Статистичний пiдхiд у теорiї колективних процесiв руйнування твердотiльних середовищ

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛIВ

На правах рукопису

УДК 519.216: 536.75

Статистичний пiдхiд у теорiї колективних процесiв руйнування твердотiльних середовищ

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ дисертацiї

на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Шеремет Олег Iванович

Харкiв - 2001

Дисертацiєю є рукопис.

Дисертацiя виконана в Iнститутi монокристалiв Науково-технологiчного концерну “Iнститут монокристалiв” НАН України, м. Харкiв.

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук, провiдний науковий спiвробiтник Iнституту монокристалiв Науково-технологiчного концерну “Iнститут монокристалiв” НАН України Вiрченко Ю.П.

Офiцiйнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук, завiдуючий кафедрою теоретичної фiзики Харкiвського нацiонального унiверситету, професор Єрмолаєв О.М.

доктор фiзико-математичних наук, доцент кафедри квантової макрофiзики Днiпропетровського нацiонального унiверситету Мiнiстерства освiти i науки України Соколовський О.Й.

Провiдна органiзацiя: Донецький державний унiверситет, кафедра теоретичної фiзики

Захист вiдбудеться “ 27 ” червня 2001p. о 14⁰⁰ годинi на засiданнi Cпецiалiзованої вченої ради Д 64.169.01 в Iнститутi монокристалiв Науково-технологiчного концерну “Iнститут монокристалiв” НАН України за адресою: 61001, м.Харкiв, пр.Ленiна, 60.

З дисертацiєю можна ознайомитися в бiблiотецi Iнституту монокристалiв Науково-технологiчного концерну”Iнститут монокристалiв” НАН України.

Автореферат розiсланий “ 24 ” травня 2001p.

Вчений секретар

Cпецiалiзованої вченої ради Д 64.169.01

кандидат технiчних наук Атрощенко Л.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальнiсть теми. Дисертацiя присвячена задачам статистико-iмовiрнiсного пiдходу до дослiдження руйнування неупорядкованих конденсованих середовищ, при описi еволюцiї яких виявляється кореляцiя мiж окремими просторовими областями. При цьому наявнiсть такої кореляцiї фiзично виражається у виглядi колективних ефектiв поведiнки середовища, зокрема, в утвореннi тiєї чи iншої перколяцiйнoї структури в середовищi. Виявляється, що методи дослiдження статистичної фiзики, що спираються на уявлення про статистично незалежний внесок кожної з областей у фiзичнi явища, не є адекватними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження проводилися в Iнститутi монокристаллов НАН України, згiдно з планами науково-дослiдницьких робiт у рамках наступних тем: тема “Хаос-2” 1998-2000 р.-12.05.98 N8; тема “Фрактал” 1998-2000 р.-12.05.98 N8.

Мета i задачi дослiдження. Мета роботи - розвинути iмовiрнiсно-геометричний пiдхiд до опису процесiв руйнування твердотiльного середовища у термiнах феноменологiчних параметрiв в умовах колективної самоузгодженої поведiнки рiзних фрагментiв середовища.

При написаннi дисертацiйної роботи вирiшувалися такi задачi:

1. Розробити iмовiрнiсно-геометричний формалiзм для опису випадкових процесiв фрагментацiї середовища.

2. Побудувати i математично проаналiзувати в рамках такого формалiзму, на основi введення теоретично обгрунтованих стохастических механiзмiв руйнування, iмовiрнiсну модель фрагментацiї.

3. Розробити концепцiю перколяцiйної картини деградацiї властивостей середовища, побудувати i проаналiзувати теоретично обгрунтованi моделi випадкових процесiв, що описують руйнування.

4. Одержати розподiл iмовiрностей для випадкового часу деградацiї у виглядi локальної граничної теореми в задачi досягнення заданого рiвня iнтегральним додатним функцiоналом вiд траєкторiй процесiв зазначеного типу.

5. Розробити i математично проаналiзувати ефективну статистичну модель, що описує флуктуацiйне утворення трiщин у твердотiльному середовищi, i обчислити на її основi границю текучостi як функцiю вiд геометричних розмiрiв зразкiв.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї одержано такi новi науковi результати:

1. Побудована i математично дослiджена iмовiрнiсно-геометрична дискретна одномiрна модель фрагментацiї з урахуванням колективного поводження фрагментiв, при використаннi механiзму одночасного дроблення усiх фрагментiв на випадкове число осколкiв на кожному еволюцiйному кроцi з ординарним випадковим потоком точок дроблення. Показано, що асимптотика розподiлу фрагментiв по розмiрах є експоненцiйною;

2. Побудовано iмовiрнiсну модель для опису еволюцiї перколяцiйного типу руйнування середовища й обчислення розподiлу iмовiрностей для часу руйнування. У рамках цiєї моделi обчисленi розподiли iмовiрностей випадкового часу руйнування для випадкiв дихотомiчного процесу збурення i сумiшi дробових шумiв з рiзними параметрами. Дано дослiдження отриманих розподiлiв iмовiрностей на одновершинність та показано, що асимптотики розподiлiв, незалежно вiд типу збурюючого процесу, одновершиннi;

