Метод функций Грина в электродинамике движущихся сред

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Первые наблюдения, от которых берет свое начало электродинамика движущихся сред, появились в первой половине XVIII века, задолго до того, как была создана Максвелловская электродинамика. В 1675 г. датский астроном О. Рёмер при наблюдении спутников Юпитера обнаружил, что время между двумя последующими их затмениями возрастает при удалении Юпитера от Земли и уменьшается, если Юпитер приближается к Земле. Из этого факта Рёмер сделал вывод о конечности скорости распространения света, а по данным наблюдений сумел определить величину этой скорости, 214 000 км/сек, довольно близкую к принятому ныне ее значению. В 1842 г. профессор Пражского университета X. Доплер теоретически рассмотрел вопрос о том, какое влияние оказывает движение источника или наблюдателя на воспринимаемую частоту света. Предсказанный Доплером эффект был в последующие годы подтвержден в целом ряде экспериментальных исследований.

В первой половине XIX века предпринимаются первые попытки экспериментально изучить, каким образом движение среды влияет на распространение света в этой среде. Но детально изучить эффекты, связанные с распространением света в движущейся среде было крайне сложно из-за отсутствия теоретической и экспериментальной базы. Современные уравнения электромагнитного поля были сформулированы Дж. Максвеллом во второй половине XIX века, а с появлением в 1905 г. Специальной теории относительности было положено начало в доскональном изучении релятивистских эффектов проявляющихся при распространении электромагнитных волн в движущихся материальных средах. Более интенсивно электродинамика движущихся сред развивается с середины 50-х годов XX-го столетия, это связано со значительным расширением экспериментальных возможностей.

При теоретическом описании электромагнитного поля в движущейся среде при наличии источников поля весьма важным и удобным является метод Функций Грина, который позволяет получать выражения для основных характеристик электромагнитного поля при наличии источников и как следствие, теоретически описывать воздействие источников (зарядов, токов) на поведение поля в движущихся средах.

Таким образом, изучение метода функций Грина (в электродинамике движущихся сред в частности) является крайне важным, как в педагогическом, так и научно-исследовательском смысле, в виду того, что с задачами исследовательского характера приходится сталкиваться на всех стадиях обучения будущего специалиста-педагога или научного сотрудника.

1. Материальные уравнения и уравнения Максвелла в электродинамике движущихся сред

Электромагнитное поле в движущихся средах формально описывается теми же уравнениями Максвелла, что и в покоящейся среде:

(1.1)

В (1.1) и - напряжённости электрического и магнитного полей, и - векторы индукции электрического и магнитного полей соответственно, и - плотность сторонних зарядов и токов в этой среде.

Система уравнений (1.1) должна быть дополнена системой материальных уравнений, при формулировке которых и учитывается движение среды. Материальные уравнения для движущейся изотропной среды были предложены Минковским и носят его имя. Если скорость переноса среды , то уравнения Минковского имеют вид:

(1.2)

В соотношениях (1.2) и - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Уравнения (1.2) были получены Минковским из известных соотношений между индукцией и напряжённостью поля в покоящейся изотропной среде путём преобразований Лоренца.

Для решения задач о нахождении поля в движущейся изотропной среде удобнее использовать уравнения Максвелла не в форме (1.1) , а четырёхмерной форме. Для этого Минковским было предложено два тензора электромагнитного поля:

(1.3)

(1.4)

Компонентами тензора являются составляющие напряжённости электрического поля и магнитной индукции, а компонентами тензора - составляющие напряжённости магнитного поля и электрической индукции.

С помощью введённых тензоров первые два уравнения системы (1.1) можно представить в виде:

(1.5)

где - четырёхмерный вектор тока, а четырёхмерные координаты выберем в виде:

(1.6)

Вторая пара уравнений Максвелла также записывается в виде одного тензорного уравнения:

(1.7)

Материальные уравнения (1.2) в тензорной форме имеют вид:

(1.8)

где - четырёхмерный вектор скорости перемещения среды, компоненты которого:

(1.9)

здесь введено обозначение .

В ряде случаев более удобной оказывается формулировка материальных уравнений, предложенная Таммом. В этой формулировке свойства движущейся среды описываются одним четырёхмерным тензором:

(1.10)

Соотношение (1.10) можно записать в иной эквивалентной форме:

где является четырёхмерным тензором поляризуемости среды. Явный вид этого тензора может быть получен из (1.10), если известно выражение для .

2. Введение потенциалов в электродинамике движущихся сред.

Использование материальных уравнений в форме (1.10) позволяет перейти от полей к потенциалам также просто, как это делается в случае покоящейся среды. Как и в случае покоящейся среды, введём четырёхмерный потенциал (далее 4-потенциал) , через который компоненты тензора выражаются в следующем виде:

(2.1)

Или в трехмерной записи:

Далее, используя выражение (1.10) и подставляя его в (1.5) с помощью (2.1) получим уравнение, которому должны удовлетворять компоненты 4-потенциала. При этом используем релятивистки инвариантное выражение для тензора , данное Рязановым:

(2.2)

где - единичный тензор и .

