Исследование токов и напряжений, протекающих в цепи, содержащей реактивные элементы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В курсовой работе исследуются токи и напряжения, протекающие в цепи, содержащей реактивные элементы, поэтому все расчеты производятся в комплексной форме. При этом производится расчет по методу комплексных амплитуд. Комплексный метод позволяет упростить аналог цепи, сведя переменные функции времени к расчету комплексных чисел. При этом комплексные числа как сами значения токов и напряжений, так и фазовый сдвиг (аргумент комплексного числа). В работе применяются метод эквивалентного преобразования линейных электрических цепей, закон Ома и законы Кирхгофа. Так же в работе исследуются h-параметры рассматриваемой цепи, составляется система уравнений h-параметров.

1. Формирование схемы исследуемой цепи

В соответствии с п. 1 задания к курсовой работе ко входу схемы необходимо подключить источник э.д.с. с внутренним сопротивлением, произвести нумерацию элементов (слева направо, сверху вниз) и расставить токи. После указанных действий исходная схема преобразуется к виду, приведенному на рисунке 1.1.

Исходные данные ;
; Гн ; Гц

Рисунок 1.1- Преобразованная схема исследуемой цепи

2. Расчет токов и напряжений на элементах цепи

Расчет в данной схеме целесообразно начать с соединения двух элементов R2 и С1. Комплексное сопротивление этого участка цепи как любого последовательного соединения равно

, (1)

где комплексное сопротивление емкости равно

(2)

комплексное сопротивление активного сопротивления равно этому сопротивлению Ом).

Поэтому, подставляя эти значения в (1) получаем, что комплексное сопротивление последовательного участка цепи равно

Ом. (3)

В дальнейшем, при нахождении токов и напряжений элементов цепи, необходимо будет применять закон Ома в комплексной форме, а следовательно, придется делить и умножать комплексные величины. Это удобнее делать если числа будут представлены в показательной форме. Для перевода числа в показательную форму необходимо найти его модуль и аргумент. Модуль полученного в (3) комплексного числа равен

 Ом, (4)

а аргумент

. (5)

Поэтому комплексное сопротивление участка можно записать, как Ом.

Участок цепи представляет собой параллельное соединение сопротивления последовательного соединения Поэтому комплексное сопротивление всего участка равно

. (6)

Комплексное сопротивление активного сопротивления равно самому этому сопротивлению Следовательно, комплексное сопротивление рассматриваемого участка в соответствии с
(3) и (6) можно определить по формуле

;

;

Ом. (7)

Точно так же, как и в предыдущем случае, полученный результат целесообразно сразу преобразовать в экспоненциальную форму. Для этого необходимо найти модуль и аргумент. Модуль полученного в (7) комплексного числа равен

Ом, (8)

а аргумент

. (9)

Поэтому комплексное сопротивление участка цепи можно записать, как Ом.

Всю рассматриваемую цепь можно рассматривать как последовательное соединение (рисунок 1.1) сопротивления , индуктивности и участка цепи . Поэтому полное комплексное сопротивление всей цепи равно

. (10)

Комплексное сопротивление активного сопротивления равно самому этому сопротивлению (), а следовательно, учитывая (7), комплексное сопротивление всей цепи можно рассчитать по формуле

; (11)

.

Модуль полученного комплексного числа равен

Ом, (12)

а аргумент равен

.

Поэтому комплексное сопротивление всей цепи можно записать как Ом.

Как уже было отмечено выше, видно, что элементы и участок цепи соединены последовательно, и как следует из определения последовательного соединения, через них протекает один и тот же ток, т.е. общий ток цепи, протекающий через источник э.д.с., равен

. (13)

В соответствии с законом Ома в комплексной форме для участка цепи этот ток может быть рассчитан как отношение комплексной амплитуды э.д.с. к комплексному сопротивлению все цепи, т.е. как

. (14)

Комплексная амплитуда э.д.с. в общем виде в показательной форме может быть записана как . Как следует из исходных данных, аргумент в данном случае равен , а модуль равен В т.е. В.

Таким образом, комплексная амплитуда общего тока цепи может быть рассчитана по формуле

А. (15)

Напряжение на сопротивлении равно произведению комплексной амплитуды протекающего через него тока на комплексное сопротивление этого элемента, т.е.