3. Побудовано дискретну статистичну модель мiцностi твердого тiла при крихкому руйнуваннi. Дано повне дослiдження цiєї моделi i отримано формули для iмовiрностi iснування в об'ємi тiла зародкiв трiщини критичного розмiру та для границi текучостi. Показано, що границя текучостi обернено пропорцiйна логарифму об'єму зразка;

4. Дано строге дослiдження статистичної моделi Гнеденко-Молчанова для електропробою полiмерних iзоляцiйних плiвок. Показано, що розподiл величини пробiйних напруг є одновершинним.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатiв. Теоретичне i практичне значення одержаних результатiв обумовлюється тим, що розробленi теоретичнi методи дозволяють, у рамках статистичної фiзики, здiйснювати математичне моделювання i дослiджувати теоретичними методами процеси руйнування конденсованих середовищ.

Особистий внесок здобувача. Здобувач:

· брав участь у концептуальнiй постановцi задач фрагментацiї [5] та перколяцiйного руйнування твердотiльного середовища [1,3];

· виконав аналiтичнi розрахунки, що вiдносяться до аналiзу самоузгодженої моделi теорiї фрагментацiї [5];

· здiйснив аналiтичнi оцiнки, що вказують на iснування нерухомої точки в просторi розподiлiв по розмiрах фрагментiв для одномiрної моделi стохастичного процесу фрагментацiї, розглянутого у [5];

· здiйснив постановку чисельних експериментiв по верифiкацiї аналiтичних результатiв, отриманих у [1,3,5];

· здiйснив аналiтичне обчислення граничного розподiлу iмовiрностей для випадкового часу руйнування [1,3] для випадкiв збурювання системи дихотомiчним процесом i сумiшшю дробових шумiв з рiзними характеристиками;

· здiйснив асимптотичнi оцiнки границi текучостi [4] i розподiлу iмовiрностей для випадкової напруги електропробою полiмерних плiвок [2];

· брав визначальну участь у написаннi тестiв наукових статей, опублiкованих по темi дисертацiї;

Апробацiя роботи. Матерiали роботи доповiдалися й обговорювалися на семiнарах з теоретичної фiзики: у Нацiональному науковому центрi ХФТИ (Харкiв); Донецькомy фiзико-технiчному iнститутi НАН України; Iнститутi монокристаллов НАН України.

Публiкацiї.Основнi результати дисертацiї опублiковано у п'яти роботах у наукових вiтчизняних журналах. Список публiкацiй наведено в кiнцi автореферату. тріщина фрагментація деградація твердотільний

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається iз вступу, чотирьох роздiлiв, висновку та списку використаних джерел, який мiстить в собi 135 найменувань. Повний обсяг роботи складає 149 сторiнок.

Зміст роботи

У вступi обгрунтована актуальнiсть питань, що розглядаються, сформульована мета дисертацiї, наукова новизна та практична цiннiсть роботи. Приведено короткий огляд змiсту по главам.

Роздiл 1 є оглядовим. Вiн присвячений найбiльш вiдомим фактам з статистичної теорiї фрагментацiї, теорiї крихкого руйнування твердого тiла та перколяцiйної теорiї руйнування.

У роздiлi 2 дослiджуються процеси фрагментацiї у рамках

розробленого iмовiрнiсно-геометричного пiдходу. Зокрема, цей пiдхiд претендує на те, аби надавати можливiсть будувати моделi iмовiрнiсного опису процесiв фрагментацiї в умовах самоузгодженої поведiнки середовища, яке руйнується пiд випадковими зовнiшнiми впливами. Ситуацiя, коли розвал зразка являє собою однократну випадкову подiю, називається дробленням. Дослiджується випадок, коли кiлькiсть уламкiв настiльки велика, що вивчення фрагментiв одного акту дроблення дозволяє одержати достовiрну iнформацiю про їх статистичнi характеристики за допомогою термодинамiчного граничного переходу. Другу велику групу типiв фрагментацiї складають тi випадки, коли вона являє собою динамiчний процес, що моделюється випадковим процесом з безперервним або дискретним часом. Саме така ситуацiя називається фрагментацiєю. У дисертацiї розглядаються тiльки тi процеси фрагментацiї, що характеризуються властивiстю збереження речовини.

Звичайно при вивченнi процесiв фрагментацiї цiкавляться розподiлом фрагментiв по розмiрах, яке має такi властивостi:

Згiдно з методикою отримання локальних граничних теорем у теорiї iмовiрностей, для отриманнi нетривiального розподiлу треба побудувати таке перетворення , аби при t

Виявляється, що таке перетворення виглядає як .

Описана у роздiлi найпростiша модель дроблення заснована на послiдовностi незалежних iспитiв. Ця модель допускає точне обчислення розподiлу фрагментiв по розмiрах. Вона як складова частина входить у побудову випадкового процесу одномiрної фрагментацiї.

