Расчет пространственных колебаний подвешенного каната

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет пространственных колебаний подвешенного каната

Если посмотреть вокруг, то мы увидим, что нас повсюду окружают и линии электропередач, и провода, и тросы, и подвесные конструкции, и мосты и многое другое. Рассмотрим по подробнее виды таких конструкции и внешние воздействия на них.

Висячими называются конструкции, в которых основные несущие элементы, перекрывающие пролет здания или сооружения, испытывают растяжение. Несущие элементы этих конструкций могут быть двух видов - висячие и вантовые, по названию которых различают типы сооружений.

Висячие элементы непосредственно воспринимают поперечную нагрузку от настила или подвесок и передают усилия на анкеры. Поэтому они имеют криволинейное очертание - это гибкие нити (тросы, канаты, круглый прокат), мембраны, нити конечной изгибной жесткости («жесткие нити») и т.п.

Ванты - это прямолинейные гибкие растянутые стержни, передающие усилие от одного узла к другому и не воспринимающие на своей длине поперечной нагрузки.

Впервые висячие покрытия были предложены выдающимся русским инженером Владимиром Григорьевичем Шуховым.

При проектировании висячих покрытий необходимо учитывать основной недостаток висячих систем - их деформативность при действии временной нагрузки. Дополнительные провесы (прогибы) гибкой нити как основного элемента висячей конструкции определяются двумя причинами:

Упругими удлинениями нити, которые имеют максимальное значение при загружении всего пролета временной нагрузкой. Результатом продольных удлинений нити являются наибольшие дополнительные провесы в середине пролета (рис. 1,а);

Кинематическими перемещениями, которые возникают вследствие изменения формы равновесия гибкой висячей системы при загружении нити местной нагрузкой (рис. 1,б).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

В последние годы вантовые системы нашли довольно широкое применение в различных отраслях строительства, особенно в сооружениях больших пролетов и высот.

Широкое развитие вантово-стержневые системы получили в конструкциях мостового типа (в автодорожных мостах, переходах газопроводов и нефтепроводов через реки, в передвижных сооружениях мостового типа). На рис. 3 приведена одна из наиболее старых вантовых систем мостов - система Жискляра-Росновского. Этот мост был построен в 1936 г. Автодорожный мост в Кельне (Северинский мост), показанный на рис.4, и пешеходный мост через гавань в Киеве (рис. 5) дают примеры вантовых мостовых конструкций с упрощенной системой вант.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так же для примера рассмотрим цепные линии. Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести. Цепная линия по форме напоминает параболу. Так считалось долгое время. В начале 17 века Галилео Галилей высказал сомнение, что висящая цепь в действительности является параболой. Однако строгое доказательство и точный вывод были получены лишь полвека спустя ? после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали основы математического анализа. Решение задачи о цепной линии было опубликовано в 1691 году Христианом Гюйгенсом, Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Иоганном Бернулли. 

Цепные линии часто встречаются в природе и технике. Так, например, прямоугольный парус под напором ветра принимает форму, которая в профиле близка к цепной линии (эту задачу рассматривал еще Якоб Бернулли). В архитектуре и строительстве арки в форме перевернутой цепной линии (такие как арка Сааринена в Сент-Луисе) обладают высокой устойчивостью благодаря тому, что внутренние силы сжатия идеально скомпенсированы и не вызывают прогиба. Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы.

Закат в Сент-Луисе. По замыслу архитектора Эри Сааринена эта арка должна объединять восток Америки и ее более или менее дикий запад. Форма арки довольно необычна для архитектуры, однако можно не сомневаться, что выбор цепной линии -- не только изящное инженерное решение, но и дань почтения гению Гауди

Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил.

Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной. Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.

На каждое звено цепи действует по три силы: натяжение со стороны соседей (красная и зеленая стрелки) и сила тяжести (серая стрелка). При уменьшении размеров звена, сила тяжести стремится к нулю, а силы натяжения к нулю не стремтся, они просто становятся параллельными друг другу. Иллюстрация по фото John Nettleship (SXC license)

Рассмотрим модель нити как частный случай стержня.

Нагружение нерастяжимой нити собственным весом.