Тогда, используя соотношения (1.5), (1.10), (2.1) и (2.2) для 4-потенциала получим:

(2.3)

при выводе уравнения (2.3) было использовано тождество:

Как и в случае неподвижных сред, введённый нами потенциал определён неоднозначно, поэтому уравнение (2.3) может быть упрощено, если наложить на 4-потенциал дополнительное условие, положим:

(2.4)

которое является обобщением условия Лоренца на случай покоящейся среды . При такой калибровке потенциала, система уравнений (2.3) примет следующий вид:

(2.5)

Решая уравнения (2.5) и учитывая условия (2.4) можно однозначно определить характеристики электромагнитного поля в движущейся изотропной среде.

3. Граничные условия в электродинамике движущихся материальных сред

Граничные условия к уравнениям Максвелла, в электродинамике движущихся сред, также претерпевают некоторые изменения. При отсутствии источников, из уравнений:

по-прежнему следуют условия непрерывности нормальных компонент индукции:

(3.1)

Условия для тангенциальных компонент проще всего получить путём перехода от неподвижной системы отсчёта к системе , движущуюся с элементом поверхности тела; скорость последнего (направленная вдоль нормали к границе раздела ) обозначим как .

В системе справедливы обычные условия непрерывности векторов и . Согласно релятивистским формулам преобразования, эти требования эквивалентны непрерывности тангенциальных составляющих векторов:

Проецируя их на плоскость, перпендикулярную к вектору нормали , и учитывая условия (3.1) получим:

(3.2)

Уравнения (3.2) представляют собой граничные условия к уравнениям Максвелла, в электродинамике движущихся сред.

В случае если тело движется так, что его поверхность не смещается в перпендикулярном самой к себе направлении (например, поворачивание тела вокруг оси вращения), то и условия (3.2) сводятся к обычным условиям для тангенциальных компонент векторов и .

4. Метод функций Грина в электродинамике движущихся сред

Нахождение потенциала методом функций Грина для поля в движущейся изотропной среде.

Для отыскания 4-потенциала электромагнитного поля из уравнения (2.5) воспользуемся методом функций Грина: представим в виде:

электромагнитный тензорный индукция

(4.1)

Далее, подставим (4.1) в (2.5):

(4.2)

Откуда:

Здесь - дельта функция Дирака, - тензорная функция Грина. Для решения уравнения (4.2), удобно представить функцию в виде:

где - скалярная функция Грина. Дальнейшее решение задачи сводится к отысканию вида функции , это можно осуществить, разложив и в интегралы Фурье с последующей их подстановкой в уравнение для .

Нахождение потенциала методом функций Грина для поля в движущейся изотропной среде при отсутствии дисперсии.

Для движущейся среды, не обладающей дисперсией, скалярная функция Грина может быть вычислена точно. При отсутствии дисперсии и , поэтому для получается уравнение:

(4.3)

Разложим и в интегралы Фурье:

(4.4)

Подставим выражения из (4.4) в (4.3) и произведём дифференцирование, тогда:

(4.5)

Здесь введено обозначение . Подставляя (4.5) в первое уравнение системы (4.4) получим выражение для скалярной функции Грина:

(4.6)

Теперь введём цилиндрическую систему координат, ось которой направим по скорости переноса среды. Компоненту вектора по оси обозначим через , а его проекцию на плоскость, перпендикулярную к оси , - через . Проекции радиус-вектора обозначим соответственно и (). Используя выражение для и из (4.6) получим:

где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Производя интегрирование по азимутальному углу:

По известной формуле:

( - функция Макдональда) выражение для принимает вид:

 (4.7)

Интегрирование в выражении (4.7) удобнее производить, введя новую переменную:

(4.8)

Из теории бесселевых функций известно что:

(4.9)

Где - функция Ганкеля. Используя выражения (4.8) и (4.9) из (4.7) получим:

(4.10)

Интегрирование по переменной в (4.10) можно произвести по следующей формуле:

тогда получим следующее выражение для функции Грина:

Здесь введено обозначение:

Вычислив интеграл по переменной , получим окончательное выражение для функции Грина в среде, движущейся со скоростью вдоль оси :

Литература

1. Ищенко Е.Ф. Поляризационная оптика/ Е.Ф. Ищенко, А.Л. Соколов. - М.: Издательство МЭИ, 2005. - 336с.

2. Борн М. Основы оптики/ М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. - 720с.

3. Фёдоров Ф.И. Теория гиротропии/ Ф.И. Фёдоров. - Минск.: Издательство «Наука и техника», 1976. - 456 с.

4. Левич В.Г. Курс теоретической физики. В 2-х томах. Том 1:Теория электромагнитного поля. Теория относительности. Статистическая физика. Электромагнитные процессы в веществе/ В.Г. Левич. - М.: Наука, 1969 - 912с.

5 Ландау Л.Д. Теоретическая физика. В 10-ти томах. Том 8: Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1982. - 624с.

Размещено на Allbest.ru