Позначимо випадкову послiдовнiсть незалежних iспитiв зi значеннями {0, 1}, причому iмовiрностi реалiзацiї цих значень визначаються як

Для обмеженого вiдрiзку, тобто для n = 1,2,...,N можна визначити випадковi точки його розрiзування , якi формують випадкову послiдовнiсть, задану формулою i упорядковану за зростанням.

Випадкова послiдовнiсть розмiрiв фрагментiв визначається як:

де s - повне число фрагментiв на (0,N), - число фрагментiв довжини l. Тодi iмовiрнiсть появи визначеного числа фрагментiв довжини l (при наближеннi повного числа фрагментiв до нескiнченностi) визначається, у звязку з ергодичнiстю послiдовностi формулою

Побудуємо випадковий процес з дискретним часом t N₀ ={0, 1, 2,... }, що описує послiдовнi стадiї фрагментацiї одномiрного зразка X₀ - вiдрiзка на сукупнiсть зв'язних компонентiв.

Будемо вважати, що X₀ = [0, 1]. Введемо випадковий процес , що у кожен момент t = 0, 1, 2,... являє собою випадковий кiнцевий набiр точок роздiлу фрагментiв, що мiстяться в [0, 1].

Процес будемо вважати марковським процесом. Визначимо для кожного t множину U_t можливих точок роздiлу,

U_t = {s/N ^t; s = 0, 1,..., N^t - 1},

де N = 2, 3,... є параметром моделi. Цей параметр будемо називати параметром роздiлу.

Тодi процес фрагментацiї генерується процесом (пiсля упорядкування точок реалiзацiї останнього за зростанням) по формулi

= [0,1]\ =

Зв'язнi компоненти кожної пiдмножини є фрагментами дроблення, а - їх випадкове число. N,q - вiльнi параметри моделi.

Вводяться перенормованi розмiри фрагментiв i випадковий процес , що визначає число фрагментiв довжини l у момент часу t. Тодi розподiл фрагментiв процесу по розмiрах задається як

У дисертацiї доведено, що при будь-якому q < 1 послiдовнiсть розподiлiв {p_l (t); t = 0, 1, 2,} сходиться до єдиного розподiлу p_l:

const

Запропонований пiдхiд до опису фрагментацiї на основi побудови стохастичної геометрiї середовища, хоча й ускладнює її вивчення, дозволяє бiльш реалистично врахувати деталi її феноменологiї. Вивчена модель колективної фрагментацiї по типу щiльностi рiвноважного розподiлу по розмiрах вiдрiзняється вiд закону Колмогорова, одержаного в умовах незалежної еволюцiї кожного з фрагментiв. Таким чином, в одномiрному випадку отриманий новий тип граничних розподiлiв з експоненцiйною асимптотикою, що пов'язана з використаною моделлю рiвноiмовiрнiсного розподiлу розмiрiв фрагментiв, на якi розвалюється кожен окремий фрагмент.

Роздiл 3 присвячений визначенню статистики тривалостi протiкання руйнування. У своїх крайнiх формах руйнування можна представити у виглядi: 1)виходу з ладу найбiльш слабкої ланки; 2)перколяцiйного сценарiю. В дисертацiї розглядається другий випадок, оскiльки вiн фiзично близький уявленням про самоузгоджену еволюцiю середовища в процесi його руйнування.

Перколяцiйний сценарiй припускає наявнiсть двох етапiв у процесi руйнування. На першому етапi - етапi старiння - вiдбувається вiдносно повiльне накопичення рiвномiрно по зразку рiзного роду дефектiв структури, що виникають як флуктуацiйно, так i внаслiдок зовнiшнiх впливiв. Результатом такого накопичення мiкродефектiв - пiсля досягнення їх щiльнiстю деякого граничного значення - є якiсна змiна матерiалу. У матерiалi виникає зв'язна структура - кластер мiкродефектiв. З цього моменту починається другий, набагато бiльш швидкий, етап власне, руйнування зразка.

Особливiстю перколяцiйного сценарiю є припущення про просторову нелокалiзованiсть руйнування, тобто передбачається однорiднiсть “у середньому” розподiлу дефектiв по зразку, на вiдмiну вiд моделi найбiльш слабкої ланки.

При перколяцiйному сценарiї природним образом виникають феноменологiчнi параметри, що описують стадiю старiння: щiльнiсть мiкродефектiв i деякий, наприклад енергетичний, порiг руйнування. Природно цiкавитися розподiлом iмовiрностей часу досягнення порога, тобто формування дефектного кластера при впливi на середовище зовнiшнiх випадкових процесiв.

Пiд дефектами розумють будь-як локальнi фiзичнi змiни в матерiалi, що виникли в результатi еволюцiї. При цьому не конкретизуються фiзичнi механiзми, що призводять до утворення дефектiв. Математична модель таких механiзмiв враховує тiльки їхнi найбiльш типовi риси, тобто дiю кожного з факторiв на матерiал можна розглядати як випадковий процес, причому усi введенi таким способом випадковi процеси слабко зв'язанi в статистичному змiстi. Таким чином, у процесi старiння матерiалу важливим є тiльки сумарний вплив усiх механiзмiв на матерiал.

