, (1)

де , причому - хвильовий вектор, а - частота Бозе-Мацубари, ,, s- спінова змінна, - обернена температура, - спектральне зображення одночастинкової функції Гріна ідеальної системи ферміонів у змінних великого канонічного ансамблю.

Крім того, в цьому розділі запропоновано альтернативне функціональне зображення статистичної суми фермі-системи з довільним потенціалом взаємодії, а також модифіковане зображення статистичної суми фермі-системи, у якому в ролі базисної системи виступає система ферміонів з короткосяжним модельним потенціалом відштовхування, а далекосяжна частина потенціалу враховується методом моментів.

Отримано функціональні зображення одночастинкових характеристик фермі-систем - одночастинкової функції Гріна та розподілу частинок за імпульсами. Зокрема для розподілу частинок за імпульсами маємо зображення:

(2)

де - розподіл частинок за імпульсами у базисній (ідеальній) системі,

, (3)

,

, -хімічний потенціал.

Наведено систему інтегральних рівнянь, одержаних в рамках базисного підходу, для динамічної поправки на локальне поле G(,) та основні результати її дослідження для моделі електронної рідини у випадку абсолютного нуля температури. Поправка на локальне поле зображається у вигляді суми двох доданків:

G(,) = G₁(,)+G₂(,).

Другий роздiл "n-частинковi кореляцiйнi функцiї однорiдної базисної системи при низьких температурах" присвячено дослiдженню та розрахунку температурної залежностi кореляцiйних функцiй iдеальної фермi-системи, що є одним з центральних моментiв базисного пiдходу.

В 2.1 проведено огляд вiдомих результатiв розрахунку кумулянтних кореляцiйних функцiй iдеальної фермi-системи при абсолютному нулі температури, їх загальнi властивостi, алгоритми їх розрахунку.

Запропоновано iнтегральнi зображення кореляцiйних функцiй у формi однократного iнтегралу для кумулянта та двократного iнтегралу для вищих кумулянiв при n 3, що дозволяють виконати їх чисельний розрахунок при вiдмiнних вiд нуля температурах, а також застосувати метод Зоммерфельда при температурах, набагато нижчих вiд температури виродження. Для кореляційних функцій нижчого порядку маємо такізображення:

,

, (4)

,

,

,

,

N - загальне число частинок у системі.

Показано, що вплив температури зводиться до згладжування особливостей та екстремумiв кумулянтiв , а у випадку низьких температур поправки до кореляцiйних функцiй мають характер розкладу за степенями квадрата безрозмiрної температури (T_F - температура Фермі ). Ці поправки є найбiльш суттєвими в областi малих та середнiх значень хвильового вектора q та частоти i є знакозмiнними функцiями.

Отриманi розклади n-частинкових кореляцiйних функцiй за степенями квадрата температури дають можливiсть отримати вiдповiднi розклади для термодинамiчних характеристик за допомогою прямого розрахунку статистичної суми у випадку слабо неідеальних систем.

Розраховано температурну поправку до хiмiчного потенцiалу моделi електронної рiдини ( = ₀⁰++, де ₀⁰-- хiмічний потенцiал iдеальної системи фермiонiв при абсолютному нулі температури, -- поправка зумовлена взаємодiєю при абсолютному нулi температури). Отримано розклади для вiльної енергiї F в області слабкої та проміжної неідеальності, а на цій основі розраховано вiдносну теплоємність в області слабкої неідеальності (- теплоємність ідеальної системи).

Виконано порівняння отриманих результів з результатами, що одержані іншими методами, а також іншими авторами.

Третiй роздiл має назву:"Поправка на локальне поле модельних фермі-систем при низьких температурах". В підрозділі 3.1 розглядається модель узагальненої фермi-рiдини, в якiй взаємодiя мiж частиниками моделюється потенцiалом iз скiнченним радiусом дiї - потенцiалом Юкави із Фур'є-образом

, (5)

де A² -- константа зв'язку, -- безрозмірний параметр, що визначає радiус дiї потенцiалу , a₀ --радiус Бора, e-заряд електрона. Маса ферміона у цій моделі вважається рівною масі електрона.

