої поверхні еліпсоїда

У висновках коротко сформульовано основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розроблено якісний метод аналізу динамічних властивостей систем з неточними значеннями параметрів. Основні результати роботи формулюються так:

1. Для систем зі скінченним числом ступенів вільності та неточними значеннями параметрів розроблено узагальнення прямого методу Ляпунова дослідження стійкості (нестійкості) руху відносно рухомої інваріантної множини. При цьому вказано спосіб використання як матрично-значних так і векторних функцій Ляпунова, вказано умови їх знаковизначенності.

2. Вперше обгрунтовано застосування канонічної матричної функції Ляпунова при дослідженні стійкості розв'язків квазілінійної системи з неточними значеннями параметрів нелінійності. У випадку зведення лінійної частини системи до жорданової форми обгрунтовано застосування канонічної векторної функції Ляпунова.

3. Встановлено умови стійкості розв'язків одного класу велико-маштабних систем з неточними значеннями параметрів на основі векторної функції Ляпунова.

4. Проведено дослідження узагальненої коливної системи Г.В.Каменкова та встановлено оцінки часу переходу зображаючої точки фазового простору з заданого околу граничної поверхні на рухому поверхню.

5. Встановлено умови “накачки” енергії для гамільтонової неконсервативної системи та умови її розсіювання.

6. Вперше встановлено умови стабілізації руху твердого тіла в середовищі з неточно заданим опором відносно інваріантної еліпсоїдної поверхні.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мартынюк-Черниенко Ю.А. К теории устойчивости движения неточных систем // Доповiдi НАН України. - 1998. - №1. - C. 28-31.

2. Мартынюк-Черниенко Ю.А. О равномерной асимптотической устойчивости решений неточной системы относительно инвариантного множества // Доклады АН России. - 1999. - Т. 364, №2. - C. 163-166.

3. Мартынюк-Черниенко Ю.А. Об устойчивости решений квазилинейной неточной системы // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, №4. - C. 458-465.

4. Мартынюк-Черниенко Ю.А. Об устойчивости движения систем с неточным значением параметров // Прикладная механика. - 1999. - Т. 35, №2. - С. 101-104.

5. Мартынюк-Черниенко Ю.А. О неустойчивости решений неточной системы относительно заданного подвижного множества // Доповiдi НАН України. - 2000. - №3. - C. 23-29.

6. Мартынюк-Черниенко Ю.А. О применении канонической функции Ляпунова в теории устойчивости неточных систем // Прикладная механика. - 2000. - Т. 36, №8. - С. 136-142.

7. Мартынюк-Черниенко Ю.А. К теории устойчивости неточных систем // Тезисы докладов международной конференции “Modelling and Investigation of Systems Stability”. - Киев: Киевский национальный ун-т им. Тараса Шевченко. - 1997. - С.69.

8. Мартынюк Ю.А. Об устойчивости подвижного инвариантного множества неточной системы // Тезисы докладов международной математической конференции “Еругинские Чтения - V”. - Могилев: Могилевский гос. ун-т им.А.А.Кулешова. - 1998. - Т. I - С. 30-131.

9. Мартынюк Ю.А. Асимптотическая сходимость движений неточной крупномасштабной системы // Тезисы докладов четвертой Крымской международной математической школы “Метод функций Ляпунова и его приложения”. - Симферополь: Симферопольский гос. ун-т. - 1998. - С.46.

10. Мартынюк-Черниенко Ю.А. Анализ устойчивости решений неточной системы методом векторной функции Ляпунова // Тезисы докладов международной математической конференции “Еругинские Чтения - VI”. - Гомель: Гомельский гос. ун-т им.Ф.Скорины. - 1999. - Т. I. - C. 107-108.

11. Мартынюк-Черниенко Ю.А. Условия экспоненциальной устойчивости решений неточной системы относительно подвижного инвариантного множества // Тезисы докладов международной конференции “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation”. - Киев: Киевский национальный ун-т им. Тараса Шевченко. - 1999. - C.40.

Размещено на Allbest.ru

...