У наслiдок рiзноманiття випадкових впливiв зручно увести єдину фiзичну величину, що контролює процес старiння “у середньому” за деякий iнтервал часу, яка при цьому була б i характеристикою дiї кожного з процесiв. А саме, вплив зовнiшнiх факторiв на матерiал можливо характеризувати тiєю часткою J(t) поглиненої енергiї, що витрачена на утворення i рiст дефектiв до моменту t. Саме в термiнах цiєї випадкової функцiї будується теорiя, а досягнення цiєю функцiєю деякого визначеного, але заздалегiдь не вiдомого порога E означає настання подiї руйнування.

Покладемо: (t) -- та частина поглиненої за одиницю часу енергiї рiзних зовнiшнiх впливiв, що пiшла на руйнування. Тодi частка поглиненої до моменту t енергії

Випадковий час руйнування визначається iз стохастического рiвняння

,

де E - вiльний параметр теорiї.

Таким чином, математично, задача про обчислення розподiлу часу руйнування в описанiй постановцi складається в перебуваннi щiльностi розподiлi iмовiрностей h(t) для випадкової величини при великiй (у порiвняннi з iнтенсивнiстю зовнiшнiх впливiв) величинi енергетичного порога E по заданому розподiлi iмовiрностей для випадкового процесу (t).

До випадкового процесу (t) при його математичному моделюваннi пред'являються такi вимоги:

1) випадкова функцiя (t) повинна бути невiд'ємною з iмовiрнiстю одиниця, тому що вона має змiст поглиненої енергiї.

2) зовнiшнi випадковi впливи, з погляду теорiї випадкових процесiв, є стацiонарними процесами (у вузькому змiстi).

3) природно зажадати, щоб процес (t) був марковським, тобто щоб змiна стану матерiалу не мала пам'ятi в імовірнісному сенсi. При цьому кореляцiйна “пам'ять”, тобто наявнiсть кiнцевого часу кореляцiї в процесу (t), допускається.

У дисертацiї приводяться результати дослiдження сформульованої математичної задачi для наступних моделей процесу (t): 1)процес дробового шуму, 2)дихотомiчний процес, 3)сумiш двох дробових процесiв з рiзними характеристиками.

МОДЕЛЬ ДРОБОВОГО ШУМУ. Задача була вирiшена ранiше, а в дисертацiї результати використовуються при побудовi бiльш складної моделi. Ця схема є для даної задачi узагальненням бернуллiєвської схеми на випадок безперервнго часу. Вона моделює фiзичну ситуацiю, у якiй збурювання середовища носять характер рiдких коротких по тривалостi статистично незалежних iмпульсiв.

Щiльнiсть розподiлу iмовiрностей, записана в термiнах безрозмiрних часу s = ct i енергетичного параметра u = rE, асимптотично при u виглядає як

f(s)

При u = 1 монотонно убутна щiльнiсть f(s) перебудовується у щiльнiсть розподiлу, що має вершину (приблизно рiвну s = u) поблизу зв'язаного з нею математичного очiкування величини . Отже, використання примiтивної моделi стацiонарного процесу - дробового шуму в рамках запропонованої теорiї розподiлу часу руйнування матерiалу приводить до одновершинної щiльностi розподiлу часу руйнування, незважаючи на якiсну перебудову розподiлу iмовiрностей при змiнi вiльного параметра теорiї.

МОДЕЛЬ ДИХОТОМІЧНОГО ПРОЦЕСУ. Бiльш складна модель стацiонарного процесу у виглядi дихотомiчного процесу, який приймає два значення: 0 i 1, (t) = {0,1}, де параметр a > 0 зв'язаний з iнтенсивнiстю поглинання матерiалом енергiї. При цьому функцiонал поглиненої енергiї записується як

Процес (t) марковський. Вiн цiлком визначається вiдповiдними йому рiвняннями Колмогорова, якi мають вигляд

де p_i (t) = P{(t) = i}, i = 0,1. Точки змiни траєкторiй процесу {(t)} являють собою випадкову послiдовнiсть, яка є найпростiшим пуассонiвським потоком з щiльнiстю c. Обчислено розподiл iмовiрностей для з iмовiрнiстю одиниця єдиного випадкового моменту часу досягнення заданого рiвня E функцiоналом J(t), що розглядається як випадковий процес. Цей час формально визначається інтегралом

а асимптотика при u щiльностi розподiлу iмовiрностей для моменту (s = ct, u = 2Ec/a):

f(s)

Важливо, що асимптотичний вираз для щiльностей розподiлiв у випадках дробового шуму i дихотомiчного процесу має майже однакову форму. Видно, що асимптотика розподiлу iмовiрностей для випадкового моменту досягнення рiвня описує структуру f(s) поблизу найбiльш ймовiрного значення s = u/2, тобто щiльнiсть розподiлу одновершинна, незважаючи на якiсну перебудову розподiлу при змiнi параметра u. Таким чином, матерiал руйнується здебiльшого невеликими впливами, амплiтуда яких коливається поблизу середнього значення.