Дослiджено поправку на локальне поле такої моделi в широкiй областi параметра неiдеальностi r_s параметра Вiгнера-Бракнера. Як показали розрахунки, найбiльш суттєвим є вплив величини радiуса дiї на характер поправки на локальне поле. В границi поправка на локальне поле не залежить вiд хвильового вектора i частоти та прямує до значення . Границя   0 відповідає стандартній моделi електронної рiдини. Вiд величини параметра суттєво залежить довгохвильова асимптотика поправки на локальне поле. Залежнiсть поправки на локальне поле вiд величини константи зв'язку A² менш суттєва i проявляється в короткохвильовiй областi.

Температурна залежнiсть n-частинкових кореляцiйних функцiй iдеальної системи фермiонiв (базисної системи) приводить до залежностi поправки на локальне поле вiд температури. Як показали дослiдження, короткохвильова границя поправки на локальне поле мало чутлива до впливу температури в широкiй областi параметра неiдеальностi r_s. Значна температурна залежнiсть спостерiгається в областi малих та середнiх значень хвильового вектора при довiльних частотах.

В границi слабкої неiдеальностi (r_s  0) поправка на локальне поле в довгохвильовiй границi має температурну поправку типу a[T * ]²(1+b ln T*). Ця нефiзична особливiсть зникає при r_s  0. В цiй областi виникають розклади за степенями квадрата безрозмірної температури .

Складовi поправки на локальне поле в наближенні хаотичних фаз G₁^RPA(x) та G₂^RPA(x) мають неоднакову температурну залежнiсть, що чiтко проявляється в довгохвильовiй границi: G₁^RPA(x) є монотонно спадною, а G₂^RPA(x) - монотонно зростаючою функцiєю температури, що приводить до часткової компенсацiї температурного впливу на поправку на локальне поле.

В підрозділі 3.5 розглядається температурна залежнiсть варiацiйної похiдної . Дослiдження температурної залежностi цiєї функцiї необхiдне для подальшого використання при розрахунку одночастинкових характеристик моделi електронної рiдини (зокрема розподілу електронів за імпульсами n_k,s).

Варiацiйна похiдна записана у виглядi трикратного iнтегралу, зручного для подальших обчислень. Показано, що температурна поправка до варіаційної похідної поправки на локальне поле має характер розкладу за степенями [T ^*]² в тих областях змiнних q, k, , в яких вона вiдмiнна вiд нуля при абсолютному нулi температури.

Четвертий роздiл "Розрахунок характеристик моделi електронної рiдини та електрон-iонної моделi металу" присвячено дослiдженню деяких iнтегральних, одночастинкових та динамiчних характеристик моделi електронної рiдини з короткосяжним потенцiалом взаємодiї мiж частинками та дослiдженню температурної залежностi ефективного двочастинкового потенцiалу мiжiонної взаємодiї в рамках електорн-iонної моделi металу.

Запропоновано розклад вiльної енергiї моделі електронної рідини за степенями квадрата безрозмiрної температури:

, (6)

де N --число частинок, а коефiцiєнтнi функцiї f₂(r_s), f₄(r_s) є безрозмiрними функцiями параметра Вiгнера-Бракнера r_s. При цьому (r_s) збiгається з середнiм значенням енергiї системи в основному станi в розрахунку на одну частинку в рiдбергах. Функцiю f₂(r_s) та її похiдну розраховано i протабульовано, що дозволяє розрахувати теплоємнiсть, хiмiчний потенцiал, рiвняння стану. З iншого боку, функцiя f₂(r_s) пропорцiйна вiдноснiй густинi станiв на поверхнi Фермi :

. (7)

Розраховано температурну поправку до бiнарної функцiї розподілу _2.2(r^*).

Розраховано розподiл електронiв за iмпульсами в парамагнiтнiй фазi моделi електронної рiдини в областi низьких температур n_k,s. Спостерігається суттєвий вплив температури на поведiнку функцiї розподiлу електронiв за iмпульсами n_k,s, що найбiльш проявляється в областi [k_F - , k_F + ]. При вiдмiнних вiд нуля температурах втрачає сенс поняття "залишкова поверхня Фермi", а величина скачка на поверхні Фермі - рiвна нулевi при 0. Парадокс "залишкової поверхнi Фермi" пов'язаний з некоректним переходом до границi 0, що видно на прикладi iдеальної системи фермiонiв.