. (16)

Подставляя в (16) полученное (15) выражение, а также с учетом того, что комплексное сопротивление активного сопротивления равно самому этому сопротивлению ( Ом) получаем, что

В. (17)

Напряжение на индуктивности может быть рассчитано как произведение комплексной амплитуды протекающего через нее тока на комплексное сопротивление этого элемента, которое по аналогии равно

Ом. (18)

Следовательно, напряжение на индуктивности равно

В. (19)

Точно таким же образом можно определить напряжение на участке цепи . Его комплексная амплитуда равна произведению комплексной амплитуды, протекающего через нее тока , на комплексное сопротивление этого участка, т.е. с учетом (7) и (15)

В. (20)

При определении напряжения на сопротивлении необходимо учитывать, что т.е. так как соединение и параллельное, то

В. (21)

Комплексная амплитуда тока, протекающего через сопротивление , равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению элемента. Так как, как было замечено выше, для активного сопротивления , ток можно рассчитать по формуле

А. (22)

Аналогично предыдущему случаю, комплексная амплитуда тока, протекающего через участок цепи , равна отношению комплексной амплитуды напряжения на этом участке к полному комплексному сопротивлению участка. Эти величины уже были найдены ранее (3) и (21). Поэтому

A. (23)

Как и было показано выше, напряжение на активном сопротивлении может быть определено как произведение комплексной амплитуды протекающего через него тока на комплексное сопротивление этого элемента, т.е. как

В. (24)

Аналогично (24), напряжение на емкости равно произведению комплексной амплитуды протекающего через него тока на комплексное сопротивление этого элемента, т.е.

В. (25)

По результатам нахождения токов и напряжений в элементах цепи можем составить таблицу 1.

Таблица 1- Результаты расчета токов и напряжений в элементах цепи

	Номинал	, В	, мА
	300 Ом	6,6	22	-133є	-133є
	300 Ом	3,6	12	-146є	-146є
	300 Ом	3,0	10	-118є	-118є
C1		1,6	10	-208є	-118є
L1		247,0	22	-43є	-133є

цепь четырехполюсник напряжение амплитуда

3. Проверка результатов с помощью законов Кирхгофа

Для проверки результатов вычислений с помощью первого закона Кирхгофа необходимо проверить насколько точно выполняется соотношение, определяемое этим законом, а именно: сумма входящих в узел токов равна сумме выходящих токов. Так как в цепи присутствуют реактивные элементы, то все расчеты и величины при этом используются в комплексной форме.

Применительно к рассматриваемой схеме для верхнего левого узла должно выполнять соотношение

(26)

или в числовом виде

. (27)

Рассчитаем значение выражения в правой части. Для перехода от показательной формы к нормальной используется следующее математическое правило: действительная часть равна произведению модуля на косинус аргумента, а мнимая - произведению модуля на синус аргумента, т.е. в общем виде для произвольного комплексного числа в показательной форме можно записать:

. (28)

Для рассматриваемого примера в числовой форме :

(29)

Как видно из (29) значения комплексных токов и суммы , в алгебраическом виде отличаются на 2,5 %, что можно рассматривать как небольшую погрешность.

Аналогичным образом может быть проверено выполнение первого закона Кирхгофа и для остальных узлов.

Для проверки результатов с помощью второго закона Кирхгофа необходимо проверить насколько точно выполняется соотношение, определяемое этим законом, а именно: для всего контура должно выполняться соотношение

(30)

или в числовом виде

(31)

. (32)

Как видно из (32), левые и правые части этого выражения приблизительно равны друг другу.

Рассмотрев выполнение обоих законов Кирхгофа, можно сделать вывод о правильности приведенных расчетов токов и напряжений на элементах цепи.

4. Построение полной векторной диаграммы цепи

Построение векторной диаграммы цепи производится на основе числовых данных, предоставленных в таблице. Для каждого тока (напряжения) в таблице имеются значения модуля и аргумента.

Рисунок получается сильно загроможденным и, следовательно, трудночитаемым, то можно провести все построения раздельно на разных плоскостях для напряжений и токов, как это сделано на рисунке 4.1 и рисунке 4.2 применительно к рассматриваемой схеме на рисунке 1.1.

Рисунок 4.1 - Векторная диаграмма напряжений



Рисунок 4.2 - Векторная диаграмма токов

5. Расчет h-параметров заданного четырехполюсника

Четырехполюсником называется цепь, имеющих две пары внешних выводов (четыре полюса), с помощью которых он может присоединиться к другим цепям или источникам. В теории четырехполюсников интересуются лишь токами и напряжениями на внешних выводах и не рассматривают токи и напряжения внутри четырехполюсника. Математическое описание четырехполюсника (математическая модель) связывает между собой четыре величины, характеризующие его поведение относительно внешних выводов.