МОДЕЛЬ СУПЕРПОЗИЦІЇ ДРОБОВИХ ШУМІВ. Розглянуто випадок, коли для обчислення розподiлу iмовiрностей часу руйнування необхiдно врахувати декiлька руйнiвних фiзичних механiзмiв. Ми обмежимося розглядом моделi статистично незалежної суперпозицiї випадкових процесiв, тобто випадком, коли фiзичнi процеси, якi впливають на середовище, слабко корелюють один з одним. У загальному випадку суперпозицiя N статистично незалежних випадкових процесів

J(t) =

Функцiя розподiлу моменту часу

H(t) = P{ J(t) E} = 1 - P{ J(t) < E} 1 - H_t(E),

де H_t(E) функцiя розподiлу випадкової величини J(t), залежна вiд t як вiд параметра.

,

де iнтегрування вiд -0 пов`язано з тим, що щiльнiсть h_t(u) може мати подiбну особливiсть у нулi. У силу незалежностi суперпозицiї процесiв щiльностi iмовiрностей можна записати за допомогою згортки щiльностей h_t^(l)(u) випадкових величин J_l(t), l=1,...N:

,

У випадку суперпозицiї двох процесiв типу дробового шуму з рiзними параметрами, одержимо асимптотику при E

де функцiя Q_* виражається в термiнах

i екстремальна точка виражається як

При цьому щiльнiсть розподiлу iмовiрностей - унимодальна з вершиною

t_m =

Запропонований пiдхiд до обчислення розподiлу iмовiрностей випадкового часу руйнування в умовах перколяцiйного сценарiю деградацiї дозволив одержати щiльнiсть розподiлу як рiшення точно поставленої задачi в рамках визначеної iмовiрнiсної схеми. Отриманi результати свiдчать про одновершиннiсть розподiлу часу руйнування для рiзних моделей руйнiвних процесiв i справедливi усюди за винятком околу нуля (на вiдмiну вiд результатiв центральної граничної теореми). Важливо, що при перетвореннi випадкової величини (c)^1/2 (r)^1/2 одержано гауссовський розподiл. Помiтимо, що у випадку, коли випадкова величина в якiйсь фiксованiй iмовiрнiснiй схемi має граничний розподiл, то вiдповiдним перетворенням, визначеним з точнiстю до лiнiйного складника, її можна перевести в гауссову випадкову величину. Тому самим iстотним є обчислення того перетворення, що переводить дослiджуваний граничний закон у гауссовський. Описане перетворення випадкової величини навряд чи можна було вказати заздалегiдь.

У роздiлi 4 розглянутi двi прикладнi задачi, пов'язанi з еволюцiйним руйнуванням середовища, рiшення яких засновано на iмовiрнiсно-феноменологiчному пiдходi. В обох задачах суттєву роль вiдiграють фiзичнi механiзми утворення перколяцiйного ланцюжка.

У пiдроздiлi 4.1 дослiджується статистична модель, що описує стадiю зародження трiщини при крихкому руйнуваннi твердого тiла. Виникнення трiщини розглядається як наслiдок флуктуацiйного скупчення точкових дефектiв (розподiлених загалом по об'єму випадково) у деякiй малiй просторовiй дiлянцi зразка, з яких формується зародок майбутньої трiщини. Якщо розмiри цього зародка перевищують деяку критичну величину, то утвориться зростаюча внаслiдок прикладеного до неї напруження трiщина, i зразок руйнується. Точне рiшення моделi дає можливiсть обчислити розривну мiцнiсть твердого тiла як функцiю вiд його розмiрiв.

Постановка задачi: зразок обємом V = N v_* розбитий на паралелепiпеди з критичним об`ємом v_* = hd², h<<d; N - повна кiлькiсть “ячеєк” у зразку ; c_* = m/v_* - критична концентрацiя дефектiв у ; m - критичне число дефектiв у ; n - сумарне число дефектiв у зразку; x -- цiлочисельнi вектори, що нумерують ячейки; (x) - випадкове число точок, що потрапили в ячейку з мiткою x; p - зовнiшнє прикладене напруження. Будемо вважати, що трiщина пiд напруженням p, прикладеним у напрямку ребер з розмiром h, зароджується в данiй ячейцi, якщо в нiй кiлькiсть дефектiв починає перевищувати визначену величину m.

Обчисленню пiдлягає iмовiрнiсть iснування в обємi зразка хоча б однiєї такої ячейки з критичним скупченням дефектів

W_m = 1 - P{max (x) < m}.

Характерно, що W_m 1 при V , N,n , c = n/V = const - цей випадок вiдповiдає масштабному ефекту. Тобто iнтерес представляє не границя, а асимптотика функцiї розподiлу при V .