В підрозділі 4.3 наведено результати дослiджень характеристик моделi фермiонної рiдини з короткосяжним потенцiалом взаємодiї типу Юкави. Дослiджено енергiю основного стану такої моделi та її залежнiсть вiд величини параметра екранування потенцiалу:

. (8)

Показано, що iснує певне критичне значення параметра екранування потенцiалу _c. В області _c кореляцiйнi ефекти не можуть забезпечити iснування рiвноважного стану квантової системи, на відміну від моделi електронної рiдини. Проведено розрахунок спектру плазмових коливань моделі фермі-рідини з короткосяжним потенціалом взаємодії. В області < 1 при спостерігається відмінність поведінки спектру плазмових коливань моделі з короткосяжною взаємодією від поведінки спектру плазмових коливань моделі електронної рідини:

, (9)

- спектр плазмових коливань моделі електронної рідини,

- диспесійний коефіцієнт, який рівний в наближенні хаотичних фаз .

Дослiджено двочастинковий ефективний потенцiал мiжiонної взаємодiї в рамках iонної моделi металу при вiдмiнних вiд нуля температурах для випадку металiчної фази водню та деяких простих металiв: лiтiю, натрiю, калiю, рубiдiю та магнiю.

В якостi первісного локального електрон-iонного потенцiалу при дослiдженнi простих металiв використано потенцiал Ашкрофта , параметр R₀ якого добре вiдомий для випадку рiзних металiв.

Розрахунок потенцiалiв виконано в наближеннi дво- та тричастинкових кореляцiй базисної системи - моделi електронної рiдини. При цьому спостерiгається часткова компенсацiя температурних внескiв, зумовлених двочастинковими та тричастинковими кореляціями, у повному потенцiалi для випадку металiчної фази водню та для випадку натрiю. У випадку магнiю спостерiгаємо майже повну компенсацiю температурних внескiв та . Таким чином, для дослiдження температурної залежностi ефективного потенцiалу для випадку магнiю необхiдно враховувати внески, зумовленi чотиричастинковими кореляцiями. Ефективний потенцiал взаємодiї залежить вiд характеру потенцiала локальної електрон-iонної взаємодiї, параметра неiдеальностi електронної пiдсистеми r_s та безрозмiрної температури T ^*.

Запропоновано два варiанти розрахунку спектру одночастинкових збуджень в моделi електронної рiдини. З однiєї сторони, спектр елементарних збуджень системи знаходимо як варiацiйну похiдну вiд енергiї основного стану системи E за розподiлом Фермi . З iншої сторони, виходячи з запропонованого функцiонального представлення функцiї Грiна, знайдено спектр модельної системи як корiнь рівняння

. (10)

За відомим спектром елементарних збуджень розраховано густину станiв моделi електронної рiдини . Отриманi рiзними методами результати розрахунку густини станiв узгоджуються мiж собою.

Висновки

Виконано узагальнення базисного пiдходу в теорiї нормальних вироджених фермi-систем на випадок вiдмiнних вiд нуля температур шляхом дослiдження -частинкових кореляцiйних функцiй базисної (iдеальної) фермi-системи у змiнних (,), де - хвильовий вектор, - частота Мацубари. Показано, що вплив температури зводиться до згладжування особливостей кореляцiйних функцiй iдеальної базисної системи. Температурна залежнiсть двочастинкової кореляцiйної функцiї є монотонною,а функцiї вищого порядку мають немонотонну температурну залежнiсть, що проiлюстровано для випадку n = 3. Температурнi поправки до кореляцiйних функцiй мають характер розкладу за степенями квадрата безрозмiрної температури i є знакозмiнними функцiями. Найбiльш суттєвi змiни кореляцiйних функцiй спостерiгаються в областi малих та середнiх значень хвильового вектора та частоти. Запропонованi iнтегральнi зображення кореляцiйних функцiй дають можливiсть провести їх чисельний розрахунок, або застосувати метод Зоммерфельда.