Стержень, способный сопротивляться только растяжения, называется нитью. Если нить отклонить от состояния равновесия, то возникают восстанавливающие силы, которые стремятся вернуть эту нить в обратное состояние. В системе так же возникнут некоторые колебания, если присутствуют инерционные силы. Такие конструкции встречаются на практике. К ним можно отнести провода электрических и телеграфных сетей, цепи висячих мостов, тросы канатных дорог и т.п. Основной нагрузкой нити является ее собственный вес. Рассчитывается нить так же на воздействие порывов ветра, обледенения, изменения температуры.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7

Исходное уравнение осевой линии криволинейного стержня:

Система нелинейных уравнений деформирования плоского стержня в своей плоскости имеет вид:

висячий система линия модель

В случае, когда стержень не держит изгибающего момента (т.е. является нитью), следует отказаться от третьего уравнения, а в шестом положить

Для нерастяжимой нити следует положить . Нить не сопротивляется изгибу, и поэтому не имеет «формы» до деформирования. Если нить закреплена, то при приложении нагрузки она примет определенную форму. Форма нити без нагрузки может быть любой.

Введем обозначения:

где - параметрические уравнения нити под нагрузкой; - параметр; - глобальные компоненты внутренней силы (последнее уравнение означает, что в любой точке нити отсутствует перерезывающая сила, поскольку внутренняя сила направлена вдоль нити); -глобальные компоненты распределенной нагрузки. Эта система описывает равновесие нерастяжимой нити.

Пусть вес нерастяжимой нити равен mg, а ее длина l. Введем для удобства анализа безразмерные переменные:

, , (k=1,2), , .

В безразмерных переменных система запишется так:

Начало координат поместим в начальной точке нити . Положим . Тогда

, .

Проинтегрируем первые два уравнения и найдем форму нити:

Преобразуем выражения для координат точек нити:

Константы определяются из краевых условий:

,

Натяжение в нити в общем случае, переменное по длине, определяется по формуле:

Определив две константы из условий прохождения нити через заданную правую опору, можно восстановить форму нити и распределение натяжения вдоль этой нити.

Рассмотрим частный случай, в котором распределенная сила (вес) ориентирована вдоль оси ординат:

(нагрузка направлена вниз).

Далее введем новую переменную u по формуле:

Тогда как

Покажем, что параметрические уравнения нити под собственным весом можно записать в явном виде, используя переменную u (интегралы в этом случае определяются в замкнутом виде).

Вместо констант введем константы по формулам:

Отсюда:

Получим:

Для силы натяжения нити получим:

Для практики может оказаться полезным вытекающее из выражение:

Постоянные найдем из следующих соотношений:

где при - относительные координаты второй точки крепления нити. Из второго соотношения получим:

Преобразуя первое соотношение в, получим:

Окончательно придем к системе уравнений для определения :

После численного решения этих уравнений, найдем постоянные , которые позволят восстановить форму нити и натяжение в ней.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8

Обозначим длину нити , расстояние между опорами , стрелу прогиба нити ?. Решая задачу для различных исходных значений , можно получить зависимости , от . Если мало, то опоры расположены близко друг к другу и, очевидно, 2>mg. Если 1, то N>?. Для того чтобы весомая нить стала близкой к прямолинейной, требуется приложить большие усилия N. Поэтому из соображений прочности допускают провисание нитей. Так, при .

Теперь рассмотрим пространственную задачу:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9

Если в плоскости нам было достаточно четырех уравнений равновесия:

то в пространстве к ним еще добавится два. И в итоге мы получим новую систему шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно искомых функций :

Далее предположим, что нить отклонили от состояния равновесия, тогда каждая компонента получит приращение. Мы получим новую систему состояния нити, удовлетворяющую тем же уравнениям равновесия:

В данном случае мы рассматриваем задачу о малых колебаниях нити. Поэтому раскладывая эти выражения по малым величинам, мы получим уравнения малых движений нити, где получим, решая статическую задачу, а ?q это приращения нагрузки, которые возникают за счет сил инерции при движении.

Таким образом, решая полученные системы уравнений, мы выясним форму нити, как в плоскости, так и в пространстве.

Размещено на Allbest.ru