У моделi розмiщення однiєї частки по ячейках -- рiвноiмовiрнiснi ( 1/N), а розподiл iмовiрностей для багатьох часток - поліноміальний

P{ (x) = l(x), x } =

Пiсля проведення рiшення за аналогiєю з методами теорiї випадкових розмiщень, отримана асимптотика (N, n , n/N = , m ) шуканої iмовiрностi

P{ max (x) < m } = exp ( N r_m+1)(1 + o(1)),

W_m = 1 exp ( N r_m+1)(1 + o(1))

Фiзичний аналiз рiшення дозволяє отримати розподiл iмовiрностей як функцiю зовнiшнього напруження. Нехай h - характерна вiдстань мiж iонами металу в момент початку явища текучостi (середня вiдстань мiж iонами в рiдкому станi); d - критична довжина трiщини. Якщо покласти d = const p, > 0, p₀ = (c_* h) k, p₀ >> p, де k - постiйна Гриффiтса, = ln(c/c_*) 1, c = n/V, то асимптотика iмовiрностi руйнування W_m представляється в термiнах зовнiшнього напруження. Для малих концентрацiй маємо

W_m Nr_m+1 =

Видно, що розподiл iмовiрностей для величини p не є нi розподiлом Вейбулла, нi двiчi експоненцiйним (як прийнято в теорiях найбiльш слабкої ланки).

Крiм того, з цiєї асимптотичної формули випливає залежнiсть руйнiвної напруги вiд об`єму:

Видно, що достатнє руйнiвне напруження (границя текучостi) обернено пропорцiйно логарифму обєму, що якiсно погоджується з експериментальними даними.

У пiдроздiлi 4.2 вивчається статистична модель електропробою полiмерних електроiзоляцiйних матерiалiв, запропонована ранiше Гнеденко та Молчановим. Асимптотично точно обчислюється розподiл iмовiрностей для випадкової пробiйної напруги тонких багатошарових полiмерних плiвок.

Розглянемо зразок покриття у виглядi цилiндричного шару з погонною довжиною L. Цей шар, у свою чергу, складається з m вкладених друг у друга цилiндричних шарiв з однаковою товщиною d. Розiб'ємо зразок на вiдрiзки довжиною l, де l - лiнiйна щiльнiсть появи дефектiв при нанесеннi чергового шару покриття. Занумеруємо цi вiдрiзки числом i = 1,..., N = L/l. Проведемо в точках роздiлу площини перпендикулярно покриттю. У результатi кожен зразок, що знаходиться мiж площинами розподiлу, складається з m вкладених друг у друга цилiндричних шарiв, якi ми занумеруємо числом j = 1,..., m, i якi далi називаємо ячейками. Таким чином, кожна з ячейок, з яких складається зразок, може бути однозначно iдентифiкована вказiвкою двох чисел i = 1,..., N i j = 1,..., m.

У кожну з ячейок c номерами (i, j) з iмовiрнiстю q < 1 може потрапити дефект (але не бiльш одного) з випадковим розмiром . Будемо вважати, що усi випадковi подiї попадiння чи непопадiння дефектiв в ячейки є статистично незалежними в сукупностi i, точно так само, незалежнi в сукупностi усi випадковi величини , i = 1,..., N, j =1,..., m, що однаково розподiленi з деякою умовною щільністю

Таким чином, щiльнiсть розподiлу дефектного розмiру в кожнiй з ячейок описується щільністю

Електричний пробiй настає при утвореннi перколяцiйного ланцюжка дефектiв у поперечному перерiзi покриття. Можливiсть електропробою на фiксованiй дiлянцi зв'язується з появою такого ланцюжка, що сума розмiрiв дефектiв, якi входять у ланцюжок, перевершує деяку критичну величину. Необхiдно визначити розподiл iмовiрностей для випадкової величини пробiйної напруги

- частина товщини зразка, що вiдноситься до дефектiв на i-м його вiдрiзку, що утворюють на ньому перколяцiйний ланцюжок.

Ця iмовiрнiсть виражається як функцiя типової критичної довжини z перколяцiйного ланцюжка:

P {} = P P (P) ^N,

де - типова випадкова величина. У свою чергу

P

Природно припустити, що щiльнiсть розподiлу h() має експоненцiйну асимптотику при x . Тому, для простоти, було обрано h(x) = e^x, де 1/ << d (як це i зроблено в моделi Гнеденко-Молчанова). У цьому випадку згортка обчислюється явно i це спрощує дослiдження якiсних властивостей щiльностi розподiлу при будь-якому числi шарiв m.

Проаналiзуємо отриманий розподiл на экстремум. Рiвняння для аналiзу:

Де

Асимптотичний вираз для аналiзу при великих N задається формулою

Доведено, що для досить довгих зразкiв (N ) цей розподiл iмовiрностей - одновершинний, i тому ця модель не пояснює неодновершинность експериментальних гiстограм пробiйних напруг. Причому, якщо параметр q бiльше деякої величини (яка залежить вiд m), то єдина вершина розподiлу не знаходиться в точцi z = 0 i щiльнiсть розподiлу має двi точки перегину.