В рамках базисного пiдходу отримано функцiональне зображення та розклади за кореляцiйними функцiями базисної системи i ефективними n -частинковими потенцiалами взаємодiї для одночастинкових характеристик фермi-систем - розподiлу частинок за iмпульсами та одночастинкової функцiї Грiна.

На прикладi потенцiалу Юкави-Дебая вперше дослiджено залежнiсть поправки на локальне поле вiд радiуса дiї потенцiалу двочастинкової взаємодiї при абсолютному нулi температури. Для системи iз скiнченним радiусом дiї суттєво змiнюється характер довгохвильової асимптотики поправки на локальне поле у порiвняннi iз системою з кулонiвською взаємодiєю. Залежнiсть вiд константи взаємодiї менш суттєва i проявляється, в основному, в короткохвильовiй границi.

Вперше дослiджено i розраховано температурну поправку на локальне поле при вiдмiнних вiд нуля температурах для моделей електронної рiдини та фермiонної рiдини iз короткосяжним вiдштовхуючим потенцiалом двочастинкової взаємодiї. Значна температурна залежнiсть спостерiгається в областi малих та середнiх значень хвильового вектора при всiх значеннях частоти. В границi слабої неiдеальностi (r_s 0) поправка на локальне поле в довгохвильовiй областi має температурну поправку типу [T ]² ln T ^*,нефізичну при T ^* 0. Ця особливiсть зникає при r_s 0, де виникають розклади за степенями [T ^*]². Складовi та , що вiдповiдають врахуванню одно- та двокiльцевих дiаграм поляризацiйного оператора в рамках базисного пiдходу, мають неоднакову температурну залежнiсть, що проявляється, зокрема, в довгохвильовiй областi, де є монотонно спадною, а - монотонно зростаючою функцiями температури. Чисельним методом досліджено поправку на локальне поле моделі електронної рідини при скінчених температурах.

За допомогою знайдених n -частинкових кореляцiйних функцiй базисної системи i поправки на локальне поле виконано розрахунки iнтегральних та локальних характеристик вироджених однорiдних фермi-систем при низьких температурах. Для моделi електронної рiдини одержано розклади за степенями безрозмiрної температури для вiльної енергiї, хiмiчного потенцiалу, рiвняння стану, теплоємностi та бiнарної функцiї розподiлу. Розраховано коефiцiєнтнi функцiї цих розкладiв як функцiї параметра неiдеальностi r_s. Дослiджено i розраховано характеристики моделi фермiонної рiдини з потенцiалом мiжчастинкової взаємодiї Юкави-Дебая при абсолютному нулi температури. Показано, що величина радiуса дiї потенцiалу визначає не тiльки кiлькiснi значення вiдповiдних характеристик, але суттєво впливає на величину областi стабiльностi i визначає область iснування моделi при заданiй густинi частинок. Hа основi поправки на локальне поле розраховано спектр колективних збуджень цiєї моделi. Дана модель використана в якостi базисної з метою розрахунку характеристик моделi електронної рiдини в областi сильної неiдеальностi. Одержанi таким способом результати практично спiвпадають з результатами розрахунку методом Монте-Карло. Температурна поправка на локальне поле G(x) та її варiяцiйна похiдна визначають розподiл електронiв за iмпульсами n_k,s. При T 0K функцiя n_k,s є монотонно-спадною функцiєю, яка швидко спадає у вузькiй областi поблизу k_F, що свiдчить про наявнiсть “залишкового шару Фермi” товщина якого k_B T. Розрахунки вказують на суттєву температурну залежнiсть n_k,s. Виконаний розрахунок густини станiв двома незалежними методами свiдчить про монотонну залежнiсть цiєї функцiї вiд параметра неiдеальностi, а також про узгодженiсть розрахункiв вiльної енергiї та густини станiв.