На рисунке 5.1 изображен четырехполюсник, выводы которого
1, 1? называют входом, а выводы 2, 2?Ї выходом. Четыре величины: U1 ,I1 , U2 , I2 Ї это напряжения и токи входа и выхода.

Рисунок 5.1 ? Схема исследуемого четырехполюсника

Выбрав независимыми переменными входной ток и выходное напряжение, получим модель четырехполюсника в виде системы H-параметров:

. (33)

Параметр имеет размерность сопротивления, и Ї безразмерны, а является проводимостью.

Из первого уравнения системы получается:

. (34)

Параметр является комплексным входным сопротивлением четырехполюсника при коротком замыкании входа и измеряется в Омах. Схема исследуемого четырехполюсника принимает вид как на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 ? Исследуемый четырехполюсник при

Исходя из (34) приравнивается общему сопротивлению цепи рисунка 5.2. Номиналы элементов берутся из исходных данных

; (35)

;

Ом. (36)

Параметр является комплексным коэффициентом обратной передачи напряжения при холостом ходе входной цепи. Схема исследуемого четырехполюсника принимает вид как на рисунке 5.3

. (37)



Рисунок 5.3 ? Исследуемый четырехполюсник при

Из второго закона Кирхгофа следует, что

;

;

;

; (38)

Исходя из (37) и (38) имеет вид

,

Пользуясь (3) и исходными данными, отсюда следует, что

;

. (39)

Из второго уравнения системы получается:

. (40)

Параметр представляет собой комплексный коэффициент передачи тока при коротком замыкании выхода. Схема исследуемого четырехполюсника принимает вид как на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4 ? Исследуемый четырехполюсник при

Исходя из второго закона Кирхгофа, запишем следующее выражение

;

.

По первому закону Кирхгофа

.

Так как направлен в противоположную сторону по отношению к следует равенство

.

Так как емкость С и сопротивление соединены параллельно следует равенство, что

.

Отсюда следует, что

. (41)

Из формулы (41) находим комплексный коэффициент передачи тока

,

пользуясь (36)

(42)

Параметр является комплексной выходной проводимостью четырехполюсника при холостом ходе входной цепи. Схема исследуемого четырехполюсника принимает вид как на рисунке 5.5

. (43)



Рисунок 5.5 ? Исследуемый четырехполюсник при

Как известно, проводимость цепи обратно пропорционально его ее сопротивлению, есть смысл сначала найти полное сопротивление цепи. Так как и равны друг другу, то полное сопротивление всей цепи будет соответствовать (7).

Ом;

;

Cм;

Cм.

После всех расчетов система (33) принимает вид

Заключение

В данной работе с использованием комплексного метода расчета были определены значения амплитуд и начальные фазы токов и напряжений, а также их начальные фазы в элементах рассматриваемой цепи. Проверка результатов вычислений с помощью первого и второго законов Кирхгофа показала, что вычисления в целом проведены правильно. Имеющаяся погрешность может быть объяснена большим объемом вычислений и производимыми округлениями при каждом из них. Построение полной векторной диаграммы для исследуемой цепи также подтверждает правильность произведенных вычислений.

В настоящее время основными считаются смешанные (или гибридные) параметры, обозначаемые буквой h или H. Название «смешанные» дано потому, что среди них имеются две относительные величины, одно сопротивление и одна проводимость. Именно h-параметры приводятся во всех справочниках. Параметры системы h удобно измерять. Два из h-параметров определяются при коротком замыкании для переменного тока на выходе, т. е. при отсутствии нагрузки в выходной цепи. Остальные два показывают усиление переменного тока четырехполюсником и показывает какая доля выходного переменного напряжения передается на вход четырехполюсника.

Список использованной литературы

1. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. для вузов по спец. «Радиотехника» [Текст] / С.И. Баскаков. - 5-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005.

2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: учебн. пособие для радиотехн. спец. Вузов [Текст] / С.И. Баскаков. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2002.

3. Бычков, Ю.А. Основы теории электрических цепей: учебник для вузов [Текст] / Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышев. - Изд. 3-е, стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2004.

4. Иванов, М.Г. Теоретические основы радиотехники: учебн. пособие [Текст] / М.Т. Иванов, А.Б. Сергиенко, В.Н. Ушаков; Под ред.
В.Н. Ушакова. - М.: Высш. шк., 2002.

5. Попов, В.П. Основы теории цепей: учебник для вузов [Текст] / В.П. Попов. - Изд. 5-е, стер. - М.: Высш. шк., 2005.

Размещено на Allbest.ru

...