Висновки

Дисертацiя присвячена iмовiрнiсному моделюванню, на основi феноменологiчних уявлень, тих процесiв руйнування, що вiдбуваються у твердотiльному середовищi. У рамках такого пiдходу вивчалися процеси руйнування в умовах, коли має мiсце кореляцiя мiж рiзними просторовими областями, зайнятими середовищем, що виражається в їх колективному самоузгодженому впливi на протiкання процесiв руйнування. Зокрема, при реалiзацiї таких умов виявилися iстотними уявлення теорiї перколяции. Перелiчимо основнi висновки, що витiкають з результатiв проведених дослiджень.

Дослiдження показало, що процес колективної фрагментацiї виявляє зовсiм вiдмiннi вiд такого ж процесу в умовах незалежної еволюцiї кожного з фрагментiв властивостi. Це виражається в типi отриманої щiльностi розподiлу по розмiрах, яка має експоненцiйну асимптотику для великих розмiрiв.

Запропоновано новий пiдхiд до вивчення процесу руйнування матерiалiв i обчисленню розподiлу iмовiрностей випадкового часу руйнування в умовах перколяцiйного сценарiю деградацiї, в рамках якого щiльнiсть розподiлу для випадкового часу руйнування була отримана як гранична теорема для моделей збурення середовища дихотомiчним процесом та сумiшшю дробових шумiв з рiзними параметрами. Результат дослiдження показує, що розподiл iмовiрностей для часу руйнування має деякi загальнi риси, незалежно вiд типу збурення.

При дослiдженнi статистичної моделi розвитку трiщини в умовах прикладеного до зразка розтягуючої напруги отримано формулу для границi текучостi, яка обернено пропорцiйна логарифму об'єму зразка, що якiсно узгоджується з експериментальними даними.

Проведене точне дослiдження статистичної моделi Гнеденко-Молчанова електричного пробою полiмерних плiвок, виявило одновершиннiсть розподiлу величини пробiйної напруги, i тому ця модель не може бути використана для пояснення неунiмодальностi експериментальних даних.

Публікації за темою дисертації

1. Virchenko Yu.P., Sheremet O.I. The Formation of Destruction Time Distribution of Material Aging by Statistically Independent Perturbations.// Functional Materials, v.6, No.1, pp. 5-12, 1999. (in English).

2. Virchenko Yu.P., Sheremet O.I. Analysis of Statistical Percolation Electrical Breakdown Model of Enamel-Lacquer Coatings.// Functional Materials, v.7, No.1, pp. 150-152, 2000. (in English).

3. Virchenko Yu.P., Sheremet O.I. Distribution of Destruction Time in Percolation Picture of Material Ageing.// Укр. фiз. журн., т.45, No.6, pp. 731-737, 2000. (in English).

4. Virchenko Yu.P., Sheremet O.I. To the Statistical Theory of Brittle Destruction of Solid Media.// Доповiдi НАНУ, No.7, pp. 92-95, 2000. (in English).

5. Virchenko Yu.P., Sheremet O.I. Investigation of a One-Dimentional Model in Statistical Theory of Fragmentation.// Доповiдi НАНУ, No.8, pp. 82-86, 2000. (in English).

6. Вирченко Ю.П., Шеремет О.И. Геометрические модели статистической теории фрагментации.// Теор. и мат. физика, т.128, No.2, 2001.

Анотація

Шеремет О.I. Статистичний пiдхiд у теорiї колективних процесiв руйнування твердотiльних середовищ. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.04.02- теоретична фiзика.- Iнститут монокристалiв Науково-технологiчного концерну “Iнститут монокристалiв” НАН України, Харкiв, Україна, 2001.

В дисертацiї вивчаються процеси руйнування, що вiдбуваються у твердотiльному середовищi, на основi iмовiрнiсного моделювання в термiнах феноменологiчних параметрiв. Розглянуто процеси руйнування з колективною самоузгодженою поведiнкою рiзних фрагментiв середовища.

Дослiджено одновимiрну iмовiрнiсно-геометричну задачу самоузгодженої фрагментацiї з одночасовим дробленням фрагментiв та отримано розподiл розмiрiв фрагментiв; визначено статистику тривалостi часу руйнування, що вiдбувається по перколяцiйному сценарiю, при моделюваннi збурень середовища дихотомiчним процесом та сумiшшю дробових шумiв з рiзними параметрами; дослiджено модель флуктуацiйного утворення зародкiв трiщин у твердому тiлi, та обчислено границю текучостi як функцiю вiд геометричних розмiрiв тiла; проаналiзовано статистичну модель Гнеденко-Молчанова електропробою полiмерних iзоляцiйних плiвок та дослiджено на багатовершиннiсть розподiл iмовiрностей для випадкової пробiйної напруги.

Ключовi слова: твердотiльне середовище, колективнi процеси, статистична фiзика, руйнування, розподiл iмовiрностей, фрагментацiя, випадковий процес, трiщина, теорiя перколяцiї.