Шляхом статистичної редукцiї електрон-iонної моделi металу одержано ефективнi потенцiали взаємодiї iонної моделi iз врахуванням внескiв дво- та тричастинкових електронних кореляцiй. Дослiджено температурну залежнiсть ефективних потенцiалiв в областi низьких температур в рамках наближення локального поля для металiчної фази водню, лужних металiв, магнiю. Показано, що внесок двочастинкових кореляцiй у двочастинковий потенцiал взаємодiї послаблюється iз зростанням температури, а внесок тричастинкових кореляцiй приводить до посилення потенцiалу при збiльшеннi температури. Встановлено, що температурна залежнiсть результуючого потенцiалу не є унiверсальною функцiєю, спостерiгається часткова компенсацiя внескiв дво- та тричастинкових кореляцiй.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Vavrukh M., Paslavskii V. and Blazhievskii O. Reference system approach in the electron liquid theory // Cond. Matter Phys. 1995. 6. P. 348 381.

2. Vavrukh M., Paslavskii V., Blazhievskii O. Local-field correction function of the degenerated Fermi system with a short-range interaction // Cond Matter Phys. 1997. 7 P. 127 136.

3. Vavrukh M., Paslavs'kiy V. Electron liquid model characteristics at low temperature in weakly nonideality region // Вісник Львівського університету, серія фізична. 1998. 31. С. 144 151.

4. Vavrukh M., Paslavs'kii V. Reference system approach in the electron liquid theory VI. Generalized Fermi system model. Local-field correction function // Phys. stat. sol. (b) 1998. 208, P. 91 104.

5. Ваврух М.В., Паславський В.Н., Тишко Н.Л. Температурна залежність поправки на локальне поле // ЖФД. 2000. 4, 1. С. 6 15.

6. Ваврух М.В., Блажиєвський О.Л., Паславський В.Н. Поправка на локальне поле моделі фермі-системи з короткодіючою взаємодією між частинками. Львів, 1993. 20 с. (Препринт / НАН України; ІФКС-93-23У).

7. Ваврух М.В., Паславський В.Н., Тишко Н.Л. Розрахунок температурної залежності поправки на локальне поле. Львів, 1999. 18 С. (Препринт / НАН України; ІФКС-99-18У).

8. Паславський В.Н. Дослідження температурної залежності кореляційних функцій ідеальної системи ферміонів. Львів, 1999. 33 С. (Препринт / НАН України; ІФКС-99-17У).

9. Ваврух М.В., Паславський В.Н., Тишко Н.Л. Розрахунок температурної залежності двочастинкового ефективного потенціалу взаємодії в іонній моделі металу. Львів, 2000. 16 С. (Препринт / НАН України; ІФКС-00-09У).

10. Vavrukh M., Paslavskii V., Blazhievskii O. Local-field correction function of the degenerated Fermi system with a short-range repulsion potential // In prog. and abstracts of the intern. workshop on stat. phys. and cond. matter theory. Lviv, 1995. P. 94.

11. Ваврух М. Паславський В. Узагальнена концепція локального поля і її використання в теорії електронної рідини // Програма і тези доповідей наукового семінару з статистичної теорії конденсованих систем. Львів, 1997. С. 119.

12. Vavrukh M., Paslavs'kii V. Investigation of the electron liquid model at nonzero temperatures // In prog. and abstracts of the intern. workshop on cond. matter theory INTAS-Ukraine. Lviv, 1998. P. 67.

13. Vavrukh M., Paslavs'kii V., and Tyshko N. Investigation of effective two-particle potential of ion interaction at nonzero temperature // In prog. and abstracts of the intern. workshop on modern problems of soft matter theory. Lviv, 2000. P. 179.

Анотація

Дисертацiя присвячена узагальненню базисного пiдходу в теорiї фермi-систем на випадок вiдмiнних вiд нуля температур i його застосування до розрахунку iнтегральних та одночастинкових характеристик моделей вироджених фермi-систем в областi низьких температур. Дослiджено особливостi n-частинкових кореляцiйних функцiй iдеальної системи фермiонiв при вiдмiнних вiд нуля температурах. Запропоновано один з можливих шляхiв розрахунку одночастинкових характеристик в рамках базисного пiдходу. Дослiджено температурну залежнiсть поправки на локальне поле моделi електронної рiдини, а також залежнiсть поправки на локальне поле вироджених фермі-систем вiд характеру потенцiала взаємодiї мiж частинками. Проведено розрахунки iнтегральних, одночастинкових та динамiчних характеристик моделі виродженої електронної рiдини в широкiй областi параметра неiдеальностi при вiдмiнних вiд нуля температурах. Дослiджено температурну залежнiсть ефективних потенцiалiв взаємодiї в рамках iонної моделi металу.