Annotation

Sheremet O.I. A statistical approach to the theory of collective processes of solid media destruction. -- Manuscript.

Thesis for a Ph.D. by speciality 01.04.02- theoretical physics.- Institute for Single Crystals, concern of science of and technology “Institute for Single Crystals” of National Academy of Sciences, Kharkiv, Ukraine, 2001.

In manuscript are studied solid media destruction processes on the basis of probabilistic modelling in terms of phenomenological parameters. The accent made on the destruction processes with collective self-conformed evolution of different medium fragments.

One-dimensional probabilistic geometrical model of self-conformed fragmentation having concurrent fragment splitting was researched and fragment size distribution was obtained. In the case of percolation scenario of destruction the destruction time statistics for perturbations modelled by dichotomic process and superposition of shot noises with different parameters was determined. A model of crack's germ fluctuational formation was investigated and yield limit was calculated as function of body's geometric sizes. A statistical Gnedenko-Molchanov's model of polymer insulation films' elctrical breakdown was analysed and probability distribution of random breakdown voltage was examined for multipeakness.

Keywords: solid media, collective processes, statictical physics, destruction, probability distribution, fragmentation, random process, crack, percolation theory.

Аннотация

Шеремет О.И. Статистический подход в теории коллективных процессов разрушения твердотельных сред. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02- теоретическая физика.- Институт монокристаллов Научно-технологического концерна “Институт монокристаллов” НАН Украины, Харьков, Украина, 2001.

В диссертации изучаются процессы разрушения, происходящие в твердотельной среде, в которых проявляется корреляция между отдельными пространственными областями, заполняемыми средой. При этом наличие такой корреляции физически выражается в виде коллективных эффектов поведения среды, в частности, в образовании той или иной перколяционной структуры в среде. Моделирование таких процессов разрушения проводится методами теории вероятностей, на основе феноменологических представлений.

Предложен оригинальный вероятностно-геометрический подход к проблеме фрагментации. В качестве конкретного приложения этого подхода анализируется одномерная стохастическая геометрическая модель фрагментации - стохастический процесс с дискретным временем и с фазовым пространством, состоящим из разбиений на фрагменты действительной оси. Выведено управляющее уравнение для функции распределения по размерам и доказано существование предельного закона распределения. Этот закон не является универсальным и зависит от динамического механизма дробления. Асимптотика этого распределения в области больших размеров фрагментов экспоненциальна. Смоделированный в работе процесс коллективной фрагментации проявляет свойства, совершенно отличные от такого же процесса в условиях независимой эволюции каждого из фрагментов. Это выражается в типе полученной плотности распределения по размерам. При этом асимптотика плотности является не степенной, а экспоненциальной, в отличие от результатов других работ.

Рассмотрена задача разрушения материала с точки зрения потери им с течением времени некоторых функциональных свойств. Вычислено распределение вероятностей для случайного времени разрушения среды под действием случайных возмущений в условиях перколяционного развития процессов старения. Данная постановка задачи и подход к её решению являются настолько общими, что они в равной мере применимы как твердотельным средам, так и к средам, находящимся в жидком очень вязком (гелеобразном) состоянии. Проведен математический анализ задачи для различных моделей возмущающих случайных процессов и найдены некоторые общие закономерности в искомом распределении вероятностей, свойственные всем изучаемым моделям. Оказалось, что для рассмотренных процессов типа дихотомического процесса и смеси дробовых шумов с различными параметрами возможно построить такие похожие по форме преобразования для величины случайного времени разрушения, которые переводят распределение вероятностей для времени разрушения в гауссовскую форму. Эти результаты, полученные в форме локальной предельной теоремы, справедливы всюду, за исключением окрестности нуля.

Рассмотрена традиционная для статистической теории разрушения задача, относящаяся к проблеме ползучести и хрупкого разрушения твёрдых тел. Построена дискретная статистическая модель развития трещины в условиях приложенного к образцу растягивающего напряжения, которая позволяет асимптотически точно найти распределение вероятностей для таких флуктуаций плотности микродефектов, которые приводят, по Гриффитсу, к образованию зародыша макроскопической трещины. Полученная в рамках этой модели формула для предела текучести как функции, обратно пропорциональной логарифму объема тела, качественным образом согласуется с экспериментальными данными.

Проведен математически корректный анализ статистической модели электрического пробоя полимерных покрытий, предложенной Гнеденко и Молчановым для объяснения неунимодальности гистограмм пробойных электрических напряжений тонких эмаль-лаковых плёнок. Получен в некотором роде отрицательный результат: показано, что для длинных образцов, в рамках указанной модели, вопреки утверждению авторов модели, распределение вероятностей для напряжения пробоя одновершинно. Это связано с заложенным в этой модели экспоненциально спадающим распределением вероятностей для случайного радиуса вкраплений, которые понижают электросопротивление покрытия.

Ключевые слова: твердотельная среда, коллективные процессы, статистическая физика, разрушение, распределение вероятностей, фрагментация, случайный процесс, трещина, теория перколяции.

Размещено на Allbest.ru

...