Ключовi слова: моделі вироджених фермі-систем, термодинаміка, кореляційні функції, поправка на локальне поле, міжіонні взаємодії.

Аннотация

Диссертация посвящена обобщению базисного подхода в теории ферми-систем на случай конечных температур и его использованию для расчетов интегральных и одночастичных характеристик моделей вырожденных ферми систем при низких температурах. Исседованы особенности n-частичных корреляционных функций идеальной ферми-системы при отличных от нуля температурах. Предложен один из возможных вариантов расчета одночастичных характеристик в рамках базисного подхода. Исследована температурная зависимость поправки на локальное поле модели електронной жидкости, а также зависимость поправки на локальное поле вырожденных ферми-систем от характера потенциала взаимодействия между частицами. Рассчитаны интегральные, одночастичные и динамические характеристики модели вырожденной електронной жидкости в широкой области параметра неидеальности при отличных от нуля температурах. Исследована температурная зависимость эффективных потенциалов взаимодействия в рамках ионной модели металла.

Ключевые слова: модели вирожденных ферми-систем, термодинамика, корреляционные функции, поправка на локальное поле, межионные взаимодействия.

Annotation

Paslavs'kii V.N. Reference system approach in a fermi-system theory at low temperature. Manuscript.

Thesis on search of the scientific degree of candidate of physics and mathematics sciences, speciality 01.04.13 - physics of metals. Ivan Franko Lviv national university, Lviv, 2001.

Generalization of the reference system approach in a fermi-system theory on the case of finite temperature is the subject of the presented thesis.

The reference system approach has been applied for calculation of integral and oneparticle characteristics for the electron liquid model and the degenerated fermi-system model with a short-range interaction potential. Generalization of the reference system approach in the theory of normal degenerated fermi-systems on the case of finite temperature has been done by investigation of n-particle correlation function of the ideal fermi-system in -variables. Shown, that temperature smoothes out features of n-particle correlation function of the ideal fermi system. Temperature correction to the correlation functions of the reference system may be written as powder expansion by square of dimensionless temperature. They have different sign in long- and short-wave region. Integral representation of n-particle correlation functions of the ideal fermi system, which simplify their calculation by Zommerfeld's method or by numerical method are suggested.

The functional representation and it's expansion by the correlation functions of the reference system and effective n-particle potentials have been obtained for oneparticle characteristics (momentum distribution, one particle Green's function) of the model system.

Dependence of the local-field correction function (LFCF) on the range of interaction was investigated for the case of Ukawa potential at T=0K. The character of the longwave asymptote of LFCF strongly changes for the case of the system with the finite interaction range in comparison with the system with Coulomb interaction. Strong dependence of LFCF on the interaction constant A² is noticed in the short-wave region. In other region influence of the interaction constant on LFCF is weak.

The local-field correction function for the electron liquid model and for the fermion liquid model with a short-range interaction have been calculated and studied at nonzero temperature by numerical method. This function may be written as powder expansion by square of dimensionless temperature in low temperature region. Only in weakly nonideality limit we obtained unphysical term [T ^*]² ln T ^*, which disappear at r_s0.

Integral, oneparticle and dynamic characteristics for the electron liquid model and the fermion liquid model with a short-range interaction have been investigated at low temperature region.

Temperature dependence of effective twoparticle interion potential of a metal has been investigated for metallic phase of a metal phase of hydrogen and some simple metals: Li, Na, K, Rb, Mg. We noticed absence of the universal character for the temperature dependence of the effective twoparticle interion potential.

Key words: degenerated fermi-system model, thermodynamic, correlation functions, local-field-correction function, interionic interaction.

Размещено на Allbest.ru